Dnes sa vydáme do krajiny geometrie, kde sa zoznámime rôzne druhy trojuholníky.
Zvážte geometrické obrazce a nájdite medzi nimi „extra“ (obr. 1).
Ryža. 1. Napríklad ilustrácia
Vidíme, že obrázky č. 1, 2, 3, 5 sú štvoruholníky. Každý z nich má svoj názov (obr. 2).
Ryža. 2. Štvoruholníky
To znamená, že „extra“ obrazec je trojuholník (obr. 3).
Ryža. 3. Napríklad ilustrácia
Trojuholník je obrazec, ktorý pozostáva z troch bodov, ktoré neležia na rovnakej priamke, a troch segmentov spájajúcich tieto body v pároch.
Body sú tzv vrcholy trojuholníka, segmenty - jeho strany. Formujú sa strany trojuholníka Vo vrcholoch trojuholníka sú tri uhly.
Hlavnými znakmi trojuholníka sú tri strany a tri rohy. Trojuholníky sú klasifikované podľa uhla ostré, pravouhlé a tupé.
Trojuholník sa nazýva ostrý, ak sú všetky jeho tri uhly ostré, teda menšie ako 90° (obr. 4).
Ryža. 4. Akútny trojuholník
Trojuholník sa nazýva pravouhlý, ak jeden z jeho uhlov je 90° (obr. 5).
Ryža. 5. Pravý trojuholník
Trojuholník sa nazýva tupý, ak je jeden z jeho uhlov tupý, teda väčší ako 90° (obr. 6).
Ryža. 6. Tupý trojuholník
Podľa počtu rovnakých strán sú trojuholníky rovnostranné, rovnoramenné, skalnaté.
Rovnoramenný trojuholník je trojuholník, v ktorom sú dve strany rovnaké (obr. 7).
Ryža. 7. Rovnoramenný trojuholník
Tieto strany sú tzv bočné, tretia strana - základ. V rovnoramennom trojuholníku sú uhly na základni rovnaké.
Rovnoramenné trojuholníky sú akútne a tupé(obr. 8) .
Ryža. 8. Ostré a tupé rovnoramenné trojuholníky
Nazýva sa rovnostranný trojuholník, v ktorom sú všetky tri strany rovnaké (obr. 9).
Ryža. 9. Rovnostranný trojuholník
V rovnostrannom trojuholníku všetky uhly sú rovnaké. Rovnostranné trojuholníky vždy ostrý uhlový.
Trojuholník sa nazýva všestranný, v ktorom majú všetky tri strany rôzne dĺžky (obr. 10).
Ryža. 10. Trojuholník stupnice
Dokončite úlohu. Rozdeľte tieto trojuholníky do troch skupín (obr. 11).
Ryža. 11. Ilustrácia k úlohe
Najprv si rozdeľme podľa veľkosti uhlov.
Ostré trojuholníky: č.1, č.3.
Pravé trojuholníky: #2, #6.
Tupé trojuholníky: #4, #5.
Tieto trojuholníky sú rozdelené do skupín podľa počtu rovnakých strán.
Trojuholníky stupnice: č. 4, č. 6.
Rovnoramenné trojuholníky: č. 2, č. 3, č. 5.
Rovnostranný trojuholník: č.1.
Skontrolujte výkresy.
Zamyslite sa nad tým, z akého kusu drôtu je každý trojuholník vyrobený (obr. 12).
Ryža. 12. Ilustrácia k úlohe
Môžete takto argumentovať.
Prvý kus drôtu je rozdelený na tri rovnaké časti, takže z neho môžete vytvoriť rovnostranný trojuholník. Je znázornený ako tretí na obrázku.
Druhý kus drôtu je rozdelený na tri rôzne časti, takže si z neho môžete urobiť scalene trojuholník. Na obrázku je zobrazený ako prvý.
Tretí kus drôtu je rozdelený na tri časti, pričom obe časti sú rovnako dlhé, takže z neho vytvoríte rovnoramenný trojuholník. Na obrázku je znázornený ako druhý.
Dnes sme sa v lekcii zoznámili s rôznymi typmi trojuholníkov.
Bibliografia
- M.I. Moro, M.A. Bantová a i. Matematika: Učebnica. 3. ročník: v 2 častiach, časť 1. - M .: "Osvietenie", 2012.
