Rovnica dotyčnice ku grafu funkcie

P. Romanov, T. Romanova,
Magnitogorsk,
Čeľabinská oblasť

Rovnica dotyčnice ku grafu funkcie

Článok vyšiel s podporou Hotelového komplexu ITAKA+. Pri pobyte v meste staviteľov lodí Severodvinsk nebudete čeliť problému nájsť dočasné bývanie. , na webovej stránke hotelového komplexu "ITAKA +" http://itakaplus.ru si môžete jednoducho a rýchlo prenajať byt v meste na akékoľvek obdobie s dennou platbou.

V súčasnej etape rozvoja vzdelávania je jednou z jeho hlavných úloh formovanie tvorivo mysliacej osobnosti. Schopnosť tvorivosti u žiakov sa dá rozvíjať len vtedy, ak sa systematicky zapájajú do základov. výskumné činnosti. Základom pre uplatnenie tvorivých síl, schopností a talentu študentov sú plnohodnotné vedomosti a zručnosti. V tomto smere je nemenej dôležitý problém vytvorenia systému základných vedomostí a zručností pre každú tému školského kurzu matematiky. Plnohodnotné zručnosti by zároveň mali byť didaktickým cieľom nie jednotlivých úloh, ale ich dôkladne premysleného systému. V najširšom zmysle je systém chápaný ako súbor vzájomne prepojených prvkov, ktoré majú integritu a stabilnú štruktúru.

Zvážte metodológiu na výučbu študentov, ako zostaviť rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie. V podstate sú všetky úlohy na nájdenie dotyčnicovej rovnice redukované na potrebu vybrať z množiny (zväzku, rodiny) čiar tie z nich, ktoré spĺňajú určitú požiadavku - sú dotyčnicami ku grafu určitej funkcie. V tomto prípade je možné množinu riadkov, z ktorých sa vykonáva výber, určiť dvoma spôsobmi:

a) bod ležiaci v rovine xOy (stredová ceruzka čiar);
b) uhlový koeficient (paralelný zväzok priamok).

V tejto súvislosti sme pri štúdiu témy „Dotyčnica ku grafu funkcie“ s cieľom izolovať prvky systému identifikovali dva typy úloh:

1) úlohy na dotyčnici danej bodom, ktorým prechádza;
2) úlohy na dotyčnici danej jej sklonom.

Učenie sa riešiť problémy na dotyčnici sa uskutočnilo pomocou algoritmu navrhnutého A.G. Mordkovič. Jeho zásadný rozdiel od už známych je v tom, že úsečka dotykového bodu je označená písmenom a (namiesto x0), v súvislosti s ktorým nadobúda rovnica dotyčnice tvar

y \u003d f (a) + f "(a) (x - a)

(porovnaj s y \u003d f (x 0) + f "(x 0) (x - x 0)). Táto metodická technika podľa nášho názoru umožňuje študentom rýchlo a jednoducho si uvedomiť, kde sú zapísané súradnice aktuálneho bodu vo všeobecnej tangentovej rovnici a kde sú body dotyku.

Algoritmus na zostavenie rovnice dotyčnice ku grafu funkcie y = f(x)

1. Označte písmenom a úsečku bodu kontaktu.
2. Nájdite f(a).
3. Nájdite f "(x) a f "(a).
4. Do všeobecnej rovnice dotyčnice y \u003d f (a) \u003d f "(a) (x - a) dosaďte nájdené čísla a, f (a), f "(a).

Tento algoritmus je možné zostaviť na základe študentského nezávislého výberu operácií a postupnosti ich vykonávania.

Prax ukázala, že dôsledné riešenie každej z kľúčových úloh pomocou algoritmu vám umožňuje vytvoriť schopnosť písať rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie v etapách a kroky algoritmu slúžia ako silné body pre akcie. . Tento prístup zodpovedá teórii postupného formovania mentálnych akcií, ktorú vyvinul P.Ya. Galperin a N.F. Talyzina.

