Fraktali u svijetu oko nas.

Uradio: učenik 9. razreda

Srednja škola MBOU Kirov

Litovčenko Ekaterina Nikolajevna
Voditelj: nastavnik matematike

Srednja škola MBOU Kirov

Kachula Natalia Nikolaevna

Uvod……………………………………………………………………………………… 3

Predmet proučavanja.

Subjekti istraživanja.

Hipoteze.

Ciljevi, zadaci i metode istraživanja.

Istraživački dio. …………………………………………. 7

Pronalaženje veze između fraktala i Pascalovog trougla.

Pronalaženje veze između fraktala i zlatnog omjera.

Pronalaženje veze između fraktala i kovrčavih brojeva.

Pronalaženje veze između fraktala i književnih djela.

3. Praktična primjena fraktala………………………………………….. 13

4. Zaključak……………………………………………………………………….. 15

4.1 Rezultati studije.

5. Bibliografija…………………………………………………………………….. 16

Uvod.

Predmet proučavanja: Fraktali .

Kada se većini ljudi činilo da je geometrija u prirodi ograničena na tako jednostavne figure kao što su linija, krug, konusni presjek, poligon, sfera, kvadratna površina, kao i njihove kombinacije. Na primjer, šta može biti ljepše od izjave da su planete u našoj Solarni sistem kretati se oko Sunca po eliptičnim orbitama?

Međutim, mnogi prirodni sistemi su toliko složeni i nepravilni da korištenje samo poznatih objekata klasične geometrije za njihovo modeliranje izgleda beznadežno. Kako, na primjer, izgraditi model planinskog lanca ili krošnje drveta u smislu geometrije? Kako opisati raznolikost bioloških konfiguracija koje uočavamo u svijetu biljaka i životinja? Zamislite složenost cirkulatornog sistema, koji se sastoji od mnogih kapilara i sudova koji isporučuju krv u svaku ćeliju ljudskog tijela. Zamislite kako su pametno raspoređena pluća i bubrezi, nalik drveću sa granatom krošnjom.

Dinamika stvarnih prirodnih sistema može biti jednako složena i nepravilna. Kako pristupiti modeliranju kaskadnih vodopada ili turbulentnih procesa koji određuju vrijeme?

Fraktali i matematički haos su pogodna sredstva za istraživanje postavljenih pitanja. Termin fraktal odnosi se na neku statičnu geometrijsku konfiguraciju, kao što je snimak vodopada. Haos je dinamički termin koji se koristi za opisivanje fenomena sličnih turbulentnom vremenu. Često nas ono što opažamo u prirodi zaintrigira beskrajnim ponavljanjem istog obrasca, uvećanog ili smanjenog koliko god puta želimo. Na primjer, drvo ima grane. Ove grane imaju manje grane i tako dalje. Teoretski, element "vilice" se ponavlja beskonačno mnogo puta, postajući sve manji i manji. Ista stvar se može vidjeti kada se pogleda fotografija planinskog terena. Pokušajte malo zumirati sliku planinskog lanca - opet ćete vidjeti planine. Tako se manifestuje svojstvo karakteristično za fraktale samosličnost.

U mnogim radovima o fraktalima, samosličnost se koristi kao svojstvo koje određuje. Prateći Benoita Madelbrota, zauzimamo tačku gledišta da fraktale treba definirati u terminima fraktalne (frakcione) dimenzije. Otuda i porijeklo riječi fraktal(od lat. fractus - razlomak).

Koncept frakcijske dimenzije je složen koncept, koji se prikazuje u nekoliko faza. Prava je jednodimenzionalni objekat, a ravan je dvodimenzionalan. Ako ravnu liniju i ravninu dobro uvrnete, možete povećati dimenziju rezultirajuće konfiguracije; u ovom slučaju, nova dimenzija će obično biti u nekom smislu frakciona, što moramo razjasniti. Odnos između frakcijske dimenzije i samosličnosti je da se uz pomoć samosličnosti može na najjednostavniji način konstruirati skup razlomačke dimenzije. Čak iu slučaju mnogo složenijih fraktala, kao što je granica Mandelbrotovog skupa, kada ne postoji čista samosličnost, dolazi do gotovo potpunog ponavljanja osnovnog oblika u sve smanjenom obliku.

Riječ "fraktal" nije matematički termin i nema općeprihvaćenu strogu matematičku definiciju. Može se koristiti kada dotična figura ima bilo koje od sljedećih svojstava:

Teorijska multidimenzionalnost (može se nastaviti u bilo kojem broju dimenzija).

Ako uzmemo u obzir mali fragment pravilne figure u vrlo velikoj mjeri, izgledat će kao fragment prave linije. Fragment fraktala u velikoj mjeri bit će isti kao i na bilo kojoj drugoj skali. Za fraktal, zumiranje ne dovodi do pojednostavljenja strukture, na svim skalama ćemo vidjeti jednako složenu sliku.

Da li je sam sebi sličan ili približno sebi sličan, svaki nivo je sličan cjelini

Dužine, površine i zapremine nekih fraktala jednaki su nuli, drugi se okreću u beskonačnost.

Ima frakcijsku dimenziju.

Vrste fraktala: algebarski, geometrijski, stohastički.

Algebarski fraktali su najveća grupa fraktala. Dobijaju se korištenjem nelinearnih procesa u n-dimenzionalnim prostorima, na primjer, Mandelbrot i Julia skupovi.

Druga grupa fraktala - geometrijski fraktali. Istorija fraktala započela je geometrijskim fraktalima, koje su proučavali matematičari u 19. veku. Fraktali ove klase su najvizuelniji, jer je u njima odmah vidljiva samosličnost. Ova vrsta fraktala se dobija jednostavnim geometrijskim konstrukcijama. Prilikom konstruisanja ovih fraktala obično se uzima skup segmenata na osnovu kojih će se graditi fraktal. Nadalje, na ovaj skup se primjenjuje skup pravila, koji ih pretvara u neku geometrijsku figuru. Nadalje, isti skup pravila se ponovo primjenjuje na svaki dio ove figure. Svakim korakom figura će postajati sve složenija, a ako zamislite beskonačan broj takvih operacija, dobit ćete geometrijski fraktal.

Slika desno prikazuje trokut Sierpinskog - geometrijski fraktal, koji se formira na sljedeći način: u prvom koraku vidimo običan trokut, u sljedećem koraku su sredine stranica povezane, formirajući 4 trokuta, od kojih je jedan obrnuto. Zatim ponavljamo operaciju sa svim trokutima, osim sa obrnutim, i tako u nedogled.

Primjeri geometrijskih fraktala:

1.1 Kochova zvijezda

Početkom 20. veka matematičari su tražili krivulje koje ni u jednoj tački nisu imale tangentu. To je značilo da je kriva naglo promenila svoj pravac, i štaviše, enormno velikom brzinom (izvod je jednak beskonačnosti). Potraga za ovim krivuljama nije bila uzrokovana samo praznim zanimanjem matematičara. Činjenica je da se početkom 20. vijeka kvantna mehanika razvijala vrlo brzo. Istraživač M. Brown je skicirao putanju suspendiranih čestica u vodi i objasnio ovu pojavu na sljedeći način: nasumično pokretni tečni atomi udaraju u suspendirane čestice i time ih pokreću. Nakon takvog objašnjenja Brownovog kretanja, naučnici su se suočili sa zadatkom pronalaženja krive koja bi najbolje aproksimirala kretanje Brownovih čestica. Da bi se to postiglo, kriva je morala zadovoljiti sljedeća svojstva: da nema tangentu ni u jednoj tački. Matematičar Koch je predložio jednu takvu krivu. Nećemo ulaziti u objašnjenja pravila za njegovu konstrukciju, već ćemo jednostavno dati njenu sliku iz koje će sve postati jasno. Jedno važno svojstvo koje granica Kochove pahulje ima... svoju beskonačnu dužinu. Ovo može izgledati iznenađujuće, jer smo navikli da se bavimo krivuljama iz kursa matematike. Obično glatke ili barem po komadima glatke krive uvijek imaju konačnu dužinu (što se može provjeriti integracijom). Mandelbrot je, s tim u vezi, objavio niz fascinantnih radova koji istražuju pitanje mjerenja dužine obale Velike Britanije. Kao model je koristio fraktalnu krivulju, koja podsjeća na ivicu pahulje, s tim što je u nju uveden element slučajnosti, uzimajući u obzir slučajnost u prirodi. Kao rezultat toga, pokazalo se da kriva koja opisuje obalu ima beskonačnu dužinu.

Sunđer Menger

Još jedna dobro poznata klasa fraktala su stohastički fraktali, koji se dobijaju ako se bilo koji od njegovih parametara nasumično promijeni u iterativnom procesu. To rezultira objektima vrlo sličnim prirodnim - asimetrično drveće, razvedene obale itd. .

Subjekti istraživanja

1. Pascalov trougao.

At
struktura Pascalovog trougla - stranice jedinice, svaki broj je jednak zbiru dva koja se nalaze iznad njega. Trougao se može nastaviti beskonačno.

Pascalov trokut se koristi za izračunavanje koeficijenata proširenja izraza oblika (x+1) n . Počevši od trokuta jedinica, izračunajte vrijednosti na svakom uzastopnom nivou dodavanjem susjednih brojeva; poslednja stavljena jedinica. Tako se, na primjer, može definirati da je (x + 1) 4 = 1x 4 + 4x 3 + 6x 2 + 4x + 1x 0 .

Kovrdžavi brojevi.

Pitagora je prvi put, u VI pne, skrenuo pažnju na to da ljudi, pomažući se u brojanju kamenčićima, ponekad poređaju kamenje u ispravne figure. Možete jednostavno staviti kamenčiće u red: jedan, dva, tri. Ako ih stavimo u dva reda kako bismo napravili pravougaonike, otkrićemo da su svi parni brojevi dobijeni. Kamenje možete rasporediti u tri reda: dobićete brojeve koji su djeljivi sa tri. Bilo koji broj koji je nečim djeljiv može biti predstavljen pravougaonikom, a samo prosti brojevi ne mogu biti "pravokutnici".

Linearni brojevi su brojevi koji se ne rastavljaju na faktore, odnosno njihov red se poklapa sa nizom prostih brojeva, dopunjen jednim: (1,2,3,5,7,11,13,17,19,23, . ...). Ovo su prosti brojevi.

Ravni brojevi - brojevi koji se mogu predstaviti kao proizvod dva faktora (4,6,8,9,10,12,14,15,...)

Čvrsti brojevi - brojevi izraženi kao proizvod tri faktora (8,12,18,20,24,27,28, ...) itd.

Poligonalni brojevi:

Trouglasti brojevi: (1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, ...)

Kvadratni brojevi su proizvod dva identična broja, odnosno savršeni su kvadrati: (1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, ..., n2, ...)

Pentagonalni brojevi: (1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, ...)

Heksagonalni brojevi (1, 6, 15, 28, 45, ...)

Zlatni odnos..

zlatni omjer ( zlatni omjer, podjela u ekstremnom i prosječnom omjeru, harmonijska podjela, Fidijev broj) - podjela neprekidne količine na dijelove u takvom odnosu u kojem se veći dio odnosi na manji, kao što je cijela količina na veću. Na slici lijevo, tačka C proizvodi zlatni presjek segmenta AB ako je: A S:AB = SV:AC.

Ova proporcija se obično označava grčkim slovom . To je jednako 1.618. Iz ove proporcije se vidi da je kod zlatnog preseka dužina većeg segmenta geometrijska sredina dužina celog segmenta i njegovog manjeg dela. Dijelovi zlatnog omjera čine otprilike 62% i 38% cjelokupnog segmenta. Broj je povezan sa nizom cijelih brojeva fibonacci : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... često se nalaze u prirodi. Generiše se relacijom ponavljanja F n+2 =F n+1 +F n sa početnim uslovima F 1 =F 2 = 1.

Najstariji književni spomenik u kojem se nalazi podjela segmenta u odnosu na zlatni presjek jesu Euklidovi "Počeci". Već u drugoj knjizi "Početaka" Euklid gradi zlatni presek, a kasnije ga koristi za konstruisanje nekih pravilnih mnogouglova i poliedara.

hipoteze:

Postoji li veza između fraktala i

Pascalov trougao.

zlatni omjer.

kovrčavi brojevi.

književna djela

1.4 Svrha rada:

1. Upoznati slušaoce sa novom granom matematike – fraktalima.

2. Pobiti ili dokazati hipoteze postavljene u radu.

Ciljevi istraživanja:

Razraditi i analizirati literaturu na temu istraživanja.

Razmotrite različite vrste fraktala.

Prikupite kolekciju fraktalnih slika za početno upoznavanje svijeta fraktala.

Uspostaviti veze između Pascalovog trougla, književnih djela, figurativnih brojeva i zlatnog preseka.

Metode istraživanja:

Teorijski (proučavanje i teorijska analiza naučne i stručne literature; generalizacija iskustva);

Praktična (sastavljanje proračuna, generalizacija rezultata).

Istraživački dio.

2.1 Pronalaženje veze između fraktala i Pascalovog trougla.

Pascalov trokut Sierpinskijev trokut

Alokacijom neparnih brojeva u Pascalov trokut dobija se trokut Sierpinskog. Obrazac pokazuje svojstva koeficijenata koji se koriste u "aritmetizaciji" kompjuterskih programa, koja ih pretvara u algebarske jednačine.

2.1 Pronalaženje veze između fraktala i zlatnog preseka.

Dimenzija fraktala.

Sa matematičke tačke gledišta, dimenzija je definisana na sledeći način.

Za jednodimenzionalne objekte - 2 puta povećanje linearnih dimenzija dovodi do povećanja dimenzija (u ovom slučaju dužine) za 2 puta, tj. u 21 .

Za dvodimenzionalne objekte, 2 puta povećanje linearnih dimenzija dovodi do povećanja veličine (površine) za 4 puta, tj. u 2 2 . Uzmimo primjer. Tada je dat krug poluprečnika r S= πr 2 .

