Fraktály vo svete okolo nás.

Vykonal: žiak 9. ročníka

MBOU Kirov stredná škola

Litovčenko Jekaterina Nikolajevna
Vedúci: učiteľ matematiky

MBOU Kirov stredná škola

Kachula Natalia Nikolaevna

Úvod ……………………………………………………………… 3

Predmet štúdia.

Predmety výskumu.

Hypotézy.

Ciele, ciele a metódy výskumu.

Výskumná časť. …………………………………………………. 7

Hľadanie súvislosti medzi fraktálmi a Pascalovým trojuholníkom.

Hľadanie súvislosti medzi fraktálmi a zlatým rezom.

Hľadanie súvislosti medzi fraktálmi a zloženými číslami.

Hľadanie súvislosti medzi fraktálmi a literárnymi dielami.

3. Praktická aplikácia fraktálov………………………………….. 13

4. Záver……………………………………………………………….. 15

4.1 Výsledky štúdie.

5. Bibliografia……………………………………………………………….. 16

Úvod.

Predmet štúdia: Fraktály .

Keď sa väčšine ľudí zdalo, že geometria v prírode je obmedzená na také jednoduché obrazce, ako je čiara, kruh, kužeľosečka, mnohouholník, guľa, kvadratická plocha, ako aj ich kombinácie. Napríklad, čo môže byť krajšie ako tvrdenie, že planéty v našom slnečná sústava pohybovať sa okolo Slnka po eliptických dráhach?

Mnohé prírodné systémy sú však také zložité a nepravidelné, že používanie iba známych objektov klasickej geometrie na ich modelovanie sa zdá byť beznádejné. Ako napríklad postaviť model pohoria alebo koruny stromu z hľadiska geometrie? Ako opísať rozmanitosť biologických konfigurácií, ktoré pozorujeme vo svete rastlín a živočíchov? Predstavte si zložitosť obehového systému, ktorý pozostáva z mnohých kapilár a ciev a dodáva krv do každej bunky ľudského tela. Predstavte si, ako šikovne sú usporiadané pľúca a obličky, ktoré pripomínajú stromy s rozvetvenou korunou.

Dynamika skutočných prírodných systémov môže byť rovnako zložitá a nepravidelná. Ako pristupovať k modelovaniu kaskádových vodopádov alebo turbulentných procesov, ktoré určujú počasie?

Fraktály a matematický chaos sú vhodnými prostriedkami na skúmanie položených otázok. Termín fraktál sa vzťahuje na nejakú statickú geometrickú konfiguráciu, ako je napríklad snímka vodopádu. Chaos je dynamický termín používaný na opis javov podobných turbulentnému správaniu počasia. To, čo pozorujeme v prírode, nás často zaujme nekonečným opakovaním toho istého vzoru, zväčšeného alebo zmenšeného toľkokrát, koľkokrát chceme. Napríklad strom má konáre. Tieto vetvy majú menšie vetvy atď. Teoreticky sa prvok „vidlička“ opakuje nekonečne veľakrát a je stále menší a menší. To isté možno vidieť pri pohľade na fotografiu horského terénu. Skúste si trochu priblížiť obraz pohoria – opäť uvidíte hory. Takto sa prejavuje vlastnosť charakteristická pre fraktály sebapodobnosť.

V mnohých prácach o fraktáloch sa sebapodobnosť používa ako definujúca vlastnosť. V nadväznosti na Benoita Madelbrota zastávame názor, že fraktály by sa mali definovať z hľadiska fraktálnej (frakčnej) dimenzie. Odtiaľ pochádza pôvod slova fraktál(z lat. fractus - zlomkové).

Koncept zlomkovej dimenzie je komplexný pojem, ktorý je prezentovaný v niekoľkých etapách. Čiara je jednorozmerný objekt a rovina je dvojrozmerný. Ak dobre otočíte priamku a rovinu, môžete zväčšiť rozmer výslednej konfigurácie; v tomto prípade bude nová dimenzia zvyčajne v istom zmysle zlomková, čo musíme objasniť. Vzťah medzi zlomkovou dimenziou a sebapodobnosťou je taký, že pomocou sebapodobnosti možno zostaviť množinu zlomkovej dimenzie najjednoduchším spôsobom. Aj v prípade oveľa zložitejších fraktálov, ako je hranica Mandelbrotovej množiny, kedy neexistuje čistá sebepodobnosť, dochádza k takmer úplnému opakovaniu základnej formy v čoraz redukovanejšej podobe.

Slovo „fraktál“ nie je matematický pojem a nemá všeobecne akceptovanú prísnu matematickú definíciu. Môže sa použiť, ak má príslušný obrázok niektorú z nasledujúcich vlastností:

Teoretická viacrozmernosť (môže pokračovať v ľubovoľnom počte dimenzií).

Ak vezmeme do úvahy malý fragment pravidelnej postavy vo veľmi veľkom meradle, bude to vyzerať ako fragment priamky. Fragment fraktálu vo veľkom meradle bude rovnaký ako v akomkoľvek inom meradle. Pre fraktál nevedie priblíženie k zjednodušeniu štruktúry, na všetkých mierkach uvidíme rovnako zložitý obraz.

Je sebepodobná alebo približne sebepodobná, každá úroveň je podobná celku

Dĺžky, plochy a objemy niektorých fraktálov sú rovné nule, iné sa otáčajú do nekonečna.