V prvom type úloh boli identifikované dve kľúčové úlohy:

dotyčnica prechádza bodom ležiacim na krivke (úloha 1);
dotyčnica prechádza bodom, ktorý neleží na krivke (úloha 2).

Úloha 1. Prirovnajte dotyčnicu ku grafu funkcie v bode M(3; – 2).

Riešenie. Bod M(3; – 2) je bod dotyku, pretože

1. a = 3 - úsečka bodu dotyku.
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) \u003d x 2 - 4, f "(3) \u003d 5.
y \u003d - 2 + 5 (x - 3), y \u003d 5x - 17 je rovnica dotyčnice.

Úloha 2. Napíšte rovnice všetkých dotyčníc ku grafu funkcie y = - x 2 - 4x + 2, prechádzajúceho bodom M(- 3; 6).

Riešenie. Bod M(– 3; 6) nie je dotykový bod, pretože f(– 3) 6 (obr. 2).

2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f "(x) \u003d - 2x - 4, f "(a) \u003d - 2a - 4.
4. y \u003d - a 2 - 4a + 2 - 2 (a + 2) (x - a) - rovnica dotyčnice.

Dotyčnica prechádza bodom M(– 3; 6), preto jej súradnice vyhovujú rovnici dotyčnice.

6 = – a 2 – 4a + 2 – 2 (a + 2) (– 3 – a),
a 2 + 6a + 8 = 0^ a 1 = - 4, a 2 = - 2.

Ak a = – 4, potom rovnica dotyčnice je y = 4x + 18.

Ak a \u003d - 2, potom rovnica dotyčnice má tvar y \u003d 6.

V druhom type budú kľúčové úlohy nasledovné:

dotyčnica je rovnobežná s nejakou priamkou (úloha 3);
dotyčnica prechádza pod určitým uhlom k danej priamke (úloha 4).

Úloha 3. Napíšte rovnice všetkých dotyčníc ku grafu funkcie y \u003d x 3 - 3x 2 + 3 rovnobežne s priamkou y \u003d 9x + 1.

Riešenie.

1. a - úsečka bodu dotyku.
2. f(a) = a 3 - 3a 2 + 3.
3. f "(x) \u003d 3x 2 - 6x, f "(a) \u003d 3a 2 - 6a.

Ale na druhej strane f "(a) \u003d 9 (podmienka paralelnosti). Musíme teda vyriešiť rovnicu 3a 2 - 6a \u003d 9. Jej korene a \u003d - 1, a \u003d 3 (obr. 3).

4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9 (x + 1);

y = 9x + 8 je rovnica dotyčnice;

1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f"(3) = 9;
4) y = 3 + 9 (x - 3);

y = 9x – 24 je rovnica dotyčnice.

Úloha 4. Napíšte rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie y = 0,5x 2 - 3x + 1, prechádzajúcej pod uhlom 45° k priamke y = 0 (obr. 4).

Riešenie. Z podmienky f "(a) \u003d tg 45 ° nájdeme a: a - 3 \u003d 1^a=4.

1. a = 4 - úsečka bodu dotyku.
2. f(4) = 8 - 12 + 1 = - 3.
3. f "(4) \u003d 4 - 3 \u003d 1.
4. y \u003d - 3 + 1 (x - 4).

y \u003d x - 7 - rovnica dotyčnice.

Je ľahké ukázať, že riešenie akéhokoľvek iného problému sa redukuje na riešenie jedného alebo niekoľkých kľúčových problémov. Zvážte nasledujúce dva problémy ako príklad.

1. Napíšte rovnice dotyčníc k parabole y = 2x 2 - 5x - 2, ak sa dotyčnice pretínajú v pravom uhle a jedna z nich sa dotýka paraboly v bode s osou 3 (obr. 5).

Riešenie. Keďže je daná úsečka bodu kontaktu, prvá časť riešenia je zredukovaná na kľúčový problém 1.