Ako udvostručimo polumjer, onda je: S1 = π(2 r) 2 ; S 1 \u003d 4π r 2 .

Za trodimenzionalne objekte, 2-struko povećanje linearnih dimenzija dovodi do 8-strukog povećanja volumena, tj. 2 3 .

Ako uzmemo kocku, onda V = a 3, V "= (2a) 3 = 8a; V" / V = ​​8.

Međutim, priroda ne poštuje uvijek ove zakone. Pokušajmo razmotriti dimenziju fraktalnih objekata koristeći jednostavan primjer.

Zamislite da muva želi da sjedi na klupku vune. Kada je pogleda izdaleka, vidi samo tačku, čija je dimenzija 0. Doleteći bliže, prvo vidi krug, njegova dimenzija 2, a zatim loptu - dimenzija 3. Kada muva sjedne na loptu, ona više neće vidjeti lopticu, već će pregledati resice, niti, šupljine, tj. objekt s frakcionom dimenzijom.

Dimenzija objekta (eksponent) pokazuje po kojem zakonu raste njegova unutrašnja površina. Slično, kako se veličina povećava, "volumen fraktala" se povećava. Naučnici su došli do tog zaključka Fraktal je skup s frakcijskom dimenzijom.

Fraktali kao matematički objekti nastali su kao rezultat potrebe za naučnim saznanjem svijeta u adekvatnom teorijskom opisu sve složenijih prirodnih sistema (kao što su, na primjer, planinski lanac, obala, krošnja drveća, kaskadni vodopad, turbulentno strujanje zraka u atmosfera, itd.) i, na kraju, u matematičkom modeliranju prirode u cjelini. A zlatni presjek, kao što znate, jedna je od najupečatljivijih i najstabilnijih manifestacija harmonije prirode. Stoga je sasvim moguće identificirati odnos gore navedenih objekata, tj. otkriti zlatni rez u teoriji fraktala.

Podsjetimo da je zlatni rez definiran izrazom
(*) i jedini je pozitivan korijen kvadratne jednadžbe
.

Usko povezani sa zlatnim rezom su Fibonačijevi brojevi 1,1,2,3,5,8,13,21,…, od kojih je svaki zbir prethodna dva. Zaista, vrijednost je granica niza sastavljenog od omjera susjednih Fibonačijevih brojeva:
,

i vrijednost - granica niza sastavljenog od omjera Fibonačijevih brojeva uzetih kroz jedan:

Fraktal je struktura koja se sastoji od dijelova sličnih cjelini. Prema drugoj definiciji, fraktal je geometrijski objekt s razlomkom (necjelobrojnom) dimenzijom. Osim toga, fraktal uvijek nastaje kao rezultat beskonačnog niza iste vrste geometrijskih operacija za njegovu konstrukciju, tj. je posljedica prelaska na granicu, što ga dovodi u vezu sa zlatnim rezom, koji također predstavlja granicu beskonačnog niza brojeva. Konačno, dimenzija fraktala je obično iracionalan broj (kao zlatni rez).

U svjetlu prethodnog, nikako nije iznenađujuće da činjenica da se dimenzije mnogih klasičnih fraktala mogu izraziti u terminima zlatnog preseka sa različitim stupnjevima tačnosti ne iznenađuje. Tako, na primjer, relacije za dimenzije Kochove pahulje d SC\u003d 1,2618595 ... i Menger spužve d GM\u003d 2,7268330 ... , uzimajući u obzir (*) može se napisati kao
I
.

Štaviše, greška prvog izraza je samo 0,004%, a drugog izraza 0,1%, a uzimajući u obzir elementarni omjer 10=2 5 slijedi da su vrijednosti d SC I d GM su kombinacije zlatnog preseka i Fibonačijevih brojeva.

Dimenzije tepiha Sierpinski d KS=1,5849625... i Cantorov prah d PC\u003d 0,6309297 ... također se može smatrati bliskom vrijednosti zlatnom omjeru:
I
. Greška ovih izraza je 2%.

Dimenzija neujednačenog (dvosmjernog) Cantorovog skupa koji se široko koristi u fizičkim primjenama teorije fraktala (na primjer, u proučavanju toplinske konvekcije) (dužine generirajućih segmenata kojih su
I
- međusobno se odnose kao Fibonačijevi brojevi:
) , ali d MK=0,6110… razlikuje se od vrijednosti
samo za 1%.

Dakle, zlatni rez i fraktali su međusobno povezani.

2.2 Pronalaženje veze između fraktala i kovrčavih brojeva .

Razmotrite svaku grupu brojeva.

Prvi broj je 1. Sljedeći broj je 3. Dobiva se dodavanjem dvije tačke prethodnom broju, 1, tako da željena figura postane trougao. U trećem koraku dodajemo tri tačke, zadržavajući oblik trougla. U narednim koracima dodaje se n tačaka, gdje je n redni broj trokutastog broja. Svaki broj se dobija dodavanjem određenog broja bodova prethodnom. Ovo svojstvo je dalo rekurzivnu formulu za trouglaste brojeve: t n = n + t n -1 .

Prvi broj je 1. Sljedeći broj je 4. Dobiva se dodavanjem 3 boda prethodnom broju u obliku pravog ugla kako bi se napravio kvadrat. Formula za kvadratne brojeve je vrlo jednostavna, dolazi od naziva ove grupe brojeva: g n = n 2 . Ali također, pored ove formule, možete izvesti rekurzivnu formulu za kvadratne brojeve. Da biste to učinili, razmotrite prvih pet kvadratnih brojeva:

g n = g n-1 +2n-1

2 = 4 = 1+3 = 1+2 2-1

g 3 = 9 = 4 + 5 \u003d 4 + 2 3-1

g 4 \u003d 16 \u003d 9 + 7 = 9 + 2 4-1

g 5 = 25 = 16 + 9 \u003d 16 + 2 5-1

Prvi broj je 1. Sljedeći broj je 5. Dobiva se zbrajanjem četiri tačke, tako da dobijena figura ima oblik petougla. Jedna strana takvog petougla sadrži 2 tačke. U sljedećem koraku, na jednoj strani će biti 3 točke, ukupan broj bodova je 12. Pokušajmo izvući formulu za izračunavanje peterokutnih brojeva. Prvih pet peterokutnih brojeva su: 1, 5, 12, 22, 35. Formirani su na sljedeći način:

f 2 = 5 = 1 + 4 \u003d 1 + 3 2-2

f n \u003d f n-1 + 3n-2

3 = 12 = 5+7 = 5+3 3-2

f 4 = 22 \u003d 12 + 10 = 12 + 3 4-2

f 5 = 35 = 22 + 13 \u003d 22 + 3 5-2

Prvi broj je 1. Drugi je 6. Figura izgleda kao šestougao sa stranicom od 2 tačke. U trećem koraku, već 15 tačaka je poređano u obliku šesterokuta sa stranicom od 3 tačke. Hajde da izvedemo rekurzivnu formulu:

u n = u n-1 +4n-3

2 = 6=1+4 2-3

u 3 = 15 \u003d 6 + 4 3-3

u 4 = 28 \u003d 15 + 4 4-3

u 5 = 45 \u003d 28 + 4 5-3

Ako pažljivo pogledate, možete vidjeti vezu između svih ponavljajućih formula.

Za trouglaste brojeve: t n = t n -1 + n = t n -1 +1 n -0

Za kvadratne brojeve: g n = g n -1 +2 n -1

Za peterokutne brojeve: f n = f n -1 +3 n -2

Za heksagonalne brojeve: u n = u n -1 +4 n -3

Vidimo da su brojčani brojevi izgrađeni na ponovljivosti: to se jasno vidi u rekurzivnim formulama. Možemo sa sigurnošću reći da brojčani brojevi u osnovi imaju fraktalnu strukturu.

2.3 Pronalaženje veze između fraktala i književnih djela.

Razmotrite fraktal upravo kao umjetničko djelo koje karakteriziraju dvije glavne karakteristike: 1) njegov dio je na neki način sličan cjelini (idealno, ovaj niz sličnosti se proteže do beskonačnosti, iako niko nikada nije vidio istinski beskonačan niz iteracije koje grade Koch pahuljicu; 2) njena percepcija se javlja u nizu ugniježđenih nivoa. Imajte na umu da se čar fraktala upravo pojavljuje na putu duž ovog očaravajućeg i vrtoglavog sistema nivoa, čiji povratak nije zagarantovan.

Kako možete kreirati beskonačan tekst? Ovo pitanje postavio je junak priče H.-L. Borgesa „Bašta staza koje se račvaju”: „... Pitao sam se kako knjiga može biti beskonačna. Ništa mi ne pada na pamet osim cikličkog, kružnog volumena, volumena u kojem posljednja stranica ponavlja prvu, što joj omogućava da se nastavlja u nedogled.

Da vidimo koja bi druga rješenja mogla postojati.

Najjednostavniji beskonačni tekst će biti tekst beskonačnog broja dupliranih elemenata, ili dvostiha, čiji je ponavljajući dio njegov "rep" - isti tekst sa bilo kojim brojem odbačenih početnih dvostiha. Šematski, takav tekst se može prikazati kao stablo koje se ne grana ili kao periodični niz ponavljajućih dvostiha. Jedinica teksta - fraza, strofa ili priča, počinje, razvija se i završava, vraćajući se na početnu tačku, prelaznu tačku na sledeću jedinicu teksta, ponavljajući prvobitnu. Takav tekst se može uporediti sa beskonačnim periodičnim razlomkom: 0,33333 ..., može se napisati i kao 0, (3). Može se vidjeti da odsijecanje "glave" - ​​bilo kojeg broja početnih jedinica, neće ništa promijeniti, a "rep" će se tačno poklapati sa cijelim tekstom.

Beskonačno stablo koje se ne grana je identično samom sebi iz bilo kojeg dvostiha.

Među takvim beskrajnim djelima su pjesme za djecu ili narodne pjesme, kao što je, na primjer, pjesma o svešteniku i njegovom psu iz ruske narodne poezije, ili pjesma M. Yasnova "Strašilo-mijau", koja govori o mačiću koji pjeva o mače koje peva o mačiću. Ili, najkraće: „Svećenik je imao dvorište, bio je kolac u dvorištu, bio je kolac na kocu - zar ne treba da počnemo bajku iz početka? ... Sveštenik je imao dvorište.. .”

Vozim i vidim most, vrana se pokvasi ispod mosta,
Uzeo sam vranu za rep, stavio je na most, pustio vranu da se osuši.
vozim i vidim most, vrana se na mostu suši,
Uzeo sam vranu za rep, stavio je pod most, pustio da se vrana smoči...

Za razliku od beskrajnih dvostiha, fragmenti Mandelbrotovih fraktala još uvijek nisu identični, već slični jedni drugima, a ta kvaliteta im daje očaravajući šarm. Stoga se u proučavanju književnih fraktala nameće zadatak pronalaženja sličnosti, sličnosti (a ne identiteta) elemenata teksta.

U slučaju beskonačnih dvostiha, zamjena identiteta sličnošću je vršena na različite načine. Postoje najmanje dvije mogućnosti: 1) stvaranje pjesama s varijacijama, 2) tekstova sa proširenjima.

Pjesme sa varijacijama su, na primjer, narodna pjesma „Živjela Pegi vesela guska“, koju je pustio u promet S. Nikitin, u kojoj se razlikuju Pegine navike i njihove navike.

Peggy je imala veselu gusku

Znao je sve pjesme napamet.

Ah, kakva vesela guska!

Hajde da plešemo, Peggy, hajde da plešemo!

Peggy je imala smiješno štene

Mogao je plesati uz melodiju.

Ah, kakvo smiješno štene!

Hajde da plešemo, Peggy, hajde da plešemo!

Peggy je imala vitku žirafu

Bio je elegantan kao ormar,

To je bila vitka žirafa!

Hajde da plešemo, Peggy, hajde da plešemo!

Peggy je imala smiješnog pingvina

Isticao je sve marke vina,

Ah, kakav smiješan pingvin!

Hajde da plešemo, Peggy, hajde da plešemo!

Peggy je imala smiješnog slona

Pojeo je sinhrofazotron,

Pa, kakav veseli slon,

Hajde da plešemo, Peggy, hajde da plešemo!

Ako ne beskonačno, onda je već nastao popriličan broj stihova: kažu da je kaseta "Pesme našeg veka" izašla sa dve stotine varijacija pesme, a taj broj verovatno i dalje raste. Ovdje pokušavaju da savladaju beskonačnost istovjetnih stihova na račun zajedničkog stvaralaštva, djetinjastog, naivnog i smiješnog.

Druga mogućnost leži u tekstovima sa "inkrementima". Ovo su bajke o repi ili koloboku poznate nam od djetinjstva, u čijoj se svakoj epizodi broj likova povećava:

"teremok"

Ljuti sažaljenje.
Fly-goryuha, mosquito-piskun.
Muva gorjuha, komarac piskav, miš-uš.
Muva gorjuha, komarac, mišji list, žaba-žaba.
Muha gorjuha, komarac škripavac, mišji list, žaba-žaba, zečić koji skače.
Muva gorjuha, komarac škripavac, miš-list, žaba-žaba, zeko skače, lisica-sestra.
Muha gorjuha, komarac škripavac, miš-uš, žaba-žaba, zečić koji skače, lisica-sestra, vučji sivi rep.
Muha gorjuha, komarac piskav, miš-uš, žaba-žaba, zeko skače, lisica-sestra, vučji sivi rep, medvjed, sve zgnječiš.

Takvi tekstovi imaju strukturu "božićno drvce" ili "Matrjošku", u kojoj svaki nivo ponavlja prethodni uz povećanje veličine slike.

Poetsko djelo u kojem se svaki kuplet može čitati samostalno, kao zaseban „kat“ božićne jelke, ali i zajedno, čineći tekst koji se razvija od jednog do drugog, a dalje do prirode, svijeta i svemira. kreirala T. Vasilyeva:

Sada, mislim, možemo zaključiti da postoje književna djela koja imaju fraktalnu strukturu.