- M.I. Moro, M.A. Bantová a i. Matematika: Učebnica. 3. ročník: v 2 častiach, časť 2. - M .: "Osvietenie", 2012.
- M.I. Moreau. Hodiny matematiky: Smernice pre učiteľa. 3. ročník - M.: Vzdelávanie, 2012.
- Regulačný dokument. Monitorovanie a hodnotenie výsledkov vzdelávania. - M.: "Osvietenie", 2011.
- "Ruská škola": Programy pre Základná škola. - M.: "Osvietenie", 2011.
- S.I. Volkov. Matematika: Testovacia práca. 3. ročník - M.: Vzdelávanie, 2012.
- V.N. Rudnitskaja. Testy. - M.: "Skúška", 2012.
- Nsportal.ru ().
- Prosv.ru ().
- Do.gendocs.ru ().
Domáca úloha
1. Dokončite frázy.
a) Trojuholník je obrazec, ktorý pozostáva z ..., neležiac na tej istej priamke, a ..., spájajúcich tieto body do párov.
b) Body sa nazývajú … , segmenty - jeho … . Strany trojuholníka tvoria vrcholy trojuholníka ….
c) Podľa veľkosti uhla sú trojuholníky ..., ..., ....
d) Podľa počtu rovnakých strán sú trojuholníky ..., ..., ....
2. Nakreslite
b) ostrý trojuholník;
c) tupý trojuholník;
d) rovnostranný trojuholník;
e) stupnicový trojuholník;
e) rovnoramenný trojuholník.
3. Urobte úlohu na tému hodiny pre svojich spolubojovníkov.
Dnes sa vyberieme do krajiny Geometrie, kde sa zoznámime s rôznymi typmi trojuholníkov.
Preskúmajte geometrické tvary a nájdite medzi nimi „extra“ (obr. 1).
Ryža. 1. Napríklad ilustrácia
Vidíme, že obrázky č. 1, 2, 3, 5 sú štvoruholníky. Každý z nich má svoj názov (obr. 2).
Ryža. 2. Štvoruholníky
To znamená, že „extra“ obrazec je trojuholník (obr. 3).
Ryža. 3. Napríklad ilustrácia
Trojuholník je obrazec, ktorý pozostáva z troch bodov, ktoré neležia na rovnakej priamke, a troch segmentov spájajúcich tieto body v pároch.
Body sú tzv vrcholy trojuholníka, segmenty - jeho strany. Formujú sa strany trojuholníka Vo vrcholoch trojuholníka sú tri uhly.
Hlavnými znakmi trojuholníka sú tri strany a tri rohy. Trojuholníky sú klasifikované podľa uhla ostré, pravouhlé a tupé.
Trojuholník sa nazýva ostrý, ak sú všetky jeho tri uhly ostré, teda menšie ako 90° (obr. 4).
Ryža. 4. Akútny trojuholník
Trojuholník sa nazýva pravouhlý, ak jeden z jeho uhlov je 90° (obr. 5).
Ryža. 5. Pravý trojuholník
Trojuholník sa nazýva tupý, ak je jeden z jeho uhlov tupý, teda väčší ako 90° (obr. 6).
Ryža. 6. Tupý trojuholník
Podľa počtu rovnakých strán sú trojuholníky rovnostranné, rovnoramenné, skalnaté.
Rovnoramenný trojuholník je trojuholník, v ktorom sú dve strany rovnaké (obr. 7).
Ryža. 7. Rovnoramenný trojuholník
Tieto strany sú tzv bočné, tretia strana - základ. V rovnoramennom trojuholníku sú uhly na základni rovnaké.
Rovnoramenné trojuholníky sú akútne a tupé(obr. 8) .
Ryža. 8. Ostré a tupé rovnoramenné trojuholníky
Nazýva sa rovnostranný trojuholník, v ktorom sú všetky tri strany rovnaké (obr. 9).
Ryža. 9. Rovnostranný trojuholník
V rovnostrannom trojuholníku všetky uhly sú rovnaké. Rovnostranné trojuholníky vždy ostrý uhlový.
Trojuholník sa nazýva všestranný, v ktorom majú všetky tri strany rôzne dĺžky (obr. 10).
Ryža. 10. Trojuholník stupnice
Dokončite úlohu. Rozdeľte tieto trojuholníky do troch skupín (obr. 11).
Ryža. 11. Ilustrácia k úlohe
Najprv si rozdeľme podľa veľkosti uhlov.
