Jednadžba tangente na graf funkcije

P. Romanov, T. Romanova,
Magnitogorsk,
Chelyabinsk region

Jednadžba tangente na graf funkcije

Članak je objavljen uz podršku Hotelskog kompleksa ITAKA+. Boraveći u gradu brodograditelja Severodvinsk, nećete se suočiti s problemom pronalaska privremenog smještaja. , na web stranici hotelskog kompleksa "ITAKA +" http://itakaplus.ru, možete jednostavno i brzo iznajmiti stan u gradu, za bilo koji period, uz dnevno plaćanje.

U sadašnjoj fazi razvoja obrazovanja, jedan od njegovih glavnih zadataka je formiranje kreativno misleće ličnosti. Sposobnost za kreativnost kod učenika se može razviti samo ako se sistematski bave osnovama. istraživačke aktivnosti. Osnova da učenici koriste svoje kreativne snage, sposobnosti i talente su formirana punopravna znanja i vještine. U tom smislu, problem formiranja sistema osnovnih znanja i vještina za svaku temu školskog predmeta matematike nije od male važnosti. U isto vrijeme, punopravne vještine trebale bi biti didaktički cilj ne pojedinačnih zadataka, već njihovog pažljivo osmišljenog sistema. U najširem smislu, sistem se shvata kao skup međusobno povezanih elemenata koji imaju integritet i stabilnu strukturu.

Razmotrimo metodologiju za podučavanje učenika kako da sastave jednadžbu tangente na graf funkcije. U suštini, svi zadaci za pronalaženje jednačine tangente svode se na potrebu da se iz skupa (snopa, familije) prava izaberu one od njih koje zadovoljavaju određeni zahtjev – tangente su na graf određene funkcije. U ovom slučaju, skup linija iz kojih se vrši odabir može se specificirati na dva načina:

a) tačka koja leži na ravni xOy (centralna olovka pravih);
b) ugaoni koeficijent (paralelni snop linija).

S tim u vezi, prilikom proučavanja teme "Tangenta na graf funkcije" u cilju izolacije elemenata sistema, identifikovali smo dvije vrste zadataka:

1) zadaci na tangentu zadatu tačkom kroz koju ona prolazi;
2) zadaci na tangentu zadanu njenim nagibom.

Učenje rješavanja problema na tangenti provedeno je pomoću algoritma koji je predložio A.G. Mordkovich. Njegova temeljna razlika od već poznatih je u tome što je apscisa tangentne točke označena slovom a (umjesto x0), u vezi s tim jednadžba tangente ima oblik

y \u003d f (a) + f "(a) (x - a)

(uporedi sa y = f (x 0) + f "(x 0) (x - x 0)). Ova metodološka tehnika, po našem mišljenju, omogućava studentima da brzo i jednostavno shvate gdje su upisane koordinate trenutne tačke u opštoj jednačini tangente, i gde su dodirne tačke.

Algoritam za sastavljanje jednadžbe tangente na graf funkcije y = f(x)

1. Označite slovom a apscisu dodirne tačke.
2. Naći f(a).
3. Pronađite f "(x) i f "(a).
4. Zamijenite pronađene brojeve a, f (a), f "(a) u opću jednadžbu tangente y \u003d f (a) \u003d f "(a) (x - a).

Ovaj algoritam se može sastaviti na osnovu samostalnog odabira operacija od strane učenika i redosleda njihovog izvođenja.

Praksa je pokazala da dosljedno rješavanje svakog od ključnih zadataka pomoću algoritma omogućava formiranje sposobnosti pisanja jednadžbe tangente na graf funkcije u fazama, a koraci algoritma služe kao jake tačke za radnje. . Ovaj pristup odgovara teoriji postupnog formiranja mentalnih radnji koju je razvio P.Ya. Galperin i N.F. Talyzina.

U prvoj vrsti zadataka identifikovana su dva ključna zadatka:

tangenta prolazi kroz tačku koja leži na krivulji (problem 1);
tangenta prolazi kroz tačku koja ne leži na krivulji (problem 2).

Zadatak 1. Izjednačiti tangentu na graf funkcije u tački M(3; – 2).