Má zlomkový rozmer.

Typy fraktálov: algebraické, geometrické, stochastické.

Algebraické fraktály sú najväčšou skupinou fraktálov. Získavajú sa pomocou nelineárnych procesov v n-rozmerných priestoroch, napríklad množiny Mandelbrot a Julia.

Druhá skupina fraktálov - geometrický fraktály. História fraktálov sa začala geometrickými fraktálmi, ktoré študovali matematici v 19. storočí. Fraktály tejto triedy sú najvizuálnejšie, pretože sebapodobnosť je v nich okamžite viditeľná. Tento typ fraktálov sa získava jednoduchými geometrickými konštrukciami. Pri konštrukcii týchto fraktálov sa zvyčajne berie množina segmentov, na základe ktorých bude fraktál zostavený. Ďalej sa na túto množinu aplikuje súbor pravidiel, ktoré ich transformujú na nejaký geometrický útvar. Ďalej, rovnaký súbor pravidiel sa opäť aplikuje na každú časť tohto obrázku. Každým krokom bude obrazec čoraz zložitejší a ak si predstavíte nekonečné množstvo takýchto operácií, dostanete geometrický fraktál.

Obrázok vpravo ukazuje Sierpinského trojuholník - geometrický fraktál, ktorý je vytvorený nasledovne: v prvom kroku vidíme obyčajný trojuholník, v ďalšom kroku sú stredy strán spojené a tvoria 4 trojuholníky, z ktorých jeden je obrátený. Ďalej zopakujeme operáciu so všetkými trojuholníkmi okrem obrátených a tak ďalej do nekonečna.

Príklady geometrických fraktálov:

1.1 Kochova hviezda

Na začiatku 20. storočia matematici hľadali krivky, ktoré nemali v žiadnom bode dotyčnicu. To znamenalo, že krivka náhle zmenila svoj smer a navyše enormne vysokou rýchlosťou (derivácia sa rovná nekonečnu). Hľadanie týchto kriviek nebolo spôsobené len nečinným záujmom matematikov. Faktom je, že na začiatku 20. storočia sa kvantová mechanika veľmi rýchlo rozvíjala. Výskumník M. Brown načrtol trajektóriu suspendovaných častíc vo vode a vysvetlil tento jav takto: náhodne sa pohybujúce atómy kvapaliny narážajú na suspendované častice a tým ich uvádzajú do pohybu. Po takomto vysvetlení Brownovho pohybu stáli vedci pred úlohou nájsť krivku, ktorá by čo najlepšie aproximovala pohyb Brownových častíc. Aby to bolo možné, krivka musela spĺňať nasledujúce vlastnosti: nemať v žiadnom bode dotyčnicu. Matematik Koch navrhol jednu takúto krivku. Nebudeme sa zaoberať vysvetleniami pravidiel pre jeho konštrukciu, ale jednoducho poskytneme jeho obraz, z ktorého bude všetko jasné. Jedna dôležitá vlastnosť, ktorú má hranica Kochových vločiek... je nekonečná dĺžka. Môže sa to zdať prekvapujúce, pretože s krivkami sme zvyknutí narábať z kurzu kalkulu. Zvyčajne hladké alebo aspoň po častiach hladké krivky majú vždy konečnú dĺžku (čo je možné overiť integráciou). Mandelbrot v tejto súvislosti publikoval množstvo fascinujúcich článkov, ktoré skúmajú problematiku merania dĺžky pobrežia Veľkej Británie. Ako model mu poslúžila fraktálna krivka, pripomínajúca hranicu snehovej vločky, až na to, že do nej bol vnesený prvok náhodnosti zohľadňujúci náhodnosť v prírode. V dôsledku toho sa ukázalo, že krivka opisujúca pobrežie má nekonečnú dĺžku.

Sponge Menger

Ďalšou známou triedou fraktálov sú stochastické fraktály, ktoré sa získajú, ak sa niektorý z jeho parametrov náhodne zmení v iteratívnom procese. Výsledkom sú objekty veľmi podobné prírodným – asymetrické stromy, členité pobrežia atď. .

Predmety výskumu

1. Pascalov trojuholník.

o
štruktúra Pascalovho trojuholníka - strany jednotky, každé číslo sa rovná súčtu dvoch umiestnených nad ním. V trojuholníku možno pokračovať donekonečna.

Pascalov trojuholník sa používa na výpočet koeficientov rozšírenia výrazov tvaru (x+1) n . Počnúc trojuholníkom jednotiek vypočítajte hodnoty na každej nasledujúcej úrovni pridaním susedných čísel; posledná položená jednotka. Dá sa teda definovať napríklad, že (x + 1) 4 = 1x 4 + 4x 3 + 6x 2 + 4x + 1x 0 .

Kučeravé čísla.

Pytagoras prvýkrát, v VI. pred Kristom, upozornil na skutočnosť, že ľudia, ktorí si pomáhajú pri počítaní s kamienkami, niekedy zoraďujú kamene do správnych čísel. Môžete len dať kamienky do radu: jeden, dva, tri. Ak ich dáme do dvoch radov, aby sme vytvorili obdĺžniky, zistíme, že získame všetky párne čísla. Kamene môžete rozložiť do troch radov: získate čísla, ktoré sú deliteľné tromi. Akékoľvek číslo, ktoré je niečím deliteľné, môže byť znázornené obdĺžnikom a iba prvočísla nemôžu byť "obdĺžnikmi".