3. Praktična primjena fraktala

Fraktali nalaze sve više primjena u nauci. Glavni razlog za to je što oni opisuju stvarni svijet ponekad čak i bolje od tradicionalne fizike ili matematike. Evo nekoliko primjera:

RAČUNARSKI SISTEMI

Najkorisnija upotreba fraktala u informatici je fraktalna kompresija podataka. Ova vrsta kompresije zasniva se na činjenici da je stvarni svijet dobro opisan fraktalnom geometrijom. Istovremeno, slike se kompresuju mnogo bolje nego što se to radi konvencionalnim metodama (kao što su jpeg ili gif). Još jedna prednost fraktalne kompresije je da kada se slika uveća, nema efekta pikselizacije (povećanje veličine tačaka do veličina koje iskrivljuju sliku). Sa fraktalnom kompresijom, nakon povećanja, slika često izgleda čak i bolje nego prije.

MEHANIKA FLUIDA

1. Proučavanje turbulencije u tokovima se vrlo dobro prilagođava fraktalima. Turbulentni tokovi su haotični i stoga ih je teško precizno modelirati. I tu pomaže prijelaz na fraktalni prikaz. To uvelike olakšava rad inženjerima i fizičarima, omogućavajući im da bolje razumiju dinamiku složenih tokova.

2. Plamen se također može modelirati korištenjem fraktala.

3. Porozni materijali su dobro predstavljeni u fraktalnom obliku zbog činjenice da imaju vrlo složenu geometriju. Koristi se u nauci o nafti.

TELEKOMUNIKACIJE

Za prijenos podataka na udaljenosti koriste se antene fraktalnog oblika, što uvelike smanjuje njihovu veličinu i težinu.

FIZIKA POVRŠINA

Fraktali se koriste za opisivanje zakrivljenosti površina. Neravnu površinu karakterizira kombinacija dva različita fraktala.

LIJEK

1. Interakcije biosenzora.

2. Srce koje kuca

BIOLOGIJA

Modeliranje haotičnih procesa, posebno u opisu populacionih modela.

4. Zaključak

4.1 Nalazi studije

U mom radu nisu date sve oblasti ljudskog znanja u kojima je teorija fraktala našla svoju primenu. Želim samo da kažem da nije prošlo više od jedne trećine stoljeća od nastanka teorije, ali za to vrijeme fraktali su za mnoge istraživače postali iznenadna jarka svjetlost u noći, koja je rasvijetlila do sada nepoznate činjenice i obrasce u konkretnim oblasti podataka. Koristeći teoriju fraktala, počeli su da objašnjavaju evoluciju galaksija i razvoj ćelije, nastanak planina i formiranje oblaka, kretanje cijena na berzi i razvoj društva i porodice. Možda je u početku ta strast za fraktalima bila čak i previše burna i pokušaji da se sve objasni korištenjem teorije fraktala bili su neopravdani. Ali, bez sumnje, ova teorija ima pravo na postojanje.

U svom radu prikupio sam zanimljive informacije o fraktalima, njihovim vrstama, dimenzijama i svojstvima, njihovoj primjeni, kao i o Pascalovom trokutu, kovrčavim brojevima, zlatnom rezu, fraktalnim književnim djelima i još mnogo toga.

Tokom studije urađeni su sljedeći radovi:

Analizirana je i razrađena literatura na temu istraživanja.

Razmatraju se i proučavaju različite vrste fraktala.

Za početno upoznavanje svijeta fraktala sastavljena je kolekcija fraktalnih slika.

Utvrđene su veze između fraktala i Pascalovog trougla, književnih djela, kovrčavih brojeva i zlatnog preseka.

Bio sam uvjeren da oni koji se bave fraktalima otkrivaju divan, divan svijet u kojem caruju matematika, priroda i umjetnost. Mislim da ćete se nakon upoznavanja sa mojim radom i vi, kao i ja, uvjeriti da je matematika lijepa i nevjerovatna.

5. Bibliografija:

1. Bozhokin S.V., Parshin D.A. Fraktali i multifraktali. Izhevsk: Istraživački centar "Regularna i haotična dinamika", 2001. - 128 str.

2. Voloshinov A. V. Matematika i umjetnost: knj. za one koji ne samo da vole matematiku i umjetnost, već žele i razmišljati o prirodi ljepote i ljepoti nauke. 2. izdanje, revidirano. i dodatne - M.: Obrazovanje, 2000. - 399s.

3. M. A. Gardner, Boring Mathematics. Kaleidoskop zagonetki. M.: AST: Astrel, 2008. - 288s.: ilustr.

4. Grinchenko V.T., Matsypura V.T., Snarsky A.A. Uvod u nelinearnu dinamiku. Haos i fraktal
. Izdavač: LKI, 2007, 264 str.

5. Litinsky G.I. Funkcije i grafovi. 2. izdanje. - M.: Aslan, 1996. - 208 str.: ilustr.

6. Morozov AD Uvod u teoriju fraktala. Izdavač: Nižnji Novgorod University Press, 2004

7. Richard M. Kronover Fraktali i haos u dinamičkim sistemima Uvod u fraktale i haos.
Izdavač: Tehnosfera, 2006, 488 str.

8. okolina USmir kao čvrsta tela sa jasno definisanim... Pronađite program za oblikovanje i gledanje fraktali, istražite i izgradite više fraktali. Literatura 1.A.I.Azevich "Dvadeset ...

Opštinska budžetska obrazovna ustanova

"Siverskaya srednja škola br. 3"

Istraživanja

matematike.

Uradio posao

Učenik 8. razreda

Emelin Pavel

naučni savetnik

nastavnik matematike

Tupitsyna Natalya Alekseevna

str Siversky

godina 2014

Matematika je sva prožeta lepotom i harmonijom,

Samo treba da vidite ovu lepotu.

B. Mandelbrot

Uvod

Poglavlje 1. Istorija nastanka fraktala _______ 5-6 str.

Poglavlje 2. Klasifikacija fraktala.____________________6-10str.

geometrijski fraktali

Algebarski fraktali

Stohastički fraktali

Poglavlje 3. "Fraktalna geometrija prirode" ______ 11-13 str.

Poglavlje 4. Primjena fraktala _______________13-15str.

Poglavlje 5 Praktični rad __________________ 16-24 str.

Zaključak________________________________25.str

Spisak literature i Internet izvora _______ 26 str.

Uvod

Matematika,

ako dobro pogledaš,

ne odražava samo istinu,

ali i neuporedivu lepotu.

Bertrand Russell

Riječ "fraktal" je nešto o čemu mnogi ljudi pričaju ovih dana, od naučnika do srednjoškolaca. Pojavljuje se na koricama mnogih udžbenika matematike, naučni časopisi i kutije sa kompjuterskim softverom. Slike fraktala u boji danas se mogu naći svuda: od razglednica, majica do slika na desktopu personalnog računara. Dakle, koji su to obojeni oblici koje vidimo okolo?

Matematika je najstarija nauka. Većini ljudi se činilo da je geometrija u prirodi ograničena na tako jednostavne oblike kao što su linija, krug, poligon, sfera i tako dalje. Kako se pokazalo, mnogi prirodni sistemi su toliko složeni da korištenje samo poznatih objekata obične geometrije za njihovo modeliranje izgleda beznadežno. Kako, na primjer, izgraditi model planinskog lanca ili krošnje drveća u smislu geometrije? Kako opisati raznolikost biološke raznolikosti koju opažamo u svijetu biljaka i životinja? Kako zamisliti svu složenost krvožilnog sistema, koji se sastoji od mnogih kapilara i sudova i koji isporučuje krv u svaku ćeliju ljudskog tijela? Zamislite strukturu pluća i bubrega, nalik drveću sa granatom krošnjom?

Fraktali su pogodno sredstvo za istraživanje postavljenih pitanja. Često nas ono što vidimo u prirodi zaintrigira beskonačnim ponavljanjem istog obrasca, uvećanog ili smanjenog za nekoliko puta. Na primjer, drvo ima grane. Ove grane imaju manje grane i tako dalje. Teoretski, element "vilice" se ponavlja beskonačno mnogo puta, postajući sve manji i manji. Ista stvar se može vidjeti kada se pogleda fotografija planinskog terena. Pokušajte malo zumirati planinski lanac --- ponovo ćete vidjeti planine. Tako se manifestuje svojstvo samosličnosti karakteristično za fraktale.

Proučavanje fraktala otvara divne mogućnosti, kako u proučavanju beskonačnog broja primjena, tako i na polju matematike. Upotreba fraktala je veoma široka! Uostalom, ovi objekti su toliko lijepi da ih koriste dizajneri, umjetnici, uz pomoć njih se u grafiku crtaju mnogi elementi drveća, oblaka, planina itd. Ali fraktali se čak koriste i kao antene u mnogim mobilnim telefonima.

Za mnoge haologe (naučnike koji proučavaju fraktale i haos) ovo nije samo novo polje znanja koje kombinuje matematiku, teorijsku fiziku, umjetnost i kompjutersku tehnologiju – ovo je revolucija. Ovo je otkriće nove vrste geometrije, geometrije koja opisuje svijet oko nas i koja se može vidjeti ne samo u udžbenicima, već iu prirodi i svuda u bezgraničnom svemiru..

U svom radu odlučila sam i da „dodirnem“ svet lepote i opredelila sam se za sebe…

Cilj: stvaranje objekata koji su vrlo slični prirodi.

Metode istraživanja Ključne riječi: komparativna analiza, sinteza, modeliranje.

Zadaci:

upoznavanje sa pojmom, istorijom nastanka i istraživanja B. Mandelbrota,

G. Koch, V. Sierpinsky i drugi;

upoznavanje sa razne vrste fraktalni skupovi;

proučavanje naučnopopularne literature o ovom pitanju, upoznavanje sa

naučne hipoteze;

pronalaženje potvrde teorije fraktalnosti okolnog svijeta;

proučavanje upotrebe fraktala u drugim naukama i praksi;

provođenje eksperimenta za stvaranje vlastitih fraktalnih slika.

Osnovno pitanje posla:

Pokazati da matematika nije suhoparan predmet bez duše, da može izraziti duhovni svijet čovjeka pojedinačno i društva u cjelini.

Predmet studija: Fraktalna geometrija.

Predmet proučavanja: fraktali u matematici i stvarnom svijetu.

Hipoteza: Sve što postoji u stvarnom svijetu je fraktal.

Metode istraživanja: analitička, pretraga.

Relevantnost deklarisane teme određuje, prije svega, predmet istraživanja, a to je fraktalna geometrija.

Očekivani rezultati: U toku rada moći ću da proširim svoja znanja iz oblasti matematike, uvidim ljepotu fraktalne geometrije i počnem raditi na stvaranju vlastitih fraktala.

Rezultat rada će biti izrada kompjuterske prezentacije, biltena i knjižice.

Poglavlje 1

Benoit Mandelbrot

Termin "fraktal" skovao je Benoit Mandelbrot. Riječ dolazi od latinskog fractus, što znači "slomljen, razbijen".

Fraktal (lat. fractus - zgnječen, slomljen, slomljen) - pojam koji označava složenu geometrijsku figuru sa svojstvom samosličnosti, odnosno sastavljenu od više dijelova, od kojih je svaki sličan cijeloj figuri u cjelini.

Matematički objekti na koje se odnosi odlikuju se izuzetno zanimljivim svojstvima. U običnoj geometriji, linija ima jednu dimenziju, površina ima dvije dimenzije, a prostorna figura je trodimenzionalna. Fraktali, s druge strane, nisu linije ili površine, već, ako možete zamisliti, nešto između. S povećanjem veličine, volumen fraktala se također povećava, ali njegova dimenzija (eksponent) nije cijeli broj, već razlomka, pa stoga granica fraktalne figure nije linija: pri velikom povećanju postaje jasna da je zamagljen i sastoji se od spirala i kovrča, ponavljajući u malom razmjeru same figure. Takva geometrijska pravilnost naziva se invarijantnost skale ili samosličnost. Ona je ta koja određuje frakcijsku dimenziju fraktalnih figura.

Prije pojave fraktalne geometrije, nauka se bavila sistemima sadržanim u tri prostorne dimenzije. Zahvaljujući Ajnštajnu, postalo je jasno da je trodimenzionalni prostor samo model stvarnosti, a ne sama stvarnost. U stvari, naš svijet se nalazi u četverodimenzionalnom prostor-vremenskom kontinuumu.
Zahvaljujući Mandelbrotu, postalo je jasno kako izgleda četverodimenzionalni prostor, figurativno rečeno, fraktalno lice Haosa. Benoit Mandelbrot je otkrio da četvrta dimenzija uključuje ne samo prve tri dimenzije, već i (ovo je vrlo važno!) intervale između njih.

Rekurzivna (ili fraktalna) geometrija zamjenjuje Euklidsku. Nova nauka je u stanju da opiše pravu prirodu tela i pojava. Euklidska geometrija se bavila samo vještačkim, imaginarnim objektima koji pripadaju tri dimenzije. Samo ih četvrta dimenzija može pretvoriti u stvarnost.

Tečnost, gas, čvrsta su tri uobičajena fizička stanja materije koja postoje u trodimenzionalnom svetu. Ali koja je dimenzija oblačića dima, oblaka, odnosno njihovih granica, neprestano zamagljenih turbulentnim kretanjem zraka?

U osnovi, fraktali se dijele u tri grupe:

Algebarski fraktali

Stohastički fraktali

geometrijski fraktali

Pogledajmo pobliže svaki od njih.

Poglavlje 2. Klasifikacija fraktala

geometrijski fraktali

Benoit Mandelbrot je predložio fraktalni model, koji je već postao klasičan i često se koristi za demonstriranje i tipičnog primjera samog fraktala i za demonstraciju ljepote fraktala, što također privlači istraživače, umjetnike i ljude koji su jednostavno zainteresirani.

