Caos e ordine: un mondo frattale. Lavoro di ricerca "studio delle caratteristiche dei modelli frattali" I frattali nel mondo reale oggetto di studio

Frattali nel mondo che ci circonda.

Fatto da: studente di 9a elementare

MBOU Kirov scuola secondaria

Litovchenko Ekaterina Nikolaevna
Responsabile: insegnante di matematica

MBOU Kirov scuola secondaria

Kachula Natalia Nikolaevna

Introduzione…………………………………………………………………… 3

Oggetto di studio.

Soggetti di ricerca.

Ipotesi.

Obiettivi, obiettivi e metodi di ricerca.

Parte di ricerca. ……………………………………………. 7

Trovare una connessione tra i frattali e il triangolo di Pascal.

Trovare una connessione tra i frattali e il rapporto aureo.

Trovare una connessione tra frattali e numeri ricci.

Trovare una connessione tra frattali e opere letterarie.

3. Applicazione pratica dei frattali……………………………….. 13

4. Conclusione……………………………………………………………….. 15

4.1 Risultati dello studio.

5. Bibliografia………………………………………………………….. 16

Introduzione.

Oggetto di studio: Frattali .

Quando sembrava alla maggior parte delle persone che la geometria in natura fosse limitata a figure semplici come una linea, un cerchio, una sezione conica, un poligono, una sfera, una superficie quadratica, così come le loro combinazioni. Ad esempio, cosa potrebbe esserci di più bello dell'affermazione che i pianeti nel nostro sistema solare muoversi intorno al sole in orbite ellittiche?

Tuttavia, molti sistemi naturali sono così complessi e irregolari che utilizzare solo oggetti familiari della geometria classica per modellarli sembra senza speranza. Come, ad esempio, costruire un modello di una catena montuosa o di una corona di alberi in termini di geometria? Come descrivere la varietà di configurazioni biologiche che osserviamo nel mondo delle piante e degli animali? Immagina la complessità del sistema circolatorio, costituito da molti capillari e vasi, che fornisce sangue a ogni cellula del corpo umano. Immagina come sono disposti abilmente i polmoni e i reni, simili ad alberi con una struttura a corona ramificata.

La dinamica dei sistemi naturali reali può essere altrettanto complessa e irregolare. Come affrontare la modellazione di cascate a cascata o processi turbolenti che determinano il tempo?

I frattali e il caos matematico sono veicoli adatti per indagare le domande poste. Termine frattale si riferisce a una configurazione geometrica statica, come un'istantanea di una cascata. Caosè un termine dinamico usato per descrivere fenomeni simili al comportamento meteorologico turbolento. Spesso ciò che osserviamo in natura ci incuriosisce con la ripetizione infinita dello stesso schema, ingrandito o ridotto quante volte lo desideriamo. Ad esempio, un albero ha dei rami. Questi rami hanno rami più piccoli e così via. In teoria, l'elemento "fork" si ripete infinite volte, diventando sempre più piccolo. La stessa cosa può essere vista guardando una fotografia di un terreno montuoso. Prova a ingrandire un po' l'immagine della catena montuosa: vedrai di nuovo le montagne. È così che si manifesta la proprietà caratteristica dei frattali auto-somiglianza.

In molti lavori sui frattali, l'auto-somiglianza è usata come proprietà di definizione. Seguendo Benoit Madelbrot, riteniamo che i frattali dovrebbero essere definiti in termini di dimensione frattale (frazionaria). Da qui l'origine della parola frattale(dal lat. fratto - frazionario).

Il concetto di dimensione frazionaria è un concetto complesso, che si presenta in più fasi. Una linea è un oggetto unidimensionale e un piano è un oggetto bidimensionale. Se giri bene la retta e il piano, puoi aumentare la dimensione della configurazione risultante; in questo caso, la nuova dimensione sarà di solito frazionaria in un certo senso, cosa che dobbiamo chiarire. La relazione tra dimensione frazionaria e auto-somiglianza è che con l'aiuto dell'auto-somiglianza si può costruire un insieme di dimensione frazionaria nel modo più semplice. Anche nel caso di frattali molto più complessi, come il confine dell'insieme di Mandelbrot, quando non c'è pura auto-somiglianza, c'è una ripetizione quasi completa della forma base in una forma sempre più ridotta.

La parola "frattale" non è un termine matematico e non ha una definizione matematica rigida generalmente accettata. Può essere utilizzato quando la figura in questione ha una delle seguenti proprietà:

Multidimensionalità teorica (può essere continuata in un numero qualsiasi di dimensioni).

Se consideriamo un piccolo frammento di una figura regolare su scala molto ampia, sembrerà un frammento di una linea retta. Un frammento di un frattale su larga scala sarà lo stesso di qualsiasi altra scala. Per un frattale lo zoom in avanti non porta ad una semplificazione della struttura, a tutte le scale vedremo un quadro altrettanto complesso.

È auto-simile o approssimativamente auto-simile, ogni livello è simile al tutto

Le lunghezze, le aree e i volumi di alcuni frattali sono uguali a zero, altri girano all'infinito.

Ha una dimensione frazionaria.

Tipi di frattali: algebrico, geometrico, stocastico.

Algebrico i frattali sono il gruppo più numeroso di frattali. Sono ottenuti utilizzando processi non lineari in spazi n-dimensionali, ad esempio gli insiemi di Mandelbrot e Julia.

Il secondo gruppo di frattali - geometrico frattali. La storia dei frattali iniziò con i frattali geometrici, che furono studiati dai matematici nel 19° secolo. I frattali di questa classe sono i più visivi, perché l'auto-somiglianza è immediatamente visibile in essi. Questo tipo di frattali è ottenuto da semplici costruzioni geometriche. Quando si costruiscono questi frattali, viene solitamente preso un insieme di segmenti, sulla base dei quali verrà costruito il frattale. Inoltre, a questo insieme viene applicata una serie di regole, che le trasforma in una figura geometrica. Inoltre, lo stesso insieme di regole viene nuovamente applicato a ciascuna parte di questa figura. Ad ogni passo, la figura diventerà sempre più complessa e se immagini un numero infinito di tali operazioni, otterrai un frattale geometrico.

La figura a destra mostra il triangolo di Sierpinski - un frattale geometrico, che è formato come segue: nel primo passaggio vediamo un triangolo ordinario, nel passaggio successivo i punti medi dei lati sono collegati, formando 4 triangoli, uno dei quali è invertito. Successivamente, ripetiamo l'operazione con tutti i triangoli, tranne quelli invertiti, e così via all'infinito.

Esempi di frattali geometrici:

1.1 La stella di Koch

All'inizio del 20° secolo, i matematici erano alla ricerca di curve che non avessero una tangente in nessun punto. Ciò significava che la curva cambiava bruscamente direzione e, per di più, ad una velocità enormemente elevata (la derivata è uguale all'infinito). La ricerca di queste curve non è stata causata solo dal pigro interesse dei matematici. Il fatto è che all'inizio del 20° secolo la meccanica quantistica si è sviluppata molto rapidamente. Il ricercatore M. Brown ha abbozzato la traiettoria delle particelle sospese nell'acqua e ha spiegato questo fenomeno come segue: atomi liquidi in movimento casuale colpiscono le particelle sospese e quindi le mettono in movimento. Dopo una tale spiegazione del moto browniano, gli scienziati hanno dovuto affrontare il compito di trovare una curva che si avvicinasse al meglio al movimento delle particelle browniane. Per fare ciò, la curva doveva soddisfare le seguenti proprietà: non avere una tangente in nessun punto. Il matematico Koch ha proposto una di queste curve. Non entreremo nelle spiegazioni delle regole per la sua costruzione, ma ne forniremo semplicemente l'immagine, dalla quale tutto risulterà chiaro. Una proprietà importante che ha il confine del fiocco di neve di Koch... la sua lunghezza infinita. Questo può sembrare sorprendente, perché siamo abituati a gestire le curve del corso di calcolo. Di solito le curve lisce o almeno a tratti hanno sempre una lunghezza finita (che può essere verificata mediante integrazione). Mandelbrot, a questo proposito, ha pubblicato una serie di affascinanti articoli che esplorano il problema della misurazione della lunghezza della costa della Gran Bretagna. Come modello, ha utilizzato una curva frattale, che ricorda il bordo di un fiocco di neve, tranne per il fatto che in essa è stato introdotto un elemento di casualità, tenendo conto della casualità in natura. Di conseguenza, si è scoperto che la curva che descrive la costa ha una lunghezza infinita.

Spugna Menger

Un'altra nota classe di frattali sono Stocastico frattali, che si ottengono se uno qualsiasi dei suoi parametri viene modificato casualmente in un processo iterativo. Ciò si traduce in oggetti molto simili a quelli naturali: alberi asimmetrici, coste frastagliate, ecc. .

Soggetti di ricerca

Il triangolo di Pasquale.

In
la struttura del triangolo di Pascal - i lati dell'unità, ogni numero è uguale alla somma dei due situati sopra di esso. Il triangolo può essere continuato all'infinito.

Il triangolo di Pascal viene utilizzato per calcolare i coefficienti di espansione delle espressioni della forma (x+1) n . Partendo da un triangolo di unità, calcola i valori ad ogni livello successivo aggiungendo numeri adiacenti; l'ultima unità put. Pertanto, si può definire, ad esempio, che (x + 1) 4 = 1x 4 + 4x 3 + 6x 2 + 4x + 1x 0 .

Numeri ricci.

Pitagora per la prima volta, nel VI aC, attirò l'attenzione sul fatto che, aiutandosi a contare con i ciottoli, le persone a volte allineano le pietre nelle figure corrette. Puoi semplicemente mettere i sassi in fila: uno, due, tre. Se li mettiamo su due righe per formare dei rettangoli, troveremo che si ottengono tutti i numeri pari. Puoi disporre le pietre su tre file: ottieni numeri divisibili per tre. Qualsiasi numero divisibile per qualcosa può essere rappresentato da un rettangolo e solo i numeri primi non possono essere "rettangoli".

I numeri lineari sono numeri che non si decompongono in fattori, cioè la loro serie coincide con la serie dei numeri primi, integrata da uno: (1,2,3,5,7,11,13,17,19,23, . ..). Questi sono numeri primi.

Numeri piatti - numeri che possono essere rappresentati come prodotto di due fattori (4,6,8,9,10,12,14,15,...)

Numeri solidi - numeri espressi come prodotto di tre fattori (8,12,18,20,24,27,28, ...), ecc.

Numeri poligonali:

Numeri triangolari: (1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, ...)

I numeri quadrati sono il prodotto di due numeri identici, cioè sono quadrati perfetti: (1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, ..., n2, ...)

Numeri pentagonali: (1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, ...)

Numeri esagonali (1, 6, 15, 28, 45, ...)

Rapporto aureo..

rapporto aureo ( rapporto aureo, divisione nel rapporto estremo e medio, divisione armonica, numero di Fidia) - divisione di una quantità continua in parti in un rapporto tale in cui la parte maggiore si riferisce alla minore, come l'intera quantità alla maggiore. Nella figura a sinistra, il punto C produce la sezione aurea del segmento AB se: A S:AB = SV:AC.

Questa proporzione è solitamente indicata dalla lettera greca . È uguale 1.618. Da questa proporzione si può vedere che con il rapporto aureo, la lunghezza del segmento maggiore è la media geometrica delle lunghezze dell'intero segmento e della sua parte minore. Parti del rapporto aureo sono circa il 62% e il 38% dell'intero segmento. Un numero è associato a una sequenza di numeri interi fibonacci : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... frequente in natura. È generato dalla relazione di ricorrenza F n+2 =F n+1 +F n con condizioni iniziali F 1 =F 2 = 1.

Il più antico monumento letterario in cui si trova la divisione del segmento in relazione alla sezione aurea è il "Principio" di Euclide. Già nel secondo libro degli "Inizi", Euclide costruisce la sezione aurea, e in seguito la usa per costruire alcuni poligoni regolari e poliedri.

Ipotesi:

C'è una connessione tra frattali e

Il triangolo di Pasquale.

rapporto aureo.

numeri ricci.

Lavori letterari

1.4 Scopo del lavoro:

1. Far conoscere agli ascoltatori una nuova branca della matematica: i frattali.

2. Confutare o provare le ipotesi poste nell'opera.

Gli obiettivi della ricerca:

Elaborare e analizzare la letteratura sul tema di ricerca.

Considera diversi tipi di frattali.

Raccogli una raccolta di immagini frattali per la prima conoscenza del mondo dei frattali.

Stabilire relazioni tra il triangolo di Pascal, le opere letterarie, i numeri figurativi e il rapporto aureo.

Metodi di ricerca:

Teorico (studio e analisi teorica della letteratura scientifica e specializzata; generalizzazione dell'esperienza);

Pratico (compilazione di calcoli, generalizzazione dei risultati).

Parte di ricerca.

2.1 Trovare una connessione tra i frattali e il triangolo di Pascal.

Il triangolo di Pascal Il triangolo di Sierpinski

Quando si assegnano numeri dispari nel triangolo di Pascal, si ottiene il triangolo di Sierpinski. Il modello dimostra la proprietà dei coefficienti utilizzati nella "aritmetizzazione" dei programmi per computer, che li converte in equazioni algebriche.