Ostré trojuholníky: č.1, č.3.
Pravé trojuholníky: #2, #6.
Tupé trojuholníky: #4, #5.
Tieto trojuholníky sú rozdelené do skupín podľa počtu rovnakých strán.
Trojuholníky stupnice: č. 4, č. 6.
Rovnoramenné trojuholníky: č. 2, č. 3, č. 5.
Rovnostranný trojuholník: č.1.
Skontrolujte výkresy.
Zamyslite sa nad tým, z akého kusu drôtu je každý trojuholník vyrobený (obr. 12).
Ryža. 12. Ilustrácia k úlohe
Môžete takto argumentovať.
Prvý kus drôtu je rozdelený na tri rovnaké časti, takže z neho môžete vytvoriť rovnostranný trojuholník. Je znázornený ako tretí na obrázku.
Druhý kus drôtu je rozdelený na tri rôzne časti, takže si z neho môžete urobiť scalene trojuholník. Na obrázku je zobrazený ako prvý.
Tretí kus drôtu je rozdelený na tri časti, pričom obe časti sú rovnako dlhé, takže z neho vytvoríte rovnoramenný trojuholník. Na obrázku je znázornený ako druhý.
Dnes sme sa v lekcii zoznámili s rôznymi typmi trojuholníkov.
Bibliografia
- M.I. Moro, M.A. Bantová a i. Matematika: Učebnica. 3. ročník: v 2 častiach, časť 1. - M .: "Osvietenie", 2012.
- M.I. Moro, M.A. Bantová a i. Matematika: Učebnica. 3. ročník: v 2 častiach, časť 2. - M .: "Osvietenie", 2012.
- M.I. Moreau. Hodiny matematiky: Pokyny pre učiteľov. 3. ročník - M.: Vzdelávanie, 2012.
- Regulačný dokument. Monitorovanie a hodnotenie výsledkov vzdelávania. - M.: "Osvietenie", 2011.
- "Ruská škola": Programy pre základnú školu. - M.: "Osvietenie", 2011.
- S.I. Volkov. Matematika: Testovacia práca. 3. ročník - M.: Vzdelávanie, 2012.
- V.N. Rudnitskaja. Testy. - M.: "Skúška", 2012.
- Nsportal.ru ().
- Prosv.ru ().
- Do.gendocs.ru ().
Domáca úloha
1. Dokončite frázy.
a) Trojuholník je obrazec, ktorý pozostáva z ..., neležiac na tej istej priamke, a ..., spájajúcich tieto body do párov.
b) Body sa nazývajú … , segmenty - jeho … . Strany trojuholníka tvoria vrcholy trojuholníka ….
c) Podľa veľkosti uhla sú trojuholníky ..., ..., ....
d) Podľa počtu rovnakých strán sú trojuholníky ..., ..., ....
2. Nakreslite
a) pravouhlý trojuholník
b) ostrý trojuholník;
c) tupý trojuholník;
d) rovnostranný trojuholník;
e) stupnicový trojuholník;
e) rovnoramenný trojuholník.
3. Urobte úlohu na tému hodiny pre svojich spolubojovníkov.
Trojuholník je mnohouholník s tromi stranami (alebo tromi rohmi). Strany trojuholníka sú často označené malými písmenami, ktoré zodpovedajú veľké písmená označujúce opačné vrcholy.
Ostrý trojuholník Trojuholník sa nazýva, ak sú všetky tri uhly ostré.
tupý trojuholník Trojuholník sa nazýva, ak je jeden z jeho uhlov tupý.
správny trojuholník nazýva sa trojuholník, v ktorom je jeden z uhlov pravý, to znamená 90 °; strany a, b zvierajúce pravý uhol sa nazývajú nohy; strana c oproti pravému uhlu sa nazýva hypotenzia.
Rovnoramenný trojuholník nazýva sa trojuholník, v ktorom sú dve jeho strany rovnaké (a \u003d c); tieto rovné strany sa nazývajú bočné, volá sa tretia strana základňa trojuholníka.
rovnostranný trojuholník nazývame trojuholník, ktorého všetky strany sú rovnaké (a = b = c). Ak žiadna z jeho strán (abc) nie je rovnaká v trojuholníku, potom je to toto nerovný trojuholník.
