Uno degli argomenti più interessanti di geometria del corso scolastico è "Quadangles" (voto 8). Quali tipi di tali figure esistono, quali proprietà speciali hanno? Cos'hanno di unico i quadrilateri con angoli di novanta gradi? Diamo un'occhiata a tutto questo.

Quale figura geometrica si chiama quadrilatero

I poligoni, che consistono di quattro lati e, di conseguenza, di quattro vertici (angoli), sono chiamati quadrilateri nella geometria euclidea.

La storia del nome di questo tipo di figure è interessante. Nella lingua russa, il sostantivo "quadrangolare" è formato dalla frase "quattro angoli" (proprio come "triangolo" - tre angoli, "pentagono" - cinque angoli, ecc.).

Tuttavia, in latino (attraverso il quale molti termini geometrici sono giunti alla maggior parte delle lingue del mondo), è chiamato quadrilatero. Questa parola è formata dal numero quadri (quattro) e dal sostantivo latus (lato). Quindi possiamo concludere che presso gli antichi questo poligono era indicato solo come "quadrilatero".

A proposito, un tale nome (con un'enfasi sulla presenza di quattro lati piuttosto che di angoli in figure di questo tipo) è stato conservato in alcune lingue moderne. Ad esempio, in inglese - quadrilatero e in francese - quadrilatère.

Allo stesso tempo, nella maggior parte lingue slave il tipo di figure considerato è ancora identificato dal numero di angoli e non dai lati. Ad esempio, in slovacco (štvoruholník), in bulgaro ("chetirigalnik"), in bielorusso ("chatyrokhkutnik"), in ucraino ("chotirikutnik"), in ceco (čtyřúhelník), ma in polacco il quadrilatero è chiamato dal numero di lati - czworoboczny.

Quali tipi di quadrangoli vengono studiati nel curriculum scolastico

Nella geometria moderna, ci sono 4 tipi di poligoni con quattro lati.

Tuttavia, a causa delle proprietà troppo complesse di alcuni di essi, nelle lezioni di geometria, agli scolari vengono introdotti solo due tipi.

• Parallelogramma. I lati opposti di un tale quadrilatero sono paralleli a coppie tra loro e, di conseguenza, sono anche uguali a coppie.
• Trapezio (trapezio o trapezio). Questo quadrilatero è costituito da due lati opposti paralleli tra loro. Tuttavia, l'altra coppia di lati non ha questa caratteristica.

Tipi di quadrilateri non studiati nel corso di geometria della scuola

Oltre a quanto sopra, ci sono altri due tipi di quadrilateri a cui gli scolari non vengono introdotti nelle lezioni di geometria, a causa della loro particolare complessità.

• Deltoide (aquilone)- una figura in cui ciascuna di due coppie di lati adiacenti è uguale in lunghezza l'una all'altra. Questo quadrilatero ha preso il nome perché aspetto assomiglia molto alla lettera dell'alfabeto greco - "delta".
• Antiparallelogramma- questa figura è complessa come il suo nome. In esso, due lati opposti sono uguali, ma allo stesso tempo non sono paralleli tra loro. Inoltre, i lati lunghi opposti di questo quadrilatero si intersecano, così come le estensioni degli altri due lati più corti.

Tipi di parallelogramma

Dopo aver affrontato i principali tipi di quadrangoli, vale la pena prestare attenzione alle sue sottospecie. Quindi, tutti i parallelogrammi, a loro volta, sono anche divisi in quattro gruppi.

• Parallelogramma classico.
• Rombo (rombo)- forma quadrangolare lati uguali. Le sue diagonali si intersecano ad angolo retto, dividendo il rombo in quattro triangoli rettangoli uguali.
• Rettangolo. Il nome parla da sé. Poiché è un quadrilatero con angoli retti (ciascuno di essi è uguale a novanta gradi). I suoi lati opposti non sono solo paralleli tra loro, ma anche uguali.
• Quadrato (quadrato). Come un rettangolo, è un quadrilatero con angoli retti, ma ha tutti i lati uguali tra loro. Questa figura è vicina a un rombo. Quindi si può sostenere che un quadrato è un incrocio tra un rombo e un rettangolo.

Proprietà speciali del rettangolo

Considerando figure in cui ciascuno degli angoli fra i lati è uguale a novanta gradi, vale la pena soffermarsi più da vicino sul rettangolo. Quindi, quali caratteristiche speciali ha che lo distinguono dagli altri parallelogrammi?

Per affermare che il parallelogramma in esame è un rettangolo, le sue diagonali devono essere uguali tra loro e ciascuno degli angoli deve essere retto. Inoltre, il quadrato delle sue diagonali deve corrispondere alla somma dei quadrati di due lati adiacenti di questa figura. In altre parole, il rettangolo classico è costituito da due triangoli rettangoli, e in essi, come è noto, la diagonale del quadrilatero in esame funge da ipotenusa.