Sa njima je započela istorija fraktala. Ova vrsta fraktala se dobija jednostavnim geometrijskim konstrukcijama. Obično se pri konstruisanju ovih fraktala postupi na sledeći način: uzima se "seme" - aksiom - skup segmenata, na osnovu kojih će se graditi fraktal. Dalje, skup pravila se primjenjuje na ovo "sjeme", koje ga pretvara u neku geometrijsku figuru. Nadalje, isti skup pravila se ponovo primjenjuje na svaki dio ove figure. Svakim korakom figura će postajati sve složenija, a ako izvršimo (barem u umu) beskonačan broj transformacija, dobit ćemo geometrijski fraktal.

Fraktali ove klase su najvizuelniji, jer im je odmah vidljiva samosličnost na bilo kojoj skali posmatranja. U dvodimenzionalnom slučaju, takvi se fraktali mogu dobiti specificiranjem neke izlomljene linije, koja se zove generator. U jednom koraku algoritma, svaki od segmenata koji čine isprekidanu liniju zamjenjuje se izlomljenom linijom-generatorom, u odgovarajućoj mjeri. Kao rezultat beskonačnog ponavljanja ovog postupka (ili, preciznije, pri prelasku do granice), dobija se fraktalna kriva. Sa prividnom složenošću rezultirajuće krive, njegova opšti oblik daje samo oblik generatora. Primjeri takvih krivulja su: Kochova kriva (Sl.7), Peano kriva (Sl.8), kriva Minkowskog.

Početkom 20. veka matematičari su tražili krivulje koje ni u jednoj tački nisu imale tangentu. To je značilo da je kriva naglo promenila svoj pravac, i štaviše, enormno velikom brzinom (izvod je jednak beskonačnosti). Potraga za ovim krivuljama nije bila uzrokovana samo praznim zanimanjem matematičara. Činjenica je da se početkom 20. vijeka kvantna mehanika razvijala vrlo brzo. Istraživač M. Brown je skicirao putanju suspendiranih čestica u vodi i objasnio ovu pojavu na sljedeći način: nasumično pokretni tečni atomi udaraju u suspendirane čestice i time ih pokreću. Nakon takvog objašnjenja Brownovog kretanja, naučnici su se suočili sa zadatkom pronalaženja krive koja bi najbolje prikazala kretanje Brownovih čestica. Da bi se to postiglo, kriva je morala zadovoljiti sljedeća svojstva: da nema tangentu ni u jednoj tački. Matematičar Koch je predložio jednu takvu krivu.

Kochova kriva je tipičan geometrijski fraktal. Proces njegove konstrukcije je sljedeći: uzmemo jedan segment, podijelimo ga na tri jednaka dijela i zamijenimo srednji interval jednakostraničnim trouglom bez ovog segmenta. Kao rezultat, formira se isprekidana linija koja se sastoji od četiri karike dužine 1/3. U sljedećem koraku ponavljamo operaciju za svaku od četiri rezultirajuće veze, i tako dalje...

Granična kriva je Kochova kriva.

Snowflake Koch. Izvođenjem slične transformacije na stranicama jednakostraničnog trokuta, možete dobiti fraktalnu sliku Kochove pahulje.

Također, još jedan jednostavan predstavnik geometrijskog fraktala je Sierpinski trg. Izgrađen je prilično jednostavno: kvadrat je podijeljen pravim linijama paralelnim sa njegovim stranicama na 9 jednakih kvadrata. Centralni trg je uklonjen sa trga. Ispada set koji se sastoji od 8 preostalih kvadrata "prvog ranga". Učinivši isto sa svakim od kvadrata prvog ranga, dobijamo skup koji se sastoji od 64 polja drugog ranga. Nastavljajući ovaj proces beskonačno, dobijamo beskonačan niz ili kvadrat Sierpinskog.

Algebarski fraktali

Ovo je najveća grupa fraktala. Algebarski fraktali su dobili ime jer su izgrađeni pomoću jednostavnih algebarskih formula.

Dobijaju se nelinearnim procesima u n-dimenzionalni prostori. Poznato je da nelinearni dinamički sistemi imaju nekoliko stabilnih stanja. Stanje u kojem je bio dinamički sistem nakon određenog broja iteracija, zavisi od njegovog početnog stanja. Dakle, svako stabilno stanje (ili, kako kažu, atraktor) ima određeno područje početnih stanja, iz kojih će sistem nužno pasti u razmatrana konačna stanja. Tako je fazni prostor sistema podijeljen na područja privlačnosti atraktori. Ako je fazni prostor dvodimenzionalan, tada se bojanjem privlačnih područja različitim bojama može dobiti fazni portret u boji ovaj sistem (iterativni proces). Promjenom algoritma odabira boja, možete dobiti složene fraktalne uzorke s otmjenim višebojnim uzorcima. Iznenađenje za matematičare bila je mogućnost generiranja vrlo složenih struktura korištenjem primitivnih algoritama.

Kao primjer, razmotrite Mandelbrotov skup. Izgrađen je korištenjem kompleksnih brojeva.

Dio granice Mandelbrotovog skupa, uvećan 200 puta.

Mandelbrotov skup sadrži tačke koje tokombeskrajno broj iteracija ne ide u beskonačnost (tačke koje su crne). Tačke koje pripadaju granici skupa(tu nastaju složene strukture) idu u beskonačnost u konačnom broju iteracija, a tačke koje leže izvan skupa idu u beskonačnost nakon nekoliko iteracija (bijela pozadina).

Primjer drugog algebarskog fraktala je Julia skup. Postoje 2 varijante ovog fraktala. Iznenađujuće, Julijini skupovi se formiraju prema istoj formuli kao i Mandelbrotov skup. Julia skup je izumio francuski matematičar Gaston Julia, po kome je skup i dobio ime.

Zanimljiva činjenica, neki algebarski fraktali upadljivo podsjećaju na slike životinja, biljaka i drugih bioloških objekata, zbog čega se nazivaju biomorfi.

Stohastički fraktali

Druga dobro poznata klasa fraktala su stohastički fraktali, koji se dobijaju ako se bilo koji od njegovih parametara nasumično promijeni u iterativnom procesu. To rezultira objektima vrlo sličnim prirodnim - asimetrično drveće, razvedene obale itd.

Tipičan predstavnik ove grupe fraktala je "plazma".

Za njegovu izgradnju uzima se pravougaonik i određuje se boja za svaki njegov kut. Zatim se pronađe središnja tačka pravougaonika i boji se u boju koja je jednaka aritmetičkoj sredini boja na uglovima pravougaonika plus neki slučajni broj. Što je veći slučajni broj, slika će biti više "pocepana". Ako pretpostavimo da je boja tačke visina iznad nivoa mora - umjesto plazme dobijamo - planinski lanac. Na ovom principu su planine modelirane u većini programa. Koristeći algoritam sličan plazmi, gradi se visinska karta, na nju se primjenjuju različiti filteri, nanosi se tekstura i fotorealistične planine su spremne.

Ako pogledate ovaj fraktal u odeljku, onda ćemo videti da je ovaj fraktal obiman, i da ima „hrapavost“, upravo zbog te „hrapavosti“ postoji veoma važna primena ovog fraktala.

Recimo da želite da opišete oblik planine. Obične figure iz euklidske geometrije ovdje neće pomoći, jer ne uzimaju u obzir topografiju površine. Ali kada kombinujete konvencionalnu geometriju sa fraktalnom geometrijom, možete dobiti samu "hrapavost" planine. Plazma se mora nanijeti na običan konus i dobićemo reljef planine. Takve operacije se mogu izvoditi sa mnogim drugim objektima u prirodi, zahvaljujući stohastičkim fraktalima, sama priroda se može opisati.

Hajde sada da pričamo o geometrijskim fraktalima.

.

Poglavlje 3 "Fraktalna geometrija prirode"

Zašto se geometrija često naziva "hladna" i "suva"? Jedan od razloga je njena nesposobnost da opiše oblik oblaka, planine, obale ili drveta. Oblaci nisu kugle, planine nisu stošci, obale nisu krugovi, drvo kora nije glatka, već složenost na potpuno drugom nivou. Broj različitih dužinskih skala prirodnih objekata za sve praktične svrhe je beskonačan."

(Benoit Mandelbrot "Fraktalna geometrija prirode" ).

Ljepota fraktala je dvostruka: oduševljava oko, o čemu svjedoči barem svjetska izložba fraktalnih slika, koju je organizirala grupa bremenskih matematičara pod vodstvom Peitgena i Richtera. Kasnije su eksponati ove grandiozne izložbe uslikani u ilustracijama za knjigu "Ljepota fraktala" istih autora. Ali postoji još jedan, apstraktniji ili uzvišeniji, aspekt ljepote fraktala, otvoren, prema R. Feynmanu, samo mentalnom pogledu teoretičara, u tom smislu, fraktali su lijepi ljepotom teškog matematičkog problema. Benoit Mandelbrot je svojim savremenicima (a valjda i potomcima) ukazao na nesrećnu prazninu u Euklidovim elementima, prema kojima je, ne primjećujući izostavljanje, skoro dva milenijuma čovječanstvo poimalo geometriju okolnog svijeta i naučilo matematičku strogost prezentacija. Naravno, oba aspekta ljepote fraktala su usko povezana i ne isključuju, već se međusobno nadopunjuju, iako je svaki od njih sam sebi dovoljan.

Fraktalna geometrija prirode, prema Mandelbrotu, je prava geometrija koja zadovoljava definiciju geometrije predloženu u "Erlangenskom programu" F. Kleina. Činjenica je da je prije pojave neeuklidske geometrije, N.I. Lobačevskog – L. Boljaja, postojala je samo jedna geometrija – ona koja je izložena u „Počecima“, a pitanje šta je geometrija, a koja od geometrija geometrija stvarnog sveta nije se postavljalo, niti moglo nastati. Ali sa pojavom još jedne geometrije, postavilo se pitanje šta je geometrija uopšte i koja od mnogih geometrija odgovara stvarnom svetu. Prema F. Kleinu, geometrija proučava takva svojstva objekata koja su invarijantna prema transformacijama: Euklidske - invarijante grupe kretanja (transformacije koje ne mijenjaju udaljenost između bilo koje dvije tačke, tj. predstavljaju superpoziciju paralelnih translacija i rotacija sa ili bez promjene orijentacije), geometrija Lobačevskog-Boljaja - invarijante Lorencove grupe. Fraktalna geometrija se bavi proučavanjem invarijanti grupe samoafinih transformacija, tj. svojstva izražena zakonima moći.

Što se tiče korespondencije sa realnim svijetom, fraktalna geometrija opisuje vrlo široku klasu prirodnih procesa i pojava, te stoga možemo, slijedeći B. Mandelbrota, s pravom govoriti o fraktalnoj geometriji prirode. Novi - fraktalni objekti imaju neobična svojstva. Dužine, površine i zapremine nekih fraktala jednaki su nuli, drugi se okreću u beskonačnost.

Priroda često stvara nevjerovatne i lijepe fraktale, savršene geometrije i takvog sklada da se jednostavno smrznete od divljenja. A evo i njihovih primjera:

morske školjke

Munja diveći se njihovoj lepoti. Fraktali stvoreni munjom nisu slučajni ili pravilni.

fraktalni oblik podvrste karfiola(Brassica cauliflora). Ova posebna vrsta je posebno simetričan fraktal.

Fern je također dobar primjer fraktala među florom.

Paunovi svi su poznati po svom šarenom perju, u kojem se kriju čvrsti fraktali.

Led, mraza na prozorima su i to fraktali

Sa uvećane slike letak, prije grane drveća- fraktale možete pronaći u svemu

Fraktali su svuda i svuda u prirodi oko nas. Čitav univerzum je izgrađen prema iznenađujuće skladnim zakonima s matematičkom preciznošću. Da li je nakon toga moguće misliti da je naša planeta nasumična gomila čestica? Teško.

Poglavlje 4

Fraktali nalaze sve više primjena u nauci. Glavni razlog za to je što oni opisuju stvarni svijet ponekad čak i bolje od tradicionalne fizike ili matematike. Evo nekoliko primjera:

Neke od najmoćnijih primjena fraktala leže u kompjuterska grafika. Ovo je fraktalna kompresija slika. Moderna fizika i mehanika tek počinju proučavati ponašanje fraktalnih objekata.

Prednosti algoritama fraktalne kompresije slike su vrlo mala veličina upakovane datoteke i kratko vrijeme oporavka slike. Fraktalno upakovane slike mogu se skalirati bez pojave pikselizacije (loš kvalitet slike - veliki kvadrati). Ali proces kompresije traje dugo i ponekad traje satima. Algoritam fraktalnog pakovanja sa gubicima omogućava vam da postavite nivo kompresije, slično jpeg formatu. Algoritam se temelji na traženju velikih dijelova slike sličnih nekim malim dijelovima. I samo koji komad je sličan kojem se upisuje u izlaznu datoteku. Prilikom sažimanja obično se koristi kvadratna mreža (komadići su kvadrati), što dovodi do blagog ugla pri obnavljanju slike, heksagonalna mreža nema takvog nedostatka.

Iterated je razvio novi format slike, "Sting", koji kombinuje fraktalnu i "talasnu" (kao što je jpeg) kompresiju bez gubitaka. Novi format omogućava kreiranje slika s mogućnošću naknadnog visokokvalitetnog skaliranja, a volumen grafičkih datoteka je 15-20% volumena nekomprimiranih slika.

U mehanici i fizici fraktali se koriste zbog jedinstvenog svojstva da ponavljaju obrise mnogih prirodnih objekata. Fraktali vam omogućavaju da aproksimirate drveće, planinske površine i pukotine sa većom preciznošću od aproksimacija sa segmentima linija ili poligonima (sa istom količinom pohranjenih podataka). Fraktalni modeli, kao i prirodni objekti, imaju "hrapavost", a ovo svojstvo je očuvano pri proizvoljno velikom povećanju modela. Prisustvo uniformne mjere na fraktalima omogućava primjenu integracije, teorije potencijala, da se oni koriste umjesto standardnih objekata u već proučavanim jednačinama.