2.1 Trovare una connessione tra i frattali e il rapporto aureo.

Dimensione dei frattali.

Da un punto di vista matematico, la dimensione è definita come segue.

Per gli oggetti unidimensionali: un aumento di 2 volte delle dimensioni lineari porta ad un aumento delle dimensioni (in questo caso, la lunghezza) di 2 volte, ad es. alle 21.

Per gli oggetti bidimensionali, un aumento di 2 volte delle dimensioni lineari porta ad un aumento della dimensione (area) di 4 volte, cioè in 2 2 . Facciamo un esempio. Data una circonferenza di raggio r, allora S= πr 2 .

Se raddoppiamo il raggio, allora: S1 = π(2 R) 2 ; S 1 \u003d 4π R 2 .

Per gli oggetti tridimensionali, un aumento di 2 volte delle dimensioni lineari porta a un aumento di 8 volte del volume, ad es. 2 3 .

Se prendiamo un cubo, allora V \u003d a 3, V "= (2a) 3 \u003d 8a; V" / V \u003d 8.

Tuttavia, la natura non obbedisce sempre a queste leggi. Proviamo a considerare la dimensione degli oggetti frattali usando un semplice esempio.

Immagina che una mosca voglia sedersi su un gomitolo di lana. Quando lo guarda da lontano, vede solo un punto, la cui dimensione è 0. Volando più vicino, vede prima un cerchio, la sua dimensione 2, e poi una palla - dimensione 3. Quando la mosca si siede sulla palla, non vedrà più la palla, ma esaminerà i villi, i fili, i vuoti, cioè un oggetto con una dimensione frazionaria.

La dimensione di un oggetto (l'esponente) mostra per quale legge cresce la sua area interna. Allo stesso modo, all'aumentare della dimensione, aumenta il "volume del frattale". Gli scienziati sono giunti alla conclusione che Un frattale è un insieme con una dimensione frazionaria.

I frattali come oggetti matematici sono sorti come risultato della necessità di una conoscenza scientifica del mondo in un'adeguata descrizione teorica di sistemi naturali sempre più complessi (come, ad esempio, una catena montuosa, una costa, una chioma di alberi, una cascata a cascata, un flusso d'aria turbolento in l'atmosfera, ecc.) e, in definitiva, nella modellazione matematica della natura nel suo insieme. E la sezione aurea, come sapete, è una delle manifestazioni più sorprendenti e stabili dell'armonia della natura. Pertanto, è del tutto possibile identificare la relazione degli oggetti di cui sopra, ad es. scopri il rapporto aureo nella teoria dei frattali.

Ricordiamo che il rapporto aureo è definito dall'espressione
(*) ed è l'unica radice positiva dell'equazione quadratica
.

Strettamente correlati al rapporto aureo sono i numeri di Fibonacci 1,1,2,3,5,8,13,21,…, ognuno dei quali è la somma dei due precedenti. In effetti, il valore è il limite di una serie composta dai rapporti dei numeri di Fibonacci vicini:
,

e il valore - il limite di una serie composta da rapporti di numeri di Fibonacci presi per uno:

Un frattale è una struttura composta da parti simili al tutto. Secondo un'altra definizione, un frattale è un oggetto geometrico con una dimensione frazionaria (non intera). Inoltre, un frattale nasce sempre come risultato di una sequenza infinita dello stesso tipo di operazioni geometriche per la sua costruzione, cioè è una conseguenza del passaggio al limite, che lo mette in relazione con il rapporto aureo, che rappresenta anche il limite di una serie infinita. Infine, la dimensione di un frattale è solitamente un numero irrazionale (come il rapporto aureo).

Alla luce di quanto sopra, non sorprende affatto che il fatto che le dimensioni di molti frattali classici possano essere espresse in termini di rapporto aureo con vari gradi di accuratezza non sia sorprendente. Quindi, ad esempio, le relazioni per le dimensioni del fiocco di neve di Koch D SC\u003d 1.2618595 ... e spugne Menger D GM\u003d 2.7268330 ... , tenendo conto che (*) può essere scritto come
e
.

Inoltre l'errore della prima espressione è solo 0,004%, e la seconda espressione è 0,1%, e tenendo conto del rapporto elementare 10=2 5 ne consegue che i valori D SC e D GM sono combinazioni del rapporto aureo e dei numeri di Fibonacci.

Dimensioni del tappeto Sierpinski D KS=1.5849625… e la polvere di Cantor D PC\u003d 0,6309297 ... può anche essere considerato vicino al rapporto aureo:
e
. L'errore di queste espressioni è del 2%.

La dimensione dell'insieme di Cantor non uniforme (a due scale) ampiamente utilizzato nelle applicazioni fisiche della teoria dei frattali (ad esempio nello studio della convezione termica) (le cui lunghezze dei segmenti generatori sono
e
- relazionarsi come numeri di Fibonacci:
) , ma D MK=0,6110… differisce dal valore
solo dell'1%.

Pertanto, il rapporto aureo e i frattali sono interconnessi.

2.2 Trovare una connessione tra frattali e numeri ricci .

Considera ogni gruppo di numeri.

Il primo numero è 1. Il numero successivo è 3. Si ottiene sommando due punti al numero precedente, 1, in modo che la cifra desiderata diventi un triangolo. Nel terzo passaggio, aggiungiamo tre punti, mantenendo la forma di un triangolo. Nei passaggi successivi vengono aggiunti n punti, dove n è il numero ordinale del numero triangolare. Ogni numero si ottiene sommando un certo numero di punti al precedente. Questa proprietà ha prodotto una formula ricorsiva per i numeri triangolari: t n = n + t n -1 .

Il primo numero è 1. Il numero successivo è 4. Si ottiene sommando 3 punti al numero precedente sotto forma di un angolo retto per formare un quadrato. La formula per i numeri quadrati è molto semplice, deriva dal nome di questo gruppo di numeri: g n = n 2 . Ma anche, oltre a questa formula, puoi derivare una formula ricorsiva per i numeri quadrati. Per fare ciò, considera i primi cinque numeri quadrati:

g n = g n-1 +2n-1

2 = 4 = 1+3 = 1+2 2-1

g 3 \u003d 9 \u003d 4 + 5 \u003d 4 + 2 3-1

g 4 \u003d 16 \u003d 9 + 7 \u003d 9 + 2 4-1

g 5 \u003d 25 \u003d 16 + 9 \u003d 16 + 2 5-1

Il primo numero è 1. Il numero successivo è 5. Si ottiene sommando quattro punti, quindi la cifra risultante assume la forma di un pentagono. Un lato di un tale pentagono contiene 2 punti. Nel passaggio successivo, ci saranno 3 punti su un lato, il numero totale di punti è 12. Proviamo a ricavare una formula per calcolare i numeri pentagonali. I primi cinque numeri pentagonali sono: 1, 5, 12, 22, 35. Sono formati come segue:

f 2 \u003d 5 \u003d 1 + 4 \u003d 1 + 3 2-2

f n \u003d f n-1 + 3n-2

3 = 12 = 5+7 = 5+3 3-2

f 4 \u003d 22 \u003d 12 + 10 \u003d 12 + 3 4-2

f 5 \u003d 35 \u003d 22 + 13 \u003d 22 + 3 5-2

Il primo numero è 1. Il secondo è 6. La figura appare come un esagono con un lato di 2 punti. Al terzo passaggio, già 15 punti sono allineati a forma di esagono con un lato di 3 punti. Ricaviamo la formula ricorsiva:

u n = u n-1 +4n-3

2 = 6=1+4 2-3

u 3 \u003d 15 \u003d 6 + 4 3-3

u 4 \u003d 28 \u003d 15 + 4 4-3

u 5 \u003d 45 \u003d 28 + 4 5-3

Se guardi da vicino, puoi vedere la connessione tra tutte le formule ricorrenti.

Per i numeri triangolari: t n = t n -1 + n = T n -1 +1 n -0

Per i numeri quadrati: g n = G n -1 +2 n -1

Per i numeri pentagonali: f n = F n -1 +3 n -2

Per i numeri esagonali: u n = tu n -1 +4 n -3

Vediamo che i numeri calcolati sono costruiti sulla ripetibilità: questo è chiaramente visibile nelle formule ricorsive. Possiamo tranquillamente affermare che i numeri calcolati hanno fondamentalmente una struttura frattale.

2.3 Trovare una connessione tra frattali e opere letterarie.

Consideriamo un frattale proprio come un'opera d'arte, caratterizzata da due caratteristiche principali: 1) la sua parte è in qualche modo simile al tutto (idealmente, questa sequenza di somiglianze si estende all'infinito, anche se nessuno ha mai visto una sequenza veramente infinita di iterazioni che costruiscono un fiocco di neve Koch; 2) la sua percezione avviene in una sequenza di livelli nidificati. Si noti che il fascino del frattale appare proprio lungo il percorso di questo ammaliante e vertiginoso sistema di livelli, il cui ritorno non è garantito.

Come puoi creare un testo infinito? Questa domanda è stata posta dall'eroe del racconto di H.-L. Borges “The Garden of Forking Paths”: “... mi sono chiesto come potesse un libro essere infinito. Non mi viene in mente altro che un volume ciclico, circolare, un volume in cui l'ultima pagina ripete la prima, che le permette di continuare all'infinito.

Vediamo quali altre soluzioni potrebbero esistere.

Il testo infinito più semplice sarà un testo di un numero infinito di elementi duplicati, o distici, la cui parte ripetuta è la sua "coda" - lo stesso testo con un numero qualsiasi di distici iniziali scartati. Schematicamente, un tale testo può essere rappresentato come un albero non ramificato o una sequenza periodica di distici ripetuti. Un'unità di testo - una frase, una strofa o una storia, inizia, si sviluppa e finisce, tornando al punto di partenza, il punto di transizione all'unità di testo successiva, ripetendo quella originale. Tale testo può essere paragonato a una frazione periodica infinita: 0,33333 ..., può anche essere scritto come 0, (3). Si può vedere che tagliare la "testa" - un numero qualsiasi di unità iniziali, non cambierà nulla e la "coda" corrisponderà esattamente all'intero testo.

Un albero infinito non ramificato è identico a se stesso da qualsiasi distico.

Tra queste opere infinite ci sono poesie per bambini o canzoni popolari, come, ad esempio, una poesia su un prete e il suo cane dalla poesia popolare russa, o la poesia di M. Yasnov "Scarecrow-Meow", che racconta di un gattino che canta di un gattino che canta di gattino. Oppure, il più breve: "Il prete aveva un cortile, c'era un paletto nel cortile, c'era una rafia sul paletto - non dovremmo iniziare la fiaba dall'inizio? ... Il prete aveva un cortile .. .”

Sto guidando e vedo un ponte, un corvo si bagna sotto il ponte,
Ho preso il corvo per la coda, l'ho messo sul ponte, ho lasciato asciugare il corvo.
Sto guidando e vedo un ponte, un corvo si asciuga sul ponte,
Ho preso il corvo per la coda, l'ho messo sotto il ponte, ho lasciato che il corvo si bagnasse...

A differenza dei distici infiniti, i frammenti dei frattali di Mandelbrot non sono ancora identici, ma simili tra loro, e questa qualità conferisce loro un fascino ammaliante. Pertanto, nello studio dei frattali letterari, si pone il compito di trovare somiglianza, somiglianza (e non identità) degli elementi testuali.

Nel caso dei distici infiniti, la sostituzione dell'identità con la somiglianza è stata effettuata in vari modi. Ci sono almeno due possibilità: 1) creare poesie con variazioni, 2) testi con estensioni.

Poesie con variazioni sono, ad esempio, la canzone popolare “Peggy ha vissuto un'oca allegra”, messa in circolazione da S. Nikitin, in cui variano le abitudini di Peggy e le loro abitudini.

Peggy ha avuto un'oca allegra

Conosceva tutte le canzoni a memoria.

Ah, che bella oca!

Balliamo, Peggy, balliamo!

Peggy aveva un cucciolo divertente

Poteva ballare al ritmo.

Ah, che cucciolo divertente!

Balliamo, Peggy, balliamo!

Peggy aveva una giraffa snella

Era elegante come un armadio,

Quella era una giraffa snella!

Balliamo, Peggy, balliamo!

Peggy aveva un simpatico pinguino

Ha distinto tutte le marche di vini,

Ah, che buffo pinguino!

Balliamo, Peggy, balliamo!

Peggy aveva un elefante divertente

ha mangiato il sincrofasotrone,

Ebbene, che allegro elefante,

Balliamo, Peggy, balliamo!

Se non un infinito, allora è già stato composto un numero piuttosto elevato di versi: si dice che la cassetta "Songs of our century" sia uscita con duecento variazioni del brano, e questo numero probabilmente continua a crescere. Qui cercano di superare l'infinità di versi identici a scapito della co-creazione, infantili, ingenui e divertenti.