Základné vlastnosti trojuholníkov
V akomkoľvek trojuholníku:
Znaky rovnosti trojuholníkov
Trojuholníky sú zhodné, ak sa navzájom rovnajú:
Znaky rovnosti pravouhlých trojuholníkov
Dva pravouhlé trojuholníky sú rovnaké, ak je splnená jedna z nasledujúcich podmienok:
Výškatrojuholník je kolmica spadnutá z ľubovoľného vrcholu na opačnú stranu (alebo jej pokračovanie). Táto strana je tzv základňa trojuholníka. Tri výšky trojuholníka sa vždy pretínajú v jednom bode, tzv trojuholníkové ortocentrum.
Ortocentrum ostrého trojuholníka sa nachádza vo vnútri trojuholníka a ortocentrum tupého trojuholníka je vonku; Ortocentrum pravouhlého trojuholníka sa zhoduje s vrcholom pravého uhla.
Medián je úsečka, ktorá spája ľubovoľný vrchol trojuholníka so stredom protiľahlej strany. Tri stredy trojuholníka sa pretínajú v jednom bode, ktorý vždy leží vo vnútri trojuholníka a je jeho ťažiskom. Tento bod rozdeľuje každý medián 2:1 zhora.
Bisector je segment osy uhla od vrcholu k priesečníku s opačnou stranou. Tri osi trojuholníka sa pretínajú v jednom bode, ktorý vždy leží vo vnútri trojuholníka a je stredom vpísanej kružnice. Osa rozdeľuje opačnú stranu na časti proporcionálne k susedným stranám.
Stredná kolmá je kolmica vedená zo stredu segmentu (strany). Tri stredné kolmice trojuholníka sa pretínajú v jednom bode, ktorý je stredom kružnice opísanej.
AT ostrý trojuholník tento bod leží vo vnútri trojuholníka, v tupom trojuholníku - vonku, v obdĺžnikovom - v strede prepony. Ortocentrum, ťažisko, stred opísanej kružnice a stred vpísanej kružnice sa zhodujú iba v rovnostrannom trojuholníku.
Pytagorova veta
V pravouhlom trojuholníku sa druhá mocnina dĺžky prepony rovná súčtu druhých mocnín dĺžok nôh.
Dôkaz Pytagorovej vety
Zostrojte štvorec AKMB pomocou prepony AB ako strany. Potom predĺžime strany pravouhlého trojuholníka ABC tak, aby sme dostali štvorec CDEF, ktorého strana je a + b. Teraz je jasné, že plocha štvorca CDEF je (a + b) 2. Na druhej strane sa táto plocha rovná súčtu plôch štyroch pravouhlých trojuholníkov a štvorca AKMB, tj.
c 2 + 4 (ab / 2) = c 2 + 2 ab,
c 2 + 2 ab = (a + b) 2,
a nakoniec tu máme:
c2 = a2 + b2.
Pomer strán v ľubovoľnom trojuholníku
Vo všeobecnom prípade (pre ľubovoľný trojuholník) máme:
c 2 \u003d a 2 + b 2 - 2 ab * cos C,
kde C je uhol medzi stranami a a b.
- school-club.ru - čo sú trojuholníky?
- math.ru - typy trojuholníkov;
- raduga.rkc-74.ru - všetko o trojuholníkoch pre najmenších.
Štandardná notácia
Trojuholník s vrcholmi A, B a C označené ako (pozri obr.). Trojuholník má tri strany:
Dĺžky strán trojuholníka sú označené malými písmenami s latinskými písmenami(a,b,c):
Trojuholník má tieto uhly:
Uhly v zodpovedajúcich vrcholoch sa tradične označujú gréckymi písmenami (α, β, γ).
Znaky rovnosti trojuholníkov
Trojuholník na euklidovskej rovine môže byť jednoznačne (až do kongruencie) definovaný nasledujúcimi trojicami základných prvkov:
- a, b, γ (rovnosť na dvoch stranách a uhol medzi nimi);
- a, β, γ (rovnosť strany a dvoch susedných uhlov);
- a, b, c (rovnosť na troch stranách).
Znaky rovnosti pravouhlých trojuholníkov:
- pozdĺž nohy a hypotenzie;
- na dvoch nohách;
- pozdĺž nohy a ostrého uhla;
- hypotenzia a ostrý uhol.
