Danas idemo u zemlju geometrije, gdje ćemo se upoznati razne vrste trouglovi.
Razmislite geometrijske figure i među njima pronađite „ekstra“ (slika 1).
Rice. 1. Ilustracija na primjer
Vidimo da su slike br. 1, 2, 3, 5 četvorouglovi. Svaki od njih ima svoje ime (slika 2).
Rice. 2. Četvorouglovi
To znači da je "dodatna" figura trougao (slika 3).
Rice. 3. Ilustracija na primjer
Trougao je figura koja se sastoji od tri tačke koje ne leže na istoj pravoj liniji i tri segmenta koji povezuju ove tačke u paru.
Tačke se zovu vrhovima trougla, segmenti - njegovi stranke. Stranice trougla se formiraju U vrhovima trougla postoje tri ugla.
Glavne karakteristike trougla su tri strane i tri ugla. Trokuti se klasifikuju prema uglu oštre, pravougaone i tupe.
Trougao se naziva oštrouglim ako su mu sva tri ugla oštra, odnosno manja od 90° (slika 4).
Rice. 4. Oštri trougao
Trougao se naziva pravouglim ako mu je jedan od uglova 90° (slika 5).
Rice. 5. Pravokutni trokut
Trokut se naziva tupougao ako mu je jedan od uglova tup, odnosno veći od 90° (slika 6).
Rice. 6. Tupokutni trokut
Prema broju jednakih stranica trouglovi su jednakostranični, jednakokračni, skalasti.
Jednakokraki trougao je trougao u kome su dve strane jednake (slika 7).
Rice. 7. Jednakokraki trougao
Ove strane se zovu bočno, treća strana - osnovu. U jednakokračnom trouglu uglovi u osnovi su jednaki.
Jednakokraki trouglovi su akutna i tupa(sl. 8) .
Rice. 8. Oštar i tupokraki trokut
Naziva se jednakostranični trougao u kojem su sve tri strane jednake (slika 9).
Rice. 9. Jednakostranični trougao
U jednakostranični trokut svi uglovi su jednaki. Jednakostranični trouglovi uvijek oštrougao.
Trougao se naziva svestranim, u kojem sve tri strane imaju različite dužine (slika 10).
Rice. 10. Skalani trokut
Dovršite zadatak. Podijelite ove trouglove u tri grupe (slika 11).
Rice. 11. Ilustracija za zadatak
Prvo, rasporedimo prema veličini uglova.
Oštri trouglovi: br. 1, br. 3.
Pravokutni trouglovi: #2, #6.
Tupouglovi trouglovi: #4, #5.
Ovi trokuti su podijeljeni u grupe prema broju jednakih stranica.
Skalirani trouglovi: br. 4, br. 6.
Jednakokraki trouglovi: br. 2, br. 3, br. 5.
Jednakostranični trougao: br. 1.
Pregledajte crteže.
Razmislite od kojeg komada žice je napravljen svaki trougao (slika 12).
Rice. 12. Ilustracija za zadatak
Možete se ovako raspravljati.
Prvi komad žice podijeljen je na tri jednaka dijela, tako da od njega možete napraviti jednakostranični trokut. Na slici je prikazano kao treće.
Drugi komad žice je podijeljen na tri različita dijela, tako da od njega možete napraviti skalasti trokut. Prvo je prikazano na slici.
Treći komad žice je podeljen na tri dela, pri čemu su dva dela iste dužine, tako da od njega možete napraviti jednakokraki trougao. Prikazano je drugo na slici.
Danas smo se u lekciji upoznali sa različitim vrstama trouglova.
Bibliografija
- M.I. Moro, M.A. Bantova i dr. Matematika: Udžbenik. 3. razred: u 2 dijela, 1. dio. - M .: "Prosvjeta", 2012.
- M.I. Moro, M.A. Bantova i dr. Matematika: Udžbenik. 3. razred: u 2 dijela, 2. dio. - M.: "Prosvjeta", 2012.