Fraktalna geometrija se takođe koristi dizajn antenskih uređaja. To je prvi primijenio američki inženjer Nathan Cohen, koji je tada živio u centru Bostona, gdje je ugradnja na zgrade bila zabranjena. eksterne antene. Cohen je izrezao oblik Kochove krivulje od aluminijske folije i zatim ga zalijepio na komad papira prije nego što ga je pričvrstio na prijemnik. Ispostavilo se da takva antena ne radi ništa gore od konvencionalne. I iako fizički principi takve antene do sada nisu proučavani, to nije spriječilo Cohena da osnuje vlastitu kompaniju i pokrene njihovu serijsku proizvodnju. Trenutno je američka kompanija “Fractal Antenna System” razvila novi tip antene. Sada možete prestati koristiti isturene vanjske antene u mobilnim telefonima. Takozvana fraktalna antena nalazi se direktno na glavnoj ploči unutar uređaja.

Postoje i mnoge hipoteze o upotrebi fraktala - na primjer, limfni i cirkulatorni sistemi, pluća i još mnogo toga također imaju fraktalna svojstva.

Poglavlje 5. Praktični rad.

Prvo, fokusirajmo se na fraktale "Ogrlica", "Pobjeda" i "Kvadrat".

Prvo - "Ogrlica"(Sl. 7). Krug je pokretač ovog fraktala. Ovaj krug se sastoji od određenog broja istih krugova, ali manjih, i jedan je od nekoliko krugova koji su isti, ali velike veličine. Dakle, proces obrazovanja je beskrajan i može se odvijati i u jednom i u suprotnom smjeru. One. lik se može povećati uzimanjem samo jednog malog luka, ili se može smanjiti razmatranjem njegove konstrukcije od manjih.

pirinač. 7.

Fraktal "Ogrlica"

Drugi fraktal je "pobjeda"(Sl. 8). Ovo ime je dobio jer spolja podsjeća na latinično slovo "V", odnosno "pobjeda"-pobjeda. Ovaj fraktal se sastoji od određenog broja malih "v", koji čine jedno veliko "V", au lijevu polovinu, u kojoj su male smještene tako da njihove lijeve polovine čine jednu pravu liniju, ugrađuje se desni dio na isti način. Svaki od ovih "v" je izgrađen na isti način i nastavlja to do beskonačnosti.

Fig.8. Fraktal "Pobjeda"

Treći fraktal je "Kvadrat" (sl. 9). Svaka njegova stranica sastoji se od jednog reda ćelija, u obliku kvadrata, čije stranice također predstavljaju redove ćelija itd.

Slika 9. Fraktal "Kvadrat"

Fraktal je nazvan "Ruža" (slika 10), zbog vanjske sličnosti sa ovim cvijetom. Konstrukcija fraktala povezana je sa konstrukcijom niza koncentričnih krugova čiji se polumjer mijenja proporcionalno datom omjeru (u ovom slučaju R m / R b = ¾ = 0,75.). Nakon toga, u svaki krug je upisan pravilan šesterokut čija je stranica jednaka polumjeru kruga opisanog oko njega.

Rice. 11. Fraktal "Ruža*"

Zatim se okrećemo pravilnom pentagonu, u kojem crtamo njegove dijagonale. Zatim, u pentagonu dobijenom na sjecištu odgovarajućih segmenata, ponovo crtamo dijagonale. Nastavimo ovaj proces do beskonačnosti i dobijemo fraktal "Pentagram" (slika 12).

Hajde da uvedemo element kreativnosti i naš fraktal će poprimiti oblik vizuelnijeg objekta (slika 13).

Rice. 12. Fraktal "Pentagram".

Rice. 13. Fraktal "Pentagram *"

Rice. 14 fraktal "Crna rupa"

Eksperiment br. 1 "Drvo"

Sada kada sam shvatio šta je fraktal i kako da ga izgradim, pokušao sam da kreiram sopstvene fraktalne slike. U Adobe Photoshopu sam napravio mali potprogram ili akciju, posebnost ove akcije je u tome što ponavlja radnje koje ja radim i tako dobijam fraktal.

Za početak, napravio sam pozadinu za naš budući fraktal sa rezolucijom 600 x 600. Zatim sam nacrtao 3 linije na ovoj pozadini - osnovu našeg budućeg fraktala.

OD Sljedeći korak je pisanje skripte.

dupli sloj ( sloj > duplikat) i promijenite vrstu mješavine u " Ekran" .

nazovimo ga" fr1". Duplirajte ovaj sloj (" fr1") još 2 puta.

Sada se moramo prebaciti na posljednji sloj (fr3) i spoji ga dvaput sa prethodnim ( ctrl+e). Smanjite svjetlinu sloja ( Slika > Podešavanja > Svjetlina/kontrast , podešena svjetlina 50% ). Ponovo spojite s prethodnim slojem i odrežite rubove cijelog crteža kako biste uklonili nevidljive dijelove. Kopirao sam ovu sliku, smanjio je i zalijepio na drugu, mijenjajući boju.

Kao posljednji korak, kopirao sam ovu sliku i zalijepio je smanjenu veličinu i rotirao. Evo krajnjeg rezultata.

Zaključak

Ovaj rad predstavlja uvod u svijet fraktala. Razmotrili smo samo najmanji dio onoga što su fraktali, na osnovu kojih principa se grade.

Fraktalna grafika nije samo skup slika koje se samoponavljaju, ona je model strukture i principa svakog bića. Cijeli naš život predstavljen je fraktalima. Sva priroda oko nas sastoji se od njih. Treba napomenuti široku upotrebu fraktala u kompjuterske igrice, gdje su tereni često fraktalne slike zasnovane na trodimenzionalnim modelima složenih skupova. Fraktali uvelike olakšavaju crtanje kompjuterske grafike, uz pomoć fraktala nastaju mnogi specijalni efekti, razne fantastične i nevjerovatne slike itd. Također, uz pomoć fraktalne geometrije crtaju se drveće, oblaci, obale i sva druga priroda. Fraktalna grafika je svuda potrebna, a razvoj "fraktalnih tehnologija" jedan je od najvažnijih zadataka današnjice.

U budućnosti planiram naučiti kako graditi algebarske fraktale kada detaljnije proučavam kompleksne brojeve. Takođe želim da pokušam da izgradim svoju fraktalnu sliku u programskom jeziku Pascal koristeći cikluse.

Treba napomenuti upotrebu fraktala u kompjuterskoj tehnologiji, pored jednostavnog građenja prelepih slika na ekranu računara. Fraktali u računarskoj tehnologiji koriste se u sledećim oblastima:

1. Komprimirajte slike i informacije

2. Skrivanje informacija u slici, u zvuku, ...

3. Šifriranje podataka korištenjem fraktalnih algoritama

4. Kreiranje fraktalne muzike

5. Modeliranje sistema

U našem radu nisu date sve oblasti ljudskog znanja u kojima je teorija fraktala našla svoju primenu. Želimo samo reći da nije prošlo više od trećine stoljeća od nastanka teorije, ali su za to vrijeme fraktali za mnoge istraživače postali iznenadna jarka svjetlost u noći, koja je rasvijetlila do sada nepoznate činjenice i obrasce u konkretnim oblasti podataka. Koristeći teoriju fraktala, počeli su da objašnjavaju evoluciju galaksija i razvoj ćelije, nastanak planina i formiranje oblaka, kretanje cijena na berzi i razvoj društva i porodice. Možda je u početku ta strast za fraktalima bila čak i previše burna i pokušaji da se sve objasni korištenjem teorije fraktala bili su neopravdani. Ali, bez sumnje, ova teorija ima pravo na postojanje i žalimo što je u posljednje vrijeme nekako zaboravljena i ostala na sudu elite. U pripremi ovog rada bilo nam je veoma interesantno pronaći primjenu TEORIJE u PRAKSI. Jer vrlo često postoji osjećaj da teorijsko znanje stoji odvojeno od realnosti života.

Dakle, koncept fraktala postaje ne samo dio "čiste" nauke, već i element ljudske kulture. Fraktalna nauka je još uvek veoma mlada i pred njom je velika budućnost. Ljepota fraktala još nije iscrpljena i još će nam dati mnoga remek-djela – ona koja oduševljavaju oko, i ona koja donose istinsko zadovoljstvo umu.

10. Reference

Bozhokin S.V., Parshin D.A. Fraktali i multifraktali. RHD 2001 .

Vitolin D. Upotreba fraktala u kompjuterskoj grafici. // Computerworld-Russia.-1995

Mandelbrot B. Samoafini fraktalni skupovi, "Fraktali u fizici". M.: Mir 1988

Mandelbrot B. Fraktalna geometrija prirode. - M.: "Institut za kompjuterska istraživanja", 2002.

Morozov A.D. Uvod u teoriju fraktala. Nižnji Novgorod: Izdavačka kuća Nižegorod. univerzitet 1999

Paytgen H.-O., Richter P. H. Ljepota fraktala. - M.: "Mir", 1993.

Internet resursi

http://www.ghcube.com/fractals/determin.html

http://fractals.nsu.ru/fractals.chat.ru/

http://fractals.nsu.ru/animations.htm

http://www.cootey.com/fractals/index.html

http://fraktals.ucoz.ru/publ

http://sakva.narod.ru

http://rusnauka.narod.ru/lib/author/kosinov_n/12/

http://www.cnam.fr/fractals/

http://www.softlab.ntua.gr/mandel/

http://subscribe.ru/archive/job.education.maths/201005/06210524.html

Već smo pisali o tome kako je apstraktna matematička teorija haosa našla primjenu u raznim naukama – od fizike do ekonomije i političkih nauka. Sada ćemo dati još jedan sličan primjer - teoriju fraktala. Ne postoji stroga definicija pojma „fraktala“ čak ni u matematici. Oni tako nešto kažu, naravno. Ali “obična osoba” to ne razumije. Šta kažete na, na primjer, ovu frazu: "Fraktal je skup s frakcijskom Hausdorffovom dimenzijom, koja je veća od topološke." Ipak, oni, fraktali, nas okružuju i pomažu u razumijevanju mnogih pojava iz različitih sfera života.

Kako je sve počelo

Dugo vremena niko osim profesionalnih matematičara nije bio zainteresovan za fraktale. Prije pojave računara i povezanog softvera. Sve se promijenilo 1982. godine, kada je objavljena knjiga Benoita Mandelbrota "Fraktalna geometrija prirode". Ova knjiga je postala bestseler, ne toliko zbog jednostavnog i razumljivog izlaganja gradiva (iako je ova tvrdnja vrlo relativna – osoba koja nema stručno matematičko obrazovanje neće u njoj ništa razumjeti), koliko zbog Date kompjuterske ilustracije fraktala, koje su zaista očaravajuće. Pogledajmo ove slike. Zaista su vrijedni toga.

A takvih slika ima mnogo. Ali kakve veze ima sav taj sjaj s našim stvarnim životom i onim što nas okružuje u prirodi i svakodnevnom svijetu? Ispada najdirektnije.

Ali prvo, recimo nekoliko riječi o samim fraktalima, kao geometrijskim objektima.

Šta je fraktal, jednostavnim riječima

Prvo. Kako su oni, fraktali, izgrađeni. Ovo je prilično komplikovana procedura koja koristi posebne transformacije na složenoj ravni (ne morate znati šta je to). Važno je samo da se te transformacije ponavljaju (javljaju se, kako se u matematici kaže, iteracija). Kao rezultat ovog ponavljanja nastaju fraktali (oni koje ste vidjeli gore).

Sekunda. Fraktal je samoslična (tačno ili približno) struktura. To znači sljedeće. Ako donesete mikroskop na bilo koju od prikazanih slika, uvećavajući sliku, na primjer, 100 puta, i pogledate fragment fraktalnog komada koji je upao u okular, ustanovit ćete da je identičan originalnoj slici. Ako uzmete jači mikroskop koji uvećava sliku 1000 puta, vidjet ćete da komadić fragmenta prethodne slike koji je upao u okular ima istu ili vrlo sličnu strukturu.

Ovo dovodi do vrlo važnog zaključka za ono što slijedi. Fraktal ima izuzetno složenu strukturu koja se ponavlja na različitim skalama. Ali što dublje ulazimo u njegovu napravu, ona generalno postaje složenija. I kvantitativne procjene svojstava originalne slike mogu početi da se mijenjaju.

Sada ćemo napustiti apstraktnu matematiku i preći na stvari oko nas - tako, čini se, jednostavno i razumljivo.

Fraktalni objekti u prirodi

Obala

Zamislite da fotografišete ostrvo, kao što je Britanija, iz Zemljine orbite. Dobićete istu sliku kao na geografskoj karti. Uglađen obris obale, sa svih strana - more.

Pronalaženje dužine obale je vrlo jednostavno. Uzmite običan konac i pažljivo ga položite duž granica otoka. Zatim izmjerite njegovu dužinu u centimetrima i dobijeni broj pomnožite s razmjerom karte - u jednom centimetru ima nekoliko kilometara. Evo rezultata.

A sada sljedeći eksperiment. Letite u avionu iz ptičje perspektive i fotografišete obalu. Ispada slika slična fotografijama sa satelita. Ali ova obala je razvedena. Na vašim slikama pojavljuju se male uvale, zaljevi, komadići kopna koji strše u more. Sve je to tačno, ali se sa satelita nije moglo vidjeti. Struktura obale postaje sve složenija.

Recimo, kada ste stigli kući, napravili ste detaljnu mapu obale na osnovu vaših slika. I odlučili smo izmjeriti njegovu dužinu uz pomoć iste niti, postavljajući je strogo prema novim podacima koje ste dobili. Nova vrijednost dužine obale bit će veća od stare. I značajno. Ovo je intuitivno jasno. Uostalom, sada bi vaša nit trebala obilaziti obale svih zaljeva i uvala, a ne samo uz obalu.

Bilješka. Smanjili smo prikaz i stvari su postale mnogo složenije i zbunjujuće. Kao fraktali.

