Predavanje: Sinus, kosinus, tangent, kotangens proizvoljnog ugla

Sinus, kosinus proizvoljnog ugla

Da bismo razumjeli šta su trigonometrijske funkcije, okrenimo se krugu s jediničnim polumjerom. Ova kružnica je centrirana u ishodištu na koordinatnoj ravni. Za utvrđivanje postaviti funkcije koristićemo radijus vektor ILI, koji počinje u centru kruga, i tačku R je tačka na kružnici. Ovaj radijus vektor formira ugao alfa sa osom OH. Pošto krug ima poluprečnik jednak jedan, onda ILI = R = 1.

Ako iz tačke R ispusti okomicu na osu OH, tada dobijamo pravougli trokut sa hipotenuzom jednakom jedan.

Ako se radijus vektor kreće u smjeru kazaljke na satu, onda se ovaj smjer naziva negativan, ali ako se kreće suprotno od kazaljke na satu - pozitivno.

Sinus ugla ILI, je ordinata tačke R vektori na kružnici.

Odnosno, da bi se dobila vrijednost sinusa zadanog ugla alfa, potrebno je odrediti koordinatu At na površini.

Kako je dobijena ova vrijednost? Pošto znamo da je sinus proizvoljnog ugla u pravokutnom trokutu omjer suprotne katete i hipotenuze, dobijamo da je

I od tada R=1, onda sin(α) = y 0 .

U jediničnom krugu vrijednost ordinate ne može biti manja od -1 i veća od 1, što znači da

Sinus prihvata pozitivna vrijednost u prvoj i drugoj četvrtini jediničnog kruga, a negativ u trećoj i četvrtoj.

Kosinus ugla dati krug formiran radijus vektorom ILI, je apscisa tačke R vektori na kružnici.

Odnosno, da bi se dobila vrijednost kosinusa datog ugla alfa, potrebno je odrediti koordinate X na površini.

Kosinus proizvoljnog ugla u pravokutnom trokutu je omjer susjednog kraka i hipotenuze, dobijamo da

I od tada R=1, onda cos(α) = x 0 .

U jediničnom krugu vrijednost apscise ne može biti manja od -1 i veća od 1, što znači da

Kosinus je pozitivan u prvom i četvrtom kvadrantu jediničnog kruga, a negativan u drugom i trećem.

tangentaproizvoljan ugao izračunava se omjer sinusa i kosinusa.

Ako uzmemo u obzir pravokutni trokut, onda je to omjer suprotne noge i susjedne. Ako govorimo o jediničnom krugu, onda je to omjer ordinate i apscise.

Sudeći po ovim odnosima, može se shvatiti da tangenta ne može postojati ako je vrijednost apscise nula, odnosno pod uglom od 90 stepeni. Tangenta može poprimiti sve druge vrijednosti.

Tangenta je pozitivna u prvoj i trećoj četvrtini jedinične kružnice, a negativna u drugoj i četvrtoj.

Započinjemo naše proučavanje trigonometrije sa pravougaonog trougla. Hajde da definišemo šta su sinus i kosinus, kao i tangens i kotangens oštrog ugla. Ovo su osnove trigonometrije.

Prisjetite se toga pravi ugao je ugao jednak 90 stepeni. Drugim riječima, polovina rasklopljenog ugla.

Oštar ugao- manje od 90 stepeni.

Tupi ugao- veći od 90 stepeni. U odnosu na takav ugao, "tupo" nije uvreda, već matematički pojam :-)

Nacrtajmo pravougli trougao. Obično se označava pravi ugao. Imajte na umu da je strana nasuprot uglu označena istim slovom, samo malim. Dakle, označena je strana koja leži nasuprot kuta A.

Ugao je označen odgovarajućim grčkim slovom.

Hipotenuza Pravougli trokut je strana suprotna od pravog ugla.

noge- strane suprotne oštrim uglovima.

Noga nasuprot uglu se zove suprotno(u odnosu na ugao). Druga noga, koja leži na jednoj strani ugla, zove se susjedni.