Rješenje. Tačka M(3; – 2) je tačka kontakta, pošto

1. a = 3 - apscisa dodirne tačke.
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) = x 2 - 4, f "(3) = 5.
y = - 2 + 5 (x - 3), y = 5x - 17 je tangentna jednadžba.

Zadatak 2. Napišite jednačine svih tangenti na graf funkcije y = - x 2 - 4x + 2, prolazeći kroz tačku M(- 3; 6).

Rješenje. Tačka M(– 3; 6) nije tangentna tačka, jer f(– 3) 6 (sl. 2).

2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f "(x) = - 2x - 4, f "(a) = - 2a - 4.
4. y \u003d - a 2 - 4a + 2 - 2 (a + 2) (x - a) - tangentna jednadžba.

Tangenta prolazi kroz tačku M(– 3; 6), pa njene koordinate zadovoljavaju jednačinu tangente.

6 = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),
a 2 + 6a + 8 = 0^ a 1 = - 4, a 2 = - 2.

Ako je a = – 4, onda je tangentna jednadžba y = 4x + 18.

Ako je a \u003d - 2, tada tangentna jednadžba ima oblik y = 6.

U drugoj vrsti, ključni zadaci će biti sljedeći:

tangenta je paralelna nekoj pravoj liniji (problem 3);
tangenta prolazi pod nekim uglom na datu pravu (problem 4).

Zadatak 3. Napišite jednadžbe svih tangenti na graf funkcije y = x 3 - 3x 2 + 3, paralelno s pravom y = 9x + 1.

Rješenje.

1. a - apscisa dodirne tačke.
2. f(a) = a 3 - 3a 2 + 3.
3. f "(x) = 3x 2 - 6x, f "(a) = 3a 2 - 6a.

Ali, s druge strane, f "(a) = 9 (uslov paralelizma). Dakle, moramo riješiti jednačinu 3a 2 - 6a = 9. Njeni korijeni a = 1, a = 3 (sl. 3).

4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9(x + 1);

y = 9x + 8 je tangentna jednačina;

1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f "(3) = 9;
4) y = 3 + 9(x - 3);

y = 9x – 24 je tangentna jednačina.

Zadatak 4. Napišite jednačinu tangente na graf funkcije y = 0,5x 2 - 3x + 1, koja prolazi pod uglom od 45° na pravu liniju y = 0 (slika 4).

Rješenje. Iz uslova f "(a) = tg 45 ° nalazimo a: a - 3 \u003d 1^a=4.

1. a = 4 - apscisa dodirne tačke.
2. f(4) = 8 - 12 + 1 = - 3.
3. f "(4) \u003d 4 - 3 \u003d 1.
4. y \u003d - 3 + 1 (x - 4).

y \u003d x - 7 - jednadžba tangente.

Lako je pokazati da se rješenje bilo kojeg drugog problema svodi na rješenje jednog ili više ključnih problema. Razmotrite sljedeća dva problema kao primjer.

1. Napišite jednačine tangenti na parabolu y = 2x 2 - 5x - 2, ako se tangente sijeku pod pravim uglom i jedna od njih dodiruje parabolu u tački sa apscisom 3 (slika 5).

Rješenje. Pošto je data apscisa dodirne tačke, prvi dio rješenja svodi se na ključni problem 1.

1. a \u003d 3 - apscisa dodirne točke jedne od strana pravog kuta.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) = 4x - 5, f "(3) = 7.
4. y \u003d 1 + 7 (x - 3), y = 7x - 20 - jednadžba prve tangente.

Neka a je ugao nagiba prve tangente. Pošto su tangente okomite, onda je ugao nagiba druge tangente. Iz jednačine y = 7x – 20 prve tangente imamo tg a = 7. Pronađite

To znači da je nagib druge tangente .

Dalje rješenje svodi se na ključni zadatak 3.

Neka je onda B(c; f(c)) tangentna tačka druge prave

1. - apscisa druge dodirne tačke.
2.
3.
4.
je jednadžba druge tangente.

Bilješka. Ugaoni koeficijent tangente može se lakše pronaći ako učenici znaju omjer koeficijenata okomitih pravih k 1 k 2 = - 1.

2. Napišite jednadžbe svih zajedničkih tangenti na grafove funkcija

Rješenje. Problem se svodi na pronalaženje apscisa zajedničkih tangentnih tačaka, odnosno na rješavanje ključnog problema 1 u opšti pogled, sastavljanje sistema jednačina i njegovo naknadno rješenje (slika 6).