A sada za još jednu iteraciju. Šetate istom obalom. I popraviti reljef obale. Ispostavilo se da obale uvala i uvala koje ste snimili iz aviona uopće nisu tako glatke i jednostavne kao što ste mislili na svojim slikama. Imaju složenu strukturu. I tako, ako mapirate ovu "pješačku" obalu, ona će rasti još duže.

Da, u prirodi nema beskonačnosti. Ali sasvim je jasno da je obala tipičan fraktal. Ostaje isti, ali njegova struktura postaje sve složenija kako gledate bliže (mislite na primjer mikroskopa).

Ovo je zaista nevjerovatan fenomen. Navikli smo na činjenicu da svaki geometrijski objekt ograničen veličinom na ravni (kvadrat, trokut, krug) ima fiksnu i konačnu dužinu svojih granica. Ali ovdje je sve drugačije. Dužina obalne linije u granici ispada beskonačna.

Drvo

Zamislimo drvo. Obicno drvo. Neka vrsta labave lipe. Pogledajmo njen gepek. oko korena. To je malo deformisani cilindar. One. ima vrlo jednostavan oblik.

Hajde da podignemo oči. Grane počinju izlaziti iz debla. Svaka grana na svom početku ima istu strukturu kao i deblo - cilindričnu, u geometrijskom smislu. Ali struktura cijelog stabla se promijenila. Postalo je mnogo složenije.

Pogledajmo sada ove grane. Od njih se protežu manje grane. U podnožju imaju isti blago deformisani cilindrični oblik. Kao isti gepek. A onda od njih odlaze mnogo manje grane. itd.

Drvo se samo razmnožava, na svakom nivou. Istovremeno, njegova struktura stalno postaje složenija, ali ostaje slična samoj sebi. Nije li fraktal?

Cirkulacija

Ovdje je ljudski cirkulatorni sistem. Takođe ima fraktalnu strukturu. Postoje arterije i vene. Po jednom od njih krv dolazi u srce (vene), po drugima dolazi iz njega (arterije). A onda, cirkulatorni sistem počinje da liči na isto drvo o kome smo gore govorili. Posude, zadržavajući svoju strukturu, postaju tanje i razgranatije. Oni prodiru u najudaljenije dijelove našeg tijela, donose kisik i druge vitalne komponente u svaku ćeliju. Ovo je tipična fraktalna struktura koja se reproducira na sve manjim i manjim razmjerima.

Rečni odvodi

"Iz daleka rijeka Volga teče dugo." Na geografskoj karti, ovo je tako plava vijugava linija. Pa, glavne pritoke su označene. Ok, Kama. Šta ako smanjimo? Ispostavilo se da su ove pritoke mnogo veće. Ne samo u blizini same Volge, već iu blizini Oke i Kame. I oni imaju svoje pritoke, samo manje. I oni imaju svoje. Pojavljuje se struktura koja je iznenađujuće slična ljudskom cirkulatornom sistemu. I opet se postavlja pitanje. Koliki je opseg cijelog ovog vodovodnog sistema? Ako izmjerite dužinu samo glavnog kanala, sve je jasno. Možete ga pročitati u bilo kom udžbeniku. Šta ako se sve izmjeri? Opet, u granici se dobija beskonačnost.

Naš univerzum

Naravno, na skali od milijardi svjetlosnih godina, on, Univerzum, uređen je jednolično. Ali hajde da to pobliže pogledamo. A onda ćemo vidjeti da u njemu nema homogenosti. Negdje su galaksije (zvjezdana jata), negdje je praznina. Zašto? Zašto se distribucija materije pokorava nepravilnim hijerarhijskim zakonima. I šta se dešava unutar galaksija (još jedan zum). Negde ima više zvezda, negde manje. Negdje postoje planetarni sistemi, kao u našem Sunčevom sistemu, ali negdje ne.

Ne ispoljava li se fraktalna suština svijeta ovdje? Sada, naravno, postoji ogroman jaz između opšte teorije relativnosti, koja objašnjava nastanak našeg univerzuma i njegove strukture, i fraktalne matematike. Ali ko zna? Možda će se sve ovo jednog dana dovesti do "zajedničkog imenioca", pa ćemo na prostor oko sebe gledati sasvim drugim očima.

Za praktične stvari

Može se navesti mnogo takvih primjera. No, vratimo se na prozaičnije stvari. Uzmimo, na primjer, ekonomiju. Čini se, i ovdje fraktali. Ispostavilo se da je tako. Primjer za to su berze.

Praksa pokazuje da su ekonomski procesi često haotični i nepredvidivi. Do danas postojali matematički modeli koji su pokušavali da opišu ove procese nisu uzeli u obzir jedan veoma važan faktor – sposobnost tržišta da se samoorganizuje.

Tu u pomoć priskače teorija fraktala, koji imaju svojstva "samoorganizacije", reproducirajući se na nivou različitih skala. Naravno, fraktal je čisto matematički objekat. I u prirodi, i u privredi, oni ne postoje. Ali postoji koncept fraktalnih fenomena. Oni su fraktali samo u statističkom smislu. Ipak, simbioza fraktalne matematike i statistike omogućava da se dobiju dovoljno tačne i adekvatne prognoze. Ovaj pristup je posebno efikasan u analizi tržišta akcija. I to nisu "pojmovi" matematičara. Stručni podaci pokazuju da mnogi učesnici na berzi troše mnogo novca da plate stručnjake iz oblasti fraktalne matematike.

Šta daje teorija fraktala? On postulira opštu, globalnu zavisnost određivanja cena od onoga što se dogodilo u prošlosti. Naravno, lokalno proces određivanja cijena je nasumičan. Ali slučajni skokovi i padovi cijena, koji se mogu pojaviti trenutno, imaju posebnost okupljanja u klastere. Koje se reproduciraju u velikoj mjeri vremena. Dakle, analizom onoga što je nekada bilo, možemo predvidjeti koliko će dugo trajati ovaj ili onaj trend razvoja tržišta (rast ili pad).

Tako se na globalnom nivou ovo ili ono tržište "reproducira". Pretpostavljajući slučajne fluktuacije uzrokovane masom vanjskih faktora u svakom određenom trenutku. Ali globalni trendovi traju.

Zaključak

Zašto je svijet uređen po fraktalnom principu? Odgovor je, možda, da fraktali, kao matematički model, imaju svojstvo samoorganizacije i samosličnosti. Istovremeno, svaki njihov oblik (vidi slike date na početku članka) je proizvoljno složen, ali živi svojim životom, razvijajući sebi slične oblike. Nije li tako naš svijet?

A evo i društva. Dolazi neka ideja. U početku prilično apstraktno. A onda "prodire u mase". Da, nekako se mijenja. Ali općenito je očuvan. I pretvara se na nivou većine ljudi u ciljnu oznaku životnog puta. Evo istog SSSR-a. Sljedeći kongres KPSS usvojio je sljedeće značajne odluke i sve je krenulo nizbrdo. U manjem obimu. Gradski odbori, partijski odbori. I tako za svaku osobu. struktura koja se ponavlja.

Naravno, fraktalna teorija nam ne dozvoljava da predvidimo buduće događaje. A to je teško moguće. Ali mnogo toga što nas okružuje, i ono što se dešava u našem svakodnevnom životu, omogućava nam da gledamo potpuno drugačijim očima. Svestan.

OPŠTINSKI BUDŽET OPŠTA OBRAZOVNA USTANOVA SREDNJA OPŠTA OBRAZOVNA ŠKOLA

od. Mechetnoe

Naučno-praktična konferencija "Nevjerovatan svijet matematike"

Istraživački rad "Putovanje u svijet fraktala"

Završio: učenik 10. razreda

Allahverdieva Nailya

Rukovodilac: Davidova E.V.

1. 
   Uvod.
2. 
   Glavni dio:

a) Koncept fraktala;

b) Istorija nastanka fraktala;

c) Klasifikacija fraktala;

d) Primjena fraktala;

e) Fraktali u prirodi;

f) Boje fraktala.

3. Zaključak.

Uvod.

Šta se krije iza misterioznog koncepta "fraktala"? Vjerovatno je za mnoge ovaj pojam povezan s prekrasnim slikama, zamršenim uzorcima i živopisnim slikama stvorenim pomoću kompjuterske grafike. Ali fraktali nisu laki prelijepe slike. To su posebne strukture koje su u osnovi svega što nas okružuje. Nakon što su prije samo nekoliko decenija upali u naučni svijet, fraktali su uspjeli napraviti pravu revoluciju u percepciji okolne stvarnosti. Koristeći fraktale, osoba može kreirati visoko precizne matematičke modele prirodnih objekata, sistema, procesa i pojava.

Glavni dio
Koncept fraktala.

fraktal(od lat. fractus- zgnječen, slomljen, slomljen) - složena geometrijska figura koja ima svojstvo samosličnosti, odnosno sastavljena je od nekoliko dijelova, od kojih je svaki sličan cijeloj figuri u cjelini. Mnogi objekti u prirodi imaju fraktalna svojstva, kao što su obale, oblaci, krošnje drveća, cirkulacijski sistem i alveolarni sistem ljudi ili životinja.

Fraktali, posebno u avionu, popularni su zbog kombinacije ljepote i lakoće konstrukcije s kompjuterom.

Istorija stvaranja.
Francuski matematičar Benoit Mandelbrot, naučnik koji je danas priznat kao otac fraktalne geometrije, uspeo je da nauku o fraktalima podigne na novi nivo. Mandelbrot je prvi definisao pojam "fraktal":

Citat

"Fraktal je struktura koja se sastoji od dijelova koji su u nekom smislu slični cjelini"
Sedamdesetih godina, Benoit Mandelbrot je radio kao matematički analitičar u IBM-u. Naučnik je prvi razmišljao o fraktalima u procesu proučavanja buke u elektronskim mrežama. Na prvi pogled, smetnje u prenosu podataka bile su apsolutno haotične. Mandelbrot je iscrtao pojavu grešaka i bio je iznenađen otkrivši da na bilo kojoj vremenskoj skali svi fragmenti izgledaju isto. Na sedmičnoj skali, šumovi su se pojavljivali istim redoslijedom kao na skali od jednog dana, sata ili minuta. Mandelbrot je shvatio da je učestalost grešaka u prenosu podataka raspoređena kroz vrijeme prema principu koji je iznio Cantor s kraja 19. stoljeća. Tada se Benoit Mandelbrot ozbiljno zainteresovao za proučavanje fraktala.
Za razliku od svojih prethodnika, za stvaranje fraktala, Mandelbrot nije koristio geometrijske konstrukcije, već algebarske transformacije različite složenosti. Matematičar je koristio metodu reverzne iteracije, koja uključuje ponovljeno izračunavanje iste funkcije. Koristeći mogućnosti kompjutera, matematičar je izvršio ogroman broj uzastopnih proračuna, čije je rezultate grafički prikazao na kompleksnoj ravni. Tako se pojavio Mandelbrotov skup - složeni algebarski fraktal, koji se danas smatra klasikom nauke o fraktalima. U nekim slučajevima, isti se objekt može smatrati i glatkim i fraktalnim. Da bi objasnio zašto se to događa, Mandelbrot daje zanimljiv ilustrativan primjer. Kuglica vunenih niti na udaljenoj udaljenosti izgleda kao tačka s dimenzijom 1. Lopta koja se nalazi u blizini izgleda kao dvodimenzionalni disk. Uzimajući ga u ruke, možete jasno osjetiti volumen lopte - sada se doživljava kao trodimenzionalna. A kugla fraktala može se posmatrati samo iz ugla posmatrača koji koristi uređaj za uvećanje, ili muhe koja je sletela na površinu neravnog vunenog konca. Dakle, prava fraktalnost objekta zavisi od tačke gledišta posmatrača i od rezolucije instrumenta koji se koristi.
Mandelbrot je primijetio zanimljiv obrazac - što bliže pogledate izmjereni objekt, to će njegova granica biti proširena. Ovo svojstvo se može jasno pokazati mjerenjem dužine jednog od prirodnih fraktala – obale. Mjerenjem na geografskoj karti možete dobiti približnu vrijednost za dužinu, jer sve neravnine i krivine neće biti uzete u obzir. Ako se mjerenje provede uzimajući u obzir sve neravnine reljefa, vidljive s visine ljudskog rasta, tada će rezultat biti nešto drugačiji - dužina obalne linije će se značajno povećati. A ako teoretski zamislite da će mjerni uređaj zaobići neravnine svakog kamenčića, tada će u ovom slučaju dužina obale biti gotovo beskonačna.
Klasifikacija fraktala.

Fraktali se dijele na:

geometrijski: fraktali ove klase su najvizuelniji, u njima je odmah vidljiva samosličnost. Istorija fraktala započela je upravo geometrijskim fraktalima, koje su proučavali matematičari u 19. veku.

algebarski: ova grupa fraktala je dobila ime jer se fraktali formiraju jednostavnim algebarskim formulama.

stohastički: formira se u slučaju slučajne promjene u iterativnom procesu fraktalnih parametara. Dvodimenzionalni stohastički fraktali koriste se u modeliranju terena i površine mora.

geometrijski fraktali

Sa njima je započela istorija fraktala. Ova vrsta fraktala se dobija jednostavnim geometrijskim konstrukcijama. Obično se pri konstruisanju ovih fraktala postupi na sledeći način: uzima se "seme" - aksiom - skup segmenata, na osnovu kojih će se graditi fraktal. Dalje, skup pravila se primjenjuje na ovo "sjeme", koje ga pretvara u neku geometrijsku figuru. Nadalje, isti skup pravila se ponovo primjenjuje na svaki dio ove figure. Svakim korakom figura će postajati sve složenija, a ako izvršimo (barem u umu) beskonačan broj transformacija, dobit ćemo geometrijski fraktal. Klasični primjeri geometrijskih fraktala: Kochova pahulja, List, trokut Sierpinskog, Zmajeva izlomljena linija (Dodatak 1).