1. a \u003d 3 - súradnica bodu dotyku jednej zo strán pravého uhla.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) \u003d 4x - 5, f "(3) \u003d 7.
4. y \u003d 1 + 7 (x - 3), y \u003d 7x - 20 - rovnica prvej dotyčnice.

Nechajte a je uhol sklonu prvej dotyčnice. Pretože dotyčnice sú kolmé, potom je uhol sklonu druhej dotyčnice. Z rovnice y = 7x – 20 prvej dotyčnice máme tg a = 7. Nájdite

To znamená, že sklon druhej dotyčnice je .

Ďalšie riešenie je zredukované na kľúčovú úlohu 3.

Nech B(c; f(c)) je dotykový bod druhej priamky

1. - úsečka druhého styčného bodu.
2.
3.
4.
je rovnica druhej dotyčnice.

Poznámka. Sklon dotyčnice možno ľahšie nájsť, ak žiaci poznajú pomer koeficientov kolmých priamok k 1 k 2 = - 1.

2. Napíšte rovnice všetkých spoločných dotyčníc k funkčným grafom

Riešenie. Problém je redukovaný na nájdenie úsečiek spoločných dotyčnicových bodov, teda na vyriešenie kľúčového problému 1 v všeobecný pohľad, zostavenie sústavy rovníc a jej následné riešenie (obr. 6).

1. Nech a je úsečka bodu dotyku ležiaceho na grafe funkcie y = x 2 + x + 1.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. y \u003d a 2 + a + 1 + (2a + 1) (x - a) \u003d (2a + 1) x + 1 - a 2.

1. Nech c je úsečka dotykového bodu ležiaceho na grafe funkcie
2.
3. f "(c) = c.
4.

Keďže dotyčnice sú spoločné, teda

Takže y = x + 1 a y = - 3x - 3 sú spoločné dotyčnice.

Hlavným cieľom uvažovaných úloh je pripraviť študentov na sebapoznanie typu kľúčovej úlohy pri riešení zložitejších úloh, ktoré si vyžadujú určité výskumné zručnosti (schopnosť analyzovať, porovnávať, zovšeobecňovať, predkladať hypotézy atď.). Takéto úlohy zahŕňajú akúkoľvek úlohu, v ktorej je kľúčová úloha zahrnutá ako komponent. Uvažujme ako príklad problém (inverzný k problému 1) nájsť funkciu z rodiny jej dotyčníc.

3. Pre čo b a c sú priamky y \u003d x a y \u003d - 2x dotyčnica ku grafu funkcie y \u003d x 2 + bx + c?

Riešenie.

Nech t je úsečka bodu dotyku priamky y = x s parabolou y = x 2 + bx + c; p je úsečka bodu dotyku priamky y = - 2x s parabolou y = x 2 + bx + c. Potom rovnica dotyčnice y = x bude mať tvar y = (2t + b)x + c - t 2 a rovnica dotyčnice y = - 2x bude mať tvar y = (2p + b)x + c - p 2 .

Zostavte a riešte sústavu rovníc

odpoveď:

Úlohy na samostatné riešenie

1. Napíšte rovnice dotyčníc nakreslených ku grafu funkcie y = 2x 2 - 4x + 3 v priesečníkoch grafu s priamkou y = x + 3.

Odpoveď: y \u003d - 4x + 3, y \u003d 6x - 9,5.

2. Pre aké hodnoty a prechádza dotyčnica nakreslená ku grafu funkcie y \u003d x 2 - os v bode grafu s os x 0 \u003d 1 cez bod M (2; 3) ?

Odpoveď: a = 0,5.

3. Pre aké hodnoty p sa priamka y = px - 5 dotýka krivky y = 3x 2 - 4x - 2?

Odpoveď: p 1 \u003d - 10, p 2 \u003d 2.

4. Nájdite všetky spoločné body grafu funkcie y = 3x - x 3 a dotyčnicu vedenú k tomuto grafu cez bod P(0; 16).

Odpoveď: A(2; - 2), B (- 4; 52).