1. Neka je a apscisa dodirne tačke koja leži na grafu funkcije y = x 2 + x + 1.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. y = a 2 + a + 1 + (2a + 1) (x - a) \u003d (2a + 1) x + 1 - a 2.

1. Neka je c apscisa tačke tangente koja leži na grafu funkcije
2.
3. f "(c) = c.
4.

Pošto su tangente uobičajene, onda

Dakle, y = x + 1 i y = - 3x - 3 su zajedničke tangente.

Osnovni cilj razmatranih zadataka je priprema učenika za samoprepoznavanje tipa ključnog zadatka pri rješavanju složenijih zadataka koji zahtijevaju određene istraživačke vještine (sposobnost analize, upoređivanja, generalizacije, postavljanja hipoteze i sl.). Takvi zadaci uključuju svaki zadatak u kojem je ključni zadatak uključen kao komponenta. Razmotrimo kao primjer problem (inverzan problemu 1) nalaženja funkcije iz porodice njenih tangenta.

3. Za koje su b i c linije y = x i y = - 2x tangente na graf funkcije y = x 2 + bx + c?

Rješenje.

Neka je t apscisa tačke dodira prave y = x sa parabolom y = x 2 + bx + c; p je apscisa tačke dodira prave y = - 2x sa parabolom y = x 2 + bx + c. Tada će jednačina tangente y = x poprimiti oblik y = (2t + b)x + c - t 2 , a jednačina tangente y = - 2x će poprimiti oblik y = (2p + b)x + c - p 2 .

Sastavite i riješite sistem jednačina

odgovor:

Zadaci za samostalno rješavanje

1. Napišite jednadžbe tangenti povučenih na graf funkcije y = 2x 2 - 4x + 3 u tačkama preseka grafika sa pravom y = x + 3.

Odgovor: y = - 4x + 3, y = 6x - 9,5.

2. Za koje vrijednosti a tangenta povučena na graf funkcije y = x 2 - ax u tački grafa sa apscisom x 0 = 1 prolazi kroz tačku M (2; 3) ?

Odgovor: a = 0,5.

3. Za koje vrijednosti p linija y = px - 5 dodiruje krivu y = 3x 2 - 4x - 2?

Odgovor: p 1 = - 10, p 2 \u003d 2.

4. Pronađite sve zajedničke tačke grafa funkcije y = 3x - x 3 i tangentu povučenu na ovaj graf kroz tačku P(0; 16).

Odgovor: A(2; - 2), B(- 4; 52).

5. Pronađite najkraću udaljenost između parabole y = x 2 + 6x + 10 i prave

odgovor:

6. Na krivulji y = x 2 - x + 1 pronađite tačku u kojoj je tangenta na graf paralelna s pravom y - 3x + 1 = 0.

Odgovor: M(2; 3).

7. Napišite jednadžbu tangente na graf funkcije y = x 2 + 2x - | 4x | koji ga dodiruje u dvije tačke. Napravite crtež.

Odgovor: y = 2x - 4.

8. Dokazati da prava y = 2x – 1 ne siječe krivu y = x 4 + 3x 2 + 2x. Pronađite udaljenost između njihovih najbližih tačaka.

odgovor:

9. Na paraboli y = x 2 uzimaju se dvije tačke sa apscisama x 1 = 1, x 2 = 3. Kroz ove tačke se povlači sekansa. U kojoj tački parabole će tangenta na nju biti paralelna sa povučenom sekantom? Napišite jednadžbe za sekans i tangentu.

Odgovor: y \u003d 4x - 3 - jednadžba sekante; y = 4x – 4 je tangentna jednačina.

10. Pronađite ugao q između tangenti na graf funkcije y \u003d x 3 - 4x 2 + 3x + 1, nacrtan u tačkama sa apscisama 0 i 1.

Odgovor: q = 45°.

11. U kojim tačkama tangenta na graf funkcije formira ugao od 135° sa osom Ox?

Odgovor: A(0; - 1), B(4; 3).