L'ultimo dei segni elencati di questa figura è anche la sua proprietà speciale. Oltre a questo, ce ne sono altri. Ad esempio, il fatto che tutti i lati del quadrilatero studiato con angoli retti siano contemporaneamente le sue altezze.

Inoltre, se un cerchio viene disegnato attorno a un rettangolo, il suo diametro sarà uguale alla diagonale della figura inscritta.

Tra le altre proprietà di questo quadrilatero, che è piatto e non esiste nella geometria non euclidea. Ciò è dovuto al fatto che in un tale sistema non ci sono figure quadrangolari la cui somma degli angoli è uguale a trecentosessanta gradi.

La piazza e le sue caratteristiche

Dopo aver affrontato i segni e le proprietà di un rettangolo, vale la pena prestare attenzione al secondo quadrilatero noto alla scienza con angoli retti (questo è un quadrato).

Essendo infatti lo stesso rettangolo, ma con lati uguali, questa figura ha tutte le sue proprietà. Ma a differenza di esso, il quadrato è presente nella geometria non euclidea.

Inoltre, questa figura ha altre caratteristiche distintive. Ad esempio, il fatto che le diagonali di un quadrato non sono solo uguali tra loro, ma si intersecano anche ad angolo retto. Così, come un rombo, un quadrato è composto da quattro triangoli rettangoli, in cui è diviso da diagonali.

Inoltre, questa figura è la più simmetrica tra tutti i quadrilateri.

Qual è la somma degli angoli di un quadrilatero

Considerando le caratteristiche dei quadrangoli della geometria euclidea, vale la pena prestare attenzione ai loro angoli.

Quindi, in ciascuna delle figure sopra, indipendentemente dal fatto che abbia o meno angoli retti, la loro somma totale è sempre la stessa: trecentosessanta gradi. È unico caratteristica distintiva questo tipo di figura.

Perimetro dei quadrilateri

Avendo capito qual è la somma degli angoli di un quadrilatero e altre proprietà speciali di figure di questo tipo, vale la pena sapere quali formule sono meglio utilizzate per calcolarne il perimetro e l'area.

Per determinare il perimetro di qualsiasi quadrilatero, devi solo sommare la lunghezza di tutti i suoi lati.

Ad esempio, nella figura KLMN, il suo perimetro può essere calcolato utilizzando la formula: P \u003d KL + LM + MN + KN. Se sostituisci i numeri qui, ottieni: 6 + 8 + 6 + 8 = 28 (cm).

Nel caso in cui la figura in questione sia un rombo o un quadrato, per trovare il perimetro, puoi semplificare la formula moltiplicando semplicemente la lunghezza di uno dei suoi lati per quattro: P \u003d KL x 4. Ad esempio: 6 x 4 \u003d 24 (cm).

Formule del quadrilatero dell'area

Dopo aver capito come trovare il perimetro di qualsiasi figura con quattro angoli e lati, vale la pena considerare il più popolare e modi semplici trovando la sua zona.

Altre proprietà dei quadrilateri: cerchi inscritti e circoscritti

Dopo aver considerato le caratteristiche e le proprietà di un quadrilatero come figura della geometria euclidea, vale la pena prestare attenzione alla capacità di descrivere attorno o inscrivere cerchi al suo interno:

• Se le somme degli angoli opposti di una figura sono centottanta gradi ciascuna e sono uguali a coppie tra loro, allora un cerchio può essere liberamente descritto attorno a tale quadrilatero.
• Secondo il teorema di Tolomeo, se un cerchio è circoscritto all'esterno di un poligono a quattro lati, il prodotto delle sue diagonali è uguale alla somma dei prodotti dei lati opposti della figura data. Pertanto, la formula sarà simile alla seguente: KM x LN \u003d KL x MN + LM x KN.
• Se costruisci un quadrilatero in cui le somme dei lati opposti sono uguali tra loro, allora in esso si può inscrivere un cerchio.

Dopo aver capito cos'è un quadrilatero, quali tipi ne esistono, quali hanno solo angoli retti tra i lati e quali proprietà hanno, vale la pena ricordare tutto questo materiale. In particolare le formule per trovare il perimetro e l'area dei poligoni considerati. Dopotutto, le figure di questa forma sono una delle più comuni e questa conoscenza può essere utile per i calcoli nella vita reale.

Definizione. Un parallelogramma è un quadrilatero i cui lati opposti sono paralleli a coppie.

Proprietà. In un parallelogramma, i lati opposti sono uguali e gli angoli opposti sono uguali.

Proprietà. Le diagonali di un parallelogramma sono divise in due dal punto di intersezione.

1 segno di un parallelogramma. Se due lati di un quadrilatero sono uguali e paralleli, allora il quadrilatero è un parallelogramma.

2 segno di un parallelogramma. Se i lati opposti di un quadrilatero sono uguali a coppie, allora il quadrilatero è un parallelogramma.