Un'altra possibilità risiede nei testi con "incrementi". Queste sono le fiabe sulla rapa o sul kolobok a noi note fin dall'infanzia, in ogni episodio di cui aumenta il numero di personaggi:

"Teremok"

Pietà di mosca.
Fly-goryukha, zanzara-piskun.
Una mosca goryukha, una zanzara cigolante, un pidocchio del topo.
Una mosca goryukha, una zanzara pisello, una foglia di topo, una rana-rana.
Una mosca goryukha, una zanzara cigolante, una foglia di topo, una rana-rana, un coniglietto che salta.
Una mosca goryuha, una zanzara cigolante, una foglia di topo, una rana-rana, un coniglietto che salta, una sorella volpe.
Una mosca goryukha, una zanzara cigolante, un pidocchio del topo, una rana-rana, un coniglietto che salta, una sorella volpe, una coda grigio lupo.
Una mosca goryukha, una zanzara cigolante, un pidocchio del topo, una rana rana, un coniglio che salta, una sorella volpe, una coda grigio lupo, un orso, schiacci tutti.

Tali testi hanno una struttura "Albero di Natale" o "Matryoshka", in cui ogni livello ripete il precedente con un aumento delle dimensioni dell'immagine.

È stata creato da T. Vasilyeva:

Ora, penso, possiamo concludere che ci sono opere letterarie che hanno una struttura frattale.

3. Applicazione pratica dei frattali

I frattali stanno trovando sempre più applicazioni nella scienza. La ragione principale di ciò è che descrivono il mondo reale a volte anche meglio della fisica o della matematica tradizionali. Ecco alcuni esempi:

SISTEMI INFORMATICI

L'uso più utile dei frattali in informatica è la compressione dei dati frattali. Questo tipo di compressione si basa sul fatto che il mondo reale è ben descritto dalla geometria frattale. Allo stesso tempo, le immagini vengono compresse molto meglio di quanto non avvenga con i metodi convenzionali (come jpeg o gif). Un altro vantaggio della compressione frattale è che quando l'immagine viene ingrandita, non c'è alcun effetto pixel (aumentando la dimensione dei punti a dimensioni che distorcono l'immagine). Con la compressione frattale, dopo lo zoom, l'immagine spesso appare persino migliore di prima.

MECCANICA DEI FLUIDI

1. Lo studio della turbolenza nei flussi si adatta molto bene ai frattali. I flussi turbolenti sono caotici e quindi difficili da modellare accuratamente. E qui aiuta il passaggio alla rappresentazione frattale. Ciò facilita notevolmente il lavoro di ingegneri e fisici, consentendo loro di comprendere meglio la dinamica dei flussi complessi.

2. Le fiamme possono anche essere modellate usando i frattali.

3. I materiali porosi sono ben rappresentati in forma frattale poiché hanno una geometria molto complessa. È usato nella scienza del petrolio.

TELECOMUNICAZIONI

Per trasmettere dati a distanza, vengono utilizzate antenne a forma di frattale, che ne riducono notevolmente le dimensioni e il peso.

FISICA DELLE SUPERFICI

I frattali sono usati per descrivere la curvatura delle superfici. Una superficie irregolare è caratterizzata dalla combinazione di due diversi frattali.

LA MEDICINA

1. Interazioni dei biosensori.

2. Cuore che batte

BIOLOGIA

Modellazione di processi caotici, in particolare, nella descrizione di modelli di popolazione.

4. Conclusione

4.1 Risultati dello studio

Nel mio lavoro non sono indicate tutte le aree della conoscenza umana, dove la teoria dei frattali ha trovato la sua applicazione. Voglio solo dire che non è passato più di un terzo di secolo dall'emergere della teoria, ma durante questo periodo per molti ricercatori i frattali sono diventati un'improvvisa luce brillante nella notte, che ha illuminato fatti e schemi finora sconosciuti in specifici aree dati. Utilizzando la teoria dei frattali, iniziarono a spiegare l'evoluzione delle galassie e lo sviluppo della cellula, l'emergere delle montagne e la formazione delle nuvole, il movimento dei prezzi in borsa e lo sviluppo della società e della famiglia. Forse, all'inizio, questa passione per i frattali era persino troppo burrascosa e i tentativi di spiegare tutto usando la teoria dei frattali erano ingiustificati. Ma, senza dubbio, questa teoria ha il diritto di esistere.

Nel mio lavoro ho raccolto informazioni interessanti sui frattali, i loro tipi, dimensioni e proprietà, la loro applicazione, nonché il triangolo di Pascal, i numeri ricci, il rapporto aureo, le opere letterarie frattali e molto altro.

Durante lo studio è stato svolto il seguente lavoro:

La letteratura sul tema di ricerca è stata analizzata ed elaborata.

Vengono considerati e studiati vari tipi di frattali.

Una raccolta di immagini frattali è stata assemblata per la prima conoscenza del mondo dei frattali.

Sono state stabilite le relazioni tra i frattali e il triangolo di Pascal, le opere letterarie, i numeri ricci e il rapporto aureo.

Ero convinto che chi si occupa di frattali scopra un mondo meraviglioso, meraviglioso in cui regnano matematica, natura e arte. Penso che dopo aver familiarizzato con il mio lavoro, anche tu, come me, sarai convinto che la matematica sia bella e sorprendente.

5. Bibliografia:

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8. circostante noila pace come corpi solidi con... Trova programma di modellatura e visualizzazione frattali, esplora e costruisci multipli frattali. Letteratura 1.A.I.Azevich "Venti ...

Istituzione scolastica di bilancio comunale

"Scuola secondaria Siverskaya n. 3"

Ricerca

matematica.

Ha fatto il lavoro

Studente di 8a elementare

Emelin Pavel

consulente scientifico

insegnante di matematica

Tupitsyna Natalya Alekseevna

p.Siversky

anno 2014

La matematica è tutta permeata di bellezza e armonia,

Devi solo vedere questa bellezza.

B. Mandelbrot

introduzione

Capitolo 1. La storia dell'emergenza dei frattali _______ 5-6 pp.

Capitolo 2. Classificazione dei frattali.____________________6-10pp.

frattali geometrici

Frattali algebrici

frattali stocastici

Capitolo 3. "Geometria frattale della natura" ______ 11-13pp.

Capitolo 4. Applicazione dei frattali _______________13-15pp.

Capitolo 5 Lavoro pratico __________________ 16-24pp.

Conclusione_________________________________25.pagina

Elenco della letteratura e delle risorse Internet _______ 26 p.

introduzione

Matematica,

se lo guardi bene,

riflette non solo la verità,

ma anche incomparabile bellezza.

Bertrand Russel

La parola "frattale" è qualcosa di cui parlano molte persone in questi giorni, dagli scienziati agli studenti delle scuole superiori. Appare sulle copertine di molti libri di matematica, riviste scientifiche e scatole con software per computer. Le immagini a colori dei frattali oggi possono essere trovate ovunque: dalle cartoline, dalle magliette alle immagini sul desktop di un personal computer. Allora, quali sono queste forme colorate che vediamo in giro?

La matematica è la scienza più antica. Alla maggior parte delle persone sembrava che la geometria in natura fosse limitata a forme semplici come una linea, un cerchio, un poligono, una sfera e così via. Come si è scoperto, molti sistemi naturali sono così complessi che usare solo oggetti familiari della geometria ordinaria per modellarli sembra senza speranza. Come, ad esempio, costruire un modello di una catena montuosa o di una corona di alberi in termini di geometria? Come descrivere la diversità della diversità biologica che osserviamo nel mondo delle piante e degli animali? Come immaginare l'intera complessità del sistema circolatorio, costituito da molti capillari e vasi e che fornisce sangue a ogni cellula del corpo umano? Immagina la struttura dei polmoni e dei reni, simile ad alberi con una struttura a corona ramificata?

I frattali sono un mezzo adatto per esplorare le domande poste. Spesso ciò che vediamo in natura ci incuriosisce con la ripetizione infinita dello stesso schema, ingrandito o ridotto più volte. Ad esempio, un albero ha dei rami. Questi rami hanno rami più piccoli e così via. In teoria, l'elemento "fork" si ripete infinite volte, diventando sempre più piccolo. La stessa cosa può essere vista guardando una fotografia di un terreno montuoso. Prova a ingrandire un po' la catena montuosa: vedrai di nuovo le montagne. È così che si manifesta la proprietà di auto-somiglianza caratteristica dei frattali.

Lo studio dei frattali apre meravigliose possibilità, sia nello studio di un numero infinito di applicazioni, sia nel campo della matematica. L'uso dei frattali è molto ampio! Dopotutto, questi oggetti sono così belli che vengono utilizzati da designer, artisti, con l'aiuto di molti elementi di alberi, nuvole, montagne, ecc. Vengono disegnati in grafica. Ma i frattali sono anche usati come antenne in molti telefoni cellulari.

Per molti chaologi (scienziati che studiano i frattali e il caos), questo non è solo un nuovo campo di conoscenza che combina matematica, fisica teorica, arte e tecnologia informatica: questa è una rivoluzione. Questa è la scoperta di un nuovo tipo di geometria, la geometria che descrive il mondo che ci circonda e che può essere vista non solo nei libri di testo, ma anche nella natura e ovunque nell'universo sconfinato..

Nel mio lavoro ho anche deciso di “toccare” il mondo della bellezza e ho deciso per me stessa…

Obbiettivo: creare oggetti molto simili alla natura.

Metodi di ricerca Parole chiave: analisi comparativa, sintesi, modellizzazione.

Compiti:

conoscenza del concetto, della storia dell'occorrenza e della ricerca di B. Mandelbrot,

G. Koch, V. Sierpinsky e altri;

conoscenza con vari tipi insiemi frattali;

studio della letteratura scientifica popolare su questo tema, conoscenza

ipotesi scientifiche;

trovare conferma della teoria della frattalità del mondo circostante;

studio dell'uso dei frattali in altre scienze e nella pratica;

condurre un esperimento per creare le tue immagini frattali.

Domanda fondamentale del lavoro:

Dimostra che la matematica non è una materia arida e senz'anima, può esprimere il mondo spirituale di una persona individualmente e nella società nel suo insieme.

Materia di studio: Geometria frattale.

Oggetto di studio: frattali in matematica e nel mondo reale.

Ipotesi: Tutto ciò che esiste nel mondo reale è un frattale.

Metodi di ricerca: analitico, ricerca.

Rilevanza del tema dichiarato è determinato, in primo luogo, dall'oggetto della ricerca, che è la geometria frattale.

Risultati aspettati: Nel corso del lavoro, sarò in grado di ampliare le mie conoscenze nel campo della matematica, vedere la bellezza della geometria frattale e iniziare a lavorare sulla creazione dei miei frattali.

Il risultato del lavoro sarà la realizzazione di una presentazione al computer, un bollettino e un opuscolo.

Capitolo 1

Benoit Mandelbrot

Il termine "frattale" è stato coniato da Benoit Mandelbrot. La parola deriva dal latino "fractus", che significa "rotto, frantumato".

Frattale (lat. fractus - schiacciato, rotto, rotto) - un termine che indica una figura geometrica complessa con la proprietà dell'autosomiglianza, cioè composta da più parti, ognuna delle quali è simile all'intera figura nel suo insieme.

Gli oggetti matematici a cui si riferisce sono caratterizzati da proprietà estremamente interessanti. Nella geometria ordinaria, una linea ha una dimensione, una superficie ha due dimensioni e una figura spaziale è tridimensionale. I frattali, d'altra parte, non sono linee o superfici, ma, se puoi immaginarlo, una via di mezzo. All'aumentare delle dimensioni aumenta anche il volume del frattale, ma la sua dimensione (esponente) non è un numero intero, ma un valore frazionario, e quindi il bordo della figura frattale non è una linea: ad alto ingrandimento, diventa chiaro che è sfocato e composto da spirali e riccioli, ripetendo in piccolo la scala della figura stessa. Tale regolarità geometrica è chiamata invarianza di scala o auto-somiglianza. È lei che determina la dimensione frattale delle figure frattali.

Prima dell'avvento della geometria frattale, la scienza si occupava di sistemi contenuti in tre dimensioni spaziali. Grazie a Einstein, è diventato chiaro che lo spazio tridimensionale è solo un modello della realtà, e non la realtà stessa. In effetti, il nostro mondo si trova in un continuum spazio-temporale quadridimensionale.
Grazie a Mandelbrot, è diventato chiaro che aspetto ha uno spazio quadridimensionale, in senso figurato, alla faccia frattale del Caos. Benoit Mandelbrot ha scoperto che la quarta dimensione include non solo le prime tre dimensioni, ma anche (questo è molto importante!) gli intervalli tra di loro.

La geometria ricorsiva (o frattale) sta sostituendo euclidea. La nuova scienza è in grado di descrivere la vera natura dei corpi e dei fenomeni. La geometria euclidea si occupava solo di oggetti artificiali e immaginari appartenenti a tre dimensioni. Solo la quarta dimensione può trasformarli in realtà.

Liquido, gas, solido sono i tre soliti stati fisici della materia che esistono nel mondo tridimensionale. Ma qual è la dimensione dello sbuffo di fumo, delle nuvole, o meglio, dei loro confini, continuamente offuscati dal turbolento movimento dell'aria?