12. U tački A(1; 8) do krive povučena je tangenta. Odredite dužinu tangentnog segmenta zatvorenog između koordinatnih osa.

odgovor:

13. Napišite jednadžbu svih zajedničkih tangenti na grafove funkcija y = x 2 - x + 1 i y = 2x 2 - x + 0,5.

Odgovor: y = - 3x i y = x.

14. Pronađite udaljenost između tangenti na graf funkcije paralelno sa x-osom.

odgovor:

15. Odredite pod kojim uglovima parabola y = x 2 + 2x - 8 siječe x-osu.

Odgovor: q 1 = arctan 6, q 2 = arctan (- 6).

16. Na grafu funkcije pronaći sve tačke, od kojih tangenta u svakoj na ovaj graf siječe pozitivne poluose koordinata, odsijecajući jednake segmente od njih.

Odgovor: A(-3; 11).

17. Prava y = 2x + 7 i parabola y = x 2 – 1 seku se u tačkama M i N. Pronađite presečnu tačku K pravih tangentnih na parabolu u tačkama M i N.

Odgovor: K(1; - 9).

18. Za koje vrijednosti b je prava y = 9x + b tangenta na graf funkcije y = x 3 - 3x + 15?

Odgovor: - 1; 31.

19. Za koje vrijednosti k prava y = kx – 10 ima samo jednu zajedničku tačku sa grafikom funkcije y = 2x 2 + 3x – 2? Za pronađene vrijednosti k, odredite koordinate tačke.

Odgovor: k 1 = - 5, A(- 2; 0); k 2 = 11, B(2; 12).

20. Za koje vrijednosti b tangenta povučena na graf funkcije y = bx 3 – 2x 2 – 4 u tački sa apscisom x 0 = 2 prolazi kroz tačku M(1; 8)?

Odgovor: b = - 3.

21. Parabola sa vrhom na x-osi tangenta je na pravu koja prolazi kroz tačke A(1; 2) i B(2; 4) u tački B. Naći jednačinu parabole.

odgovor:

22. Pri kojoj vrijednosti koeficijenta k parabola y \u003d x 2 + kx + 1 dodiruje osu Ox?

Odgovor: k = q 2.

23. Pronađite uglove između prave y = x + 2 i krive y = 2x 2 + 4x - 3.

29. Naći rastojanje između tangenti na graf generatora funkcija sa pozitivnim smjerom ose Ox pod kutom od 45°.

odgovor:

30. Nađite geometrijsko mjesto vrhova svih parabola oblika y = x 2 + ax + b koji dodiruju pravu y = 4x - 1.

Odgovor: prava y = 4x + 3.

Književnost

1. Zvavich L.I., Shlyapochnik L.Ya., Chinkina M.V. Algebra i počeci analize: 3600 zadataka za učenike i studente. - M., Drfa, 1999.
2. Mordkovich A. Četvrti seminar za mlade nastavnike. Tema je "Derivatne aplikacije". - M., "Matematika", br. 21/94.
3. Formiranje znanja i vještina zasnovanih na teoriji postupne asimilacije mentalnih radnji. / Ed. P.Ya. Galperin, N.F. Talyzina. - M., Moskovski državni univerzitet, 1968.

Vaša privatnost nam je važna. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Molimo pročitajte našu politiku privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje ličnih podataka

Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje lične podatke prikupljamo:

Kada podnesete prijavu na stranici, mi možemo prikupiti razne informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše lične podatke:

Prikupljeno od nas lična informacija nam omogućava da vas kontaktiramo i informišemo o tome jedinstvene ponude, promocije i drugi događaji i nadolazeći događaji.
S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke kako bismo vam poslali važna obavještenja i komunikacije.
Lične podatke možemo koristiti i za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnom poticaju, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje trećim licima

Podatke koje dobijemo od vas ne otkrivamo trećim licima.

Izuzeci:

U slučaju da je to potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim nalogom, u sudskom postupku, i/ili na osnovu javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih organa na teritoriji Ruske Federacije - otkriti svoje lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno iz razloga sigurnosti, provođenja zakona ili drugih razloga javnog interesa.
U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo relevantnom nasljedniku treće strane.

Zaštita ličnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše lične podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i od neovlašćenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Održavanje vaše privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima komuniciramo o privatnosti i sigurnosnoj praksi i striktno provodimo praksu privatnosti.