3 segno di un parallelogramma. Se in un quadrilatero le diagonali si intersecano e il punto di intersezione è diviso in due, allora questo quadrilatero è un parallelogramma.

Definizione. Un trapezio è un quadrilatero in cui due lati sono paralleli e gli altri due lati non sono paralleli. Si chiamano lati paralleli motivi.

Il trapezio si chiama isoscele (isoscele) se i suoi lati sono uguali. In un trapezio isoscele gli angoli alla base sono uguali.

rettangolare.

linea mediana del trapezio. La linea mediana è parallela alle basi e uguale alla loro semisomma.

Rettangolo

Definizione.

Proprietà. Le diagonali di un rettangolo sono uguali.

Segno di rettangolo. Se le diagonali di un parallelogramma sono uguali, allora il parallelogramma è un rettangolo.

Definizione.

Proprietà. Le diagonali di un rombo sono tra loro perpendicolari e dividono in due i suoi angoli.

Definizione.

Un quadrato è un particolare tipo di rettangolo e anche un particolare tipo di rombo. Pertanto, ha tutte le loro proprietà.

Proprietà:
1. Tutti gli angoli del quadrato sono corretti

Quadranga tutte le regole

Parole chiave:
quadrilatero, convesso, somma degli angoli, area di un quadrilatero

quadrilatero si chiama una figura, che consiste di quattro punti e quattro segmenti che li collegano in serie. In questo caso, tre di questi punti non dovrebbero trovarsi su una linea retta e i segmenti che li collegano non dovrebbero intersecarsi.

• Si chiamano i vertici del quadrilatero confinante se sono le estremità di uno dei suoi lati.
• Vertici che non sono vicini , chiamata opposto .
• Si chiamano segmenti di linea che collegano i vertici opposti di un quadrilatero diagonali .
• Si chiamano i lati di un quadrilatero che originano dallo stesso vertice confinante partiti.
• Sono chiamati i lati che non hanno un fine comune opposto partiti.
• Si chiama il quadrilatero convesso , se si trova in un semipiano rispetto alla retta contenente uno qualsiasi dei suoi lati.

Tipi di quadrilateri

1. Parallelogramma Un quadrilatero con lati opposti paralleli
   • Rettangolo un parallelogramma con tutti gli angoli retti
   • Rombo - un parallelogramma con tutti i lati uguali
   • Quadrato - un rettangolo con tutti i lati uguali
2. Trapezio - un quadrilatero in cui due lati sono paralleli e gli altri due lati non sono paralleli
3. Deltoide Un quadrilatero le cui due coppie di lati adiacenti sono uguali

quadrangoli

quadrilatero si chiama una figura, che consiste di quattro punti e quattro segmenti che li collegano in serie. In questo caso, tre di questi punti non giacciono sulla stessa retta e i segmenti che li collegano non si intersecano.

opposto. opposto.

Tipi di quadrilateri

Parallelogramma

Parallelogrammaè detto quadrilatero i cui lati opposti sono paralleli a coppie.

Proprietà del parallelogramma

• i lati opposti sono uguali;
• gli angoli opposti sono uguali;
• la somma dei quadrati delle diagonali è uguale alla somma dei quadrati di tutti i lati:

Caratteristiche del parallelogramma

Trapezio Si dice quadrilatero, in cui due lati opposti sono paralleli e gli altri due non sono paralleli.

I lati paralleli di un trapezio sono detti suoi motivi e i lati non paralleli lati. Si chiama il segmento che collega i punti medi dei lati linea di mezzo.

Il trapezio si chiama isoscele(o isoscele) se i suoi lati sono uguali.

Si dice trapezio con un angolo retto rettangolare.

Proprietà trapezoidali

Segni di un trapezio

Rettangolo

Rettangolo Un parallelogramma si dice se tutti gli angoli sono retti.

Proprietà rettangolo

Caratteristiche rettangolari

Un parallelogramma è un rettangolo se:

1. Uno dei suoi angoli è giusto.
2. Le sue diagonali sono uguali.

Rombo Un parallelogramma si dice se tutti i lati sono uguali.

Proprietà del rombo

• tutte le proprietà di un parallelogramma;
• le diagonali sono perpendicolari;

Segni di un rombo

Quadrato Si dice rettangolo in cui tutti i lati sono uguali.

Proprietà quadrate

• tutti gli angoli del quadrato sono giusti;
• le diagonali del quadrato sono uguali, tra loro perpendicolari, il punto di intersezione è diviso a metà e gli angoli del quadrato sono divisi a metà.

Segni quadrati

Formule di base

S=d 1 d 2 peccato

Parallelogramma
un e b- parti adiacenti; - l'angolo tra di loro; ah - altezza a lato un.

S = ab peccato

S=d 1 d 2 peccato

Trapezio
un e b- motivi; h- la distanza tra loro; l- linea di mezzo .