Lineárne čísla sú čísla, ktoré sa nerozkladajú na faktory, to znamená, že ich rad sa zhoduje s radom prvočísel, doplnených o jednu: (1,2,3,5,7,11,13,17,19,23, . ...). Toto sú prvočísla.

Ploché čísla - čísla, ktoré môžu byť vyjadrené ako súčin dvoch faktorov (4,6,8,9,10,12,14,15,...)

Plné čísla - čísla vyjadrené ako súčin troch faktorov (8,12,18,20,24,27,28, ...) atď.

Polygonálne čísla:

Trojuholníkové čísla: (1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, ...)

Štvorcové čísla sú súčinom dvoch rovnakých čísel, to znamená, že ide o dokonalé štvorce: (1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, ..., n2, ...)

Päťuholníkové čísla: (1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, ...)

Hexagonálne čísla (1, 6, 15, 28, 45, ...)

Zlatý pomer..

Zlatý pomer ( Zlatý pomer, delenie v krajnom a priemernom pomere, harmonické delenie, Phidiasovo číslo) - delenie spojitej veličiny na časti v takom pomere, v ktorom sa väčšia časť vzťahuje k menšej, ako celá veličina k väčšej. Na obrázku vľavo bod C vytvára zlatý rez segmentu AB, ak: A S:AB = SV:AC.

Tento podiel sa zvyčajne označuje gréckym písmenom . To sa rovná 1,618. Z tohto podielu je vidieť, že pri zlatom reze je dĺžka väčšieho segmentu geometrickým priemerom dĺžok celého segmentu a jeho menšej časti. Časti zlatého rezu tvoria približne 62 % a 38 % celého segmentu. Číslo je spojené s postupnosťou celých čísel fibonacciho : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... často vyskytujúce sa v prírode. Je generovaný vzťahom opakovania F n+2 =F n+1 +F n s počiatočnými podmienkami F 1 =F 2 = 1.

Najstaršou literárnou pamiatkou, v ktorej sa nachádza rozdelenie segmentu vo vzťahu k zlatému rezu, sú „Počiatky“ Euklida. Už v druhej knihe „Začiatkov“ Euklides stavia zlatý rez a neskôr ho používa na zostrojenie niekoľkých pravidelných mnohouholníkov a mnohostenov.

hypotézy:

Existuje spojenie medzi fraktálmi a

Pascalov trojuholník.

Zlatý pomer.

kučeravé čísla.

literárnych diel

1.4 Účel práce:

1. Oboznámiť poslucháčov s novým odvetvím matematiky – fraktálmi.

2. Vyvrátiť alebo dokázať hypotézy uvedené v práci.

Ciele výskumu:

Vypracovať a analyzovať literatúru k výskumnej téme.

Zvážte rôzne typy fraktálov.

Zbierajte zbierku fraktálových obrázkov na prvé zoznámenie sa so svetom fraktálov.

Stanovte vzťahy medzi Pascalovým trojuholníkom, literárnymi dielami, obraznými číslami a zlatým rezom.

Výskumné metódy:

Teoretické (štúdium a teoretický rozbor vedeckej a odbornej literatúry; zovšeobecňovanie skúseností);

Praktické (zostavovanie výpočtov, zovšeobecňovanie výsledkov).

Výskumná časť.

2.1 Hľadanie súvislosti medzi fraktálmi a Pascalovým trojuholníkom.

Pascalov trojuholník Sierpinského trojuholník

Pri prideľovaní nepárnych čísel v Pascalovom trojuholníku sa získa Sierpinského trojuholník. Vzor demonštruje vlastnosť koeficientov používaných pri „aritmetizácii“ počítačových programov, ktorá ich prevádza na algebraické rovnice.

2.1 Hľadanie súvislosti medzi fraktálmi a zlatým rezom.

Dimenzia fraktálov.

Z matematického hľadiska je dimenzia definovaná nasledovne.

Pri jednorozmerných objektoch - 2-násobné zväčšenie lineárnych rozmerov vedie k zväčšeniu rozmerov (v tomto prípade dĺžky) 2x, t.j. o 21 .

Pri dvojrozmerných objektoch vedie 2-násobné zväčšenie lineárnych rozmerov k 4násobnému zväčšeniu veľkosti (plochy), t.j. v 2 2. Vezmime si príklad. Potom je daný kruh s polomerom r S = πr 2 .

Ak zdvojnásobíme polomer, potom: S1 = π(2 r) 2 ; S 1 \u003d 4π r 2 .

Pri trojrozmerných objektoch vedie 2-násobné zväčšenie lineárnych rozmerov k 8-násobnému zväčšeniu objemu, t.j. 2 3 .

Ak vezmeme kocku, potom V \u003d a 3, V "= (2a) 3 \u003d 8a; V" / V \u003d 8.

Príroda však nie vždy dodržiava tieto zákony. Skúsme zvážiť dimenziu fraktálnych objektov na jednoduchom príklade.

Predstavte si, že mucha si chce sadnúť na klbko vlny. Keď sa na to pozrie z diaľky, vidí len bod, ktorého rozmer je 0. Keď priletí bližšie, uvidí najskôr kruh, jeho rozmer 2 a potom guľu - rozmer 3. Keď mucha sadne na loptičku, už neuvidí loptu, ale bude skúmať klky, vlákna, dutiny, t.j. objekt so zlomkovým rozmerom.