Algebarski fraktali

Druga velika grupa fraktala je algebarska (Dodatak 2). Ime su dobili jer su izgrađene na bazi algebarskih formula, ponekad vrlo jednostavnih. Postoji nekoliko metoda za dobijanje algebarskih fraktala.

Nažalost, mnogi pojmovi od 10. do 11. razreda, koji se odnose na kompleksne brojeve, koji su neophodni za objašnjenje konstrukcije fraktala, nepoznati su mi i još uvijek ih je teško razumjeti, stoga ne mogu detaljno opisati konstrukcija fraktala ovog tipa.

U početku je fraktalna priroda crno-bijela, ali ako dodate malo fantazije i boje, možete dobiti pravo umjetničko djelo.

Stohastički fraktali

Tipičan predstavnik ove klase fraktala je "Plazma" (Dodatak 3). Da bismo ga napravili, uzmimo pravougaonik i definiramo boju za svaki njegov ugl. Zatim pronalazimo središnju tačku pravougaonika i bojimo je u boju koja je jednaka aritmetičkoj sredini boja na uglovima pravougaonika plus neki slučajni broj. Što je veći nasumični broj, to će uzorak biti više „pocepani“. Ako sada kažemo da je boja tačke visina iznad nivoa mora, umjesto plazme dobićemo planinski lanac. Na ovom principu su planine modelirane u većini programa. Koristeći algoritam sličan plazmi, gradi se visinska mapa, na nju se primjenjuju razni filteri, primjenjujemo teksturu i, molim vas, fotorealistične planine su spremne!

Primjena fraktala

Čak i danas, fraktali se široko koriste u raznim oblastima. Smjer fraktalnog arhiviranja grafičkih informacija se aktivno razvija. Teoretski, fraktalno arhiviranje može komprimirati slike do veličine tačke bez gubitka kvalitete. Prilikom uvećanja slika komprimiranih prema fraktalnom principu, najsitniji detalji se jasno prikazuju, a zrnasti efekat je potpuno odsutan.

Principi fraktalne teorije koriste se u medicini za analizu elektrokardiograma, jer je i broj otkucaja srca fraktal. Smjer istraživanja cirkulacijskog sistema i dr interni sistemi ljudsko tijelo. U biologiji se fraktali koriste za modeliranje procesa koji se dešavaju unutar populacija.
Meteorolozi koriste fraktalne zavisnosti za analizu intenziteta kretanja zračnih masa, što omogućava preciznije predviđanje vremenskih promjena. Fizika fraktalnih medija uspješno rješava probleme proučavanja dinamike složenih turbulentnih strujanja, procesa adsorpcije i difuzije. U petrohemijskoj industriji fraktali se koriste za modeliranje poroznih materijala. Teorija fraktala se efikasno primenjuje u radu na finansijskim tržištima. Fraktalna geometrija se koristi za kreiranje moćnih antenskih uređaja.
Danas je teorija fraktala samostalna naučna oblast, na osnovu koje se stvara sve više novih pravaca u različitim oblastima. Značaj fraktala bio je predmet mnogih naučnih radova.

Ali ovi neobični predmeti nisu samo izuzetno korisni, već su i nevjerovatno lijepi. Zato fraktali postepeno pronalaze svoje mjesto u umjetnosti. Njihova neverovatna estetska privlačnost inspiriše mnoge umetnike da kreiraju fraktalne slike. Savremeni kompozitori stvaraju muzička dela koristeći elektronske instrumente sa različitim fraktalnim karakteristikama. Pisci koriste fraktalne strukture da oblikuju svoje književna djela, a dizajneri kreiraju fraktalne komade namještaja i interijera.

Fraktalnost u prirodi

Godine 1977. objavljena je Mandelbrotova knjiga "Fraktali: Forma, slučajnost i dimenzija", a 1982. godine objavljena je još jedna monografija - "Fraktalna geometrija prirode", na čijim stranicama je autor pokazao ilustrativne primjere različitih fraktalnih skupova i pružio dokaze. za postojanje fraktala u prirodi. Mandelbrot je izrazio glavnu ideju teorije fraktala sljedećim riječima:

"Zašto se geometrija često naziva hladnom i suhom? Jedan od razloga je taj što nije u stanju da precizno opiše oblik oblaka, planine, drveta ili morske obale. Oblaci nisu sfere, obale nisu krugovi, a kora nije glatko." i munja ne putuje pravolinijski. Priroda nam pokazuje ne samo viši stepen, već potpuno drugačiji nivo složenosti. Broj različitih skala dužine u strukturama je uvijek beskonačan. Postojanje ovih struktura predstavlja izazov nas sa teškim zadatkom proučavanja onih oblika koje je Euklid odbacio kao bezoblične jesu zadaci istraživanja morfologije amorfnog. Matematičari su, međutim, odbacili ovaj izazov i odlučili se sve više udaljavati od prirode, izmišljajući teorije koje su ne odgovara ničemu što se može vidjeti ili osjetiti."

Mnogi prirodni objekti imaju svojstva fraktalnog skupa (Dodatak 4).

Da li su fraktali zaista univerzalne strukture koje su uzete kao osnova za stvaranje apsolutno svega što postoji na ovom svijetu? Oblik mnogih prirodnih objekata je što je moguće bliži fraktalima. Ali nemaju svi fraktali koji postoje u svijetu tako pravilnu i beskonačno ponavljajuću strukturu kao skupovi koje su stvorili matematičari. Planinski lanci, površine metalnih lomova, turbulentni tokovi, oblaci, pjena i mnogi, mnogi drugi prirodni fraktali nemaju idealno preciznu samosličnost. I bilo bi apsolutno pogrešno vjerovati da su fraktali univerzalni ključ svih tajni Univerzuma. Uz svu njihovu prividnu složenost, fraktali su samo pojednostavljeni model stvarnosti. Ali među svim teorijama koje su danas dostupne, fraktali su najpreciznije sredstvo za opisivanje svijeta oko nas.

Da li su fraktali zaista univerzalne strukture koje su uzete kao osnova za stvaranje apsolutno svega što postoji na ovom svijetu? Oblik mnogih prirodnih objekata je što je moguće bliži fraktalima. Ali nemaju svi fraktali koji postoje u svijetu tako pravilnu i beskonačno ponavljajuću strukturu kao skupovi koje su stvorili matematičari. Planinski lanci, površine metalnih lomova, turbulentni tokovi, oblaci, pjena i mnogi, mnogi drugi prirodni fraktali nemaju idealno preciznu samosličnost. I bilo bi apsolutno pogrešno vjerovati da su fraktali univerzalni ključ svih tajni Univerzuma. Uz svu njihovu prividnu složenost, fraktali su samo pojednostavljeni model stvarnosti. Ali među svim teorijama koje su danas dostupne, fraktali su najpreciznije sredstvo za opisivanje svijeta oko nas.
fraktalne boje

Ljepotu fraktala dodaju njihove svijetle i privlačne boje. Složene sheme boja čine fraktale lijepim i nezaboravnim. Sa matematičke tačke gledišta, fraktali su crno-beli objekti, čija svaka tačka ili pripada skupu ili ne. Ali mogućnosti modernih računara omogućavaju da fraktali budu šareni i svijetli. I ovo nije jednostavno bojenje susjednih područja skupa proizvoljnim redoslijedom.

Analizirajući vrijednost svake točke, program automatski određuje nijansu određenog fragmenta. Tačke u kojima funkcija uzima konstantnu vrijednost prikazane su crnom bojom. Ako vrijednost funkcije teži beskonačnosti, tada je tačka obojena drugom bojom. Intenzitet bojenja zavisi od brzine približavanja beskonačnosti. Što je više ponavljanja potrebno da se tačka približi stabilnoj vrijednosti, njena nijansa postaje svjetlija. I obrnuto - tačke koje brzo žure u beskonačnost obojene su jarkim i zasićenim bojama.
Zaključak

Kada prvi put čujete za fraktale, pitate se šta je to?

S jedne strane, to je složena geometrijska figura koja ima svojstvo samosličnosti, odnosno sastavljena je od nekoliko dijelova od kojih je svaki sličan cijeloj figuri.

Ovaj koncept osvaja svojom ljepotom i misterijom, manifestirajući se u najneočekivanijim područjima: meteorologiji, filozofiji, geografiji, biologiji, mehanici, pa čak i historiji.

Gotovo je nemoguće ne vidjeti fraktal u prirodi, jer gotovo svaki objekt (oblaci, planine, obala, itd.) ima fraktalnu strukturu. Većina web dizajnera, programera ima svoju galeriju fraktala (izvanredno lijepa).

Zapravo, fraktali nam otvaraju oči i omogućavaju nam da pogledamo matematiku iz drugačije perspektive. Čini se da se obični proračuni rade s običnim „suhim“ brojevima, ali to nam daje jedinstvene rezultate na svoj način, omogućavajući nam da se osjećamo kao kreator prirode. Fraktali jasno pokazuju da je matematika i nauka o lepoti.

Njegovo projektni rad Hteo sam da pričam o prilično novom konceptu u matematici „fraktal“. Šta je to, koje vrste postoje, gdje se distribuiraju. Zaista se nadam da su vas fraktali zainteresovali. Uostalom, kako se ispostavilo, fraktali su prilično zanimljivi i nalaze se gotovo na svakom koraku.

Bibliografija

• 
  http://en.wikipedia.org/wiki
• 
  http://www.metaphor.ru/er/misc/fractal_gallery.xml
• 
  http://fractals.narod.ru/
• 
  http://rusproject.narod.ru/article/fractals.htm
• 
  Bondarenko V.A., Dolnikov V.L. Fraktalna kompresija slike prema Barnsley-Sloanu. // Automatika i telemehanika.-1994.-N5.-str.12-20.
• 
  Vatolin D. Upotreba fraktala u kompjuterskoj grafici. // Computerworld-Russia.-1995.-N15.-p.11.
• 
  Feder E. Fraktali. Per. s engleskog-M.: Mir, 1991.-254 str. (Jens Feder, Plenum Press, New York, 1988.)
• 
  Primjena fraktala i haosa. 1993, Springer-Verlag, Berlin.

Prilog 1

Dodatak 2

Dodatak 3

Dodatak 4

Kako je fraktal otkriven

Matematički oblici poznati kao fraktali pripadaju geniju eminentnog naučnika Benoita Mandelbrota. Veći dio svog života predavao je matematiku na Univerzitetu Yale u Sjedinjenim Državama. Godine 1977. - 1982. Mandelbrot je objavio naučne radove posvećene proučavanju "fraktalne geometrije" ili "geometrije prirode", u kojima je razbio naizgled nasumične matematičke forme na sastavne elemente, za koje se pokazalo da se ponavljaju pomnijim ispitivanjem, što je i pokazalo postojanje određenog uzorka za kopiranje. Mandelbrotovo otkriće imalo je značajne posljedice u razvoju fizike, astronomije i biologije.

fraktala u prirodi

U prirodi, mnogi objekti imaju fraktalna svojstva, na primjer: krošnje drveća, karfiol, oblaci, krvožilni i alveolarni sistem ljudi i životinja, kristali, pahulje, čiji se elementi poređaju u jednu složenu strukturu, obale (fraktalni koncept dozvoljava naučnici da izmjere obalu Britanskih ostrva i druge prethodno nemjerljive objekte).

Razmotrite strukturu karfiola. Ako odrežete jedan od cvjetova, očito je da u rukama ostaje isti karfiol, samo manje veličine. Možemo nastaviti rezati iznova i iznova, čak i pod mikroskopom - ali sve što dobijemo su male kopije karfiola. U ovom najjednostavnijem slučaju, čak i mali dio fraktala sadrži informacije o cijeloj konačnoj strukturi.

Fraktali u digitalnoj tehnologiji

Fraktalna geometrija je dala neprocenjiv doprinos razvoju novih tehnologija u oblasti digitalne muzike, a takođe je omogućila kompresiju digitalnih slika. Postojeći algoritmi za kompresiju fraktalne slike zasnivaju se na principu pohranjivanja komprimirane slike umjesto same digitalne slike. Za komprimiranu sliku, glavna slika ostaje fiksna tačka. Microsoft je koristio jednu od varijanti ovog algoritma prilikom objavljivanja svoje enciklopedije, ali iz ovog ili onog razloga rasprostranjena ova ideja nije primljena.

Matematička osnova fraktalne grafike je fraktalna geometrija, gde se metode za konstruisanje „slike-naslednika“ zasnivaju na principu nasleđivanja od originalnih „objekata-roditelja“. Sami koncepti fraktalne geometrije i fraktalne grafike pojavili su se tek prije 30-ak godina, ali su se već čvrsto ustalili u svakodnevnom životu kompjuterskih dizajnera i matematičara.

Osnovni koncepti fraktalne kompjuterske grafike su:

• Fraktalni trokut - fraktalni lik - fraktalni objekt (hijerarhija u opadajućem redoslijedu)
• fraktalna linija
• fraktalni sastav
• "Nadređeni objekat" i "Objekat naslednik"

Baš kao iu vektorskoj i 3D grafici, kreiranje fraktalnih slika je matematički izračunato. Glavna razlika od prve dvije vrste grafike je u tome što se fraktalna slika gradi prema jednadžbi ili sistemu jednačina - ništa više od formule ne treba biti pohranjeno u memoriji računala da bi se izvršili svi proračuni - i tako kompaktna matematička aparat je omogućio upotrebu ove ideje u kompjuterskoj grafici. Jednostavnom promjenom koeficijenata jednadžbe, lako možete dobiti potpuno drugačiju fraktalnu sliku - uz pomoć nekoliko matematičkih koeficijenata specificiraju se površine i linije vrlo složenog oblika, što vam omogućava da implementirate takve tehnike kompozicije kao što su horizontale i vertikale , simetrija i asimetrija, dijagonalni pravci i još mnogo toga.

Kako napraviti fraktal?

Tvorac fraktala istovremeno obavlja ulogu umjetnika, fotografa, vajara i naučnika-pronalazača. Koje su faze stvaranja crteža od nule?