Sinus Oštar ugao u pravokutnom trokutu je omjer suprotne katete i hipotenuze:

Kosinus oštar ugao u pravokutnom trokutu - omjer susjednog kraka i hipotenuze:

Tangenta oštar ugao u pravokutnom trokutu - omjer suprotne noge i susjedne:

Druga (ekvivalentna) definicija: tangenta oštrog ugla je omjer sinusa ugla i njegovog kosinusa:

Kotangens oštar ugao u pravokutnom trokutu - omjer susjednog kraka i suprotnog (ili, ekvivalentno, omjer kosinusa i sinusa):

Obratite pažnju na osnovne omjere za sinus, kosinus, tangent i kotangens, koji su dati u nastavku. Oni će nam biti od koristi u rješavanju problema.

Dokažimo neke od njih.

U redu, dali smo definicije i napisane formule. Ali zašto su nam potrebni sinus, kosinus, tangent i kotangens?

Znamo to zbir uglova bilo kojeg trougla je.

Znamo odnos između stranke pravougaonog trougla. Ovo je Pitagorina teorema: .

Ispostavilo se da znajući dva ugla u trouglu možete pronaći treći. Poznavajući dvije strane u pravokutnom trokutu, možete pronaći treću. Dakle, za uglove - njihov odnos, za strane - svoj. Ali šta učiniti ako su u pravokutnom trokutu poznati jedan ugao (osim pravog) i jedna stranica, ali morate pronaći druge strane?

S tim su se ljudi suočavali u prošlosti, praveći mape područja i zvjezdanog neba. Uostalom, nije uvijek moguće direktno izmjeriti sve strane trougla.

Sinus, kosinus i tangenta - još se nazivaju trigonometrijske funkcije ugla- dati omjer između stranke I uglovi trougao. Poznavajući kut, možete pronaći sve njegove trigonometrijske funkcije pomoću posebnih tablica. A znajući sinuse, kosinuse i tangente uglova trokuta i jedne od njegovih stranica, možete pronaći ostatak.

Također ćemo nacrtati tablicu vrijednosti sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa za "dobre" uglove od do.

Obratite pažnju na dvije crvene crtice u tabeli. Za odgovarajuće vrijednosti uglova, tangenta i kotangens ne postoje.

Analizirajmo nekoliko problema u trigonometriji iz zadataka Banke FIPI.

1. U trokutu, ugao je , . Pronađite .

Problem je riješen za četiri sekunde.

Ukoliko , .

2. U trokutu, ugao je , , . Pronađite .

Pronađimo po Pitagorinoj teoremi.

Problem riješen.

Često u problemima postoje trouglovi sa uglovima i ili sa uglovima i . Zapamtite osnovne omjere za njih napamet!

Za trokut sa uglovima i krak nasuprot ugla u jednak je polovina hipotenuze.

Trougao sa uglovima i jednakokrak je. U njemu je hipotenuza puta veća od kateta.

Razmatrali smo probleme za rješavanje pravokutnih trougla – odnosno za pronalaženje nepoznatih stranica ili uglova. Ali to nije sve! IN KORISTI opcije u matematici postoje mnogi problemi u kojima se pojavljuje sinus, kosinus, tangent ili kotangens vanjskog ugla trougla. Više o tome u sljedećem članku.

Mislim da zaslužuješ više od toga. Evo mog ključa za trigonometriju:

• Nacrtajte kupolu, zid i plafon
• Trigonometrijske funkcije nisu ništa drugo do procenti ova tri oblika.

Metafora za sinus i kosinus: kupola

Umjesto da samo gledate same trokute, zamislite ih u akciji pronalaženjem nekog konkretnog primjera iz stvarnog života.

Zamislite da se nalazite u sredini kupole i želite da okačite platno za filmski projektor. Upirete prstom u kupolu pod nekim "x" uglom i sa te tačke treba da visi paravan.

Ugao na koji pokazujete određuje:

• sinus(x) = sin(x) = visina ekrana (tačka montaže od poda do kupole)
• kosinus(x) = cos(x) = udaljenost od vas do ekrana (po spratu)
• hipotenuza, udaljenost od vas do vrha ekrana, uvijek ista, jednaka polumjeru kupole

Da li želite da ekran bude što veći? Okačite ga tačno iznad sebe.

Da li želite da ekran visi što dalje od vas? Objesite ga pravo okomito. Ekran će imati nultu visinu na ovoj poziciji i visit će onoliko koliko ste tražili.

Visina i udaljenost od ekrana su obrnuto proporcionalni: što je ekran bliže, to će njegova visina biti veća.