Rozmer objektu (exponent) ukazuje, akým zákonom rastie jeho vnútorná plocha. Podobne, ako sa zväčšuje veľkosť, zväčšuje sa „objem fraktálu“. Vedci dospeli k záveru, že Fraktál je množina so zlomkovým rozmerom.

Fraktály ako matematické objekty vznikli ako dôsledok potreby vedeckého poznania sveta v adekvátnom teoretickom popise čoraz zložitejších prírodných systémov (ako napr. pohorie, pobrežie, koruna stromov, kaskádový vodopád, turbulentné prúdenie vzduchu v atmosfére atď.) a v konečnom dôsledku aj v matematickom modelovaní prírody ako celku. A zlatý rez, ako viete, je jedným z najvýraznejších a najstabilnejších prejavov harmónie prírody. Preto je celkom možné identifikovať vzťah vyššie uvedených objektov, t.j. objavte zlatý rez v teórii fraktálov.

Pripomeňme, že zlatý rez je definovaný výrazom
(*) a je jediným kladným koreňom kvadratickej rovnice
.

So zlatým rezom úzko súvisia Fibonacciho čísla 1,1,2,3,5,8,13,21,…, z ktorých každé je súčtom predchádzajúcich dvoch. Hodnota je v skutočnosti limitom radu zloženým z pomerov susedných Fibonacciho čísel:
,

a hodnotu - hranica radu zloženého z pomerov Fibonacciho čísel prevzatých cez jeden:

Fraktál je štruktúra pozostávajúca z častí podobných celku. Podľa inej definície je fraktálom geometrický objekt so zlomkovou (nie celočíselnou) dimenziou. Okrem toho fraktál vždy vzniká ako výsledok nekonečnej postupnosti rovnakého typu geometrických operácií na jeho konštrukciu, t.j. je dôsledkom prechodu do limity, čím súvisí so zlatým rezom, ktorý zároveň predstavuje limitu nekonečného číselného radu. Nakoniec, rozmer fraktálu je zvyčajne iracionálne číslo (ako zlatý rez).

Vo svetle vyššie uvedeného nie je v žiadnom prípade prekvapujúce, že skutočnosť, že rozmery mnohých klasických fraktálov je možné vyjadriť pomocou zlatého rezu s rôznym stupňom presnosti, nie je prekvapujúca. Takže napríklad vzťahy pre rozmery snehovej vločky Koch d SC\u003d 1,2618595 ... a špongie Menger d GM\u003d 2,7268330 ... , berúc do úvahy (*) možno zapísať ako
A
.

Navyše chyba prvého výrazu je len 0,004 % a druhého výrazu je 0,1 % a pri zohľadnení elementárneho pomeru 10=2 5 vyplýva, že hodnoty d SC A d GM sú kombinácie zlatého rezu a Fibonacciho čísel.

Rozmery koberca Sierpinski d KS=1,5849625... a Cantorov prach d PC\u003d 0,6309297 ... možno tiež považovať za hodnotu blízku zlatému rezu:
A
. Chyba týchto výrazov je 2 %.

Rozmer nehomogénnej (dvojstupňovej) Cantorovej množiny široko používaný vo fyzikálnych aplikáciách teórie fraktálov (napríklad pri štúdiu tepelnej konvekcie) (dĺžky generujúcich segmentov sú
A
- súvisia navzájom ako Fibonacciho čísla:
) , ale d MK=0,6110… sa líši od hodnoty
len o 1 %.

Zlatý rez a fraktály sú teda vzájomne prepojené.

2.2 Hľadanie súvislosti medzi fraktálmi a zloženými číslami .

Zvážte každú skupinu čísel.

Prvé číslo je 1. Ďalšie číslo je 3. Získame ho pridaním dvoch bodov k predchádzajúcemu číslu 1, aby sa z požadovaného útvaru stal trojuholník. V treťom kroku pridáme tri body, pričom zachováme tvar trojuholníka. V nasledujúcich krokoch sa pridá n bodov, kde n je poradové číslo trojuholníka. Každé číslo sa získa pripočítaním určitého počtu bodov k predchádzajúcemu. Táto vlastnosť priniesla rekurzívny vzorec pre trojuholníkové čísla: t n = n + t n -1 .

Prvé číslo je 1. Ďalšie číslo je 4. Získa sa pripočítaním 3 bodov k predchádzajúcemu číslu v tvare pravého uhla, čím vznikne štvorec. Vzorec pre štvorcové čísla je veľmi jednoduchý, vychádza z názvu tejto skupiny čísel: g n = n 2 . Ale okrem tohto vzorca môžete odvodiť aj rekurzívny vzorec pre štvorcové čísla. Ak to chcete urobiť, zvážte prvých päť štvorcových čísel:

gn = gn-1 +2n-1

2 = 4 = 1+3 = 1+2 2-1

g 3 \u003d 9 \u003d 4 + 5 \u003d 4 + 2 3-1

g 4 \u003d 16 \u003d 9 + 7 \u003d 9 + 2 4-1

g 5 \u003d 25 \u003d 16 + 9 \u003d 16 + 2 5-1

Prvé číslo je 1. Ďalšie číslo je 5. Získa sa sčítaním štyroch bodov, takže výsledný obrazec má tvar päťuholníka. Jedna strana takého päťuholníka obsahuje 2 body. V ďalšom kroku budú na jednej strane 3 body, celkový počet bodov je 12. Skúsme odvodiť vzorec na výpočet päťuholníkových čísel. Prvých päť päťuholníkových čísel je: 1, 5, 12, 22, 35. Sú vytvorené takto:

f 2 \u003d 5 \u003d 1 + 4 \u003d 1 + 3 2-2

f n \u003d f n-1 + 3n-2

3 = 12 = 5+7 = 5+3 3-2

f 4 \u003d 22 \u003d 12 + 10 \u003d 12 + 3 4-2

f 5 \u003d 35 \u003d 22 + 13 \u003d 22 + 3 5-2

Prvé číslo je 1. Druhé je 6. Postava vyzerá ako šesťuholník so stranou 2 bodov. V treťom kroku je už 15 bodov zoradených vo forme šesťuholníka so stranou 3 bodov. Odvoďme rekurzívny vzorec:

u n = u n-1 +4n-3

2 = 6 = 1 + 4 2-3

u 3 \u003d 15 \u003d 6 + 4 3-3

u 4 \u003d 28 \u003d 15 + 4 4-3

u 5 \u003d 45 \u003d 28 + 4 5-3

Ak sa pozriete pozorne, môžete vidieť spojenie medzi všetkými opakujúcimi sa vzorcami.

Pre trojuholníkové čísla platí: t n = t n -1 + n = t n -1 +1 n -0

Pre štvorcové čísla: g n = g n -1 +2 n -1

Pre päťuholníkové čísla: f n = f n -1 +3 n -2

Pre šesťuholníkové čísla: u n = u n -1 +4 n -3

Vidíme, že figurálne čísla sú postavené na opakovateľnosti: to je jasne vidieť na rekurzívnych vzorcoch. Môžeme s istotou povedať, že figurované čísla majú v podstate fraktálovú štruktúru.

2.3 Hľadanie súvislosti medzi fraktálmi a literárnymi dielami.

Fraktál považujte práve za umelecké dielo, ktoré sa vyznačuje dvoma hlavnými charakteristikami: 1) jeho časť je nejakým spôsobom podobná celku (v ideálnom prípade táto postupnosť podobností siaha do nekonečna, hoci nikto nikdy nevidel skutočne nekonečnú postupnosť iterácie, ktoré vytvárajú Kochovu snehovú vločku; 2) jej vnímanie prebieha v sekvencii vnorených úrovní. Všimnite si, že kúzlo fraktálu sa objavuje práve na ceste po tomto očarujúcom a závratnom systéme úrovní, z ktorých návrat nie je zaručený.

Ako môžete vytvoriť nekonečný text? Túto otázku si položil hrdina príbehu H.-L. Borgesa „Záhrada rozvetvených ciest“: „... pýtal som sa sám seba, ako môže byť kniha nekonečná. Nenapadá ma nič iné ako cyklický kruhový zväzok, zväzok, v ktorom sa na poslednej strane opakuje prvá, čo umožňuje pokračovať donekonečna.

Pozrime sa, aké iné riešenia môžu existovať.

Najjednoduchším nekonečným textom bude text z nekonečného počtu duplicitných prvkov alebo dvojverší, ktorých opakujúcou sa časťou je jeho „chvost“ – rovnaký text s ľubovoľným počtom vyradených začiatočných dvojverší. Schematicky môže byť takýto text znázornený ako nerozvetvený strom alebo periodická sekvencia opakujúcich sa dvojverší. Jednotka textu - fráza, strofa alebo príbeh, začína, rozvíja sa a končí, vracia sa k východiskovému bodu, k bodu prechodu k ďalšej jednotke textu, pričom sa opakuje pôvodná jednotka. Takýto text možno prirovnať k nekonečnému periodickému zlomku: 0,33333 ..., možno ho zapísať aj ako 0, (3). Je vidieť, že odrezanie "hlavy" - ľubovoľného počtu počiatočných jednotiek, nič nezmení a "chvost" bude presne zodpovedať celému textu.

Nevetvujúci nekonečný strom je identický sám so sebou z akéhokoľvek dvojveršia.

Medzi takéto nekonečné diela patria básne pre deti alebo ľudové piesne, ako napríklad báseň o kňazovi a jeho psovi z ruskej ľudovej poézie alebo báseň M. Yasnova „Strašiak-mňau“, ktorá rozpráva o mačiatku, ktoré spieva o mačiatko, ktoré spieva o mačiatku. Alebo, najkratšie: „Kňaz mal dvor, na dvore bol kôl, na kolíku bolo lyko – nemali by sme začať rozprávku od začiatku? ... Farár mal dvor.. .“

Šoférujem a vidím most, pod mostom zmokne vrana,
Vzal som vranu za chvost, položil som ju na mostík, nechal som vranu uschnúť.
Šoférujem a vidím most, na moste schne vrana,
Vzal som vranu za chvost, dal som ju pod most, nechal som vranu zmoknúť ...

Na rozdiel od nekonečných dvojverší nie sú fragmenty Mandelbrotových fraktálov stále identické, ale navzájom si podobné a táto vlastnosť im dodáva uhrančivé čaro. Preto pri skúmaní literárnych fraktálov vyvstáva úloha nájsť podobnosť, podobnosť (a nie identitu) textových prvkov.