Neka je data funkcija f koja u nekoj tački x 0 ima konačan izvod f (x 0). Tada prava koja prolazi kroz tačku (x 0; f (x 0)), koja ima nagib f '(x 0), naziva se tangenta.

Ali šta se dešava ako izvod u tački x 0 ne postoji? Postoje dvije opcije:

Tangenta na graf takođe ne postoji. Klasičan primjer je funkcija y = |x | u tački (0; 0).
Tangenta postaje vertikalna. To vrijedi, na primjer, za funkciju y = arcsin x u tački (1; π /2).

Tangentna jednadžba

Svaka nevertikalna prava linija data je jednadžbom oblika y = kx + b, gdje je k nagib. Tangenta nije izuzetak, a da bi se sastavila njena jednadžba u nekoj tački x 0, dovoljno je znati vrijednost funkcije i derivacije u ovoj tački.

Dakle, neka je funkcija data y = f (x), koja ima derivaciju y = f '(x) na segmentu. Tada se u bilo kojoj tački x 0 ∈ (a; b) može povući tangenta na graf ove funkcije, koja je data jednadžbom:

y \u003d f '(x 0) (x - x 0) + f (x 0)

Ovdje je f’(x 0) vrijednost derivacije u tački x 0, a f (x 0) je vrijednost same funkcije.

Zadatak. Zadana funkcija y = x 3 . Napišite jednadžbu za tangentu na graf ove funkcije u tački x 0 = 2.

Tangentna jednadžba: y = f '(x 0) (x - x 0) + f (x 0). Tačka x 0 = 2 nam je data, ali će se morati izračunati vrijednosti f (x 0) i f '(x 0).

Prvo, pronađimo vrijednost funkcije. Ovdje je sve lako: f (x 0) = f (2) = 2 3 = 8;
Sada pronađimo izvod: f '(x) = (x 3) ' = 3x 2;
Zamjena u izvodu x 0 = 2: f '(x 0) = f '(2) = 3 2 2 = 12;
Tako dobijamo: y = 12 (x - 2) + 8 = 12x - 24 + 8 = 12x - 16.
Ovo je tangentna jednadžba.

Zadatak. Sastavite jednadžbu tangente na graf funkcije f (x) \u003d 2sin x + 5 u tački x 0 \u003d π / 2.

Ovaj put nećemo detaljno opisivati svaku radnju - samo ćemo naznačiti ključne korake. Imamo:

f (x 0) = f (π / 2) = 2sin (π / 2) + 5 = 2 + 5 = 7;
f '(x) = (2sin x + 5) ' \u003d 2cos x;
f '(x 0) \u003d f '(π / 2) = 2cos (π / 2) \u003d 0;

Tangentna jednadžba:

y = 0 (x − π /2) + 7 ⇒ y = 7

U potonjem slučaju, linija se pokazala horizontalnom, jer njegov nagib k = 0. U tome nema ništa loše - upravo smo naišli na tačku ekstrema.

Razmotrite sljedeću sliku:

Prikazuje neku funkciju y = f(x) koja je diferencibilna u tački a. Označena tačka M sa koordinatama (a; f(a)). Kroz proizvoljnu tačku P(a + ∆x; f(a + ∆x)) grafa povlači se sekansa MP.

Ako se sada tačka P pomeri duž grafika do tačke M, tada će prava linija MP rotirati oko tačke M. U ovom slučaju, ∆x će težiti nuli. Odavde možemo formulirati definiciju tangente na graf funkcije.

Tangenta na graf funkcije

Tangenta na graf funkcije je granična pozicija sekansa kada inkrement argumenta teži nuli. Treba shvatiti da postojanje derivacije funkcije f u tački x0 znači da u ovoj tački grafa postoji tangenta za njega.

U ovom slučaju, nagib tangente će biti jednak derivaciji ove funkcije u ovoj tački f’(x0). Ovo je geometrijskom smislu derivat. Tangenta na graf funkcije f diferencibilne u tački x0 je neka prava linija koja prolazi kroz tačku (x0;f(x0)) i ima nagib f’(x0).

Tangentna jednadžba

Pokušajmo dobiti jednadžbu tangente na graf neke funkcije f u tački A(x0; f(x0)). Jednačina prave linije sa nagibom k ima sljedeći oblik:

Pošto je naš nagib jednak izvodu f'(x0), tada će jednačina poprimiti sljedeći oblik: y = f'(x0)*x + b.