- M.I. Moreau. Lekcije matematike: Smjernice za nastavnika. Ocjena 3 - M.: Obrazovanje, 2012.
- Regulatorni dokument. Praćenje i evaluacija ishoda učenja. - M.: "Prosvjeta", 2011.
- "Ruska škola": Programi za osnovna škola. - M.: "Prosvjeta", 2011.
- S.I. Volkov. Matematika: Testiranje rada. Ocjena 3 - M.: Obrazovanje, 2012.
- V.N. Rudnitskaya. Testovi. - M.: "Ispit", 2012.
- Nsportal.ru ().
- Prosv.ru ().
- Do.gendocs.ru ().
Zadaća
1. Završite fraze.
a) Trougao je lik koji se sastoji od ..., koji ne leži na istoj pravoj liniji, i ..., koji povezuje ove tačke u paru.
b) Tačke se nazivaju … , segmenti - njegovi … . Stranice trougla formiraju se u vrhovima trougla ….
c) Prema veličini ugla trouglovi su ..., ..., ....
d) Prema broju jednakih stranica trouglovi su ..., ..., ....
2. Draw
b) oštar trougao;
c) tupougli trokut;
d) jednakostranični trougao;
e) skalirani trougao;
e) jednakokraki trougao.
3. Napravite zadatak na temu lekcije za svoje drugove.
Danas idemo u zemlju geometrije, gdje ćemo se upoznati sa različitim vrstama trouglova.
Ispitajte geometrijske oblike i pronađite „višak“ među njima (slika 1).
Rice. 1. Ilustracija na primjer
Vidimo da su slike br. 1, 2, 3, 5 četvorouglovi. Svaki od njih ima svoje ime (slika 2).
Rice. 2. Četvorouglovi
To znači da je "dodatna" figura trougao (slika 3).
Rice. 3. Ilustracija na primjer
Trougao je figura koja se sastoji od tri tačke koje ne leže na istoj pravoj liniji i tri segmenta koji povezuju ove tačke u paru.
Tačke se zovu vrhovima trougla, segmenti - njegovi stranke. Stranice trougla se formiraju U vrhovima trougla postoje tri ugla.
Glavne karakteristike trougla su tri strane i tri ugla. Trokuti se klasifikuju prema uglu oštre, pravougaone i tupe.
Trougao se naziva oštrouglim ako su mu sva tri ugla oštra, odnosno manja od 90° (slika 4).
Rice. 4. Oštri trougao
Trougao se naziva pravouglim ako mu je jedan od uglova 90° (slika 5).
Rice. 5. Pravokutni trokut
Trokut se naziva tupougao ako mu je jedan od uglova tup, odnosno veći od 90° (slika 6).
Rice. 6. Tupokutni trokut
Prema broju jednakih stranica trouglovi su jednakostranični, jednakokračni, skalasti.
Jednakokraki trougao je trougao u kome su dve strane jednake (slika 7).
Rice. 7. Jednakokraki trougao
Ove strane se zovu bočno, treća strana - osnovu. U jednakokračnom trouglu uglovi u osnovi su jednaki.
Jednakokraki trouglovi su akutna i tupa(sl. 8) .
Rice. 8. Oštar i tupokraki trokut
Naziva se jednakostranični trougao u kojem su sve tri strane jednake (slika 9).
Rice. 9. Jednakostranični trougao
U jednakostranični trokut svi uglovi su jednaki. Jednakostranični trouglovi uvijek oštrougao.
Trougao se naziva svestranim, u kojem sve tri strane imaju različite dužine (slika 10).
Rice. 10. Skalani trokut
Dovršite zadatak. Podijelite ove trouglove u tri grupe (slika 11).
Rice. 11. Ilustracija za zadatak
Prvo, rasporedimo prema veličini uglova.
Oštri trouglovi: br. 1, br. 3.
Pravokutni trouglovi: #2, #6.
Tupouglovi trouglovi: #4, #5.