Rettangolo

S=d 1 d 2 peccato

S = a 2 peccato

S=d 1 d 2

Quadrato
d- diagonale.

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Proprietà dei quadrilateri. Tipi di quadrilateri. Proprietà di quadrilateri arbitrari. Proprietà del parallelogramma. Proprietà del rombo. Proprietà rettangolo. Proprietà quadrate. proprietà trapezoidali. Grado 7-9 circa (13-15 anni)

Proprietà dei quadrilateri. Tipi di quadrilateri. Proprietà di quadrilateri arbitrari.
Proprietà del parallelogramma. Proprietà del rombo. Proprietà rettangolo. Proprietà quadrate. proprietà trapezoidali.

Tipi di quadrilateri:

• Parallelogrammaè un quadrilatero i cui lati opposti sono paralleli

• Romboè un parallelogramma con tutti i lati uguali.

• Rettangoloè un parallelogramma con tutti gli angoli retti.

• Quadratoè un rettangolo con tutti i lati uguali.

Proprietà di quadrilateri arbitrari:

Proprietà del parallelogramma:

Proprietà del rombo:

Proprietà rettangolo:

Proprietà quadrate:

Proprietà del trapezio:

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Quadranga tutte le regole

Geometria non euclidea, geometria simile alla geometria Euclide in quanto definisce il movimento delle figure, ma differisce dalla geometria euclidea in quanto uno dei suoi cinque postulati (secondo o quinto) è sostituito dalla sua negazione. Il diniego di uno dei postulati euclidei (1825) è stato un evento significativo nella storia del pensiero, perché è servito come primo passo verso teoria della relatività.

Il secondo postulato di Euclide afferma che qualsiasi segmento di linea può essere esteso indefinitamente. Apparentemente Euclide credeva che questo postulato contenesse anche l'affermazione che la retta ha lunghezza infinita. Tuttavia nella geometria "ellittica" ogni retta è finita e, come un cerchio, è chiusa.

Il quinto postulato afferma che se una retta interseca due rette date in modo tale che i due angoli interni su un lato di essa siano in somma inferiori a due angoli retti, allora queste due rette, se estese indefinitamente, si intersecheranno sul lato dove la somma di questi angoli è minore della somma di due rette. Ma nella geometria "iperbolica" può esistere una retta CB (vedi Fig.), perpendicolare nel punto C a una data retta r e intersecante un'altra retta s ad angolo acuto nel punto B, ma, tuttavia, le rette infinite r e s non si intersecherà mai.

Da questi postulati rivisti è seguito che la somma degli angoli di un triangolo, pari a 180° nella geometria euclidea, è maggiore di 180° nella geometria ellittica e minore di 180° nella geometria iperbolica.

Quadrilatero

Quadrilateroè un poligono contenente quattro vertici e quattro lati.

Quadrilatero, figura geometrica- un poligono con quattro angoli, così come qualsiasi oggetto, un dispositivo di questa forma.

Si chiamano due lati non adiacenti di un quadrilatero opposto. Vengono chiamati anche due vertici non adiacenti opposto.

I quadrangoli sono convessi (come ABCD) e
non convesso (A 1 B 1 C 1 D 1).

Tipi di quadrilateri

• Parallelogramma- un quadrilatero in cui tutti i lati opposti sono paralleli;
• Rettangolo- un quadrilatero con tutti gli angoli retti;
• Rombo- un quadrilatero in cui tutti i lati sono uguali;
• Quadrato- un quadrilatero in cui tutti gli angoli sono retti e tutti i lati sono uguali;
• Trapezio- un quadrilatero con due lati opposti paralleli;
• Deltoide Un quadrilatero le cui due coppie di lati adiacenti sono uguali.

Parallelogramma

Un parallelogramma è un quadrilatero i cui lati opposti sono paralleli a coppie.

Parallelogramma (dal greco parallelos - parallelo e grammo - linea) cioè giacciono su rette parallele. Casi speciali di un parallelogramma sono un rettangolo, un quadrato e un rombo.

• i lati opposti sono uguali;
• gli angoli opposti sono uguali;
• le diagonali del punto di intersezione sono divise a metà;
• la somma degli angoli adiacenti ad un lato è 180°;
• la somma dei quadrati delle diagonali è uguale alla somma dei quadrati di tutti i lati.

Un quadrilatero è un parallelogramma se:

1. I suoi due lati opposti sono uguali e paralleli.
2. I lati opposti sono uguali a coppie.
3. Gli angoli opposti sono uguali a coppie.
4. Le diagonali del punto di intersezione sono divise a metà.

Rettangolo

Un rettangolo è un parallelogramma con tutti gli angoli retti.

• i lati opposti sono uguali;
• gli angoli opposti sono uguali;
• le diagonali del punto di intersezione sono divise a metà;
• la somma degli angoli adiacenti ad un lato è 180°;
• le diagonali sono uguali.