Fondamentalmente, i frattali sono classificati in tre gruppi:

Frattali algebrici

frattali stocastici

frattali geometrici

Diamo un'occhiata più da vicino a ciascuno di essi.

Capitolo 2. Classificazione dei frattali

frattali geometrici

Benoit Mandelbrot ha proposto un modello frattale, che è già diventato un classico e viene spesso utilizzato sia per dimostrare un tipico esempio del frattale stesso sia per dimostrare la bellezza dei frattali, che attira anche ricercatori, artisti e persone semplicemente interessate.

Fu con loro che iniziò la storia dei frattali. Questo tipo di frattali è ottenuto da semplici costruzioni geometriche. Solitamente, quando si costruiscono questi frattali, si procede come segue: si prende un "seme" - un assioma - un insieme di segmenti, sulla base dei quali verrà costruito il frattale. Inoltre, a questo "seme" viene applicata una serie di regole che lo trasformano in una figura geometrica. Inoltre, lo stesso insieme di regole viene nuovamente applicato a ciascuna parte di questa figura. Ad ogni passo, la figura diventerà sempre più complessa e se eseguiamo (almeno nella mente) un numero infinito di trasformazioni, otterremo un frattale geometrico.

I frattali di questa classe sono i più visivi, perché sono immediatamente visibili l'auto-somiglianza a qualsiasi scala di osservazione. Nel caso bidimensionale, tali frattali possono essere ottenuti specificando una linea spezzata, chiamata generatore. In una fase dell'algoritmo, ciascuno dei segmenti che compongono la linea spezzata viene sostituito da un generatore di linea spezzata, nella scala appropriata. Come risultato della ripetizione infinita di questa procedura (o, più precisamente, quando si passa al limite), si ottiene una curva frattale. Con l'apparente complessità della curva risultante, la sua forma generaleè data solo dalla forma del generatore. Esempi di tali curve sono: curva di Koch (Fig.7), curva di Peano (Fig.8), curva di Minkowski.

La curva di Koch è un tipico frattale geometrico. Il processo della sua costruzione è il seguente: prendiamo un singolo segmento, lo dividiamo in tre parti uguali e sostituiamo l'intervallo centrale con un triangolo equilatero senza questo segmento. Di conseguenza, si forma una linea spezzata, composta da quattro maglie di lunghezza 1/3. Al passaggio successivo, ripetiamo l'operazione per ciascuno dei quattro collegamenti risultanti, e così via...

La curva limite è curva di Koch.

Fiocco di neve Koch. Eseguendo una trasformazione simile sui lati di un triangolo equilatero, puoi ottenere un'immagine frattale di un fiocco di neve di Koch.

Inoltre, un altro semplice rappresentante di un frattale geometrico è Piazza Sierpinski.È costruito in modo molto semplice: il quadrato è diviso da linee rette parallele ai suoi lati in 9 quadrati uguali. La piazza centrale viene rimossa dalla piazza. Si scopre un set composto da 8 quadrati rimanenti del "primo rango". Facendo lo stesso con ciascuno dei quadrati del primo rango, otteniamo un set composto da 64 quadrati del secondo rango. Continuando questo processo all'infinito, otteniamo una sequenza infinita o quadrato di Sierpinski.

Frattali algebrici

Questo è il più grande gruppo di frattali. I frattali algebrici prendono il nome perché sono costruiti usando semplici formule algebriche.

Sono ottenuti utilizzando processi non lineari in n-spazi dimensionali. È noto che i sistemi dinamici non lineari hanno diversi stati stabili. Lo stato in cui si trovava sistema dinamico dopo un certo numero di iterazioni, dipende dal suo stato iniziale. Pertanto, ogni stato stabile (o, come si suol dire, un attrattore) ha una certa area di stati iniziali, da cui il sistema cadrà necessariamente negli stati finali considerati. Pertanto, lo spazio delle fasi del sistema è suddiviso in aree di attrazione attrattori. Se lo spazio delle fasi è bidimensionale, colorando le regioni di attrazione con colori diversi, si può ottenere ritratto in fase di colore questo sistema (processo iterativo). Modificando l'algoritmo di selezione del colore, puoi ottenere complessi modelli frattali con fantasiosi motivi multicolori. Una sorpresa per i matematici è stata la capacità di generare strutture molto complesse utilizzando algoritmi primitivi.

Ad esempio, si consideri l'insieme di Mandelbrot. È costruito usando numeri complessi.

Parte del confine dell'insieme di Mandelbrot, ingrandito 200 volte.

Il set di Mandelbrot contiene punti che durantesenza fine il numero di iterazioni non va all'infinito (punti neri). Punti appartenenti al confine dell'insieme(è qui che sorgono le strutture complesse) vanno all'infinito in un numero finito di iterazioni e i punti che si trovano al di fuori dell'insieme vanno all'infinito dopo diverse iterazioni (sfondo bianco).

Un esempio di un altro frattale algebrico è l'insieme di Julia. Ci sono 2 varietà di questo frattale. Sorprendentemente, gli insiemi di Julia sono formati secondo la stessa formula dell'insieme di Mandelbrot. Il set Julia è stato inventato dal matematico francese Gaston Julia, da cui il set prende il nome.

Fatto interessante, alcuni frattali algebrici assomigliano in modo sorprendente a immagini di animali, piante e altri oggetti biologici, per cui sono chiamati biomorfi.

frattali stocastici

Un'altra classe ben nota di frattali sono i frattali stocastici, che si ottengono se uno qualsiasi dei suoi parametri viene modificato casualmente in un processo iterativo. Ciò si traduce in oggetti molto simili a quelli naturali: alberi asimmetrici, coste frastagliate, ecc.

Un tipico rappresentante di questo gruppo di frattali è il "plasma".

Per costruirlo, viene preso un rettangolo e viene determinato un colore per ciascuno dei suoi angoli. Successivamente, il punto centrale del rettangolo viene trovato e dipinto di un colore uguale alla media aritmetica dei colori agli angoli del rettangolo più un numero casuale. Maggiore è il numero casuale, più l'immagine sarà "strappata". Se assumiamo che il colore del punto sia l'altezza sul livello del mare - otteniamo invece del plasma - catena montuosa. È su questo principio che le montagne sono modellate nella maggior parte dei programmi. Utilizzando un algoritmo simile al plasma, viene creata una mappa dell'altezza, vengono applicati vari filtri, viene applicata una trama e le montagne fotorealistiche sono pronte.

Se guardi questo frattale in una sezione, allora vedremo che questo frattale è voluminoso e ha una "rugosità", proprio a causa di questa "rugosità" c'è un'applicazione molto importante di questo frattale.

Diciamo che vuoi descrivere la forma di una montagna. Le figure ordinarie della geometria euclidea non aiuteranno qui, perché non tengono conto della topografia della superficie. Ma combinando la geometria convenzionale con la geometria frattale, puoi ottenere la vera "ruvidità" della montagna. Il plasma deve essere applicato su un normale cono e otterremo il rilievo della montagna. Tali operazioni possono essere eseguite con molti altri oggetti in natura, grazie ai frattali stocastici, la natura stessa può essere descritta.

Ora parliamo di frattali geometrici.

Capitolo 3 "La geometria frattale della natura"

Perché la geometria viene spesso definita "fredda" e "secca"? Uno dei motivi è la sua incapacità di descrivere la forma di una nuvola, di una montagna, di una costa o di un albero. Le nuvole non sono sfere, le montagne non sono coni, le coste non sono cerchi, alberi corteccia non è liscia, ma complessità di un livello completamente diverso Il numero di diverse scale di lunghezza degli oggetti naturali per tutti gli scopi pratici è infinito.

(Benoit Mandelbrot "La geometria frattale della natura" ).

La bellezza dei frattali è duplice: delizia la vista, come dimostra almeno la mostra mondiale di immagini frattali, organizzata da un gruppo di matematici di Brema sotto la guida di Peitgen e Richter. Successivamente, i reperti di questa grandiosa mostra sono stati catturati nelle illustrazioni per il libro "La bellezza dei frattali" degli stessi autori. Ma c'è un altro aspetto, più astratto o sublime, della bellezza dei frattali, aperto, secondo R. Feynman, solo allo sguardo mentale del teorico, in questo senso i frattali sono belli con la bellezza di un difficile problema matematico. Benoit Mandelbrot indicò ai suoi contemporanei (e, presumibilmente, ai suoi discendenti) una sfortunata lacuna negli Elementi di Euclide, secondo cui, non notando l'omissione, per quasi due millenni l'umanità ha compreso la geometria del mondo circostante e ha appreso il rigore matematico della presentazione. Naturalmente, entrambi gli aspetti della bellezza dei frattali sono strettamente interconnessi e non si escludono, ma si completano a vicenda, sebbene ciascuno di essi sia autosufficiente.

La geometria frattale della natura, secondo Mandelbrot, è una geometria reale che soddisfa la definizione di geometria proposta nel "Programma Erlangen" di F. Klein. Il fatto è che prima dell'avvento della geometria non euclidea, N.I. Lobachevsky - L. Bolyai, c'era solo una geometria - quella esposta negli "Inizi", e la domanda su cosa sia la geometria e quale delle geometrie sia la geometria del mondo reale non si poneva e non poteva presentarsi. Ma con l'avvento di un'altra geometria, è sorta la domanda su cosa sia la geometria in generale e quale delle tante geometrie corrisponda al mondo reale. Secondo F. Klein, la geometria studia tali proprietà degli oggetti che sono invarianti rispetto alle trasformazioni: Euclideo - invarianti del gruppo di moti (trasformazioni che non cambiano la distanza tra due punti qualsiasi, cioè rappresentano una sovrapposizione di traslazioni e rotazioni parallele con o senza un cambio di orientamento), geometria Lobachevsky-Bolyai - invarianti del gruppo di Lorentz. La geometria frattale si occupa dello studio degli invarianti del gruppo delle trasformazioni autoaffini, cioè proprietà espresse dalle leggi di potenza.

Per quanto riguarda la corrispondenza con il mondo reale, la geometria frattale descrive una classe molto ampia di processi e fenomeni naturali, e quindi possiamo, seguendo B. Mandelbrot, giustamente parlare della geometria frattale della natura. Nuovo: gli oggetti frattali hanno proprietà insolite. Le lunghezze, le aree e i volumi di alcuni frattali sono uguali a zero, altri girano all'infinito.

La natura crea spesso frattali sorprendenti e belli, con una geometria perfetta e un'armonia tale che ti fermi semplicemente con ammirazione. Ed ecco i loro esempi:

conchiglie

Fulmine ammirando la loro bellezza. I frattali creati dal fulmine non sono casuali o regolari.

forma frattale sottospecie di cavolfiore(Brassica cauliflora). Questo tipo speciale è un frattale particolarmente simmetrico.

Felceè anche un buon esempio di frattale tra la flora.

pavoni tutti sono noti per il loro piumaggio colorato, in cui si nascondono solidi frattali.

Ghiaccio, modelli di gelo sulle finestre, anche questi sono frattali

Da immagine ingrandita volantino, prima rami d'albero- puoi trovare frattali in ogni cosa

I frattali sono ovunque e ovunque nella natura che ci circonda. L'intero universo è costruito secondo leggi sorprendentemente armoniose con precisione matematica. È possibile dopo ciò pensare che il nostro pianeta sia una frizione casuale di particelle? Difficilmente.

capitolo 4

Risiedono alcune delle più potenti applicazioni dei frattali computer grafica. Questa è la compressione frattale delle immagini. La fisica e la meccanica moderne stanno appena iniziando a studiare il comportamento degli oggetti frattali.

I vantaggi degli algoritmi di compressione dell'immagine frattale sono le dimensioni molto ridotte del file compresso e il breve tempo di recupero dell'immagine. Le immagini frammentate possono essere ridimensionate senza la comparsa di pixelizzazione (scarsa qualità dell'immagine - quadrati grandi). Ma il processo di compressione richiede molto tempo e talvolta dura ore. L'algoritmo di compressione frattale con perdita consente di impostare il livello di compressione, simile al formato jpeg. L'algoritmo si basa sulla ricerca di grandi pezzi dell'immagine simili ad alcuni piccoli pezzi. E solo quale pezzo è simile a quello viene scritto nel file di output. Durante la compressione, viene solitamente utilizzata una griglia quadrata (i pezzi sono quadrati), che porta a una leggera angolarità durante il ripristino dell'immagine, una griglia esagonale è priva di tale svantaggio.

Iterated ha sviluppato un nuovo formato di immagine, "Sting", che combina la compressione lossless frattale e "wave" (come jpeg). Il nuovo formato consente di creare immagini con la possibilità di un successivo ridimensionamento di alta qualità e il volume dei file grafici è del 15-20% del volume delle immagini non compresse.