Ovi trokuti su podijeljeni u grupe prema broju jednakih stranica.
Skalirani trouglovi: br. 4, br. 6.
Jednakokraki trouglovi: br. 2, br. 3, br. 5.
Jednakostranični trougao: br. 1.
Pregledajte crteže.
Razmislite od kojeg komada žice je napravljen svaki trougao (slika 12).
Rice. 12. Ilustracija za zadatak
Možete se ovako raspravljati.
Prvi komad žice podijeljen je na tri jednaka dijela, tako da od njega možete napraviti jednakostranični trokut. Na slici je prikazano kao treće.
Drugi komad žice je podijeljen na tri različita dijela, tako da od njega možete napraviti skalasti trokut. Prvo je prikazano na slici.
Treći komad žice je podeljen na tri dela, pri čemu su dva dela iste dužine, tako da od njega možete napraviti jednakokraki trougao. Prikazano je drugo na slici.
Danas smo se u lekciji upoznali sa različitim vrstama trouglova.
Bibliografija
- M.I. Moro, M.A. Bantova i dr. Matematika: Udžbenik. 3. razred: u 2 dijela, 1. dio. - M .: "Prosvjeta", 2012.
- M.I. Moro, M.A. Bantova i dr. Matematika: Udžbenik. 3. razred: u 2 dijela, 2. dio. - M.: "Prosvjeta", 2012.
- M.I. Moreau. Časovi matematike: Smjernice za nastavnike. Ocjena 3 - M.: Obrazovanje, 2012.
- Regulatorni dokument. Praćenje i evaluacija ishoda učenja. - M.: "Prosvjeta", 2011.
- "Škola Rusije": Programi za osnovnu školu. - M.: "Prosvjeta", 2011.
- S.I. Volkov. Matematika: Testiranje rada. Ocjena 3 - M.: Obrazovanje, 2012.
- V.N. Rudnitskaya. Testovi. - M.: "Ispit", 2012.
- Nsportal.ru ().
- Prosv.ru ().
- Do.gendocs.ru ().
Zadaća
1. Završite fraze.
a) Trougao je lik koji se sastoji od ..., koji ne leži na istoj pravoj liniji, i ..., koji povezuje ove tačke u paru.
b) Tačke se nazivaju … , segmenti - njegovi … . Stranice trougla formiraju se u vrhovima trougla ….
c) Prema veličini ugla trouglovi su ..., ..., ....
d) Prema broju jednakih stranica trouglovi su ..., ..., ....
2. Draw
a) pravougli trougao
b) oštar trougao;
c) tupougli trokut;
d) jednakostranični trougao;
e) skalirani trougao;
e) jednakokraki trougao.
3. Napravite zadatak na temu lekcije za svoje drugove.
Trougao je poligon sa tri strane (ili tri ugla). Stranice trougla se često označavaju malim slovima, što odgovara velika slova označavajući suprotne vrhove.
Akutni trougao Trokut se naziva ako su sva tri ugla oštra.
tupougaonog trougla Trokut se naziva ako mu je jedan od uglova tup.
pravougaonog trougla naziva se trokut u kojem je jedan od uglova pravi, odnosno jednak 90 °; strane a, b koje formiraju pravi ugao nazivaju se noge; naziva se strana c naspram pravog ugla hipotenuza.
Jednakokraki trougao naziva se trokut u kojem su dvije njegove strane jednake (a \u003d c); ove jednake strane se nazivaju bočno, poziva se treća strana osnovicu trougla.
jednakostranični trougao naziva se trougao u kojem su sve stranice jednake (a = b = c). Ako nijedna od njegovih stranica (abc) nije jednaka u trokutu, onda je ovo nejednak trougao.
Osnovna svojstva trouglova
U bilo kom trouglu:
Znakovi jednakosti trouglova
Trokuti su podudarni ako su respektivno jednaki:
Znaci jednakosti pravokutnih trougla
Dva pravokutna trougla su jednaka ako je jedan od sljedećih uslova tačan:
Visinatrougao je okomica spuštena s bilo kojeg vrha na suprotnu stranu (ili njegov nastavak). Ova strana se zove osnovicu trougla. Tri visine trougla se uvek seku u jednoj tački, tzv ortocentar trougla.