5. Nájdite najkratšiu vzdialenosť medzi parabolou y = x 2 + 6x + 10 a priamkou

odpoveď:

6. Na krivke y \u003d x 2 - x + 1 nájdite bod, v ktorom je dotyčnica ku grafu rovnobežná s priamkou y - 3x + 1 \u003d 0.

Odpoveď: M(2; 3).

7. Napíšte rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie y = x 2 + 2x - | 4x | ktorý sa ho dotýka v dvoch bodoch. Urobte si kresbu.

Odpoveď: y = 2x - 4.

8. Dokážte, že priamka y = 2x – 1 nepretína krivku y = x 4 + 3x 2 + 2x. Nájdite vzdialenosť medzi ich najbližšími bodmi.

odpoveď:

9. Na parabole y \u003d x 2 sa zoberú dva body s úsečkami x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 3. Cez tieto body sa nakreslí sečna. V ktorom bode paraboly bude dotyčnica k nej rovnobežná s nakreslenou sečnicou? Napíšte rovnice pre sečnicu a dotyčnicu.

Odpoveď: y \u003d 4x - 3 - rovnica sečny; y = 4x – 4 je rovnica dotyčnice.

10. Nájdite uhol q medzi dotyčnicami ku grafu funkcie y \u003d x 3 - 4x 2 + 3x + 1, nakreslených v bodoch s os 0 a 1.

Odpoveď: q = 45°.

11. V ktorých bodoch zviera dotyčnica ku grafu funkcie s osou Ox uhol 135°?

Odpoveď: A(0; - 1), B(4; 3).

12. V bode A(1; 8) ku krivke nakreslí sa dotyčnica. Nájdite dĺžku dotyčnicového segmentu uzavretého medzi súradnicovými osami.

odpoveď:

13. Napíšte rovnicu všetkých spoločných dotyčníc ku grafom funkcií y \u003d x 2 - x + 1 a y \u003d 2x 2 - x + 0,5.

Odpoveď: y = - 3x a y = x.

14. Nájdite vzdialenosť medzi dotyčnicami ku grafu funkcie rovnobežne s osou x.

odpoveď:

15. Určte, pod akými uhlami parabola y \u003d x 2 + 2x - 8 pretína os x.

Odpoveď: q 1 \u003d arctan 6, q 2 \u003d arctan (- 6).

16. Na grafe funkcie nájdite všetky body, z ktorých dotyčnica k tomuto grafu pretína kladné poloosi súradníc a oddeľuje od nich rovnaké segmenty.

Odpoveď: A(-3; 11).

17. Priamka y = 2x + 7 a parabola y = x 2 – 1 sa pretínajú v bodoch M a N. Nájdite priesečník K priamok dotýkajúcich sa paraboly v bodoch M a N.

Odpoveď: K(1; - 9).

18. Pre aké hodnoty b je priamka y \u003d 9x + b dotyčnica ku grafu funkcie y \u003d x 3 - 3x + 15?

Odpoveď: - 1; 31.

19. Pre aké hodnoty k má priamka y = kx – 10 iba jeden spoločný bod s grafom funkcie y = 2x 2 + 3x – 2? Pre nájdené hodnoty k určite súradnice bodu.

Odpoveď: k1 = - 5, A(- 2; 0); k2 = 11, B(2; 12).

20. Pre aké hodnoty b prechádza dotyčnica nakreslená ku grafu funkcie y = bx 3 – 2x 2 – 4 v bode s os x 0 = 2 bodom M(1; 8)?

Odpoveď: b = - 3.

21. Parabola s vrcholom na osi x je dotyčnicou priamky prechádzajúcej bodmi A(1; 2) a B(2; 4) v bode B. Nájdite rovnicu paraboly.

odpoveď:

22. Pri akej hodnote koeficientu k sa parabola y \u003d x 2 + kx + 1 dotýka osi Ox?

Odpoveď: k = q 2.