In meccanica e fisica i frattali sono usati per la proprietà unica di ripetere i contorni di molti oggetti naturali. I frattali consentono di approssimare alberi, superfici montuose e fessure con una precisione maggiore rispetto alle approssimazioni con segmenti di linea o poligoni (con la stessa quantità di dati memorizzati). I modelli frattali, come gli oggetti naturali, hanno "rugosità" e questa proprietà viene preservata con un aumento arbitrariamente grande nel modello. La presenza di una misura uniforme sui frattali permette di applicare l'integrazione, la teoria del potenziale, per usarli al posto degli oggetti standard nelle equazioni già studiate.

Viene anche utilizzata la geometria frattale progettazione di dispositivi antenna. Questo è stato applicato per la prima volta dall'ingegnere americano Nathan Cohen, che allora visse nel centro di Boston, dove l'installazione sugli edifici era vietata. antenne esterne. Cohen ha ritagliato una forma curva di Koch da un foglio di alluminio e poi l'ha incollata su un pezzo di carta prima di attaccarla a un ricevitore. Si è scoperto che un'antenna del genere non funziona peggio di quella convenzionale. E sebbene i principi fisici di una tale antenna non siano stati studiati finora, ciò non ha impedito a Cohen di fondare la propria azienda e di avviare la loro produzione in serie. Al momento, l'azienda americana "Fractal Antenna System" ha sviluppato un nuovo tipo di antenna. Ora puoi smettere di usare antenne esterne sporgenti nei telefoni cellulari. La cosiddetta antenna frattale si trova direttamente sulla scheda principale all'interno del dispositivo.

Ci sono anche molte ipotesi sull'uso dei frattali: ad esempio, anche i sistemi linfatico e circolatorio, i polmoni e molto altro hanno proprietà frattali.

Capitolo 5. Lavoro pratico.

Per prima cosa, concentriamoci sui frattali "Collana", "Vittoria" e "Quadrato".

Primo - "Collana"(Fig. 7). Il cerchio è l'iniziatore di questo frattale. Questo cerchio è costituito da un certo numero di cerchi uguali, ma più piccoli, ed è uno dei tanti cerchi uguali, ma grandi formati. Quindi il processo educativo è infinito e può essere svolto sia in una direzione che in quella opposta. Quelli. la figura può essere ingrandita prendendo un solo piccolo arco, oppure può essere ridotta considerando la sua costruzione da quelli più piccoli.

Riso. 7.

Frattale "Collana"

Il secondo frattale è "Vittoria"(Fig. 8). Ha ottenuto questo nome perché esternamente assomiglia alla lettera latina "V", cioè "vittoria"-vittoria. Questo frattale è costituito da un certo numero di piccole “v”, che compongono una grande “V”, e nella metà sinistra, in cui le piccole sono poste in modo che le loro metà sinistra formino una linea retta, si costruisce la parte destra nello stesso modo. Ognuna di queste "v" è costruita allo stesso modo e continua questo all'infinito.

Fig.8. Frattale "Vittoria"

Il terzo frattale è "Quadrato" (Fig. 9). Ciascuno dei suoi lati è costituito da una fila di celle, a forma di quadrati, i cui lati rappresentano anche file di celle, e così via.

Fig. 9. Frattale "Quadrato"

Il frattale era chiamato "Rosa" (Fig. 10), per la sua somiglianza esterna con questo fiore. La costruzione di un frattale è associata alla costruzione di una serie di cerchi concentrici, il cui raggio cambia in proporzione ad un dato rapporto (in questo caso, R m / R b = ¾ = 0,75.). Dopodiché, in ogni cerchio viene inscritto un esagono regolare, il cui lato è uguale al raggio del cerchio descritto attorno ad esso.

Riso. 11. Frattale "Rosa *"

Successivamente, passiamo al pentagono regolare, in cui disegniamo le sue diagonali. Quindi, nel pentagono ottenuto all'intersezione dei segmenti corrispondenti, disegniamo nuovamente le diagonali. Continuiamo questo processo all'infinito e otteniamo il frattale "Pentagramma" (Fig. 12).

Introduciamo un elemento di creatività e il nostro frattale assumerà la forma di un oggetto più visivo (Fig. 13).

Riso. 12. Frattale "Pentagramma".

Riso. 13. Frattale "Pentagramma *"

Riso. 14 frattali "Buco nero"

Esperimento n. 1 "Albero"

Ora che ho capito cos'è un frattale e come costruirne uno, ho provato a creare le mie immagini frattali. In Adobe Photoshop ho creato una piccola subroutine o azione, la particolarità di questa azione è che ripete le azioni che faccio, ed è così che ottengo un frattale.

Per cominciare, ho creato uno sfondo per il nostro futuro frattale con una risoluzione di 600 per 600. Quindi ho disegnato 3 linee su questo sfondo: la base del nostro futuro frattale.

DA Il prossimo passo è scrivere lo script.

livello duplicato ( livello > duplica) e cambia il tipo di fusione in " Schermo" .

chiamiamolo" fr1". Duplica questo livello (" fr1") altre 2 volte.

Ora dobbiamo passare all'ultimo livello (fr3) e uniscilo due volte con il precedente ( ctrl+e). Diminuisci la luminosità del livello ( Immagine > Regolazioni > Luminosità/Contrasto , luminosità impostata 50% ). Ancora una volta, unisciti al livello precedente e taglia i bordi dell'intero disegno per rimuovere le parti invisibili. Ho copiato questa immagine, l'ho ridotta e incollata sopra un'altra, cambiando il colore.

Come passaggio finale, ho copiato questa immagine e l'ho incollata ridimensionata e ruotata. Ecco il risultato finale.

Conclusione

Questo lavoro è un'introduzione al mondo dei frattali. Abbiamo considerato solo la più piccola parte di cosa sono i frattali, in base a quali principi sono costruiti.

La grafica frattale non è solo un insieme di immagini che si ripetono, è un modello della struttura e del principio di ogni essere. Tutta la nostra vita è rappresentata dai frattali. Tutta la natura intorno a noi è composta da loro. Va notato l'uso diffuso dei frattali in giochi per computer, dove i terreni sono spesso immagini frattali basate su modelli tridimensionali di insiemi complessi. I frattali facilitano notevolmente il disegno della computer grafica; con l'aiuto dei frattali, vengono creati molti effetti speciali, varie immagini favolose e incredibili, ecc. Inoltre, con l'aiuto della geometria frattale, vengono disegnati alberi, nuvole, coste e tutta l'altra natura. La grafica frattale è necessaria ovunque e lo sviluppo di "tecnologie frattali" è uno dei compiti più importanti oggi.

In futuro, ho intenzione di imparare a costruire frattali algebrici quando studio i numeri complessi in modo più dettagliato. Voglio anche provare a costruire la mia immagine frattale nel linguaggio di programmazione Pascal usando i cicli.

Va notato l'uso dei frattali nella tecnologia informatica, oltre alla semplice costruzione di bellissime immagini sullo schermo di un computer. I frattali nella tecnologia informatica sono utilizzati nelle seguenti aree:

1. Comprimi immagini e informazioni

2. Nascondere le informazioni nell'immagine, nel suono, ...

3. Crittografia dei dati mediante algoritmi frattali

4. Creazione di musica frattale

5. Modellazione del sistema

Nel nostro lavoro non vengono fornite tutte le aree della conoscenza umana, dove la teoria dei frattali ha trovato la sua applicazione. Vogliamo solo dire che non è passato più di un terzo di secolo dall'emergere della teoria, ma durante questo periodo i frattali per molti ricercatori sono diventati un'improvvisa luce brillante nella notte, che ha illuminato fatti e schemi finora sconosciuti in specifici aree dati. Utilizzando la teoria dei frattali, iniziarono a spiegare l'evoluzione delle galassie e lo sviluppo della cellula, l'emergere delle montagne e la formazione delle nuvole, il movimento dei prezzi in borsa e lo sviluppo della società e della famiglia. Forse, all'inizio, questa passione per i frattali era persino troppo burrascosa e i tentativi di spiegare tutto usando la teoria dei frattali erano ingiustificati. Ma, senza dubbio, questa teoria ha il diritto di esistere e ci rammarichiamo che di recente sia stata in qualche modo dimenticata ed è rimasta appannaggio dell'élite. Nel preparare questo lavoro, è stato molto interessante per noi trovare applicazioni della TEORIA nella PRATICA. Perché molto spesso si ha la sensazione che la conoscenza teorica si discosti dalla realtà della vita.

Così, il concetto di frattali diventa non solo una parte della scienza "pura", ma anche un elemento della cultura umana. La scienza frattale è ancora molto giovane e ha un grande futuro davanti a sé. La bellezza dei frattali è tutt'altro che esaurita e ci darà ancora molti capolavori: quelli che deliziano l'occhio e quelli che portano vero piacere alla mente.

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Abbiamo già scritto di come la teoria matematica astratta del caos abbia trovato applicazioni in una varietà di scienze, dalla fisica all'economia e alle scienze politiche. Ora daremo un altro esempio simile: la teoria dei frattali. Non esiste una definizione rigida del concetto di "frattale" nemmeno in matematica. Dicono qualcosa del genere, ovviamente. Ma la “persona comune” non lo capisce. Come fai, ad esempio, una frase del genere: "Un frattale è un insieme con una dimensione di Hausdorff frazionaria, che è maggiore di quella topologica". Tuttavia, loro, frattali, ci circondano e aiutano a comprendere molti fenomeni provenienti da diverse sfere della vita.

Come tutto è cominciato

Per molto tempo nessuno, tranne i matematici professionisti, si è interessato ai frattali. Prima dell'avvento dei computer e dei relativi software. Tutto è cambiato nel 1982, quando è stato pubblicato il libro di Benoit Mandelbrot "The Fractal Geometry of Nature". Questo libro è diventato un bestseller, non tanto per la presentazione semplice e comprensibile del materiale (sebbene questa affermazione sia molto relativa - una persona che non ha un'educazione matematica professionale non capirà nulla), ma per il illustrazioni al computer di frattali dati, che sono davvero ipnotizzanti. Diamo un'occhiata a queste immagini. Ne valgono davvero la pena.

E ci sono molte di queste immagini. Ma cosa c'entra tutto questo splendore con la nostra vita reale e ciò che ci circonda nella natura e nel mondo di tutti i giorni? Risulta il più diretto.

Ma prima, diciamo qualche parola sui frattali stessi, come oggetti geometrici.

Cos'è un frattale, in parole povere

Primo. Come sono costruiti, i frattali. Questa è una procedura piuttosto complicata che utilizza trasformazioni speciali sul piano complesso (non è necessario sapere di cosa si tratta). L'unica cosa importante è che queste trasformazioni siano ripetitive (si verificano, come si dice in matematica, iterazioni). È come risultato di questa ripetizione che sorgono i frattali (quelli che hai visto sopra).

Secondo. Un frattale è una struttura auto-simile (esattamente o approssimativamente). Ciò significa quanto segue. Se porti un microscopio su una qualsiasi delle immagini presentate, ingrandendo l'immagine, ad esempio, 100 volte, e guardi un frammento di un frattale caduto nell'oculare, scoprirai che è identico all'immagine originale. Se prendi un microscopio più potente che ingrandisce l'immagine 1000 volte, scoprirai che un pezzo del frammento dell'immagine precedente caduto nell'oculare ha la stessa struttura o molto simile.

Questo porta a una conclusione molto importante per quanto segue. Un frattale ha una struttura estremamente complessa che si ripete su scale diverse. Ma più approfondiamo il suo dispositivo, più diventa complesso in generale. E le stime quantitative delle proprietà dell'immagine originale potrebbero iniziare a cambiare.

Ora lasceremo la matematica astratta e passeremo alle cose che ci circondano, quindi, sembrerebbe, semplice e comprensibile.

Oggetti frattali in natura

Costa

Immagina di fotografare un'isola, come la Gran Bretagna, dall'orbita terrestre. Otterrai la stessa immagine della mappa geografica. Il profilo liscio della costa, da tutti i lati: il mare.

Trovare la lunghezza della costa è molto semplice. Prendi un filo normale e stendilo con cura lungo i confini dell'isola. Quindi, misura la sua lunghezza in centimetri e moltiplica il numero risultante per la scala della mappa: ci sono alcuni chilometri in un centimetro. Ecco il risultato.

E ora il prossimo esperimento. Si vola in aereo a volo d'uccello e si fotografa la costa. Si scopre un'immagine simile alle fotografie di un satellite. Ma questa costa è frastagliata. Nelle tue immagini compaiono piccole baie, golfi, frammenti di terra che sporgono nel mare. Tutto questo è vero, ma non poteva essere visto dal satellite. La struttura della costa sta diventando più complessa.

Diciamo che, una volta arrivato a casa, hai realizzato una mappa dettagliata della costa in base alle tue foto. E abbiamo deciso di misurarne la lunghezza con l'aiuto dello stesso filo, disponendolo rigorosamente in base ai nuovi dati che hai ricevuto. Il nuovo valore della lunghezza della linea costiera supererà quello precedente. E significativo. Questo è intuitivamente chiaro. Dopotutto, ora il tuo filo dovrebbe girare intorno alle coste di tutte le baie e baie, e non solo lungo la costa.

Nota. Abbiamo rimpicciolito e le cose sono diventate molto più complesse e confuse. Come i frattali.