V prípade nekonečných dvojverší sa nahrádzanie identity podobnosťou uskutočňovalo rôznymi spôsobmi. Sú minimálne dve možnosti: 1) tvorba básní s variáciami, 2) texty s doplnkami.

Básne s variáciami, ktoré dal do obehu napríklad S. Nikitin a stali sa ľudovou piesňou „Peggy žila veselá hus“, v ktorej sa zvyky Peggy a ich zvyky líšia.

Peggy mala veselú hus

Všetky pesničky poznal naspamäť.

Ach, aká veselá hus!

Poďme tancovať, Peggy, poďme tancovať!

Peggy mala vtipné šteniatko

Vedel tancovať na melódiu.

Ach, aké smiešne šteniatko!

Poďme tancovať, Peggy, poďme tancovať!

Peggy mala štíhlu žirafu

Bol elegantný ako skriňa,

To bola štíhla žirafa!

Poďme tancovať, Peggy, poďme tancovať!

Peggy mala zábavného tučniaka

Rozlíšil všetky značky vín,

Ach, aký smiešny tučniak!

Poďme tancovať, Peggy, poďme tancovať!

Peggy mala vtipného slona

Zjedol synchrofasotron,

No, aký veselý slon,

Poďme tancovať, Peggy, poďme tancovať!

Ak nie nekonečno, tak už bolo zložených pomerne veľké množstvo veršov: hovorí sa, že kazeta „Piesne nášho storočia“ vyšla s dvesto variáciami piesne a tento počet pravdepodobne stále rastie. Tu sa snažia prekonať nekonečnosť identických veršov spolutvorbou, detinskou, naivnou a vtipnou.

Ďalšia možnosť spočíva v textoch s „prírastkami“. Toto sú rozprávky o repe alebo koloboku, ktoré poznáme z detstva, v každej epizóde sa počet postáv zvyšuje:

"Teremok"

Ľútosť muchy.
Fly-goryukha, komár-piskun.
Mucha goryukha, komár piskľavý, voš myš.
Goryukha mucha, pisk komár, myš-list, žaba-žaba.
Mucha goryukha, komár vykukujúci, list myši, žaba-žaba, skákajúci zajačik.
Mucha goryukha, komár piskľavý, list myši, žaba-žaba, skákajúci zajačik, líščia sestra.
Mucha goryukha, komár piskľavý, myš-voš, žaba-žaba, skákajúci zajačik, líščia sestra, vlkošedý chvost.
Mucha goryukha, komár-piskot, myš-vš, žaba-žaba, zajačik-skok, líška-sestra, vlkošedý chvost, medveď, všetkých rozdrvíš.

Takéto texty majú štruktúru „vianočný stromček“ alebo „matryoška“, v ktorej každá úroveň opakuje predchádzajúcu so zväčšením veľkosti obrázka.

Básnické dielo, v ktorom možno každé dvojveršie čítať samostatne, ako samostatné „poschodie“ vianočného stromčeka, aj spolu, tvoriace text, ktorý sa vyvíja od jedného k druhému a ďalej k prírode, svetu a vesmíru, bolo vytvoril T. Vasilyeva:

Teraz, myslím, môžeme dospieť k záveru, že existujú literárne diela, ktoré majú fraktálovú štruktúru.

3. Praktická aplikácia fraktálov

Fraktály nachádzajú stále viac aplikácií vo vede. Hlavným dôvodom je to, že opisujú skutočný svet niekedy dokonca lepšie ako tradičná fyzika alebo matematika. Tu je niekoľko príkladov:

POČÍTAČOVÉ SYSTÉMY

Najužitočnejšie využitie fraktálov v informatike je kompresia fraktálov. Tento typ kompresie je založený na skutočnosti, že reálny svet je dobre opísaný fraktálnou geometriou. Obrázky sú zároveň oveľa lepšie komprimované, ako sa to robí konvenčnými metódami (napríklad jpeg alebo gif). Ďalšou výhodou fraktálnej kompresie je, že pri zväčšení obrázka nedochádza k pixelačnému efektu (zvýšenie veľkosti bodov na veľkosti, ktoré skresľujú obrázok). Pri fraktálnej kompresii po zväčšení obraz často vyzerá ešte lepšie ako predtým.

TEKUTINÁ MECHANIKA

1. Štúdium turbulencie v tokoch sa veľmi dobre prispôsobuje fraktálom. Turbulentné toky sú chaotické, a preto je ťažké ich presne modelovať. A tu pomáha prechod na fraktálne zobrazenie. To značne uľahčuje prácu inžinierov a fyzikov, čo im umožňuje lepšie pochopiť dynamiku zložitých tokov.

2. Plamene sa dajú modelovať aj pomocou fraktálov.

3. Porézne materiály sú dobre zastúpené vo fraktálnej forme vďaka tomu, že majú veľmi zložitú geometriu. Používa sa v ropnej vede.

TELEKOMUNIKÁCIE

Na prenos dát na veľké vzdialenosti sa používajú antény v tvare fraktálov, čo výrazne znižuje ich veľkosť a hmotnosť.

FYZIKA PLOCH

Fraktály sa používajú na opis zakrivenia povrchov. Nerovný povrch je charakterizovaný kombináciou dvoch rôznych fraktálov.