Ortocentar oštrog trougla nalazi se unutar trougla, a ortocentar tupougla je izvan; Ortocentar pravouglog trougla poklapa se sa vrhom pravog ugla.
Medijan je segment koji povezuje bilo koji vrh trougla sa središtem suprotne strane. Tri medijane trougla seku se u jednoj tački, koja uvek leži unutar trougla i predstavlja njegovo težište. Ova tačka dijeli svaku medijanu 2:1 od vrha.
Simetrala je segment simetrale ugla od vrha do tačke preseka sa suprotnom stranom. Tri simetrale trougla seku se u jednoj tački, koja uvek leži unutar trougla i centar je upisane kružnice. Simetrala dijeli suprotnu stranu na dijelove proporcionalne susjednim stranicama.
Srednja okomita je okomica povučena iz sredine segmenta (stranice). Tri srednje okomice trougla seku se u jednoj tački, koja je centar opisane kružnice.
AT oštar trougao ova tačka leži unutar trougla, u tupouglom trokutu - spolja, u pravougaonom - u sredini hipotenuze. Ortocentar, težište, centar opisane kružnice i centar upisane kružnice poklapaju se samo u jednakostraničnom trokutu.
Pitagorina teorema
U pravokutnom trokutu kvadrat dužine hipotenuze jednak je zbiru kvadrata dužina kateta.
Dokaz Pitagorine teoreme
Konstruirajte kvadrat AKMB koristeći hipotenuzu AB kao stranicu. Zatim produžimo stranice pravokutnog trougla ABC tako da dobijemo kvadrat CDEF čija je stranica a + b. Sada je jasno da je površina kvadrata CDEF (a + b) 2. S druge strane, ova površina je jednaka zbiru površina četiri pravokutna trougla i kvadrata AKMB, tj.
c 2 + 4 (ab / 2) = c 2 + 2 ab,
c 2 + 2 ab = (a + b) 2,
i konačno imamo:
c 2 = a 2 + b 2 .
Omjer širine i visine u proizvoljnom trokutu
U opštem slučaju (za proizvoljan trougao) imamo:
c 2 \u003d a 2 + b 2 - 2 ab * cos C,
gdje je C ugao između stranica a i b.
- school-club.ru - šta su trouglovi?
- math.ru - vrste trokuta;
- raduga.rkc-74.ru - sve o trokutima za najmlađe.
Standardne notacije
Trougao sa vrhovima A, B i C označeno kao (vidi sliku). Trougao ima tri strane:
Dužine stranica trougla su označene malim slovima sa latiničnim slovima(a,b,c):
Trougao ima sledeće uglove:
Uglovi u odgovarajućim vrhovima tradicionalno se označavaju grčkim slovima (α, β, γ).
Znakovi jednakosti trouglova
Trokut na euklidovoj ravni može se jedinstveno (do kongruencije) definirati sljedećim trojkama osnovnih elemenata:
- a, b, γ (jednakost na dvije strane i ugao koji leži između njih);
- a, β, γ (jednakost u strani i dva susedna ugla);
- a, b, c (jednakost na tri strane).
Znakovi jednakosti pravokutnih trougla:
- duž kraka i hipotenuze;
- na dvije noge;
- duž noge i oštri ugao;
- hipotenuzu i oštar ugao.
Neke tačke u trouglu su "uparene". Na primjer, postoje dvije tačke iz kojih su sve strane vidljive pod uglom od 60° ili pod uglom od 120°. Zovu se dots Torricelli. Postoje i dvije tačke čije projekcije na stranicama leže u vrhovima pravilnog trougla. Ovo je - Apolonijevih tačaka. Tačke i tako što se zovu Brocard bodovi.