23. Nájdite uhly medzi priamkou y = x + 2 a krivkou y = 2x 2 + 4x - 3.

29. Nájdite vzdialenosť medzi dotyčnicami ku grafu generátorov funkcií s kladným smerom osi Ox pod uhlom 45°.

odpoveď:

30. Nájdite ťažisko vrcholov všetkých parabol v tvare y = x 2 + ax + b dotýkajúcich sa priamky y = 4x - 1.

Odpoveď: priamka y = 4x + 3.

Literatúra

1. Zvavich L.I., Shlyapochnik L.Ya., Chinkina M.V. Algebra a začiatky analýzy: 3600 problémov pre školákov a uchádzačov o univerzitu. - M., Drop, 1999.
2. Mordkovich A. Štvrtý seminár pre mladých učiteľov. Témou je „Aplikácie odvodených“. - M., "Matematika", č. 21/94.
3. Formovanie vedomostí a zručností na základe teórie postupnej asimilácie mentálnych akcií. / Ed. P.Ya. Galperin, N.F. Talyzina. - M., Moskovská štátna univerzita, 1968.

Vaše súkromie je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si prosím naše zásady ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné údaje sú údaje, ktoré možno použiť na identifikáciu konkrétnej osoby alebo jej kontaktovanie.

Kedykoľvek nás budete kontaktovať, môžete byť požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.

Nasleduje niekoľko príkladov typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zbierať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, e-mailovej adresy atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

Nami zozbierané osobné informácie nám umožňuje kontaktovať vás a informovať vás o jedinečné ponuky, propagačné akcie a iné udalosti a nadchádzajúce udalosti.
Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje na zasielanie dôležitých upozornení a správ.
Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
Ak sa zúčastníte žrebovania, súťaže alebo podobného stimulu, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na spravovanie takýchto programov.

Sprístupnenie tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

Výnimky:

V prípade, že je potrebné – v súlade so zákonom, súdnym poriadkom, v súdnom konaní a/alebo na základe verejných žiadostí alebo žiadostí štátnych orgánov na území Ruskej federácie – zverejniť vaše osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak zistíme, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné na účely bezpečnosti, presadzovania práva alebo iného verejného záujmu.
V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušného nástupcu tretej strany.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj pred neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.

Zachovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o postupoch ochrany osobných údajov a zabezpečenia a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.

Nech je daná funkcia f, ktorá má v určitom bode x 0 konečnú deriváciu f (x 0). Potom priamka prechádzajúca bodom (x 0; f (x 0)), ktorá má sklon f '(x 0), sa nazýva dotyčnica.

Čo sa však stane, ak derivácia v bode x 0 neexistuje? Sú dve možnosti:

Dotyčnica ku grafu tiež neexistuje. Klasickým príkladom je funkcia y = |x | v bode (0; 0).
Dotyčnica sa stáva vertikálnou. Platí to napríklad pre funkciu y = arcsin x v bode (1; π /2).

Tangentová rovnica

Akákoľvek nevertikálna priamka je daná rovnicou v tvare y = kx + b, kde k je sklon. Tangenta nie je výnimkou a na zostavenie jej rovnice v nejakom bode x 0 stačí poznať hodnotu funkcie a derivácie v tomto bode.

Nech je teda daná funkcia y \u003d f (x), ktorá má na segmente deriváciu y \u003d f '(x). Potom v ľubovoľnom bode x 0 ∈ (a; b) možno nakresliť ku grafu tejto funkcie dotyčnicu, ktorá je daná rovnicou:

y \u003d f '(x 0) (x - x 0) + f (x 0)

Tu f '(x 0) je hodnota derivácie v bode x 0 a f (x 0) je hodnota samotnej funkcie.

Úloha. Daná funkcia y = x 3 . Napíšte rovnicu pre dotyčnicu ku grafu tejto funkcie v bode x 0 = 2.