Sinus i kosinus su procenti

Niko mi u godinama studija, nažalost, nije objasnio da su trigonometrijske funkcije sinus i kosinus ništa drugo do procenti. Njihove vrijednosti se kreću od +100% do 0 do -100%, ili od pozitivnog maksimuma do nule do negativnog maksimuma.

Recimo da sam platio porez od 14 rubalja. Ne znaš koliko je to. Ali ako kažete da sam platio 95% poreza, shvatit ćete da sam jednostavno bio oguljen kao ljepljiv.

Apsolutna visina ne znači ništa. Ali ako je vrijednost sinusa 0,95, onda razumijem da televizor visi gotovo na vrhu vaše kupole. Vrlo brzo će dostići svoju maksimalnu visinu u centru kupole, a zatim će ponovo početi da opada.

Kako možemo izračunati ovaj procenat? Vrlo jednostavno: podijelite trenutnu visinu ekrana sa maksimalno mogućim (radijus kupole, koji se također naziva hipotenuza).

Zbog toga rečeno nam je da je "kosinus = suprotni krak / hipotenuza". Ovo je sve da bi se dobio procenat! Najbolji način da se definiše sinus je „procenat trenutne visine od maksimalno mogućeg”. (Sinus postaje negativan ako vaš ugao pokazuje "pod zemljom". Kosinus postaje negativan ako ugao pokazuje na tačku kupole iza vas.)

Pojednostavimo proračune uz pretpostavku da smo u centru jedinične kružnice (radijus = 1). Možemo preskočiti podjelu i samo uzeti sinus jednak visini.

Svaki krug je, zapravo, jedan, uvećan ili smanjen u mjerilu do željene veličine. Stoga odredite odnose na jediničnom krugu i primijenite rezultate na vašu određenu veličinu kruga.

Eksperimentišite: uzmite bilo koji ugao i vidite šta postotak visine do širine koje prikazuje:

Grafikon rasta vrijednosti sinusa nije samo prava linija. Prvih 45 stepeni pokrivaju 70% visine, a poslednjih 10 stepeni (od 80° do 90°) pokrivaju samo 2%.

Tako će vam biti jasnije: ako idete u krug, na 0° se dižete gotovo okomito, ali kako se približavate vrhu kupole, visina se sve manje mijenja.

Tangenta i sekansa. Zid

Jednog dana komšija je sagradio zid ravno leđa uz leđa do vaše kupole. Plakao tvoj pogled sa prozora i dobra cijena za preprodaju!

Ali da li je u ovoj situaciji moguće nekako pobijediti?

Naravno da. Šta ako okačimo filmsko platno pravo na susjedov zid? Ciljate u ugao (x) i dobijete:

• tan(x) = tan(x) = visina ekrana na zidu
• udaljenost od vas do zida: 1 (ovo je radijus vaše kupole, zid se ne pomiče nikuda od vas, zar ne?)
• secant(x) = sec(x) = "dužina merdevina" od vas koji stojite u centru kupole do vrha visećeg ekrana

Hajde da razjasnimo nekoliko stvari o tangenti, odnosno visini ekrana.

• počinje od 0 i može ići beskonačno visoko. Možete rastegnuti ekran sve više i više na zidu da biste dobili samo beskonačno platno za gledanje omiljenog filma! (Za tako ogroman, naravno, morat ćete potrošiti mnogo novca).
• tangenta je samo uvećana verzija sinusa! I dok se rast sinusa usporava kako se krećete prema vrhu kupole, tangenta nastavlja rasti!

Sekansu takođe ima čime da se pohvali:

• sekanta počinje od 1 (merdevine su na podu, dalje od vas prema zidu) i počinje da se penje odatle
• Sekans je uvijek duži od tangente. Nagnute merdevine na koje kačite ekran moraju biti duže od samog ekrana, zar ne? (U nerealnim veličinama, kada je ekran jaaako dugačak i merdevine treba da budu postavljene skoro okomito, njihove veličine su skoro iste. Ali čak i tada će sekansa biti malo duža).

Zapamtite da su vrijednosti posto. Ako odlučite da okačite ekran pod uglom od 50 stepeni, tan(50)=1,19. Vaš ekran je 19% veći od udaljenosti do zida (radijus kupole).

(Unesite x=0 i testirajte svoju intuiciju - tan(0) = 0 i sec(0) = 1.)