Direktno
U bilo kojem trokutu, težište, ortocentar i centar opisane kružnice leže na istoj pravoj liniji, tzv. Ojlerova linija.
Prava koja prolazi kroz centar opisane kružnice i Lemoineovu tačku naziva se Brokarova osovina. Na njemu leže Apolonijeve tačke. Toričelijeve tačke i Lemoine tačke takođe leže na istoj pravoj liniji. Osnove vanjskih simetrala uglova trougla leže na istoj pravoj liniji, tzv. osi vanjskih simetrala. Točke sjecišta linija koje sadrže stranice pravokutnog trougla sa linijama koje sadrže stranice trokuta također leže na istoj pravoj. Ova linija se zove ortocentrična osa, okomita je na Ojlerovu liniju.
Ako uzmemo tačku na opisanoj kružnici trougla, tada će njene projekcije na stranice trougla ležati na jednoj pravoj liniji, tzv. Simsonova prava linija dati poen. Simsonove linije dijametralno suprotnih tačaka su okomite.
trouglovi
- Trougao sa vrhovima na osnovama ceviana povučen kroz datu tačku naziva se cevian trougao ovu tačku.
- Trokut sa vrhovima u projekcijama date tačke na stranice naziva se ispod kože ili trougao pedala ovu tačku.
- Trougao sa vrhovima u drugim tačkama preseka pravih povučenih kroz vrhove i datu tačku, sa opisanom kružnicom, naziva se cevian trougao. Cevianski trokut sličan je subdermalnom.
krugovima
- Upisan krug je kružnica tangenta na sve tri strane trougla. Ona je jedina. Središte upisane kružnice se zove incenter.
- Opisani krug- kružnica koja prolazi kroz sva tri vrha trougla. Opisani krug je također jedinstven.
- Excircle- kružnica tangenta na jednu stranu trougla i produžetak druge dvije stranice. U trouglu postoje tri takva kruga. Njihov radikalni centar je centar upisane kružnice srednjeg trougla, tzv Spiekerova poenta.
Sredine tri strane trougla, osnove njegove tri visine i sredine tri segmenta pravih koji povezuju njegove vrhove sa ortocentrom leže na jednoj kružnici koja se naziva krug od devet tačaka ili Ojlerov krug. Središte kružnice od devet tačaka leži na Ojlerovoj liniji. Krug od devet tačaka dodiruje upisani krug i tri ekskrugnice. Dodirna tačka između upisane kružnice i kružnice od devet tačaka naziva se Feuerbach point. Ako iz svakog vrha postavimo trokute na prave linije koje sadrže stranice, ortoze jednake dužine suprotnim stranama, tada rezultirajućih šest tačaka leži na jednoj kružnici - Conway krugovi. U bilo koji trokut mogu se upisati tri kruga na način da svaki od njih dodiruje dvije strane trougla i dvije druge kružnice. Takvi krugovi se nazivaju Malfatti krugovi. Centri opisanih krugova šest trouglova na koje je trokut podijeljen medijanama leže na jednoj kružnici koja se naziva Lamunov krug.
Trokut ima tri kružnice koje dodiruju dvije strane trougla i opisanu kružnicu. Takvi krugovi se nazivaju poluupisani ili Verrier krugovi. Segmenti koji povezuju dodirne tačke Verrijeovih kružnica sa opisanim krugom seku se u jednoj tački, tzv. Verrier point. Ona služi kao centar homotetije, koja opisuje opisani krug vodi u upisani krug. Tačke dodira Verrierovih kružnica sa stranicama leže na pravoj liniji koja prolazi središtem upisane kružnice.
Segmenti prave koji spajaju tangente upisane kružnice sa vrhovima seku se u jednoj tački, tzv. Gergonne point, i segmenti koji povezuju vrhove sa dodirnim tačkama ekskrugova - in Nagel point.