LIEK

1. Interakcie biosenzorov.

2. Búšenie srdca

BIOLÓGIA

Modelovanie chaotických procesov, najmä pri popise populačných modelov.

4. Záver

4.1 Zistenia štúdie

V mojej práci nie sú dané všetky oblasti ľudského poznania, kde teória fraktálov našla svoje uplatnenie. Chcem len povedať, že od vzniku teórie neuplynulo viac ako tretina storočia, no počas tejto doby sa fraktály pre mnohých výskumníkov stali náhlym jasným nočným svetlom, ktoré osvetľovalo doteraz neznáme skutočnosti a zákonitosti v konkrétnych dátové oblasti. Pomocou teórie fraktálov začali vysvetľovať vývoj galaxií a vývoj bunky, vznik hôr a vznik oblakov, pohyb cien na burze a vývoj spoločnosti a rodiny. . Možno bola táto vášeň pre fraktály spočiatku až príliš búrlivá a pokusy vysvetliť všetko pomocou teórie fraktálov boli neopodstatnené. Ale táto teória má nepochybne právo na existenciu.

Vo svojej práci som nazbieral zaujímavé informácie o fraktáloch, ich typoch, rozmeroch a vlastnostiach, ich použití, ale aj Pascalov trojuholník, kučeravé čísla, zlatý rez, fraktálové literárne diela a mnoho iného.

Počas štúdie sa vykonali tieto práce:

Literatúra k výskumnej téme bola analyzovaná a rozpracovaná.

Zvažujú sa a študujú sa rôzne typy fraktálov.

Na prvé zoznámenie sa so svetom fraktálov bola zostavená zbierka fraktálových obrázkov.

Potvrdili sa vzťahy medzi fraktálmi a Pascalovým trojuholníkom, literárnymi dielami, kučeravými číslami a zlatým rezom.

Presvedčil som sa, že tí, ktorí sa zaoberajú fraktálmi, objavujú nádherný, úžasný svet, v ktorom kraľuje matematika, príroda a umenie. Myslím, že po zoznámení sa s mojou prácou sa aj vy, podobne ako ja, presvedčíte, že matematika je krásna a úžasná.

5. Bibliografia:

1. Bozhokin S.V., Parshin D.A. Fraktály a multifraktály. Iževsk: Výskumné centrum "Pravidelná a chaotická dynamika", 2001. - 128s.

2. Voloshinov A. V. Matematika a umenie: Kniha. pre tých, ktorí nielen milujú matematiku a umenie, ale chcú sa zamyslieť aj nad povahou krásy a krásou vedy. 2. vyd., prepracované. a dodatočné - M .: Vzdelávanie, 2000. - 399s.

3. M. A. Gardner, Nudná matematika. Kaleidoskop hádaniek. M.: AST: Astrel, 2008. - 288s.: chor.

4. Grinchenko V.T., Matsypura V.T., Snarsky A.A. Úvod do nelineárnej dynamiky. Chaos a fraktál
. Vydavateľstvo: LKI, 2007, 264 strán.

5. Litinský G.I. Funkcie a grafy. 2. vydanie. - M.: Aslan, 1996. - 208 s.: chor.

6. Morozov AD Úvod do teórie fraktálov. Vydavateľ: Nižný Novgorod University Press, 2004

7. Richard M. Kronover Fraktály a chaos v dynamických systémoch Úvod do fraktálov a chaosu.
Vydavateľstvo: Technosfera, 2006, 488 strán.

8. okolité USAmier ako pevné telesá s jasne definovanými... Nájdite softvér na tvarovanie a prezeranie fraktály, skúmať a stavať viacero fraktály. Literatúra 1.A.I.Azevich "Dvadsať ...

Mestská rozpočtová vzdelávacia inštitúcia

"Siverskaya stredná škola č. 3"

Výskum

matematiky.

Urobil prácu

Žiak 8. ročníka

Emelin Pavel

vedecký poradca

učiteľ matematiky

Tupitsyna Natalya Alekseevna

p. Siverský

rok 2014

Celá matematika je preniknutá krásou a harmóniou,

Túto krásu jednoducho musíte vidieť.

B. Mandelbrot

Úvod

Kapitola 1. História vzniku fraktálov _______ 5-6 s.

Kapitola 2. Klasifikácia fraktálov._____________________6-10pp.

geometrické fraktály

Algebraické fraktály

Stochastické fraktály

Kapitola 3. „Fraktálna geometria prírody“ ______ 11-13s.

Kapitola 4. Aplikácia fraktálov ________________13-15pp.

Kapitola 5 Praktická práca __________________ 16-24pp.

Záver___________________________________25.strana

Zoznam literatúry a internetových zdrojov _______ 26 s.

Úvod

Matematika,

ak sa na to dobre pozrieš,

odráža nielen pravdu,

ale aj neporovnateľná krása.

Bertrand Russell

Slovo „fraktál“ je niečo, o čom v dnešnej dobe hovorí veľa ľudí, od vedcov až po stredoškolákov. Objavuje sa na obálkach mnohých učebníc matematiky, vedeckých časopisoch a krabice s počítačovým softvérom. Farebné obrázky fraktálov dnes možno nájsť všade: od pohľadníc, tričiek až po obrázky na ploche osobného počítača. Takže, aké sú tieto farebné tvary, ktoré vidíme okolo?