Kotangens i kosekans. Plafon

Nevjerovatno, vaš komšija je sada odlučio da izgradi plafon iznad vaše kupole. (Šta mu je? Očigledno ne želi da mu viriš dok hoda po dvorištu gol...)

Pa, vrijeme je da napravimo izlaz na krov i porazgovaramo sa komšijom. Vi birate ugao nagiba i počinjete da gradite:

• vertikalno rastojanje između krovnog otvora i poda je uvijek 1 (polumjer kupole)
• cotangent(x) = cot(x) = rastojanje između vrha kupole i izlazne tačke
• kosekans(x) = csc(x) = dužina vašeg puta do krova

Tangenta i sekans opisuju zid, dok kotangens i kosekans opisuju pod.

Naši intuitivni zaključci ovoga puta slični su prethodnim:

• Ako uzmete ugao od 0°, vaš izlazak na krov će trajati zauvijek jer nikada neće doći do stropa. Problem.
• Najkraće "stepenište" do krova će se dobiti ako ga izgradite pod uglom od 90 stepeni u odnosu na pod. Kotangens će biti jednak 0 (uopće se ne krećemo duž krova, izlazimo striktno okomito), a kosekans će biti jednak 1 ("dužina ljestvi" će biti minimalna).

Vizualizirajte veze

Ako su sva tri slučaja nacrtana u kombinaciji kupola-zid-pod, dobiće se sljedeće:

Pa, vau, sve je to isti trokut, uvećan do zida i stropa. Imamo vertikalne stranice (sinus, tangenta), horizontalne stranice (kosinus, kotangens) i “hipotenuze” (sekans, kosekans). (Iz strelica možete vidjeti koliko daleko svaki element doseže. Kosekans je ukupna udaljenost od vas do krova).

Malo magije. Svi trouglovi dijele iste jednakosti:

Iz Pitagorine teoreme (a 2 + b 2 = c 2) vidimo kako su stranice svakog trougla povezane. Osim toga, omjer visine i širine također mora biti isti za sve trouglove. (Samo se vratite od najvećeg trougla do manjeg. Da, veličina se promijenila, ali proporcije stranica će ostati iste).

Znajući koja je strana u svakom trouglu 1 (poluprečnik kupole), lako možemo izračunati da je "sin/cos = tan/1".

Oduvijek sam pokušavao zapamtiti ove činjenice kroz jednostavnu vizualizaciju. Na slici možete jasno vidjeti ove ovisnosti i razumjeti odakle dolaze. Ova tehnika je mnogo bolja od pamćenja suhih formula.

Ne zaboravite druge uglove

Psst… Nema potrebe da se zaglavite na jednom grafikonu, misleći da je tangenta uvijek manja od 1. Ako povećate ugao, možete doći do stropa, a da ne stignete do zida:

Pitagorine veze uvijek rade, ali relativne veličine mogu biti različite.

(Vjerovatno ste primijetili da je omjer sinusa i kosinusa uvijek najmanji jer su zatvoreni unutar kupole.)

Da rezimiramo: šta treba da zapamtimo?

Za većinu nas, rekao bih da će ovo biti dovoljno:

• trigonometrija objašnjava anatomiju matematičkih objekata kao što su krugovi i intervali koji se ponavljaju
• analogija kupola/zid/krov pokazuje odnos između različitih trigonometrijskih funkcija
• rezultat trigonometrijskih funkcija su procenti koje primjenjujemo na naš scenarij.

Ne morate pamtiti formule kao što su 1 2 + dječji krevetić 2 = csc 2 . Pogodni su samo za glupe testove u kojima se znanje neke činjenice predstavlja kao njeno razumijevanje. Odvojite minut da nacrtate polukrug u obliku kupole, zida i krova, potpišite elemente i sve formule će vam biti tražene na papiru.

Primjena: Inverzne funkcije

Bilo koja trigonometrijska funkcija uzima ugao kao ulaz i vraća rezultat kao postotak. sin(30) = 0,5. To znači da ugao od 30 stepeni zauzima 50% maksimalne visine.

Inverzna trigonometrijska funkcija se zapisuje kao sin -1 ili arcsin (“arksina”). Takođe se često piše asin u raznim programskim jezicima.

Ako je naša visina 25% visine kupole, koliki je naš ugao?