Elipse, parabole i hiperbole
Upisana konika (elipsa) i njena perspektiva
U trokut se može upisati beskonačan broj konika (elipsa, parabola ili hiperbola). Ako proizvoljni konik upišemo u trokut i spojimo dodirne točke sa suprotnim vrhovima, tada će se rezultirajuće prave seći u jednoj tački, tzv. perspektiva konusi. Za bilo koju tačku ravni koja ne leži na strani ili na njenom produžetku postoji upisana konika sa perspektivom u toj tački.
Steinerova elipsa je opisana i ceviani prolaze kroz njena žarišta
Elipsa se može upisati u trougao koji dodiruje stranice u sredini. Takva elipsa se zove Steinerova upisana elipsa(njegova perspektiva će biti težište trougla). Opisana elipsa, koja je tangenta na prave koje prolaze kroz vrhove paralelne stranicama, naziva se opisano Steinerovom elipsom. Ako afina transformacija ("koso") prevede trokut u pravilan, tada će njegova upisana i opisana Steinerova elipsa ići u upisanu i opisanu kružnicu. Ceviani povučeni kroz žarišta opisane Štajnerove elipse (Skutinove tačke) su jednaki (Skutinova teorema). Od svih opisanih elipsa, opisana Steinerova elipsa ima najmanja površina, a od svih upisanih elipsa, Steinerova upisana elipsa ima najveću površinu.
Brocardova elipsa i njena perspektiva - Lemoine tačka
Elipsa sa žarištima u Brokarovim tačkama naziva se Brocardova elipsa. Njegova perspektiva je tačka Lemoine.
Svojstva upisane parabole
Kiepertova parabola
Perspektive upisanih parabola leže na opisanoj Steinerovoj elipsi. Fokus upisane parabole leži na opisanoj kružnici, a direktrisa prolazi kroz ortocentar. Parabola upisana u trokut čija je direktrisa Ojlerova prava naziva se Kipertova parabola. Njegova perspektiva je četvrta tačka preseka opisane kružnice i opisane Štajnerove elipse, tzv. Steiner point.
Cypertova hiperbola
Ako opisana hiperbola prolazi kroz točku presjeka visina, onda je jednakostranična (odnosno, njene asimptote su okomite). Točka presjeka asimptota jednakostranične hiperbole leži na kružnici od devet tačaka.
Transformacije
Ako se prave koje prolaze kroz vrhove i neku tačku koja ne leži na stranicama i njihove produžetke reflektiraju u odnosu na odgovarajuće simetrale, tada će se i njihove slike sjeći u jednoj tački, koja se naziva izogonalno konjugirani originalni (ako tačka leži na opisanoj kružnici, tada će rezultirajuće linije biti paralelne). Mnogi parovi izuzetnih tačaka su izogonalno konjugirani: centar opisane kružnice i ortocentar, centar i Lemoineova tačka, Brocardove tačke. Apolonijeve tačke su izogonalno konjugirane sa Toričelijevim tačkama, a centar upisane kružnice je izogonalno konjugiran sam sa sobom. Pod dejstvom izogonalne konjugacije, prave prelaze u opisane konike, a opisane konike u prave. Dakle, Kiepertova hiperbola i Brocardova os, Enzhabekova hiperbola i Eulerova linija, Feuerbachova hiperbola i linija centara upisane kružnice su izogonalno konjugirane. Opisani krugovi subdermalnih trouglova izogonalno konjugiranih tačaka se poklapaju. Fokusi upisanih elipsi su izogonalno konjugirani.
Ako, umjesto simetričnog ceviana, uzmemo cevian čija je osnova toliko udaljena od sredine stranice koliko i osnova originalnog, onda će se i takvi ceviani ukrštati u jednoj tački. Rezultirajuća transformacija se zove izotomska konjugacija. Također preslikava linije u opisane konike. Gergonne i Nagelove tačke su izotomski konjugirane. Kod afine transformacije, izotomski konjugirane tačke prelaze u izotomski konjugirane. Kod konjugacije izotomije, opisana Steinerova elipsa prelazi u pravu liniju u beskonačnosti.