Sada izračunajmo vrijednost b. Da bismo to učinili, koristimo činjenicu da funkcija prolazi kroz tačku A.

f(x0) = f’(x0)*x0 + b, odavde izražavamo b i dobijamo b = f(x0) - f’(x0)*x0.

Dobivenu vrijednost zamjenjujemo u tangentnu jednadžbu:

y = f'(x0)*x + b = f'(x0)*x + f(x0) - f'(x0)*x0 = f(x0) + f'(x0)*(x - x0).

y = f(x0) + f'(x0)*(x - x0).

Razmotrite sljedeći primjer: pronađite jednadžbu tangente na graf funkcije f (x) \u003d x 3 - 2 * x 2 + 1 u tački x = 2.

2. f(x0) = f(2) = 2 2 - 2*2 2 + 1 = 1.

3. f'(x) = 3*x 2 - 4*x.

4. f'(x0) = f'(2) = 3*2 2 - 4*2 = 4.

5. Zamijenite dobijene vrijednosti u tangentnu formulu, dobijamo: y = 1 + 4*(x - 2). Otvarajući zagrade i donoseći slične članove, dobijamo: y = 4*x - 7.

Odgovor: y = 4*x - 7.

Opća šema za sastavljanje tangentne jednačine na graf funkcije y = f(x):

1. Odrediti x0.

2. Izračunajte f(x0).

3. Izračunajte f'(x)

U sadašnjoj fazi razvoja obrazovanja, jedan od njegovih glavnih zadataka je formiranje kreativno misleće ličnosti. Sposobnost za kreativnost kod učenika se može razviti samo ako su sistematski uključeni u osnove istraživačke aktivnosti. Osnova da učenici koriste svoje kreativne snage, sposobnosti i talente su formirana punopravna znanja i vještine. U tom smislu, problem formiranja sistema osnovnih znanja i vještina za svaku temu školskog predmeta matematike nije od male važnosti. U isto vrijeme, punopravne vještine trebale bi biti didaktički cilj ne pojedinačnih zadataka, već njihovog pažljivo osmišljenog sistema. U najširem smislu, sistem se shvata kao skup međusobno povezanih elemenata koji imaju integritet i stabilnu strukturu.

a) tačka koja leži na ravni xOy (centralna olovka pravih);
b) ugaoni koeficijent (paralelni snop linija).

S tim u vezi, prilikom proučavanja teme "Tangenta na graf funkcije" u cilju izolacije elemenata sistema, identifikovali smo dvije vrste zadataka:

1) zadaci na tangentu zadatu tačkom kroz koju ona prolazi;
2) zadaci na tangentu zadanu njenim nagibom.

y \u003d f (a) + f "(a) (x - a)

Algoritam za sastavljanje jednadžbe tangente na graf funkcije y = f(x)

1. Označite slovom a apscisu dodirne tačke.
2. Naći f(a).
3. Pronađite f "(x) i f "(a).
4. Zamijenite pronađene brojeve a, f (a), f "(a) u opću jednadžbu tangente y \u003d f (a) \u003d f "(a) (x - a).

Ovaj algoritam se može sastaviti na osnovu samostalnog odabira operacija od strane učenika i redosleda njihovog izvođenja.

U prvoj vrsti zadataka identifikovana su dva ključna zadatka:

tangenta prolazi kroz tačku koja leži na krivulji (problem 1);
tangenta prolazi kroz tačku koja ne leži na krivulji (problem 2).

Zadatak 1. Izjednačiti tangentu na graf funkcije u tački M(3; – 2).

Rješenje. Tačka M(3; – 2) je tačka kontakta, pošto

1. a = 3 - apscisa dodirne tačke.
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) = x 2 - 4, f "(3) = 5.
y = - 2 + 5 (x - 3), y = 5x - 17 je tangentna jednadžba.

Zadatak 2. Napišite jednačine svih tangenti na graf funkcije y = - x 2 - 4x + 2, prolazeći kroz tačku M(- 3; 6).

Rješenje. Tačka M(– 3; 6) nije tangentna tačka, jer je f(– 3) 6 (slika 2).