U našoj tabeli proporcija možete pronaći omjer gdje je sekans podijeljen sa 1. Na primjer, sekans sa 1 (hipotenuza prema horizontali) bit će jednak 1 podijeljen kosinusom:

Recimo da je naš sekans 3,5, tj. 350% polumjera jedinične kružnice. Kojem kutu nagiba prema zidu odgovara ova vrijednost?

Dodatak: Neki primjeri

Primjer: Pronađite sinus ugla x.

Dosadan zadatak. Zakomplikujmo banalno "pronađi sinus" na "Kolika je visina kao procenat maksimuma (hipotenuze)?".

Prvo, primijetite da je trokut rotiran. Nema ništa loše u tome. Trougao takođe ima visinu, prikazana je zelenom bojom na slici.

Čemu je jednaka hipotenuza? Po Pitagorinoj teoremi znamo da:

3 2 + 4 2 = hipotenuza 2 25 = hipotenuza 2 5 = hipotenuza

Dobro! Sinus je postotak visine od najduže strane trougla, odnosno hipotenuze. U našem primjeru, sinus je 3/5 ili 0,60.

Naravno, možemo ići na nekoliko načina. Sada znamo da je sinus 0,60 i možemo jednostavno pronaći arksinus:

Asin(0,6)=36,9

A evo još jednog pristupa. Imajte na umu da je trokut "licem u lice sa zidom", tako da možemo koristiti tangentu umjesto sinusa. Visina je 3, udaljenost od zida je 4, tako da je tangenta ¾ ili 75%. Možemo koristiti tangentu luka da idemo od procenta nazad do ugla:

Tan = 3/4 = 0,75 atan (0,75) = 36,9 Primjer: Hoćete li doplivati ​​do obale?

Nalazite se u čamcu i imate dovoljno goriva da preplovite 2 km. Sada ste 0,25 km od obale. Pod kojim maksimalnim uglom prema obali možete doplivati ​​do nje da biste imali dovoljno goriva? Dodatak uslovu zadatka: imamo samo tabelu vrednosti ark kosinusa.

Šta imamo? Obala se može predstaviti kao “zid” u našem poznatom trokutu, a “dužina stepenica” pričvršćenih za zid može se predstaviti kao najveća moguća udaljenost čamcem do obale (2 km). Pojavljuje se sekanta.

Prvo, morate se prebaciti na procente. Imamo 2 / 0,25 = 8, što znači da možemo preplivati ​​8 puta ravnu udaljenost do obale (ili do zida).

Postavlja se pitanje „Šta je sekans 8?“. Ali mi ne možemo dati odgovor na to, jer imamo samo lučni kosinus.

Koristimo naše prethodno izvedene zavisnosti da preslikamo sekantu na kosinus: “sec/1 = 1/cos”

Sekans od 8 jednak je kosinsu od ⅛. Ugao čiji je kosinus ⅛ je acos(1/8) = 82,8. A ovo je najveći kut koji možemo priuštiti na brodu s navedenom količinom goriva.

Nije loše, zar ne? Bez analogije kupola-zid-plafon, bio bih zbunjen u gomili formula i proračuna. Vizualizacija problema uvelike pojednostavljuje traženje rješenja, osim toga, zanimljivo je vidjeti koja će trigonometrijska funkcija na kraju pomoći.

Za svaki zadatak razmislite ovako: da li me zanima kupola (sin/cos), zid (tan/sec) ili plafon (krevetac/csc)?

I trigonometrija će postati mnogo ugodnija. Jednostavne kalkulacije za vas!

U ovom članku ćemo sveobuhvatno pogledati . Osnovni trigonometrijski identiteti su jednakosti koje uspostavljaju odnos između sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa jednog ugla i omogućavaju vam da pronađete bilo koju od ovih trigonometrijskih funkcija kroz poznati drugi.

Odmah navodimo glavne trigonometrijske identitete, koje ćemo analizirati u ovom članku. Zapisujemo ih u tabelu, a ispod dajemo derivaciju ovih formula i dajemo potrebna objašnjenja.

Navigacija po stranici.

Odnos između sinusa i kosinusa jednog ugla

Ponekad ne govore o glavnim trigonometrijskim identitetima navedenim u gornjoj tabeli, već o jednom jedinom osnovni trigonometrijski identitet vrsta . Objašnjenje za ovu činjenicu je prilično jednostavno: jednakosti se dobijaju iz osnovnog trigonometrijskog identiteta nakon što se oba njegova dijela podijele sa i, redom, i jednakosti I slijede definicije sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa. O tome ćemo detaljnije raspravljati u sljedećim paragrafima.