Un parallelogramma è un rettangolo se:

1. Uno dei suoi angoli è giusto.
2. Le sue diagonali sono uguali.

Un rombo è un parallelogramma in cui tutti i lati sono uguali.

• i lati opposti sono uguali;
• gli angoli opposti sono uguali;
• le diagonali del punto di intersezione sono divise a metà;
• la somma degli angoli adiacenti ad un lato è 180°;
• la somma dei quadrati delle diagonali è uguale alla somma dei quadrati di tutti i lati;
• le diagonali sono perpendicolari;
• le diagonali sono le bisettrici dei suoi angoli.

Un parallelogramma è un rombo se:

1. I suoi due lati adiacenti sono uguali.
2. Le sue diagonali sono perpendicolari.
3. Una delle diagonali è la bisettrice del suo angolo.

Un quadrato è un rettangolo in cui tutti i lati sono uguali.

• tutti gli angoli del quadrato sono giusti;
• le diagonali del quadrato sono uguali, tra loro perpendicolari, il punto di intersezione è diviso a metà e gli angoli del quadrato sono divisi a metà.

1. Un rettangolo è un quadrato se ha qualche caratteristica di un rombo.

Un trapezio è un quadrilatero in cui due lati opposti sono paralleli e gli altri due non sono paralleli.

I lati paralleli di un trapezio sono detti basi, mentre i lati non paralleli sono detti lati. Il segmento che collega i punti medi dei lati è chiamato linea mediana.

Un trapezio si dice isoscele (o isoscele) se i suoi lati sono uguali.

Un trapezio con un angolo retto è chiamato trapezio ad angolo retto.

• la sua linea mediana è parallela alle basi e uguale alla loro metà somma;
• se il trapezio è isoscele, allora le sue diagonali sono uguali e gli angoli alla base sono uguali;
• se il trapezio è isoscele, allora si può descrivere un cerchio attorno ad esso;
• se la somma delle basi è uguale alla somma dei lati, allora in essa si può inscrivere un cerchio.

1. Un quadrilatero è un trapezio se i suoi lati paralleli non sono uguali

Deltoide Un quadrilatero con due coppie di lati della stessa lunghezza. A differenza di un parallelogramma, due coppie di lati adiacenti non sono uguali, ma due coppie di lati adiacenti. Il deltoide ha la forma di un aquilone.

• Gli angoli tra i lati di lunghezza diversa sono uguali.
• Le diagonali del deltoide (o delle loro estensioni) si intersecano ad angolo retto.
• Un cerchio può essere inscritto in qualsiasi deltoide convesso, inoltre, se il deltoide non è un rombo, allora c'è un altro cerchio che tocca le estensioni di tutti e quattro i lati. Per un deltoide non convesso, si può costruire un cerchio tangente a due lati maggiori ed estensioni di due lati minori, e un cerchio tangente a due lati minori ed estensioni di due lati maggiori.

• Se l'angolo tra i lati disuguali del deltoide è una linea retta, è possibile inscrivervi un cerchio (il deltoide descritto).
• Se una coppia di lati opposti di un deltoide sono uguali, allora tale deltoide è un rombo.
• Se una coppia di lati opposti ed entrambe le diagonali di un deltoide sono uguali, allora il deltoide è un quadrato. Anche un deltoide inscritto con diagonali uguali è un quadrato.

L'emergere della geometria risale a tempi antichi ed era dovuto a bisogni pratici attività umana(la necessità di misurare il terreno, misurare i volumi di vari corpi, ecc.).

Le informazioni e i concetti geometrici più semplici erano già noti in Antico Egitto. Durante questo periodo, le affermazioni geometriche furono formulate sotto forma di regole fornite senza prove.

Dal VII secolo a.C e. al I secolo d.C e. la geometria come scienza si sviluppò rapidamente Grecia antica. Durante questo periodo non solo avvenne l'accumulazione di varie informazioni geometriche, ma fu anche elaborata la metodologia per dimostrare le affermazioni geometriche e furono fatti i primi tentativi di formulare le disposizioni primarie di base (assiomi) della geometria, da cui molte diverse le affermazioni sono derivate da un ragionamento puramente logico. Il livello di sviluppo della geometria nell'antica Grecia si riflette nel lavoro degli "Inizi" di Euclide.

In questo libro, per la prima volta, si è cercato di dare una costruzione sistematica della planimetria sulla base di concetti e assiomi (postulati) geometrici indefiniti di base.

Un posto speciale nella storia della matematica è occupato dal quinto postulato di Euclide (l'assioma delle rette parallele). Per molto tempo, i matematici hanno cercato senza successo di derivare il quinto postulato dal resto dei postulati di Euclide e solo a metà del XIX secolo, grazie agli studi di N. I. Lobachevsky, B. Riemann e J. Boyai, è diventato chiaro che il quinto postulato non può essere derivato dal resto, e il sistema di assiomi, proposto da Euclide non è l'unico possibile.