E ora per un'altra iterazione. Stai camminando lungo la stessa costa. E aggiustare il rilievo della costa. Si scopre che le rive delle baie e delle baie che hai fotografato dall'aereo non sono affatto così lisce e semplici come pensavi nelle tue foto. Hanno una struttura complessa. E così, se si mappa questa costa "pedonale", si allungherà ancora di più.

Sì, non ci sono infiniti in natura. Ma è abbastanza chiaro che la costa è un tipico frattale. Rimane lo stesso, ma la sua struttura diventa sempre più complessa man mano che guardi più da vicino (pensa all'esempio del microscopio).

Questo è davvero un fenomeno sorprendente. Siamo abituati al fatto che qualsiasi oggetto geometrico di dimensioni limitate su un piano (quadrato, triangolo, cerchio) abbia una lunghezza fissa e finita dei suoi confini. Ma qui è tutto diverso. La lunghezza della costa al limite risulta essere infinita.

Legna

Immaginiamo un albero. Albero ordinario. Una specie di tiglio sciolto. Diamo un'occhiata al suo baule. intorno alla radice. È un cilindro leggermente deformato. Quelli. ha una forma molto semplice.

Alziamo gli occhi. Dal tronco iniziano a spuntare rami. Ogni ramo, all'inizio, ha la stessa struttura del tronco: cilindrico, in termini di geometria. Ma la struttura dell'intero albero è cambiata. È diventato molto più complesso.

Ora diamo un'occhiata a questi rami. Da loro si estendono rami più piccoli. Alla base hanno la stessa forma cilindrica leggermente deformata. Come lo stesso baule. E poi da loro partono rami molto più piccoli. Eccetera.

L'albero si riproduce, ad ogni livello. Allo stesso tempo, la sua struttura diventa costantemente più complessa, ma rimane simile a se stessa. Non è un frattale?

Circolazione

Ecco il sistema circolatorio umano. Ha anche una struttura frattale. Ci sono arterie e vene. Secondo uno di loro, il sangue arriva al cuore (vene), secondo altri ne deriva (arterie). E poi, il sistema circolatorio inizia ad assomigliare allo stesso albero di cui abbiamo parlato sopra. I vasi, pur mantenendo la loro struttura, diventano più sottili e ramificati. Penetrano nelle zone più remote del nostro corpo, portano ossigeno e altri componenti vitali ad ogni cellula. Questa è una tipica struttura frattale che si riproduce su scale sempre più piccole.

Scarichi fluviali

"Da lontano, il fiume Volga scorre a lungo." Su una carta geografica, questa è una linea tortuosa così blu. Bene, i principali affluenti sono segnati. Ok, Kamà. E se rimpiccioliamo? Si scopre che questi affluenti sono molto più grandi. Non solo vicino al Volga stesso, ma anche vicino all'Oka e al Kama. E hanno i loro affluenti, solo quelli più piccoli. E quelli hanno i loro. Emerge una struttura sorprendentemente simile al sistema circolatorio umano. E di nuovo sorge la domanda. Qual è l'estensione di questo intero sistema idrico? Se si misura la lunghezza del solo canale principale, tutto è chiaro. Puoi leggerlo in qualsiasi libro di testo. E se tutto fosse misurato? Anche in questo caso, al limite, si ottiene l'infinito.

Il nostro universo

Naturalmente, su una scala di miliardi di anni luce, esso, l'Universo, è disposto in modo uniforme. Ma diamo un'occhiata più da vicino. E poi vedremo che non c'è omogeneità in esso. Da qualche parte ci sono galassie (ammassi stellari), da qualche parte c'è il vuoto. Come mai? Perché la distribuzione della materia obbedisce a leggi gerarchiche irregolari. E cosa succede all'interno delle galassie (un altro zoom indietro). Da qualche parte ci sono più stelle, da qualche parte meno. Da qualche parte ci sono sistemi planetari, come nel nostro sistema solare, ma da qualche parte no.

L'essenza frattale del mondo non si manifesta qui? Ora, naturalmente, c'è un enorme divario tra la teoria generale della relatività, che spiega l'emergere del nostro universo e la sua struttura, e la matematica frattale. Ma chi lo sa? Forse tutto questo un giorno sarà portato a un "denominatore comune" e guarderemo lo spazio intorno a noi con occhi completamente diversi.

Alle questioni pratiche

Si possono citare molti di questi esempi. Ma torniamo a cose più prosaiche. Prendi, ad esempio, l'economia. Sembrerebbe, e qui frattali. Si scopre, molto. Un esempio di questo sono i mercati azionari.

La pratica mostra che i processi economici sono spesso caotici e imprevedibili. I modelli matematici esistiti fino ad oggi, che hanno cercato di descrivere questi processi, non hanno tenuto conto di un fattore molto importante: la capacità del mercato di auto-organizzarsi.

È qui che viene in soccorso la teoria dei frattali, che hanno le proprietà di "auto-organizzazione", riproducendosi a livello di scale diverse. Naturalmente, un frattale è un oggetto puramente matematico. E in natura, e nell'economia, non esistono. Ma c'è un concetto di fenomeni frattali. Sono frattali solo in senso statistico. Tuttavia, la simbiosi tra matematica frattale e statistica consente di ottenere previsioni sufficientemente accurate e adeguate. Questo approccio è particolarmente efficace nell'analisi dei mercati azionari. E queste non sono "nozioni" di matematici. I dati degli esperti mostrano che molti partecipanti ai mercati azionari spendono molti soldi per pagare specialisti nel campo della matematica frattale.

Cosa offre la teoria dei frattali? Postula una dipendenza generale e globale dei prezzi da ciò che è accaduto in passato. Naturalmente, a livello locale il processo di determinazione del prezzo è casuale. Ma salti e cali casuali dei prezzi, che possono verificarsi momentaneamente, hanno la particolarità di raggrupparsi a grappolo. Che sono riprodotti su larga scala nel tempo. Pertanto, analizzando ciò che era una volta, possiamo prevedere quanto durerà questo o quel trend di sviluppo del mercato (crescita o caduta).

Così, su scala globale, questo o quel mercato si “riproduce”. Assumendo fluttuazioni casuali causate da una massa di fattori esterni in ogni momento particolare. Ma le tendenze globali persistono.

Conclusione

Perché il mondo è organizzato secondo il principio frattale? La risposta, forse, è che i frattali, come modello matematico, hanno la proprietà di auto-organizzazione e auto-somiglianza. Allo stesso tempo, ciascuna delle loro forme (vedi le immagini fornite all'inizio dell'articolo) è arbitrariamente complessa, ma vive di vita propria, sviluppando forme simili a se stessa. Non è così che funziona il nostro mondo?

Ed ecco la società. Viene fuori qualche idea. All'inizio abbastanza astratto. E poi "penetra le masse". Sì, in qualche modo cambia. Ma in generale si conserva. E si trasforma al livello della maggior parte delle persone in una designazione di obiettivo del percorso di vita. Ecco la stessa URSS. Il successivo congresso del PCUS ha adottato le successive decisioni fondamentali, e tutto è andato in discesa. Su scala minore. Comitati comunali, comitati di partito. E così via per ogni persona. struttura ripetitiva.

Naturalmente, la teoria frattale non ci permette di prevedere eventi futuri. E questo è difficilmente possibile. Ma molto di ciò che ci circonda, e ciò che accade nella nostra vita quotidiana, ci permette di guardare con occhi completamente diversi. Conscio.

BILANCIO COMUNALE ISTITUTO EDUCATIVO GENERALE SCUOLA EDUCATIVA GENERALE SECONDARIA

da. Mechetnoe

Convegno scientifico-pratico "Il fantastico mondo della matematica"

Lavoro di ricerca "Viaggio nel mondo dei frattali"

Completato da: studente di 10a elementare

Allahverdieva Naila

Capo: Davydova E.V.

Introduzione.
Parte principale:

a) Il concetto di frattale;

b) La storia della creazione dei frattali;

c) Classificazione dei frattali;

d) Applicazione dei frattali;

e) Frattali in natura;

f) Colori dei frattali.

3. Conclusione.

Introduzione.

Cosa si nasconde dietro il misterioso concetto di "frattale"? Probabilmente, per molti, questo termine è associato a belle immagini, schemi intricati e immagini vivide create utilizzando la computer grafica. Ma i frattali non sono facili belle immagini. Queste sono strutture speciali che stanno alla base di tutto ciò che ci circonda. Entrati nel mondo scientifico solo pochi decenni fa, i frattali sono riusciti a fare una vera e propria rivoluzione nella percezione della realtà circostante. Usando i frattali, una persona può creare modelli matematici ad alta precisione di oggetti, sistemi, processi e fenomeni naturali.

Parte principale
Il concetto di frattale.

frattale(dal lat. fratto- schiacciato, rotto, rotto) - una figura geometrica complessa che ha la proprietà dell'autosomiglianza, ovvero è composta da più parti, ognuna delle quali è simile all'intera figura. Molti oggetti in natura hanno proprietà frattali, come le coste, le nuvole, le chiome degli alberi, il sistema circolatorio e il sistema alveolare di esseri umani o animali.

I frattali, specialmente sull'aereo, sono popolari per la loro combinazione di bellezza e facilità di costruzione con un computer.

Storia della creazione.
Il matematico francese Benoit Mandelbrot, uno scienziato oggi riconosciuto come il padre della geometria frattale, riuscì a portare la scienza dei frattali a un nuovo livello. Mandelbrot definì per primo il termine "frattale":

Citazione

"Un frattale è una struttura composta da parti che sono in un certo senso simili al tutto"
Negli anni '70, Benoit Mandelbrot ha lavorato come analista matematico presso IBM. Lo scienziato ha pensato per la prima volta ai frattali nel processo di studio del rumore nelle reti elettroniche. A prima vista, l'interferenza nella trasmissione dei dati era assolutamente caotica. Mandelbrot ha tracciato il verificarsi di errori ed è stato sorpreso di scoprire che su qualsiasi scala temporale, tutti i frammenti sembravano uguali. Sulla scala di una settimana, i rumori apparivano nella stessa sequenza della scala di un giorno, un'ora o un minuto. Mandelbrot si rese conto che la frequenza degli errori nella trasmissione dei dati è distribuita nel tempo secondo il principio enunciato da Cantor alla fine dell'Ottocento. Quindi Benoit Mandelbrot si interessò seriamente allo studio dei frattali.
A differenza dei suoi predecessori, per creare frattali, Mandelbrot non utilizzava costruzioni geometriche, ma trasformazioni algebriche di varia complessità. Il matematico ha utilizzato il metodo dell'iterazione inversa, che prevede il calcolo ripetuto della stessa funzione. Utilizzando le capacità di un computer, il matematico ha eseguito un numero enorme di calcoli sequenziali, i cui risultati ha visualizzato graficamente sul piano complesso. È così che è apparso l'insieme di Mandelbrot, un complesso frattale algebrico, che oggi è considerato un classico della scienza dei frattali. In alcuni casi, lo stesso oggetto può essere considerato sia liscio che frattale. Per spiegare perché questo accade, Mandelbrot fornisce un interessante esempio illustrativo. Un gomitolo di lana a una certa distanza sembra un punto di dimensione 1. Un gomitolo posizionato nelle vicinanze sembra un disco bidimensionale. Prendendolo tra le mani, puoi sentire chiaramente il volume della palla - ora è percepito come tridimensionale. E una palla di frattale può essere considerata solo dal punto di vista di un osservatore che utilizza un dispositivo di ingrandimento o una mosca che è atterrata sulla superficie di un filo di lana irregolare. Pertanto, la vera frattalità di un oggetto dipende dal punto di vista dell'osservatore e dalla risoluzione dello strumento utilizzato.
Mandelbrot ha notato uno schema interessante: più si osserva da vicino l'oggetto misurato, più esteso sarà il suo confine. Questa proprietà può essere chiaramente dimostrata misurando la lunghezza di uno dei frattali naturali: la costa. Prendendo le misure su una carta geografica, è possibile ottenere un valore approssimativo per la lunghezza, poiché tutti i dossi e le curve non verranno presi in considerazione. Se la misurazione viene eseguita tenendo conto di tutte le irregolarità del rilievo, visibili dall'altezza della crescita umana, il risultato sarà leggermente diverso: la lunghezza della costa aumenterà in modo significativo. E se in teoria immagini che il dispositivo di misurazione aggirerà le irregolarità di ogni ciottolo, allora in questo caso la lunghezza della costa sarà quasi infinita.
Classificazione dei frattali.

I frattali si dividono in:

geometrico: i frattali di questa classe sono i più visivi, l'autosomiglianza è immediatamente visibile in essi. La storia dei frattali iniziò proprio con i frattali geometrici, che furono studiati dai matematici nel XIX secolo.

algebrico: questo gruppo di frattali prende il nome perché i frattali si formano usando semplici formule algebriche.

stocastico: formato in caso di cambiamento casuale nel processo iterativo dei parametri frattali. I frattali stocastici bidimensionali vengono utilizzati nella modellazione del terreno e della superficie del mare.

frattali geometrici

Frattali algebrici

Il secondo grande gruppo di frattali è algebrico (Appendice 2). Hanno preso il nome perché sono costruiti sulla base di formule algebriche, a volte molto semplici. Esistono diversi metodi per ottenere frattali algebrici.