Rovnica dotyčnice: y \u003d f '(x 0) (x - x 0) + f (x 0). Je nám daný bod x 0 = 2, ale hodnoty f (x 0) a f '(x 0) bude potrebné vypočítať.

Najprv nájdime hodnotu funkcie. Všetko je tu jednoduché: f (x 0) = f (2) = 2 3 = 8;
Teraz nájdime derivát: f '(x) \u003d (x 3) ' \u003d 3x 2;
Dosaďte v derivácii x 0 = 2: f '(x 0) = f '(2) = 3 2 2 = 12;
Takže dostaneme: y = 12 (x - 2) + 8 = 12x - 24 + 8 = 12x - 16.
Toto je tangentová rovnica.

Úloha. Zostavte rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie f (x) \u003d 2sin x + 5 v bode x 0 \u003d π / 2.

Tentoraz nebudeme podrobne popisovať každú akciu – naznačíme len kľúčové kroky. Máme:

f (x 0) \u003d f (π / 2) \u003d 2sin (π / 2) + 5 \u003d 2 + 5 \u003d 7;
f '(x) \u003d (2sin x + 5) ' \u003d 2cos x;
f '(x 0) \u003d f '(π / 2) \u003d 2cos (π / 2) \u003d 0;

Tangentová rovnica:

y = 0 (x − π /2) + 7 ⇒ y = 7

V druhom prípade sa čiara ukázala ako vodorovná, pretože jeho sklon k = 0. Nie je na tom nič zlé - práve sme narazili na extrémny bod.

Zvážte nasledujúci obrázok:

Ukazuje nejakú funkciu y = f(x), ktorá je diferencovateľná v bode a. Označený bod M so súradnicami (a; f(a)). Cez ľubovoľný bod P(a + ∆x; f(a + ∆x)) grafu sa nakreslí sečna MP.

Ak sa teraz bod P posunie pozdĺž grafu do bodu M, potom sa priamka MP bude otáčať okolo bodu M. V tomto prípade bude ∆x inklinovať k nule. Odtiaľ môžeme formulovať definíciu dotyčnice ku grafu funkcie.

Graf dotyčnice k funkcii

Dotyčnica ku grafu funkcie je limitnou pozíciou sečny, keď prírastok argumentu smeruje k nule. Treba si uvedomiť, že existencia derivácie funkcie f v bode x0 znamená, že v tomto bode grafu je dotyčnica jemu.

V tomto prípade sa sklon dotyčnice bude rovnať derivácii tejto funkcie v tomto bode f'(x0). Toto je geometrický zmysel derivát. Dotyčnica ku grafu funkcie f diferencovateľnej v bode x0 je nejaká priamka prechádzajúca bodom (x0;f(x0)) a so sklonom f'(x0).

Tangentová rovnica

Skúsme dostať rovnicu dotyčnice ku grafu nejakej funkcie f v bode A(x0; f(x0)). Rovnica priamky so sklonom k má nasledujúci tvar:

Pretože náš sklon sa rovná derivácii f'(x0), potom bude mať rovnica nasledujúci tvar: y = f'(x0)*x + b.

Teraz vypočítajme hodnotu b. Využívame na to fakt, že funkcia prechádza bodom A.

f(x0) = f’(x0)*x0 + b, odtiaľto vyjadríme b a dostaneme b = f(x0) - f’(x0)*x0.

Výslednú hodnotu dosadíme do rovnice dotyčnice:

y = f'(x0)*x + b = f'(x0)*x + f(x0) - f'(x0)*x0 = f(x0) + f'(x0)*(x - x0).

y = f(x0) + f'(x0)*(x - x0).

Zvážte nasledujúci príklad: nájdite rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie f (x) \u003d x 3 - 2 * x 2 + 1 v bode x \u003d 2.

2. f(x0) = f(2) = 2 2 - 2*2 2 + 1 = 1.

3. f'(x) = 3*x 2 - 4*x.

4. f'(x0) = f'(2) = 3*2 2 - 4*2 = 4.