Niektoré body v trojuholníku sú „spárované“. Napríklad existujú dva body, z ktorých sú viditeľné všetky strany buď pod uhlom 60° alebo pod uhlom 120°. Volajú sa bodky Torricelli. Existujú aj dva body, ktorých priemety na strany ležia vo vrcholoch pravidelného trojuholníka. Toto je - body Apollonia. Body a pod Brocard body.
Priamy
V každom trojuholníku ležia ťažisko, ortocentrum a stred opísanej kružnice na tej istej priamke, tzv. Eulerova línia.
Čiara prechádzajúca stredom kružnice opísanej a bodom Lemoine sa nazýva Brokárova os. Ležia na nej Apolloniove body. Torricelliho body a bod Lemoine tiež ležia na rovnakej priamke. Základny vonkajších polôh uhlov trojuholníka ležia na tej istej priamke, tzv os vonkajších osi. Priesečníky priamok obsahujúcich strany pravouhlého trojuholníka s priamkami obsahujúcimi strany trojuholníka tiež ležia na tej istej priamke. Táto linka je tzv ortocentrická os, je kolmá na Eulerovu priamku.
Ak vezmeme bod na kružnici opísanej trojuholníku, potom jeho priemet na stranách trojuholníka bude ležať na jednej priamke, tzv. Simsonova priamka daný bod. Simsonove čiary diametrálne opačných bodov sú kolmé.
trojuholníky
- Trojuholník s vrcholmi na základniach cevianov pretiahnutý daným bodom sa nazýva cevický trojuholník tento bod.
- Trojuholník s vrcholmi v priemetoch daného bodu na strany sa nazýva pod kožu alebo pedálový trojuholník tento bod.
- Trojuholník s vrcholmi na druhom priesečníku priamok vedených cez vrcholy a daný bod s kružnicou opísanou sa nazýva cevický trojuholník. Ceviánsky trojuholník je podobný subdermálnemu.
kruhy
- Vpísaný kruh je kruh dotýkajúci sa všetkých troch strán trojuholníka. Ona je jediná. Stred vpísanej kružnice je tzv stred.
- Opísaný kruh- kružnica prechádzajúca všetkými tromi vrcholmi trojuholníka. Jedinečný je aj opísaný kruh.
- Zakrúžkovať- kružnica dotýkajúca sa jednej strany trojuholníka a predĺženie ostatných dvoch strán. V trojuholníku sú tri takéto kruhy. Ich radikálnym stredom je stred vpísanej kružnice stredového trojuholníka, tzv Spiekerova pointa.
Stredy troch strán trojuholníka, základne jeho troch výšok a stredy troch úsečiek spájajúcich jeho vrcholy s ortocentrom ležia na jednej kružnici tzv. kruh deviatich bodov alebo Eulerov kruh. Stred deväťbodovej kružnice leží na Eulerovej priamke. Kruh s deviatimi bodmi sa dotýka vpísanej kružnice a troch kružníc. Bod dotyku medzi vpísanou kružnicou a kružnicou deviatich bodov sa nazýva Feuerbachov bod. Ak z každého vrcholu rozložíme trojuholníky na rovné čiary obsahujúce strany, ortézy, ktoré sa rovnajú dĺžke protiľahlým stranám, potom výsledných šesť bodov leží na jednom kruhu - Conwayove kruhy. V akomkoľvek trojuholníku môžu byť vpísané tri kruhy tak, že každý z nich sa dotýka dvoch strán trojuholníka a dvoch ďalších kruhov. Takéto kruhy sa nazývajú Malfattiho kruhy. Stredy opísaných kružníc šiestich trojuholníkov, na ktoré je trojuholník rozdelený strednicami, ležia na jednej kružnici, ktorá je tzv. Lamunov kruh.
Trojuholník má tri kruhy, ktoré sa dotýkajú dvoch strán trojuholníka a kružnice opísanej. Takéto kruhy sa nazývajú polozapísaný alebo Verrierove kruhy. Segmenty spájajúce body dotyku Verrierových kružníc s kružnicou opísanou sa pretínajú v jednom bode, tzv. Verrierov bod. Slúži ako stred homotety, ktorá privádza opísanú kružnicu do kružnice. Dotykové body Verrierových kružníc so stranami ležia na priamke, ktorá prechádza stredom vpísanej kružnice.
Úsečky spájajúce dotykové body vpísanej kružnice s vrcholmi sa pretínajú v jednom bode, tzv. Gergonne bod, a segmenty spájajúce vrcholy s bodmi dotyku kružníc - in Nagelov bod.