• postavite oblik slike pomoću matematičke formule
• istražiti konvergenciju procesa i varirati njegove parametre
• odaberite vrstu slike
• odaberite paletu boja

Među fraktalnim grafičkim uređivačima i drugim grafičkim programima su:

• "Art Dabbler"
• "Slikar" (bez kompjutera nijedan umjetnik nikada neće ostvariti mogućnosti koje su postavili programeri samo uz pomoć olovke i olovke)
• "Adobe Photoshop" (ali ovdje se slika ne stvara od nule, već se, u pravilu, samo obrađuje)

Razmotrimo raspored proizvoljne fraktalne geometrijske figure. U njegovom središtu je najjednostavniji element - jednakostranični trokut, koji je dobio isto ime: "fraktal". Na srednjem segmentu stranica konstruišemo jednakostranične trouglove sa stranom jednakom jednoj trećini stranice originalnog fraktalnog trougla. Po istom principu grade se i manji trouglovi-nasljednici druge generacije - i tako u nedogled. Rezultirajući objekt naziva se "fraktalna figura", iz čijih sekvenci dobijamo "fraktalni sastav".

Izvor: http://www.iknowit.ru/

Fraktali i drevne mandale

Ovo je mandala za privlačenje novca. Za crvenu se kaže da radi kao magnet za novac. Podsjećaju li vas ukrašeni uzorci na nešto? Delovale su mi veoma poznate i počeo sam da proučavam mandale kao fraktal.

U principu, mandala je geometrijski simbol složene strukture, koji se tumači kao model svemira, „mapa kosmosa“. Evo prvog znaka fraktalnosti!

Vezene su na tkanini, slikane na pijesku, rađene puderima u boji i izrađene od metala, kamena i drveta. Svetao i očaravajući izgled, čini to prekrasna dekoracija podovi, zidovi i plafoni hramova u Indiji. Na staroindijskom jeziku, "mandala" znači mistični krug odnosa između duhovne i materijalne energije Univerzuma, ili na drugi način cvijet života.

Hteo sam da napišem vrlo kratku recenziju fraktalnih mandala, sa minimumom pasusa, pokazujući da veza jasno postoji. Međutim, pokušavajući pronaći i povezati informacije o fraktalima i mandalama u jednu cjelinu, imao sam osjećaj kvantnog skoka u nepoznati prostor.

Ogromnost ove teme demonstriram citatom: „Ovakve fraktalne kompozicije ili mandale mogu se koristiti i u obliku slika, elemenata dizajna stambenih i radnih prostorija, nosivih amajlija, u obliku video kaseta, kompjuterskih programa... ” Općenito, tema za proučavanje fraktala je jednostavno ogromna.

Jedno mogu sa sigurnošću reći, svijet je mnogo raznovrsniji i bogatiji od jadnih ideja našeg uma o njemu.

Fraktalne morske životinje

Moja nagađanja o fraktalnim morskim životinjama nisu bila neutemeljena. Evo prvih predstavnika. Hobotnica je životinja morskog dna iz reda glavonožaca.

Gledajući ovu fotografiju, postala mi je očigledna fraktalna struktura njegovog tijela i sisa na svih osam pipaka ove životinje. Odojci na pipcima odrasle hobotnice dosežu do 2000.

Zanimljiva je činjenica da hobotnica ima tri srca: jedno (glavno) tjera plavu krv po cijelom tijelu, a druga dva - škrge - potiskuju krv kroz škrge. Neke vrste ovih dubokomorskih fraktala su otrovne.

Prilagođavajući se i prerušavajući se svom okruženju, hobotnica ima vrlo korisnu sposobnost da mijenja boju.

Hobotnice se smatraju "najpametnijim" među svim beskičmenjacima. Prepoznaju ljude, naviknu se na one koji ih hrane. Bilo bi zanimljivo pogledati hobotnice koje se lako dresiraju dobro pamćenje pa čak i razlikuju geometrijske oblike. Ali starost ovih fraktalnih životinja nije duga - najviše 4 godine.

Čovjek koristi mastilo ovog živog fraktala i drugih glavonožaca. Umjetnici su traženi zbog njihove izdržljivosti i lijepog smeđeg tona. U mediteranskoj kuhinji hobotnica je izvor vitamina B3, B12, kalijuma, fosfora i selena. Ali mislim da ovi morski fraktali moraju biti sposobni kuhati kako bi uživali u njihovoj upotrebi kao hrani.

Usput, treba napomenuti da su hobotnice grabežljivci. Svojim fraktalnim pipcima drže plijen u obliku mekušaca, rakova i riba. Šteta ako tako lijepi mekušac postane hrana ovih morskih fraktala. Po meni je i tipičan predstavnik fraktala morskog carstva.

Ovo je srodnik puževa, golopodni golopodni mekušac Glaucus, zvani Glaucus, zvani Glaucus atlanticus, zvani Glaucilla marginata. Ovaj fraktal je neobičan i po tome što živi i kreće se ispod površine vode, držeći ga površinska napetost. Jer mekušac je hermafrodit, a nakon parenja oba "partnera" polažu jaja. Ovaj fraktal se nalazi u svim okeanima tropske zone.

Fraktali morskog carstva

Svako od nas barem jednom u životu držao je u rukama i ispitivao morsku školjku s iskrenim dječjim zanimanjem.

Obično su školjke lijep suvenir, koji podsjeća na izlet na more. Kada pogledate ovu spiralnu formaciju mekušaca beskičmenjaka, nema sumnje u njenu fraktalnu prirodu.

Mi ljudi smo donekle poput ovih mekanih mekušaca, koji žive u udobnim kućama od fraktalnog betona, smještaju i pomiču svoje tijelo u brzim automobilima.

Još jedan tipičan predstavnik fraktalnog podvodnog svijeta je koral.
U prirodi je poznato preko 3.500 vrsta koralja, u čijoj se paleti razlikuje do 350 nijansi boja.

Koral je materijal skeleta kolonije koraljnih polipa, takođe iz porodice beskičmenjaka. Njihove ogromne akumulacije formiraju čitave koralne grebene, čiji je fraktalni način formiranja očigledan.

Koral se s punim povjerenjem može nazvati fraktalom iz morskog kraljevstva.

Čovjek ga koristi i kao suvenir ili sirovinu za nakit i ukrase. Ali vrlo je teško ponoviti ljepotu i savršenstvo fraktalne prirode.

Nekako u to ne sumnjam podvodni svijet naći ćete i mnoge fraktalne životinje.

Još jednom, izvodeći ritual u kuhinji sa nožem i daskom za sečenje, a zatim, umočivši nož u hladnu vodu, ponovo sam u suzama smišljala kako da se nosim sa fraktalom suza koji mi se skoro svakodnevno pojavljuje pred očima.

Princip fraktalnosti je isti kao i kod poznate lutke gnezdarice - gnezda. Zato se fraktalnost ne primjećuje odmah. Osim toga, svijetla ujednačena boja i njena prirodna sposobnost izazivanja neugodnih senzacija ne doprinose bliskom promatranju svemira i identifikaciji fraktalnih matematičkih obrazaca.

Ali luk salate boje jorgovana, zbog svoje boje i odsustva fitoncida suza, naveo me je na razmišljanje o prirodnoj fraktalnosti ovog povrća. Naravno, to je jednostavan fraktal, obični krugovi različitih promjera, čak bi se moglo reći i najprimitivniji fraktal. Ali ne bi škodilo prisjetiti se da se lopta smatra idealnom geometrijska figura unutar našeg univerzuma.

Na internetu je objavljeno mnogo članaka o korisnim svojstvima luka, ali nekako niko nije pokušao proučiti ovaj prirodni primjerak sa stanovišta fraktalnosti. Mogu samo navesti koliko je korisno koristiti fraktal u obliku luka u mojoj kuhinji.

P.S. I već sam kupio rezač povrća za seckanje fraktala. Sada morate razmisliti o tome koliko je fraktalno tako zdravo povrće kao što je obični bijeli kupus. Isti princip gniježđenja.

Fraktali u narodnoj umjetnosti

Pažnju mi ​​je privukla priča o svjetski poznatoj igrački "Matrjoška". Gledajući pažljivije, sa sigurnošću možemo reći da je ova igračka-suvenir tipičan fraktal.

Princip fraktalnosti je očigledan kada su sve figure drvene igračke poredane u niz, a ne ugniježđene jedna u drugu.

Moje malo istraživanje o istoriji pojave ovog fraktala igračke na svjetskom tržištu pokazalo je da ova ljepotica ima japanske korijene. Matrjoška se oduvijek smatrala originalnim ruskim suvenirom. Ali ispostavilo se da je ona bila prototip japanske figurice starog mudraca Fukuruma, koji je jednom iz Japana donesen u Moskvu.

Ali upravo je ruski zanat sa igračkama donio svjetsku slavu ovoj japanskoj figurici. Odakle ideja fraktalnog gniježđenja igračke, za mene lično, ostala je misterija. Najvjerovatnije je autor ove igračke koristio princip gniježđenja figura jedna u drugu. A najlakši način za ulaganje su slične figure različitih veličina, a ovo je već fraktal.

Jednako zanimljiv predmet proučavanja je slikanje fraktalne igračke. Ovo je dekorativna slika - Khokhloma. Tradicionalni elementi Khokhlome su biljni uzorci cvijeća, bobica i grana.

Opet, svi znaci fraktalnosti. Uostalom, isti element se može ponoviti nekoliko puta u različitim verzijama i proporcijama. Rezultat je narodna fraktalna slika.

A ako nikoga nećete iznenaditi novonastalim slikanjem kompjuterskih miševa, maski za laptop i telefona, onda je fraktalno podešavanje automobila u narodnom stilu nešto novo u dizajnu automobila. Ostaje samo da se iznenadimo manifestaciji svijeta fraktala u našem životu na tako neobičan način u tako uobičajenim stvarima za nas.

fraktali u kuhinji

Svaki put kada sam isjekao karfiol na male cvjetiće za blanširanje u kipućoj vodi, nikad nisam obraćao pažnju na očigledne znakove fraktalnosti dok nisam imao ovaj primjerak u rukama.

Tipičan predstavnik fraktala iz florašepurila se na mom kuhinjskom stolu.

Uz svu svoju ljubav prema karfiolu, uvijek sam nailazio na primjerke sa ujednačenom površinom bez vidljivih znakova fraktalnosti, a ni veliki broj cvasti ugniježđenih jedan u drugi nije mi davao razloga da ovo vidim zdravo povrće fraktal.

No, površina ovog konkretnog primjerka sa izraženom fraktalnom geometrijom nije ostavljala sumnju u fraktalno porijeklo ove vrste kupusa.

Još jedan odlazak u hipermarket samo je potvrdio fraktalni status kupusa. Među ogromnim brojem egzotičnog povrća našla se cijela kutija fraktala. Bio je to Romanescu, ili romanska brokula, koralni karfiol.

Ispostavilo se da se dizajneri i 3D umjetnici dive njegovim egzotičnim fraktalnim oblicima.

Pupoljci kupusa rastu u logaritamskoj spirali. Prvi spomen kupusa Romanescu dolazi iz Italije u 16. veku.

A brokula nije nimalo čest gost u mojoj ishrani, iako je po sadržaju hranljivih materija i elemenata u tragovima višestruko superiornija od karfiola. Ali njegova površina i oblik su toliko ujednačeni da mi nikada nije palo na pamet da u njemu vidim biljni fraktal.

Fraktali u kvilingu

Gledajući ažurne zanate u tehnici quillinga, nikad nisam ostavio osjećaj da me na nešto podsjećaju. Ponavljanje istih elemenata u različitim veličinama - naravno, ovo je princip fraktalnosti.

Nakon gledanja sljedeće majstorske klase quillinga, nije bilo ni sumnje u fraktalnost quillinga. Doista, za izradu raznih elemenata za zanate od quillinga koristi se poseban ravnalo s krugovima različitih promjera. Uz svu ljepotu i originalnost proizvoda, ovo je nevjerojatno jednostavna tehnika.

Gotovo svi osnovni elementi za zanate u quillingu izrađeni su od papira. Da biste se opskrbili besplatnim papirom za quilling, provjerite svoje police za knjige kod kuće. Sigurno ćete tamo pronaći nekoliko sjajnih sjajnih časopisa.

Alati za kviliranje su jednostavni i jeftini. Sve što vam je potrebno za amaterski quilling posao možete pronaći među svojim kućnim priborom.

A istorija quillinga počinje u 18. veku u Evropi. U renesansi, monasi iz francuskih i italijanskih manastira koristili su quilling za ukrašavanje korica knjiga i nisu bili ni svjesni fraktalnosti tehnike motanja papira koju su izmislili. Djevojke iz visokog društva čak su pohađale kurs quillinga u specijalnim školama. Tako se ova tehnika počela širiti po zemljama i kontinentima.

Ovaj video majstorski tečaj quillinga o pravljenju luksuznog perja može se čak nazvati i "uradi sam fraktali". Uz pomoć papirnih fraktala dobivaju se prekrasne ekskluzivne čestitke za zaljubljene i mnoge druge zanimljive stvari. Uostalom, fantazija je, kao i priroda, neiscrpna.

Nije tajna da su Japanci u životu veoma ograničeni u prostoru, pa stoga moraju na svaki mogući način da se ističu u njegovom efikasnom korišćenju. Takeshi Miyakawa pokazuje kako se to može učiniti efikasno i estetski u isto vrijeme. Njegov fraktalni ormar potvrđuje da upotreba fraktala u dizajnu nije samo danak modi, već i harmonično dizajnersko rješenje u ograničenom prostoru.

Ovaj primjer upotrebe fraktala u stvarnom životu, u odnosu na dizajn namještaja, pokazao mi je da fraktali nisu stvarni samo na papiru u matematičkim formulama i kompjuterskim programima.

I čini se da priroda svuda koristi princip fraktalnosti. Samo treba da je bolje pogledate i ona će se manifestovati u svom svom veličanstvenom obilju i beskonačnosti bića.