Odnosno, jednakost je od posebnog interesa, kojoj je dato ime glavnog trigonometrijskog identiteta.

Prije nego što dokažemo osnovni trigonometrijski identitet, dajemo njegovu formulaciju: zbir kvadrata sinusa i kosinusa jednog ugla identično je jednak jedinici. Sada dokažimo.

Osnovni trigonometrijski identitet se vrlo često koristi u transformacija trigonometrijskih izraza. Omogućava da se zbir kvadrata sinusa i kosinusa jednog ugla zamijeni jednim. Ništa manje često se osnovni trigonometrijski identitet koristi obrnutim redoslijedom: jedinica se zamjenjuje zbrojem kvadrata sinusa i kosinusa bilo kojeg kuta.

Tangenta i kotangens kroz sinus i kosinus

Identiteti koji povezuju tangentu i kotangens sa sinusom i kosinusom jednog ugla oblika i odmah slijede definicije sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa. Zaista, po definiciji, sinus je ordinata od y, kosinus je apscisa od x, tangenta je omjer ordinate prema apscisi, tj. , a kotangens je omjer apscise i ordinate, tj. .

Zbog ove očiglednosti identiteta i često se definicije tangenta i kotangensa daju ne kroz omjer apscise i ordinate, već kroz omjer sinusa i kosinusa. Dakle, tangent ugla je omjer sinusa i kosinusa ovog ugla, a kotangens je omjer kosinusa i sinusa.

Da zaključimo ovaj dio, treba napomenuti da su identiteti i vrijedi za sve takve uglove za koje trigonometrijske funkcije u njima imaju smisla. Dakle, formula vrijedi za bilo koji drugi osim (inače će nazivnik biti nula, a nismo definirali dijeljenje nulom), a formula - za sve , različito od , gdje je z bilo koji .

Odnos između tangente i kotangensa

Još očigledniji trigonometrijski identitet od dva prethodna je identitet koji povezuje tangentu i kotangens jednog ugla oblika . Jasno je da se to odvija za bilo koje uglove osim , inače ni tangenta ni kotangens nisu definirani.

Dokaz formule veoma jednostavno. Po definiciji i odakle . Dokaz je mogao biti izveden na malo drugačiji način. Od i , onda .

Dakle, tangenta i kotangens jednog ugla, pod kojim imaju smisla, jeste.

Kako pronaći sinus?

Proučavanje geometrije pomaže u razvoju mišljenja. Ovaj predmet je uključen u nastavni plan i program. U životu, poznavanje ove teme može biti korisno - na primjer, prilikom planiranja stana.

Iz istorije

U okviru predmeta geometrija izučava se i trigonometrija koja istražuje trigonometrijske funkcije. U trigonometriji proučavamo sinuse, kosinuse, tangente i kotangense ugla.

Ali dalje ovog trenutka Počnimo s najjednostavnijim - sinusom. Pogledajmo pobliže prvi koncept - sinus ugla u geometriji. Šta je sinus i kako ga pronaći?

Koncept "sinusa ugla" i sinusoida

Sinus ugla je omjer vrijednosti suprotnog kraka i hipotenuze pravokutnog trokuta. Ovo je direktna trigonometrijska funkcija, koja je napisana kao "sin (x)", gdje je (x) ugao trougla.

Na grafikonu je sinus ugla označen sinusoidom sa svojim karakteristikama. Sinusoida izgleda kao neprekidna valovita linija koja leži unutar određenih granica na koordinatnoj ravni. Funkcija je neparna, stoga je simetrična u odnosu na 0 na koordinatnoj ravni (napušta ishodište koordinata).

Domen ove funkcije je u opsegu od -1 do +1 u Dekartovom koordinatnom sistemu. Period funkcije sinusnog ugla je 2 Pi. To znači da se svakih 2 Pi obrazac ponavlja i sinusni val prolazi kroz puni ciklus.