Ako se u segmente odsječene stranicama trokuta od opisane kružnice upisuju krugovi koji dodiruju stranice na osnovima ceviana povučenih kroz određenu tačku, a zatim se dodirne točke tih kružnica povezuju s opisanim krug sa suprotnim vrhovima, tada će se takve prave seći u jednoj tački. Zove se transformacija ravnine, uparivanje prvobitne tačke sa rezultujućom tačkom izokružna transformacija. Kompozicija izogonalne i izotomske konjugacije je sastav izokružne transformacije sa samim sobom. Ova kompozicija je projektivna transformacija koja ostavlja stranice trokuta na mjestu i prevodi os vanjskih simetrala u pravu liniju u beskonačnosti.
Ako nastavimo stranice Cevijevog trokuta neke tačke i uzmemo njihove točke sjecišta sa odgovarajućim stranicama, tada će rezultirajuće točke presjeka ležati na jednoj pravoj liniji, tzv. trilinear polar polazna tačka. Ortocentrična osa - trilinearni pol ortocentra; trilinearni polar centra upisane kružnice je os vanjskih simetrala. Trilinearni polari tačaka koje leže na opisanoj konici seku se u jednoj tački (za opisanu kružnicu ovo je Lemoineova tačka, za opisanu Štajnerovu elipsu to je težište). Sastav izogonalne (ili izotomske) konjugacije i trilinearne polarne je transformacija dualnosti (ako tačka izogonalno (izotomski) konjugirana s točkom leži na trilinearnoj polari tačke, tada je trilinearna polarna točka izogonalno (izotomski) konjugiran s tačkom leži na trilinearnoj polari tačke ).
Kocke
Odnosi u trouglu
Bilješka: u ovom dijelu, , , su dužine tri strane trougla, i , , su uglovi koji leže nasuprot ove tri strane (suprotni uglovi).
nejednakost trougla
U nedegenerisanom trouglu, zbir dužina njegove dve strane je veći od dužine treće strane, u degenerisanom je jednak. Drugim riječima, dužine stranica trokuta povezane su sljedećim nejednačinama:
Nejednakost trokuta je jedan od aksioma metrike.
Teorema o zbiru uglova trougla
Sinusni teorem
,gdje je R polumjer kružnice opisane oko trougla. Iz teoreme slijedi da ako je a< b < c, то α < β < γ.
Kosinus teorema
Teorema tangente
Ostali omjeri
Metrički omjeri u trokutu su dati za:
Rešavanje trouglova
Izračunavanje nepoznatih stranica i uglova trougla, na osnovu poznatih, istorijski se nazivalo "rešenja trougla". U ovom slučaju se koriste gornje opće trigonometrijske teoreme.
Površina trougla
Posebni slučajevi NotacijaZa područje vrijede sljedeće nejednakosti:
Izračunavanje površine trokuta u prostoru pomoću vektora
Neka vrhovi trokuta budu u točkama , , .
Hajde da predstavimo vektor površine . Dužina ovog vektora jednaka je površini trokuta, a usmjerena je duž normale na ravan trokuta:
Neka , gdje , , su projekcije trokuta na koordinatne ravnine. Gde
i isto tako
Površina trougla je .
Alternativa je izračunavanje dužina stranica (pomoću Pitagorine teoreme), a zatim korištenje Heronove formule.
Teoreme trougla
Desargues teorem: ako su dva trougla perspektivna (prave koje prolaze kroz odgovarajuće vrhove trouglova seku se u jednoj tački), tada se njihove strane sijeku na jednoj pravoj liniji.
Sondova teorema: ako su dva trokuta perspektivna i ortoložna (okomite spuštene iz vrhova jednog trokuta na strane suprotne od odgovarajućih vrhova trokuta, i obrnuto), tada su oba ortološka centra (tačke presjeka ovih okomica) i centar perspektive leže na jednoj pravoj liniji okomitoj na osu perspektive (prava iz Desarguesove teoreme).