5. Dosaďte získané hodnoty do tangentového vzorca, dostaneme: y = 1 + 4*(x - 2). Otvorením zátvoriek a uvedením podobných výrazov dostaneme: y = 4*x - 7.

Odpoveď: y = 4*x - 7.

Všeobecná schéma zostavenia tangentovej rovnice do grafu funkcie y = f(x):

1. Určte x0.

2. Vypočítajte f(x0).

3. Vypočítajte f'(x)

V súčasnej etape rozvoja vzdelávania je jednou z jeho hlavných úloh formovanie tvorivo mysliacej osobnosti. Schopnosť tvorivosti u žiakov možno rozvíjať len vtedy, ak sa systematicky zapájajú do základov výskumnej činnosti. Základom pre uplatnenie tvorivých síl, schopností a talentu študentov sú plnohodnotné vedomosti a zručnosti. V tomto smere je nemenej dôležitý problém vytvorenia systému základných vedomostí a zručností pre každú tému školského kurzu matematiky. Plnohodnotné zručnosti by zároveň mali byť didaktickým cieľom nie jednotlivých úloh, ale ich dôkladne premysleného systému. V najširšom zmysle je systém chápaný ako súbor vzájomne prepojených prvkov, ktoré majú integritu a stabilnú štruktúru.

a) bod ležiaci v rovine xOy (stredová ceruzka čiar);
b) uhlový koeficient (paralelný zväzok priamok).

V tomto ohľade sme pri štúdiu témy „Dotyčnica ku grafu funkcie“ s cieľom izolovať prvky systému identifikovali dva typy úloh:

1) úlohy na dotyčnici danej bodom, ktorým prechádza;
2) úlohy na dotyčnici danej jej sklonom.

y \u003d f (a) + f "(a) (x - a)

Algoritmus na zostavenie rovnice dotyčnice ku grafu funkcie y = f(x)

1. Označte písmenom a úsečku bodu kontaktu.
2. Nájdite f(a).
3. Nájdite f "(x) a f "(a).
4. Do všeobecnej rovnice dotyčnice y \u003d f (a) \u003d f "(a) (x - a) dosaďte nájdené čísla a, f (a), f "(a).

Tento algoritmus je možné zostaviť na základe študentského nezávislého výberu operácií a postupnosti ich vykonávania.

V prvom type úloh boli identifikované dve kľúčové úlohy:

dotyčnica prechádza bodom ležiacim na krivke (úloha 1);
dotyčnica prechádza bodom, ktorý neleží na krivke (úloha 2).

Úloha 1. Prirovnajte dotyčnicu ku grafu funkcie v bode M(3; – 2).

Riešenie. Bod M(3; – 2) je bod dotyku, pretože

1. a = 3 - úsečka bodu dotyku.
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) \u003d x 2 - 4, f "(3) \u003d 5.
y \u003d - 2 + 5 (x - 3), y \u003d 5x - 17 je rovnica dotyčnice.

Úloha 2. Napíšte rovnice všetkých dotyčníc ku grafu funkcie y = - x 2 - 4x + 2, prechádzajúceho bodom M(- 3; 6).

Riešenie. Bod M(– 3; 6) nie je dotykovým bodom, keďže f(– 3) 6 (obr. 2).

2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f "(x) \u003d - 2x - 4, f "(a) \u003d - 2a - 4.
4. y \u003d - a 2 - 4a + 2 - 2 (a + 2) (x - a) - rovnica dotyčnice.

Dotyčnica prechádza bodom M(– 3; 6), preto jej súradnice vyhovujú rovnici dotyčnice.

6 = – a 2 – 4a + 2 – 2 (a + 2) (– 3 – a),
a 2 + 6a + 8 = 0 ^ a 1 = - 4, a 2 = - 2.

Ak a = – 4, potom rovnica dotyčnice je y = 4x + 18.

Ak a \u003d - 2, potom rovnica dotyčnice má tvar y \u003d 6.