Gli "Elementi" di Euclide hanno avuto un enorme impatto sullo sviluppo della matematica. Per più di duemila anni questo libro non è stato solo un libro di testo sulla geometria, ma è servito anche come punto di partenza per molti studi matematici, a seguito dei quali sono sorti nuovi rami indipendenti della matematica.

La costruzione sistematica della geometria viene solitamente eseguita secondo il seguente piano:

IO. Vengono elencati i principali concetti geometrici, che vengono introdotti senza definizioni.

II. Viene data una formulazione degli assiomi della geometria.

III. Sulla base di assiomi e concetti geometrici di base, vengono formulati altri concetti e teoremi geometrici.

1. Origine del nome Geometria non euclidea?
2. Quali forme si chiamano quadrilateri?
3. Proprietà di un parallelogramma?
4. Tipi di quadrilateri?

Elenco delle fonti utilizzate

1. AG Tsypkin. Manuale di matematica
2. "Separare Esame di stato 2006. Matematica. Materiali didattici e formativi per la preparazione degli studenti / Rosobrnadzor, ISOP - M.: Intellect-Center, 2006 "
3. Mazur K. I. "Risolvere i principali problemi competitivi in ​​matematica della raccolta a cura di M. I. Scanavi"

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Argomento della lezione

• Definizione di quadrilatero.

Obiettivi della lezione

• Educativo - ripetizione, generalizzazione e verifica delle conoscenze sull'argomento: "Quadrangles"; sviluppo delle competenze di base.
• Sviluppo - per sviluppare l'attenzione, la perseveranza, la perseveranza, il pensiero logico, il discorso matematico degli studenti.
• Educativo - attraverso la lezione per coltivare un atteggiamento attento l'uno verso l'altro, per infondere capacità di ascolto dei compagni, assistenza reciproca, indipendenza.

Obiettivi della lezione

• Per formare abilità nella costruzione di un quadrilatero usando una barra della scala e un triangolo di disegno.
• Verificare la capacità degli studenti di risolvere i problemi.

Piano di lezione

1. Riferimento storico. Geometria non euclidea.
2. Quadrilatero.
3. Tipi di quadrilateri.

Geometria non euclidea

Geometria non euclidea, geometria simile alla geometria Euclide in quanto definisce il movimento delle figure, ma differisce dalla geometria euclidea in quanto uno dei suoi cinque postulati (secondo o quinto) è sostituito dalla sua negazione. Il diniego di uno dei postulati euclidei (1825) è stato un evento significativo nella storia del pensiero, perché è servito come primo passo verso teoria della relatività.

Il secondo postulato di Euclide afferma che qualsiasi segmento di linea può essere esteso indefinitamente. Apparentemente Euclide credeva che questo postulato contenesse anche l'affermazione che la retta ha lunghezza infinita. Tuttavia nella geometria "ellittica" ogni retta è finita e, come un cerchio, è chiusa.

Il quinto postulato afferma che se una retta interseca due rette date in modo tale che i due angoli interni su un lato di essa siano in somma inferiori a due angoli retti, allora queste due rette, se estese indefinitamente, si intersecheranno sul lato dove la somma di questi angoli è minore della somma di due rette. Ma nella geometria "iperbolica" può esistere una retta CB (vedi Fig.), perpendicolare nel punto C a una data retta r e intersecante un'altra retta s ad angolo acuto nel punto B, ma, tuttavia, le rette infinite r e s non si intersecherà mai.

Da questi postulati rivisti è seguito che la somma degli angoli di un triangolo, pari a 180° nella geometria euclidea, è maggiore di 180° nella geometria ellittica e minore di 180° nella geometria iperbolica.

Quadrilatero

Materie > Matematica > Matematica Grado 8

Nel curriculum scolastico nelle lezioni di geometria si ha a che fare con vari tipi di quadrilateri: rombi, parallelogrammi, rettangoli, trapezi, quadrati. Le primissime forme da studiare sono un rettangolo e un quadrato.

Allora cos'è un rettangolo? La definizione per il 2° grado di una scuola comprensiva sarà simile a questa: questo è un quadrilatero, in cui tutti e quattro gli angoli sono giusti. È facile immaginare come appare un rettangolo: è una figura con 4 angoli retti e lati paralleli tra loro a coppie.

In contatto con

Come capire, risolvendo il prossimo problema geometrico, di che tipo di quadrilatero abbiamo a che fare? Ci sono tre caratteristiche principali, con cui puoi determinare con precisione che stiamo parlando di un rettangolo. Chiamiamoli:

• la figura è un quadrilatero con tre angoli pari a 90°;
• il quadrilatero presentato è un parallelogramma con diagonali uguali;
• un parallelogramma che ha almeno un angolo retto.

È interessante sapere: cos'è il convesso, le sue caratteristiche e segni.