Sinusoidna jednadžba

• sin x = a / c
• gdje je a krak suprotan kutu trougla
• c - hipotenuza pravouglog trougla

Svojstva sinusa ugla

1. sin(x) = - sin(x). Ova karakteristika pokazuje da je funkcija simetrična, a ako se vrijednosti x i (-x) odvoje u koordinatnom sistemu u oba smjera, tada će ordinate ovih tačaka biti suprotne. Oni će biti na jednakoj udaljenosti jedan od drugog.
2. Još jedna karakteristika ove funkcije je da graf funkcije raste na segmentu [- P / 2 + 2 Pn]; [P/2 + 2Pn], gdje je n bilo koji cijeli broj. Na segmentu će se uočiti smanjenje grafika sinusa ugla: [P / 2 + 2 Pn]; [ 3P/2 + 2Pn].
3. sin (x) > 0 kada je x u opsegu (2Pn, P + 2Pn)
4. (x)< 0, когда х находится в диапазоне (-П+2Пn, 2Пn)

Vrijednosti sinusa kuta određuju se posebnim tablicama. Takve tabele su napravljene da olakšaju proces izračunavanja složenih formula i jednačina. Jednostavan je za korištenje i sadrži vrijednosti ne samo funkcije sin(x), već i vrijednosti drugih funkcija.

Štoviše, tablica standardnih vrijednosti ovih funkcija uključena je u obaveznu studiju memorije, poput tablice množenja. Ovo posebno važi za časove sa fizičkim i matematičkim predrasudama. U tabeli možete vidjeti vrijednosti glavnih uglova koji se koriste u trigonometriji: 0, 15, 30, 45, 60, 75, 90, 120, 135, 150, 180, 270 i 360 stepeni.

Postoji i tabela koja definira vrijednosti trigonometrijskih funkcija nestandardnih uglova. Koristeći različite tablice, možete lako izračunati sinus, kosinus, tangent i kotangens nekih uglova.

Jednačine se prave sa trigonometrijskim funkcijama. Rješavanje ovih jednadžbi je lako ako znate jednostavne trigonometrijske identitete i redukcije funkcija, na primjer, kao što su sin (P / 2 + x) \u003d cos (x) i drugi. Posebna tabela je takođe sastavljena za takve uloge.

Kako pronaći sinus ugla

Kada je zadatak pronaći sinus ugla, a pod uslovom imamo samo kosinus, tangens ili kotangens ugla, lako možemo izračunati šta nam je potrebno koristeći trigonometrijske identitete.

• sin 2 x + cos 2 x = 1

Iz ove jednadžbe možemo pronaći i sinus i kosinus, ovisno o tome koja je vrijednost nepoznata. Dobijamo trigonometrijsku jednačinu sa jednom nepoznatom:

• sin 2 x = 1 - cos 2 x
• sin x = ± √ 1 - cos 2 x
• ctg 2 x + 1 = 1 / sin 2 x

Iz ove jednadžbe možete pronaći vrijednost sinusa, znajući vrijednost kotangensa ugla. Da pojednostavimo, zamijenite sin 2 x = y i tada imate jednostavnu jednačinu. Na primjer, vrijednost kotangensa je 1, tada:

• 1 + 1 = 1/god
• 2 = 1 / god
• 2y = 1
• y = 1/2

Sada izvodimo obrnutu zamjenu plejera:

• sin 2 x = ½
• sin x = 1 / √2

Budući da smo uzeli vrijednost kotangensa za standardni ugao (45 0), dobivene vrijednosti se mogu provjeriti u tabeli.

Ako imate tangentnu vrijednost, ali trebate pronaći sinus, pomoći će vam još jedan trigonometrijski identitet:

• tg x * ctg x = 1

Iz toga slijedi da:

• ctg x = 1 / tg x

Da biste pronašli sinus nestandardnog kuta, na primjer, 240 0, trebate koristiti formule za smanjenje ugla. Znamo da π za nas odgovara 180 0. Stoga ćemo našu jednakost izraziti pomoću standardnih uglova proširenjem.

• 240 0 = 180 0 + 60 0

Trebamo pronaći sljedeće: sin (180 0 + 60 0). U trigonometriji postoje formule redukcije koje su korisne u ovom slučaju. Ovo je formula:

• sin (π + x) = - sin (x)

Dakle, sinus ugla od 240 stepeni je:

• sin (180 0 + 60 0) = - sin (60 0) = - √3/2

U našem slučaju, x = 60, odnosno P, 180 stepeni. Pronašli smo vrijednost (-√3/2) iz tablice vrijednosti funkcija standardnih uglova.

Na ovaj način se mogu razložiti nestandardni uglovi, na primjer: 210 = 180 + 30.