2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f "(x) = - 2x - 4, f "(a) = - 2a - 4.
4. y \u003d - a 2 - 4a + 2 - 2 (a + 2) (x - a) - tangentna jednadžba.

Tangenta prolazi kroz tačku M(– 3; 6), pa njene koordinate zadovoljavaju jednačinu tangente.

6 = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),
a 2 + 6a + 8 = 0 ^ a 1 = - 4, a 2 = - 2.

Ako je a = – 4, onda je tangentna jednadžba y = 4x + 18.

Ako je a \u003d - 2, tada tangentna jednadžba ima oblik y = 6.

U drugoj vrsti, ključni zadaci će biti sljedeći:

tangenta je paralelna nekoj pravoj liniji (problem 3);
tangenta prolazi pod nekim uglom na datu pravu (problem 4).

Zadatak 3. Napišite jednadžbe svih tangenti na graf funkcije y = x 3 - 3x 2 + 3, paralelno s pravom y = 9x + 1.

1. a - apscisa dodirne tačke.
2. f(a) = a 3 - 3a 2 + 3.
3. f "(x) = 3x 2 - 6x, f "(a) = 3a 2 - 6a.

Ali, s druge strane, f "(a) = 9 (uslov paralelizma). Dakle, moramo riješiti jednačinu 3a 2 - 6a = 9. Njeni korijeni a = 1, a = 3 (sl. 3).

4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9(x + 1);

y = 9x + 8 je tangentna jednačina;

1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f "(3) = 9;
4) y = 3 + 9(x - 3);

y = 9x – 24 je tangentna jednačina.

Zadatak 4. Napišite jednačinu tangente na graf funkcije y = 0,5x 2 - 3x + 1, koja prolazi pod uglom od 45° na pravu liniju y = 0 (slika 4).

Rješenje. Iz uslova f "(a) = tg 45 ° nalazimo a: a - 3 \u003d 1 ^ a \u003d 4.

1. a = 4 - apscisa dodirne tačke.
2. f(4) = 8 - 12 + 1 = - 3.
3. f "(4) \u003d 4 - 3 \u003d 1.
4. y \u003d - 3 + 1 (x - 4).

y \u003d x - 7 - jednadžba tangente.

Lako je pokazati da se rješenje bilo kojeg drugog problema svodi na rješenje jednog ili više ključnih problema. Razmotrite sljedeća dva problema kao primjer.

1. Napišite jednačine tangenti na parabolu y = 2x 2 - 5x - 2, ako se tangente sijeku pod pravim uglom i jedna od njih dodiruje parabolu u tački sa apscisom 3 (slika 5).

Rješenje. Pošto je data apscisa dodirne tačke, prvi dio rješenja svodi se na ključni problem 1.

1. a \u003d 3 - apscisa dodirne točke jedne od strana pravog kuta.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) = 4x - 5, f "(3) = 7.
4. y \u003d 1 + 7 (x - 3), y = 7x - 20 - jednadžba prve tangente.

Neka je a nagib prve tangente. Pošto su tangente okomite, onda je ugao nagiba druge tangente. Iz jednačine y = 7x – 20 prve tangente imamo tg a = 7. Pronađite

To znači da je nagib druge tangente .

Dalje rješenje svodi se na ključni zadatak 3.

Neka je onda B(c; f(c)) tangentna tačka druge prave

1. - apscisa druge dodirne tačke.
2.
3.
4.
je jednadžba druge tangente.

Bilješka. Ugaoni koeficijent tangente može se lakše pronaći ako učenici znaju omjer koeficijenata okomitih pravih k 1 k 2 = - 1.

2. Napišite jednadžbe svih zajedničkih tangenti na grafove funkcija

Rješenje. Zadatak se svodi na pronalaženje apscisa dodirnih tačaka zajedničkih tangenti, odnosno na općenito rješavanje ključnog problema 1, sastavljanje sistema jednačina i njegovo rješavanje (slika 6).

1. Neka je a apscisa dodirne tačke koja leži na grafu funkcije y = x 2 + x + 1.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. y = a 2 + a + 1 + (2a + 1) (x - a) \u003d (2a + 1) x + 1 - a 2.

1. Neka je c apscisa tačke tangente koja leži na grafu funkcije
2.
3. f "(c) = c.
4.