Elipsy, paraboly a hyperboly
Vpísaná kužeľosečka (elipsa) a jej perspektíva
Do trojuholníka možno vpísať nekonečné množstvo kužeľosečiek (elipsy, paraboly alebo hyperboly). Ak do trojuholníka vpíšeme ľubovoľnú kužeľosečku a spojíme body dotyku s protiľahlými vrcholmi, potom sa výsledné priamky pretnú v jednom bode, tzv. perspektíva kužeľosečky. Pre každý bod roviny, ktorý neleží na strane alebo na jej predĺžení, existuje vpísaná kužeľosečka s perspektívou v tomto bode.
Steinerova elipsa opísaná a ceviany prechádzajúce jej ohniskami
Elipsa môže byť vpísaná do trojuholníka, ktorý sa dotýka strán v stredoch. Takáto elipsa sa nazýva Steinerova vpísaná elipsa(jeho perspektívou bude ťažisko trojuholníka). Opísaná elipsa, ktorá je dotyčnicou k čiaram prechádzajúcich vrcholmi rovnobežnými so stranami, sa nazýva opísaná Steinerovou elipsou. Ak afinná transformácia („skosenie“) prevedie trojuholník na pravidelný, potom jeho vpísaná a opísaná Steinerova elipsa prejde do vpísanej a opísanej kružnice. Ceviany ťahané cez ohniská opísanej Steinerovej elipsy (Skutinove body) sú rovnaké (Skutinova veta). Zo všetkých opísaných elips má opísaná Steinerova elipsa najmenšia plocha, a zo všetkých vpísaných elips má najväčšiu plochu Steinerova vpísaná elipsa.
Brocardova elipsa a jej perspektor - bod Lemoine
Volá sa elipsa s ohniskami v bodoch Brokar Brokartová elipsa. Jeho perspektíva je bod Lemoine.
Vlastnosti vpísanej paraboly
Kiepertova parabola
Perspektívy vpísaných parabol ležia na opísanej Steinerovej elipse. Ohnisko vpísanej paraboly leží na opísanom kruhu a priamka prechádza ortocentrom. Nazýva sa parabola vpísaná do trojuholníka, ktorého priamkou je Eulerova čiara Kiepertova parabola. Jej perspektíva je štvrtým priesečníkom kružnice opísanej a opísanej Steinerovej elipsy, tzv. Steinerov bod.
Cypertova hyperbola
Ak opísaná hyperbola prechádza priesečníkom výšok, potom je rovnostranná (to znamená, že jej asymptoty sú kolmé). Priesečník asymptot rovnostrannej hyperboly leží na kruhu deviatich bodov.
Premeny
Ak sa priamky prechádzajúce vrcholmi a niektorým bodom neležiacim po stranách a ich predĺženia odrážajú vzhľadom na zodpovedajúce osi, potom sa ich obrazy tiež pretnú v jednom bode, ktorý je tzv. izogonálne konjugovať pôvodný (ak bod ležal na opísanej kružnici, potom budú výsledné čiary rovnobežné). Mnoho párov pozoruhodných bodov je izogonálne konjugovaných: stred opísanej kružnice a ortocentra, ťažisko a bod Lemoine, body Brocard. Apolloniove body sú izogonálne konjugované s Torricelliho bodmi a stred kružnice je izogonálne konjugovaný sám so sebou. Pri pôsobení izogonálnej konjugácie prechádzajú priame čiary do opísaných kužeľosečiek a opísané kužeľosečky do priamych línií. Kiepertova hyperbola a Brocardova os, Enzhabekova hyperbola a Eulerova čiara, Feuerbachova hyperbola a čiara stredov vpísanej kružnice sú teda izogonálne konjugované. Opísané kružnice subdermálnych trojuholníkov izogonálne konjugovaných bodov sa zhodujú. Ohniská vpísaných elipsy sú izogonálne konjugované.
Ak namiesto symetrického cevianu vezmeme cevian, ktorého základňa je rovnako vzdialená od stredu strany ako základňa pôvodného, potom sa aj takéto ceviany pretnú v jednom bode. Výsledná transformácia je tzv izotomická konjugácia. Tiež mapuje čiary k opísaným kužeľosečkám. Body Gergonne a Nagel sú izotomicky konjugované. Pri afinných transformáciách prechádzajú izotomicky konjugované body do izotomicky konjugovaných bodov. Pri izotomickej konjugácii prechádza opísaná Steinerova elipsa do priamky v nekonečne.