Purtroppo molti dei termini della classe 10-11, relativi a numeri complessi, necessari per spiegare la costruzione di un frattale, mi sono sconosciuti e sono ancora di difficile comprensione, quindi non mi è possibile descrivere in dettaglio la costruzione di frattali di questo tipo.

Inizialmente, la natura frattale è in bianco e nero, ma se aggiungi un po' di fantasia e colore, puoi ottenere una vera opera d'arte.

frattali stocastici

Un tipico rappresentante di questa classe di frattali è "Plasma" (Appendice 3). Per costruirlo, prendiamo un rettangolo e definiamo un colore per ciascuno dei suoi angoli. Successivamente, troviamo il punto centrale del rettangolo e lo coloriamo di un colore uguale alla media aritmetica dei colori agli angoli del rettangolo più un numero casuale. Maggiore è il numero casuale, più "strappato" sarà il motivo. Se ora diciamo che il colore del punto è l'altezza sul livello del mare, otterremo una catena montuosa invece del plasma. È su questo principio che le montagne sono modellate nella maggior parte dei programmi. Usando un algoritmo simile al plasma, viene costruita una mappa dell'altezza, vengono applicati vari filtri, viene applicata la trama e, per favore, le montagne fotorealistiche sono pronte!

Applicazione dei frattali

Ancora oggi, i frattali sono ampiamente utilizzati in un'ampia varietà di campi. La direzione dell'archiviazione frattale delle informazioni grafiche si sta sviluppando attivamente. Teoricamente, l'archiviazione frattale può comprimere le immagini fino alle dimensioni di un punto senza perdita di qualità. Quando si ingrandiscono le immagini compresse secondo il principio frattale, i dettagli più piccoli vengono visualizzati chiaramente e l'effetto granuloso è completamente assente.

I principi della teoria frattale sono usati in medicina per analizzare gli elettrocardiogrammi, poiché anche la frequenza cardiaca è un frattale. La direzione della ricerca sul sistema circolatorio e altro sistemi interni corpo umano. In biologia, i frattali sono usati per modellare i processi che si verificano all'interno delle popolazioni.
I meteorologi utilizzano le dipendenze frattali per analizzare l'intensità del movimento delle masse d'aria, il che rende possibile prevedere con maggiore precisione i cambiamenti meteorologici. La fisica dei mezzi frattali risolve con successo i problemi di studio della dinamica di complessi flussi turbolenti, processi di adsorbimento e diffusione. Nell'industria petrolchimica, i frattali sono usati per modellare materiali porosi. La teoria dei frattali è efficacemente applicata nel lavoro sui mercati finanziari. La geometria frattale viene utilizzata per creare potenti dispositivi di antenna.
Oggi, la teoria dei frattali è un campo scientifico indipendente, sulla base del quale vengono create sempre più nuove direzioni in vari campi. Il significato dei frattali è stato oggetto di numerosi articoli scientifici.

Ma questi oggetti insoliti non sono solo estremamente utili, ma anche incredibilmente belli. Ecco perché i frattali stanno gradualmente trovando il loro posto nell'art. Il loro straordinario fascino estetico ispira molti artisti a creare dipinti frattali. I compositori moderni creano opere musicali utilizzando strumenti elettronici con diverse caratteristiche frattali. Gli scrittori usano la struttura frattale per modellare il loro Lavori letterari e i designer creano mobili e interni frattali.

Frattalità in natura

Nel 1977 è stato pubblicato il libro di Mandelbrot "Fractals: Form, Randomness and Dimension" e nel 1982 è stata pubblicata un'altra monografia - "The Fractal Geometry of Nature", sulle cui pagine l'autore ha mostrato esempi illustrativi di vari insiemi di frattali e fornito prove per l'esistenza dei frattali in natura. Mandelbrot ha espresso l'idea principale della teoria dei frattali con le seguenti parole:

"Perché la geometria è spesso chiamata fredda e secca? Uno dei motivi è che non è in grado di descrivere con precisione la forma di una nuvola, di una montagna, di un albero o di una spiaggia. Le nuvole non sono sfere, le coste non sono cerchi e la crosta non è regolare." e il fulmine non viaggia in linea retta. La natura ci mostra non solo un grado più alto, ma un livello di complessità completamente diverso. Il numero di scale di lunghezza diverse nelle strutture è sempre infinito. L'esistenza di queste strutture sfida noi con il difficile compito di studiare quelle forme che Euclide liquidava come senza forma sono i compiti di indagare la morfologia dell'amorfo.I matematici, tuttavia, si sono scrollati di dosso questa sfida e hanno scelto di allontanarsi sempre più dalla natura, inventando teorie che non corrispondono a nulla che possa essere visto o sentito".

Molti oggetti naturali hanno le proprietà di un insieme frattale (Appendice 4).

I frattali sono davvero strutture universali che sono state prese come base per creare assolutamente tutto ciò che esiste in questo mondo? La forma di molti oggetti naturali è il più vicino possibile ai frattali. Ma non tutti i frattali esistenti nel mondo hanno una struttura così regolare e ripetitiva all'infinito come gli insiemi creati dai matematici. Catene montuose, superfici di frattura di metalli, flussi turbolenti, nuvole, schiuma e molti, molti altri frattali naturali mancano di un'autosomiglianza idealmente accurata. E sarebbe assolutamente sbagliato credere che i frattali siano la chiave universale di tutti i segreti dell'Universo. Nonostante tutta la loro apparente complessità, i frattali sono solo un modello semplificato della realtà. Ma tra tutte le teorie oggi disponibili, i frattali sono il mezzo più accurato per descrivere il mondo che ci circonda.

La bellezza dei frattali è aggiunta dai loro colori accesi e accattivanti. Combinazioni di colori complesse rendono i frattali belli e memorabili. Da un punto di vista matematico, i frattali sono oggetti in bianco e nero, ogni punto appartiene o meno all'insieme. Ma le capacità dei computer moderni consentono di rendere i frattali colorati e luminosi. E questa non è una semplice colorazione delle aree vicine dell'insieme in un ordine arbitrario.

Analizzando il valore di ogni punto, il programma determina automaticamente la sfumatura di un particolare frammento. I punti in cui la funzione assume un valore costante sono visualizzati in nero. Se il valore della funzione tende all'infinito, il punto viene dipinto con un colore diverso. L'intensità della colorazione dipende dalla velocità di avvicinamento all'infinito. Più ripetizioni sono necessarie per avvicinare un punto a un valore stabile, più chiara diventa la sua tonalità. E viceversa: i punti che corrono rapidamente verso l'infinito sono dipinti con colori brillanti e saturi.
Conclusione

La prima volta che senti parlare di frattali, ti chiedi di cosa si tratta?

Da un lato è una figura geometrica complessa che ha la proprietà dell'autosomiglianza, cioè è composta da più parti, ognuna delle quali è simile all'intera figura.

Questo concetto affascina con la sua bellezza e mistero, manifestandosi nelle aree più inaspettate: meteorologia, filosofia, geografia, biologia, meccanica e persino storia.

È quasi impossibile non vedere un frattale in natura, perché quasi ogni oggetto (nuvole, montagne, coste, ecc.) ha una struttura frattale. La maggior parte dei web designer, i programmatori hanno la propria galleria di frattali (straordinariamente bella).

In effetti, i frattali ci aprono gli occhi e ci permettono di guardare la matematica da una prospettiva diversa. Sembrerebbe che i calcoli ordinari siano fatti con normali numeri "asciutti", ma questo ci dà risultati unici a modo nostro, permettendoci di sentirci un creatore della natura. I frattali chiariscono che la matematica è anche la scienza della bellezza.

La sua lavoro di progetto Volevo parlare di un concetto abbastanza nuovo in matematica di "frattale". Che cos'è, quali tipi esistono, dove sono distribuiti. Spero davvero che i frattali ti abbiano interessato. Dopotutto, come si è scoperto, i frattali sono piuttosto interessanti e lo sono quasi ad ogni passo.

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allegato 1

Allegato 2

Allegato 3

Appendice 4

Come è stato scoperto il frattale

Le forme matematiche conosciute come frattali appartengono al genio dell'eminente scienziato Benoit Mandelbrot. Per la maggior parte della sua vita ha insegnato matematica alla Yale University negli Stati Uniti. Nel 1977 - 1982 Mandelbrot ha pubblicato lavori scientifici dedicati allo studio della "geometria frattale" o "geometria della natura", in cui ha scomposto forme matematiche apparentemente casuali in elementi costitutivi, che si sono rivelati ripetuti a un esame più attento, che ha dimostrato l'esistenza di un certo modello per la copia. La scoperta di Mandelbrot ha avuto conseguenze significative nello sviluppo della fisica, dell'astronomia e della biologia.

frattali in natura

In natura, molti oggetti hanno proprietà frattali, ad esempio: chiome degli alberi, cavolfiori, nuvole, il sistema circolatorio e alveolare dell'uomo e degli animali, cristalli, fiocchi di neve, i cui elementi si allineano in una struttura complessa, le coste (il concetto frattale consentiva scienziati per misurare la costa delle isole britanniche e altri oggetti precedentemente non misurabili).

Considera la struttura del cavolfiore. Se si taglia uno dei fiori, è ovvio che nelle mani rimane lo stesso cavolfiore, solo di dimensioni inferiori. Possiamo continuare a tagliare ancora e ancora, anche al microscopio, ma tutto ciò che otteniamo sono piccole copie del cavolfiore. In questo caso più semplice, anche una piccola parte del frattale contiene informazioni sull'intera struttura finale.

Frattali nella tecnologia digitale

La geometria frattale ha dato un contributo inestimabile allo sviluppo di nuove tecnologie nel campo della musica digitale e ha anche permesso di comprimere immagini digitali. Gli algoritmi di compressione di immagini frattali esistenti si basano sul principio di memorizzare un'immagine di compressione anziché l'immagine digitale stessa. Per un'immagine di compressione, l'immagine principale rimane un punto fisso. Microsoft ha utilizzato una delle varianti di questo algoritmo durante la pubblicazione della sua enciclopedia, ma per un motivo o per l'altro molto diffuso questa idea non è stata accolta.

La base matematica della grafica frattale è la geometria frattale, dove i metodi per costruire "successori di immagini" si basano sul principio dell'ereditarietà dagli "oggetti-genitori" originali. I concetti di geometria frattale e grafica frattale stessi sono apparsi solo circa 30 anni fa, ma si sono già affermati saldamente nella vita quotidiana dei progettisti di computer e dei matematici.

I concetti di base della computer grafica frattale sono:

Triangolo frattale - figura frattale - oggetto frattale (gerarchia in ordine decrescente)
linea frattale
composizione frattale
"Oggetto padre" e "Oggetto successore"

Proprio come nella grafica vettoriale e 3D, la creazione di immagini frattali è matematicamente calcolabile. La principale differenza rispetto ai primi due tipi di grafica è che un'immagine frattale è costruita secondo un'equazione o un sistema di equazioni - nient'altro che una formula deve essere archiviata nella memoria del computer per eseguire tutti i calcoli - e una matematica così compatta l'apparato ha consentito l'uso di questa idea nella computer grafica. Semplicemente modificando i coefficienti dell'equazione, puoi facilmente ottenere un'immagine frattale completamente diversa: con l'aiuto di diversi coefficienti matematici, vengono specificate superfici e linee di una forma molto complessa, che ti consente di implementare tecniche di composizione come orizzontali e verticali , simmetria e asimmetria, direzioni diagonali e molto altro.

Come costruire un frattale?

Il creatore di frattali interpreta allo stesso tempo il ruolo di artista, fotografo, scultore e scienziato-inventore. Quali sono le fasi della creazione di un disegno da zero?

imposta la forma dell'immagine con una formula matematica
esplorare la convergenza del processo e variare i suoi parametri
seleziona il tipo di immagine
scegli una tavolozza di colori

Tra gli editor grafici frattali e altri programmi grafici ci sono:

"Dilettante d'arte"
"Pittore" (senza computer nessun artista potrà mai raggiungere le possibilità poste dai programmatori solo con l'aiuto di una matita e di un pennello)
"Adobe Photoshop" (ma qui l'immagine non viene creata da zero, ma, di regola, solo elaborata)

Considera la disposizione di una figura geometrica frattale arbitraria. Al suo centro c'è l'elemento più semplice: un triangolo equilatero, che ha ricevuto lo stesso nome: "frattale". Sul segmento centrale dei lati, costruiamo triangoli equilateri con un lato uguale a un terzo del lato del triangolo frattale originale. Con lo stesso principio vengono costruiti triangoli ancora più piccoli, eredi della seconda generazione, e così via all'infinito. L'oggetto risultante è chiamato "figura frattale", dalle cui sequenze si ottiene una "composizione frattale".