V druhom type budú kľúčové úlohy nasledovné:

dotyčnica je rovnobežná s nejakou priamkou (úloha 3);
dotyčnica prechádza pod určitým uhlom k danej priamke (úloha 4).

Úloha 3. Napíšte rovnice všetkých dotyčníc ku grafu funkcie y \u003d x 3 - 3x 2 + 3 rovnobežne s priamkou y \u003d 9x + 1.

1. a - úsečka bodu dotyku.
2. f(a) = a 3 - 3a 2 + 3.
3. f "(x) \u003d 3x 2 - 6x, f "(a) \u003d 3a 2 - 6a.

Ale na druhej strane f "(a) \u003d 9 (podmienka paralelnosti). Musíme teda vyriešiť rovnicu 3a 2 - 6a \u003d 9. Jej korene a \u003d - 1, a \u003d 3 (obr. 3).

4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9 (x + 1);

y = 9x + 8 je rovnica dotyčnice;

1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f"(3) = 9;
4) y = 3 + 9 (x - 3);

y = 9x – 24 je rovnica dotyčnice.

Úloha 4. Napíšte rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie y = 0,5x 2 - 3x + 1, prechádzajúcej pod uhlom 45° k priamke y = 0 (obr. 4).

Riešenie. Z podmienky f "(a) \u003d tg 45 ° nájdeme a: a - 3 \u003d 1 ^ a \u003d 4.

1. a = 4 - úsečka bodu dotyku.
2. f(4) = 8 - 12 + 1 = - 3.
3. f "(4) \u003d 4 - 3 \u003d 1.
4. y \u003d - 3 + 1 (x - 4).

y \u003d x - 7 - rovnica dotyčnice.

Je ľahké ukázať, že riešenie akéhokoľvek iného problému sa redukuje na riešenie jedného alebo niekoľkých kľúčových problémov. Zvážte nasledujúce dva problémy ako príklad.

1. Napíšte rovnice dotyčníc k parabole y = 2x 2 - 5x - 2, ak sa dotyčnice pretínajú v pravom uhle a jedna z nich sa dotýka paraboly v bode s osou 3 (obr. 5).

Riešenie. Keďže je daná úsečka bodu kontaktu, prvá časť riešenia je zredukovaná na kľúčový problém 1.

1. a \u003d 3 - súradnica bodu dotyku jednej zo strán pravého uhla.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) \u003d 4x - 5, f "(3) \u003d 7.
4. y \u003d 1 + 7 (x - 3), y \u003d 7x - 20 - rovnica prvej dotyčnice.

Nech a je sklon prvej dotyčnice. Pretože dotyčnice sú kolmé, potom je uhol sklonu druhej dotyčnice. Z rovnice y = 7x – 20 prvej dotyčnice máme tg a = 7. Nájdite

To znamená, že sklon druhej dotyčnice je .

Ďalšie riešenie je zredukované na kľúčovú úlohu 3.

Nech B(c; f(c)) je dotykový bod druhej priamky

1. - úsečka druhého styčného bodu.
2.
3.
4.
je rovnica druhej dotyčnice.

Poznámka. Sklon dotyčnice možno ľahšie nájsť, ak žiaci poznajú pomer koeficientov kolmých priamok k 1 k 2 = - 1.

2. Napíšte rovnice všetkých spoločných dotyčníc k funkčným grafom

Riešenie. Úloha sa redukuje na nájdenie úsečiek styčných bodov spoločných dotyčníc, teda na riešenie kľúčovej úlohy 1 vo všeobecnosti, zostavenie sústavy rovníc a jej následné riešenie (obr. 6).

1. Nech a je úsečka bodu dotyku ležiaceho na grafe funkcie y = x 2 + x + 1.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. y \u003d a 2 + a + 1 + (2a + 1) (x - a) \u003d (2a + 1) x + 1 - a 2.

1. Nech c je úsečka dotykového bodu ležiaceho na grafe funkcie
2.
3. f "(c) = c.
4.