Poiché un rettangolo è un parallelogramma (cioè un quadrilatero con lati opposti paralleli a coppie), tutte le sue proprietà e caratteristiche saranno soddisfatte per esso.

Formule per il calcolo della lunghezza dei lati

in un rettangolo i lati opposti sono uguali e tra loro paralleli. Il lato più lungo è solitamente chiamato lunghezza (indicato con a), il lato più corto è chiamato larghezza (indicato con b). Nel rettangolo nell'immagine, le lunghezze sono i lati AB e CD e le larghezze sono AC e BD. Sono anche perpendicolari alle basi (cioè sono altezze).

Per trovare i lati, puoi utilizzare le formule seguenti. Hanno adottato convegni: a - la lunghezza del rettangolo, b - la sua larghezza, d - la diagonale (un segmento che collega i vertici di due angoli uno di fronte all'altro), S - l'area della figura, P - il perimetro, α - l'angolo tra la diagonale e la lunghezza, β - un angolo acuto, formato da entrambe le diagonali. Modi per trovare le lunghezze dei lati:

• Usando la diagonale e il lato noto: a \u003d √ (d ² - b ²), b \u003d √ (d ² - a ²).
• Per l'area della figura e uno dei suoi lati: a = S / b, b = S / a.
• Utilizzando il perimetro e il lato noto: a = (P - 2 b) / 2, b = (P - 2 a) / 2.
• Attraverso la diagonale e l'angolo tra essa e la lunghezza: a = d sinα, b = d cosα.
• Attraverso la diagonale e l'angolo β: a = d sin 0,5 β, b = d cos 0,5 β.

Perimetro e area

Si chiama il perimetro di un quadrilatero la somma delle lunghezze di tutti i suoi lati. Per calcolare il perimetro si possono utilizzare le seguenti formule:

• Attraverso entrambi i lati: P = 2 (a + b).
• Attraverso l'area e uno dei lati: P \u003d (2S + 2a ²) / a, P \u003d (2S + 2b ²) / b.

Un'area è uno spazio delimitato da un perimetro. Tre modi principali per calcolare l'area:

• Attraverso le lunghezze di entrambi i lati: S = a*b.
• Utilizzando il perimetro e qualsiasi lato noto: S \u003d (Pa - 2 a ²) / 2; S = (Pb - 2b²) / 2.
• Diagonale e angolo β: S = 0,5 d² sinβ.

Nei compiti di un corso di matematica scolastica, spesso è richiesta una buona padronanza di proprietà delle diagonali di un rettangolo. Elenchiamo i principali:

1. Le diagonali sono uguali tra loro e sono divise in due segmenti uguali nel punto della loro intersezione.
2. La diagonale è definita come la radice della somma di entrambi i lati al quadrato (consegue dal teorema di Pitagora).
3. La diagonale divide il rettangolo in due triangoli con un angolo retto.
4. Il punto di intersezione coincide con il centro del cerchio circoscritto e le diagonali stesse coincidono con il suo diametro.

Le seguenti formule vengono utilizzate per calcolare la lunghezza della diagonale:

• Utilizzando la lunghezza e la larghezza della figura: d = √ (a ² + b ²).
• Utilizzando il raggio di una circonferenza circoscritta ad un quadrilatero: d = 2 R.

Definizione e proprietà di un quadrato

Un quadrato è un caso speciale di rombo, parallelogramma o rettangolo. La sua differenza da queste figure è che tutti i suoi angoli sono retti e tutti e quattro i lati sono uguali. Un quadrato è un quadrilatero regolare.

Un quadrilatero si dice quadrato nei seguenti casi:

1. Se è un rettangolo la cui lunghezza a e larghezza b sono uguali.
2. Se è un rombo con diagonali di uguale lunghezza e quattro angoli retti.

Le proprietà di un quadrato includono tutte le proprietà discusse in precedenza relative a un rettangolo, nonché le seguenti:

1. Le diagonali sono perpendicolari tra loro (proprietà di un rombo).
2. Il punto di intersezione coincide con il centro del cerchio inscritto.
3. Entrambe le diagonali dividono il quadrilatero in quattro triangoli rettangoli e isoscele identici.

Ecco alcune formule usate di frequente per calcolare il perimetro, l'area e gli elementi di un quadrato:

• Diagonale d = a √2.
• Perimetro P = 4 a.
• Area S = a².
• Il raggio della circonferenza circoscritta è metà della diagonale: R = 0,5 a √2.
• Il raggio di un cerchio inscritto è definito come metà della lunghezza del lato: r = a / 2.

Esempi di domande e attività

Analizziamo alcune delle domande che potresti incontrare quando studi matematica a scuola e risolviamo alcuni semplici problemi.

Compito 1. Come cambierà l'area di un rettangolo se la lunghezza dei suoi lati è triplicata?