Fonte: http://www.iknowit.ru/

Frattali e antichi mandala

Questo è un mandala per attirare denaro. Si dice che il rosso funzioni come un magnete monetario. I motivi decorati ti ricordano qualcosa? Mi sembravano molto familiari e ho iniziato a studiare i mandala come un frattale.

In linea di principio, un mandala è un simbolo geometrico di una struttura complessa, che viene interpretato come un modello dell'Universo, una "mappa del cosmo". Ecco il primo segno di frattalità!

Sono ricamati su tessuto, dipinti su sabbia, realizzati con polveri colorate e realizzati in metallo, pietra e legno. Aspetto luminoso e ammaliante, lo rende bella decorazione pavimenti, pareti e soffitti dei templi in India. Nell'antica lingua indiana, "mandala" significa il circolo mistico del rapporto tra le energie spirituali e materiali dell'Universo, o in altro modo il fiore della vita.

Volevo scrivere una brevissima recensione dei mandala frattali, con un minimo di paragrafi, per dimostrare che la relazione esiste chiaramente. Tuttavia, cercando di trovare e collegare informazioni su frattali e mandala in un unico insieme, ho avuto la sensazione di un salto quantico in uno spazio sconosciuto.

Dimostro l'immensità di questo argomento con una citazione: "Tali composizioni frattali o mandala possono essere utilizzate sia sotto forma di dipinti, elementi di design di ambienti di vita e di lavoro, amuleti indossabili, sotto forma di videocassette, programmi per computer ... In generale, l'argomento per lo studio dei frattali è semplicemente enorme.

Una cosa posso dire con certezza, il mondo è molto più vario e più ricco delle miserabili idee della nostra mente su di esso.

Animali marini frattali

Le mie ipotesi sugli animali marini frattali non erano infondate. Ecco i primi rappresentanti. Il polpo è un animale dei fondali marini dell'ordine dei cefalopodi.

Guardando questa foto, mi è diventata ovvia la struttura frattale del suo corpo e le ventose su tutti e otto i tentacoli di questo animale. Le ventose sui tentacoli di un polpo adulto arrivano fino a 2000.

Un fatto interessante è che il polpo ha tre cuori: uno (principale) guida il sangue blu in tutto il corpo e gli altri due - branchie - spingono il sangue attraverso le branchie. Alcuni tipi di questi frattali di acque profonde sono velenosi.

Adattandosi e travestendosi al suo ambiente, il polpo ha un'utile capacità di cambiare colore.

I polpi sono considerati i più "intelligenti" tra tutti gli invertebrati. Riconoscono le persone, si abituano a chi le nutre. Sarebbe interessante guardare i polpi, che sono facili da addestrare, hanno buona memoria e persino distinguere le forme geometriche. Ma l'età di questi animali frattali non è lunga: un massimo di 4 anni.

L'uomo usa l'inchiostro di questo frattale vivente e di altri cefalopodi. Sono ricercati dagli artisti per la loro durata e il bel tono marrone. Nella cucina mediterranea, il polpo è fonte di vitamine B3, B12, potassio, fosforo e selenio. Ma penso che tu debba essere in grado di cucinare questi frattali marini per divertirti a mangiarli come cibo.

A proposito, va notato che i polpi sono predatori. Con i loro tentacoli frattali, tengono prede sotto forma di molluschi, crostacei e pesci. È un peccato se un mollusco così bello diventa il cibo di questi frattali marini. Secondo me è anche un tipico rappresentante dei frattali del regno del mare.

Questo è un parente delle lumache, il mollusco nudibranco gasteropode Glaucus, alias Glaucus, alias Glaucus atlanticus, alias Glaucilla marginata. Questo frattale è anche insolito in quanto vive e si muove sotto la superficie dell'acqua, essendo trattenuto dalla tensione superficiale. Perché il mollusco è un ermafrodita, quindi dopo l'accoppiamento, entrambi i "partner" depongono le uova. Questo frattale si trova in tutti gli oceani della zona tropicale.

Frattali del regno marino

Ognuno di noi almeno una volta nella vita ha tenuto tra le mani ed esaminato una conchiglia con genuino interesse infantile.

Di solito le conchiglie sono un bellissimo souvenir, che ricorda una gita al mare. Quando si osserva questa formazione a spirale di molluschi invertebrati, non c'è dubbio sulla sua natura frattale.

Noi umani siamo un po' come questi molluschi dal corpo molle, che vivono in comode case di cemento frattale, posizionando e muovendo il nostro corpo in macchine veloci.

Un altro rappresentante tipico del mondo sottomarino frattale è il corallo.
In natura sono note più di 3.500 varietà di coralli, nella cui tavolozza si distinguono fino a 350 sfumature di colore.

Il corallo è il materiale dello scheletro di una colonia di polipi corallini, anch'essi della famiglia degli invertebrati. I loro enormi accumuli formano intere barriere coralline, la cui formazione frattale è ovvia.

Il corallo con piena fiducia può essere definito un frattale del regno del mare.

Viene anche utilizzato dall'uomo come souvenir o materia prima per gioielli e ornamenti. Ma è molto difficile ripetere la bellezza e la perfezione della natura frattale.

In qualche modo non ho dubbi su questo mondo sott'acqua troverai anche molti animali frattali.

Ancora una volta, eseguendo un rituale in cucina con un coltello e un tagliere, e poi, immergendo il coltello nell'acqua fredda, ero di nuovo in lacrime per capire come affrontare il frattale lacrimale che appare quasi ogni giorno davanti ai miei occhi.

Il principio di frattalità è lo stesso della famosa bambola che nidifica: la nidificazione. Ecco perché la frattalità non viene immediatamente notata. Inoltre, un colore uniforme della luce e la sua naturale capacità di provocare sensazioni spiacevoli non contribuiscono all'osservazione ravvicinata dell'universo e all'identificazione di schemi matematici frattali.

Ma la cipolla da insalata color lilla, per il suo colore e l'assenza di fitoncidi lacrimali, ha richiamato alla mente la naturale frattalità di questo ortaggio. Certo, è un semplice frattale, cerchi ordinari di diverso diametro, si potrebbe anche dire il più primitivo frattale. Ma non farebbe male ricordare che il pallone è considerato l'ideale figura geometrica all'interno del nostro universo.

Molti articoli sono stati pubblicati su Internet sulle proprietà benefiche delle cipolle, ma in qualche modo nessuno ha provato a studiare questo esemplare naturale dal punto di vista della frattalità. Posso solo affermare l'utilità di usare un frattale sotto forma di cipolla nella mia cucina.

PS E ho già acquistato un tagliaverdure per tagliare un frattale. Ora devi pensare a quanto sia frattale un ortaggio così sano come il normale cavolo bianco. Lo stesso principio di nidificazione.

Frattali nell'arte popolare

La mia attenzione è stata attirata dalla storia del famoso giocattolo "Matryoshka". Guardando più da vicino, possiamo affermare con sicurezza che questo giocattolo souvenir è un tipico frattale.

Il principio di frattalità è evidente quando tutte le figure di un giocattolo di legno sono allineate in fila e non nidificate l'una nell'altra.

La mia piccola ricerca sulla storia dell'aspetto di questo frattale giocattolo sul mercato mondiale ha mostrato che questa bellezza ha radici giapponesi. La matrioska è sempre stata considerata un souvenir russo originale. Ma si è scoperto che era il prototipo della statuetta giapponese del vecchio saggio Fukurum, che una volta fu portato a Mosca dal Giappone.

Ma è stata l'artigianato russo del giocattolo a portare la fama mondiale a questa statuetta giapponese. Da dove sia venuta l'idea di una nidificazione frattale di un giocattolo, per me personalmente, è rimasto un mistero. Molto probabilmente, l'autore di questo giocattolo ha utilizzato il principio di annidare le figure l'una nell'altra. E il modo più semplice per investire sono figure simili di dimensioni diverse, e questo è già un frattale.

Un oggetto di studio altrettanto interessante è la pittura di un giocattolo frattale. Questo è un dipinto decorativo - Khokhloma. Gli elementi tradizionali del Khokhloma sono motivi a base di erbe di fiori, bacche e rami.

Di nuovo, tutti segni di frattalità. Dopotutto, lo stesso elemento può essere ripetuto più volte in diverse versioni e proporzioni. Il risultato è un dipinto frattale popolare.

E se non sorprenderai nessuno con la nuova pittura di mouse per computer, cover per laptop e telefoni, la messa a punto frattale di un'auto in stile folk è qualcosa di nuovo nel design delle auto. Resta solo da sorprendersi della manifestazione del mondo dei frattali nella nostra vita in un modo così insolito in cose così ordinarie per noi.

frattali in cucina

Ogni volta che tagliavo un cavolfiore a cimette per sbollentarlo in acqua bollente, non ho mai prestato attenzione ai segni evidenti di frattalità finché non ho avuto questo esemplare tra le mani.

Un tipico rappresentante di un frattale da flora ostentato sul tavolo della mia cucina.

Con tutto il mio amore per il cavolfiore, mi sono sempre imbattuto in esemplari con una superficie uniforme senza segni visibili di frattalità, e anche un gran numero di infiorescenze nidificate l'una nell'altra non mi dava motivo di vederlo verdura sana frattale.

Ma la superficie di questo particolare esemplare dalla pronunciata geometria frattale non lasciava dubbi sull'origine frattale di questo tipo di cavolo cappuccio.

Un altro viaggio all'ipermercato ha solo confermato lo stato frattale del cavolo. Tra l'enorme numero di verdure esotiche, c'era un'intera scatola di frattali. Era Romanescu, o broccolo romanico, un cavolfiore di corallo.

Si scopre che designer e artisti 3D ne ammirano le forme esotiche simili a frattali.

I germogli di cavolo crescono in una spirale logaritmica. La prima menzione del cavolo Romanescu è arrivata dall'Italia nel XVI secolo.

E i broccoli non sono affatto un ospite frequente nella mia dieta, anche se sono molte volte superiori al cavolfiore in termini di contenuto di nutrienti e oligoelementi. Ma la sua superficie e la sua forma sono così uniformi che non mi è mai venuto in mente di vedervi un frattale vegetale.

Frattali nel quilling

Vedendo i mestieri traforati usando la tecnica del quilling, non ho mai lasciato la sensazione che mi ricordassero qualcosa. La ripetizione degli stessi elementi in dimensioni diverse - ovviamente, questo è il principio della frattalità.

Dopo aver visto la successiva master class di quilling, non c'erano nemmeno dubbi sulla frattalità del quilling. Infatti, per la fabbricazione di vari elementi per l'artigianato dal quilling, viene utilizzato un righello speciale con cerchi di diverso diametro. Con tutta la bellezza e l'originalità dei prodotti, questa è una tecnica incredibilmente semplice.

Quasi tutti gli elementi di base per l'artigianato nel quilling sono fatti di carta. Per fare scorta di carta per quilling gratuita, controlla i tuoi scaffali a casa. Sicuramente lì troverai un paio di brillanti riviste patinate.

Gli strumenti per quilling sono semplici ed economici. Tutto ciò di cui hai bisogno per fare un lavoro di quilling amatoriale, puoi trovarlo tra la tua cancelleria di casa.

E la storia del quilling inizia nel 18° secolo in Europa. Nel Rinascimento, i monaci dei monasteri francesi e italiani usavano il quilling per decorare le copertine dei libri e non erano nemmeno consapevoli della frattalità della tecnica di arrotolamento della carta che avevano inventato. Le ragazze dell'alta società hanno persino frequentato un corso di quilling in scuole speciali. È così che questa tecnica ha iniziato a diffondersi in paesi e continenti.

Questa master class di video quilling sulla creazione di piume lussuose può anche essere chiamata "frattali fai-da-te". Con l'aiuto di frattali di carta si ottengono meravigliosi biglietti di San Valentino esclusivi e molte altre cose interessanti. Dopotutto, la fantasia, come la natura, è inesauribile.

Non è un segreto che i giapponesi in vita sono molto limitati nello spazio, e quindi devono eccellere in ogni modo possibile nel suo uso efficace. Takeshi Miyakawa mostra come questo possa essere fatto in modo efficace ed estetico allo stesso tempo. Il suo armadio frattale conferma che l'uso dei frattali nel design non è solo un omaggio alla moda, ma anche una soluzione di design armoniosa in uno spazio limitato.

Questo esempio dell'uso dei frattali nella vita reale, in relazione al design dei mobili, mi ha mostrato che i frattali sono reali non solo sulla carta nelle formule matematiche e nei programmi per computer.

E sembra che la natura usi ovunque il principio di frattalità. Hai solo bisogno di dare un'occhiata più da vicino e si manifesterà in tutta la sua magnifica abbondanza e infinità di essere.

Come tutto è cominciato

Cos'è un frattale, in parole povere

Oggetti frattali in natura

Costa

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Circolazione

Scarichi fluviali

Il nostro universo

Alle questioni pratiche

Conclusione

Come è stato scoperto il frattale

frattali in natura

Frattali nella tecnologia digitale

Come costruire un frattale?

Frattali e antichi mandala

Animali marini frattali

Frattali del regno marino

Frattali nell'arte popolare

frattali in cucina

Frattali nel quilling

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