Ak v segmentoch odrezaných stranami trojuholníka od opísanej kružnice sú vpísané kružnice, ktoré sa dotýkajú strán v základniach cevianov pretiahnutých určitým bodom, a potom sú styčné body týchto kružníc spojené s opísaným kružnica s opačnými vrcholmi, potom sa takéto čiary pretnú v jednom bode. Transformácia roviny, zodpovedajúca pôvodnému bodu k výslednému, sa nazýva izokruhová transformácia. Zloženie izogonálnych a izotomických konjugácií je zložením izokruhovej transformácie so sebou samým. Táto kompozícia je projektívnou transformáciou, ktorá ponecháva strany trojuholníka na mieste a prevádza os vonkajších priesečníkov na priamku v nekonečne.
Ak budeme pokračovať v stranách Cevianskeho trojuholníka nejakého bodu a vezmeme ich priesečníky s príslušnými stranami, tak výsledné priesečníky budú ležať na jednej priamke, tzv. trilineárne polárneštartovací bod. Ortocentrická os - trilineárna polárna ortocentra; trilineárna polárna stredu vpísanej kružnice je osou vonkajších osi. Trilineárne polárne body ležiace na opísanej kužeľosečke sa pretínajú v jednom bode (pre opísanú kružnicu je to Lemoineov bod, pre opísanú Steinerovu elipsu je to ťažisko). Zloženie izogonálnej (alebo izotomickej) konjugácie a trilineárnej polárnej je dualitou transformáciou (ak bod izogonálne (izotomicky) konjugovaný s bodom leží na trilineárnej poláre bodu , potom trilineárna polárna bodu izogonálne (izotomicky) konjugovaný s bodom leží na trilineárnej poláre bodu ).
Kocky
Vzťahy v trojuholníku
Poznámka: v tejto sekcii sú , , dĺžky troch strán trojuholníka a , , sú uhly ležiace proti týmto trom stranám (opačné uhly).
trojuholníková nerovnosť
V nedegenerovanom trojuholníku je súčet dĺžok jeho dvoch strán väčší ako dĺžka tretej strany, v zdegenerovanom je rovný. Inými slovami, dĺžky strán trojuholníka súvisia s nasledujúcimi nerovnosťami:
Trojuholníková nerovnosť je jednou z axióm metrík.
Veta o súčte uhlov trojuholníka
Sínusová veta
,kde R je polomer kružnice opísanej trojuholníku. Z vety vyplýva, že ak a< b < c, то α < β < γ.
Kosínusová veta
Tangentová veta
Iné pomery
Metrické pomery v trojuholníku sú uvedené pre:
Riešenie trojuholníkov
Výpočet neznámych strán a uhlov trojuholníka na základe známych sa historicky nazýval „riešenia trojuholníka“. V tomto prípade sa používajú vyššie uvedené všeobecné trigonometrické vety.
Oblasť trojuholníka
Špeciálne prípady NotáciaPre oblasť platia nasledujúce nerovnosti:
Výpočet plochy trojuholníka v priestore pomocou vektorov
Nech sú vrcholy trojuholníka v bodoch , , .
Predstavme si plošný vektor . Dĺžka tohto vektora sa rovná ploche trojuholníka a smeruje pozdĺž normály k rovine trojuholníka:
Nech , kde , , sú projekcie trojuholníka na súradnicové roviny. V čom
a podobne
Plocha trojuholníka je .
Alternatívou je vypočítať dĺžky strán (pomocou Pytagorovej vety) a potom použiť Heronov vzorec.
Trojuholníkové teorémy
Desarguova veta: ak sú dva trojuholníky perspektívne (priamky prechádzajúce cez príslušné vrcholy trojuholníkov sa pretínajú v jednom bode), potom sa ich príslušné strany pretínajú na jednej priamke.
Sondova veta: ak sú dva trojuholníky perspektívne a ortologické (kolmice spadnuté z vrcholov jedného trojuholníka na strany protiľahlé k príslušným vrcholom trojuholníka a naopak), potom oba stredy ortológie (priesečníky týchto kolmic) a stred perspektívy ležať na jednej priamke kolmej na os perspektívy (priamka z Desarguesovej vety).