Decisione : Indichiamo l'area della figura originale come S0 e l'area del quadrilatero con il triplo della lunghezza dei lati - S1. Secondo la formula considerata in precedenza, si ottiene: S0 = ab. Ora aumentiamo la lunghezza e la larghezza di 3 volte e scriviamo: S1= 3 a 3 b = 9 ab. Confrontando S0 e S1, diventa ovvio che la seconda area è 9 volte più grande della prima.

Domanda 1. Un quadrilatero con angoli retti è un quadrato?

Decisione : Dalla definizione consegue che una figura con angoli retti è un quadrato solo se le lunghezze di tutti i suoi lati sono uguali. In caso contrario, la figura è un rettangolo.

Compito 2. Le diagonali di un rettangolo formano un angolo di 60 gradi. La larghezza del rettangolo è 8. Calcola qual è la diagonale.

Decisione: Ricordiamo che le diagonali sono divise in due dal punto di intersezione. Si tratta quindi di un triangolo isoscele con angolo al vertice pari a 60°. Poiché il triangolo è isoscele, anche gli angoli alla base saranno gli stessi. Con semplici calcoli, otteniamo che ciascuno di essi è uguale a 60°. Ne consegue che il triangolo è equilatero. La larghezza che conosciamo è la base del triangolo, quindi anche metà della diagonale è 8 e la lunghezza dell'intera diagonale è il doppio di quella e uguale a 16.

Domanda 2. Un rettangolo ha tutti i lati uguali o no?

Decisione : Basti ricordare che tutti i lati devono essere uguali per un quadrato, che è un caso speciale di rettangolo. In tutti gli altri casi, condizione sufficiente è la presenza di almeno 3 angoli retti. L'uguaglianza delle parti non è una caratteristica obbligatoria.

Compito 3. L'area del quadrato è nota e uguale a 289. Trova i raggi dei cerchi inscritti e circoscritti.

Decisione : Secondo le formule per il quadrato, eseguiremo i seguenti calcoli:

• Determiniamo a cosa sono uguali gli elementi principali del quadrato: a = √ S = √289 = 17; d = a √2 =1 7√2.
• Calcoliamo a quanto è uguale il raggio della circonferenza descritta attorno al quadrilatero: R = 0,5 d = 8,5√2.
• Troviamo il raggio del cerchio inscritto: r = a / 2 = 17 / 2 = 8,5.

Con quattro angoli e quattro lati. Un quadrilatero è formato da una polilinea chiusa, costituita da quattro maglie, e da quella parte del piano che si trova all'interno della polilinea.

La designazione di un quadrilatero è composta dalle lettere ai suoi vertici, nominandole in ordine. Ad esempio, dicono o scrivono: quadrilatero ABCD :

In un quadrilatero ABCD punti UN, B, C e D- Questo vertici quadrilateri, segmenti AB, AVANTI CRISTO, CD e DA - lati.

Si chiamano vertici che appartengono allo stesso lato confinante, vengono chiamati i vertici che non sono adiacenti opposto:

In un quadrilatero ABCD picchi UN e B, B e C, C e D, D e UN sono adiacenti e i vertici UN e C, B e D- opposto. Gli angoli che si trovano ai vertici adiacenti sono anche chiamati vicini e ai vertici opposti - opposti.

I lati di un quadrilatero possono anche essere divisi a coppie in lati adiacenti e opposti: si chiamano i lati che hanno un vertice in comune confinante(o imparentato), lati che non hanno vertici comuni - opposto:

Feste AB e AVANTI CRISTO, AVANTI CRISTO e CD, CD e DA, DA e AB sono adiacenti e i lati AB e DC, ANNO DOMINI e AVANTI CRISTO- opposto.

Se i vertici opposti sono collegati da un segmento, verrà chiamato tale segmento la diagonale del quadrilatero. Considerando che ci sono solo due coppie di vertici opposti nel quadrilatero, allora possono esserci solo due diagonali:

Segmenti corrente alternata e BD- diagonali.

Considera i principali tipi di quadrilateri convessi:

• Trapezio- un quadrilatero in cui una coppia di lati opposti è parallela tra loro e l'altra coppia non è parallela.
  • Trapezio isoscele- un trapezio i cui lati sono uguali.
  • Trapezio rettangolare Un trapezio con uno degli angoli retti.
• Parallelogramma Un quadrilatero in cui entrambe le coppie di lati opposti sono parallele tra loro.
  • Rettangolo Un parallelogramma in cui tutti gli angoli sono uguali.
  • Rombo Un parallelogramma con tutti i lati uguali.
  • Quadrato Un parallelogramma con lati e angoli uguali. Sia un rettangolo che un rombo possono essere un quadrato.

Proprietà d'angolo dei quadrilateri convessi

Tutti i quadrilateri convessi hanno le seguenti due proprietà:

1. Qualsiasi angolo interno inferiore a 180°.
2. La somma degli angoli interni è 360°.