Matematika je najstaršia veda. Väčšine ľudí sa zdalo, že geometria v prírode je obmedzená na také jednoduché tvary, ako je čiara, kruh, mnohouholník, guľa atď. Ako sa ukázalo, mnohé prírodné systémy sú také zložité, že používanie iba známych objektov bežnej geometrie na ich modelovanie sa zdá byť beznádejné. Ako napríklad postaviť model pohoria alebo koruny stromu z hľadiska geometrie? Ako opísať diverzitu biologickej diverzity, ktorú pozorujeme vo svete rastlín a živočíchov? Ako si predstaviť celú zložitosť obehového systému, ktorý pozostáva z mnohých kapilár a ciev a dodáva krv do každej bunky ľudského tela? Predstavte si štruktúru pľúc a obličiek, ktorá pripomína stromy s rozvetvenou korunou?

Fraktály sú vhodným prostriedkom na skúmanie nastolených otázok. Často nás to, čo vidíme v prírode, zaujme nekonečným opakovaním toho istého vzoru, niekoľkokrát zväčšeného alebo zmenšeného. Napríklad strom má konáre. Tieto vetvy majú menšie vetvy atď. Teoreticky sa prvok „vidlička“ opakuje nekonečne veľakrát a je stále menší a menší. To isté možno vidieť pri pohľade na fotografiu horského terénu. Skúste si trochu priblížiť pohorie --- znova uvidíte hory. Takto sa prejavuje vlastnosť sebapodobnosti charakteristická pre fraktály.

Štúdium fraktálov otvára úžasné možnosti ako pri štúdiu nekonečného množstva aplikácií, tak aj v oblasti matematiky. Využitie fraktálov je veľmi rozsiahle! Koniec koncov, tieto objekty sú také krásne, že ich používajú dizajnéri, umelci, pomocou ktorých sa v grafike kreslí veľa prvkov stromov, oblakov, hôr atď. Ale fraktály sa dokonca používajú ako antény v mnohých mobilných telefónoch.

Pre mnohých chaológov (vedcov, ktorí študujú fraktály a chaos) to nie je len nová oblasť poznania, ktorá spája matematiku, teoretickú fyziku, umenie a výpočtovú techniku ​​– ide o revolúciu. Ide o objavenie nového typu geometrie, geometrie, ktorá opisuje svet okolo nás a ktorú možno vidieť nielen v učebniciach, ale aj v prírode a všade v bezhraničnom vesmíre..

Vo svojej práci som sa tiež rozhodla "dotknúť" sveta krásy a odhodlaná pre seba ...

Cieľ: vytváranie predmetov, ktoré sú veľmi podobné prírode.

Výskumné metódy Kľúčové slová: komparatívna analýza, syntéza, modelovanie.

Úlohy:

oboznámenie sa s pojmom, históriou výskytu a výskumom B. Mandelbrota,

G. Koch, V. Sierpinsky a ďalší;

zoznámenie sa s rôzne druhy množiny fraktálov;

štúdium populárno-náučnej literatúry k tejto problematike, oboznámenie sa s

vedecké hypotézy;

nájdenie potvrdenia teórie fraktality okolitého sveta;

štúdium využitia fraktálov v iných vedách a v praxi;

vykonaním experimentu na vytvorenie vlastných fraktálových obrázkov.

Hlavná otázka práce:

Ukážte, že matematika nie je suchopárný, bezduchý predmet, dokáže vyjadrovať duchovný svet človeka individuálne i celospoločensky.

Predmet štúdia: Fraktálna geometria.

Predmet štúdia: fraktály v matematike a v reálnom svete.

Hypotéza: Všetko, čo existuje v reálnom svete, je fraktál.

Výskumné metódy: analytické, vyhľadávanie.

Relevantnosť deklarovanej témy je determinovaný predovšetkým predmetom skúmania, ktorým je fraktálna geometria.

Očakávané výsledky: V priebehu práce si rozšírim svoje znalosti v oblasti matematiky, uvidím krásu fraktálnej geometrie a začnem pracovať na tvorbe vlastných fraktálov.

Výsledkom práce bude vytvorenie počítačovej prezentácie, bulletinu a bookletu.

Kapitola 1

Benoit Mandelbrot

Termín „fraktál“ vymyslel Benoit Mandelbrot. Slovo pochádza z latinského „fractus“, čo znamená „zlomený, rozbitý“.

Fraktál (lat. fractus - rozdrvený, zlomený, zlomený) - termín znamenajúci zložitý geometrický útvar s vlastnosťou sebapodobnosti, to znamená zložený z niekoľkých častí, z ktorých každá je podobná celej postave ako celku.

Matematické objekty, na ktoré odkazuje, sa vyznačujú mimoriadne zaujímavými vlastnosťami. V bežnej geometrii má čiara jeden rozmer, plocha dva rozmery a priestorový obrazec je trojrozmerný. Fraktály na druhej strane nie sú čiary alebo plochy, ale, ak si to viete predstaviť, niečo medzi tým. So zväčšovaním veľkosti sa zväčšuje aj objem fraktálu, ale jeho rozmer (exponent) nie je celé číslo, ale zlomková hodnota, a preto hranicou fraktálového útvaru nie je čiara: pri veľkom zväčšení je jasné že je rozmazaný a pozostáva zo špirál a kučier, opakujúcich v malom mierku samotnej postavy. Takáto geometrická pravidelnosť sa nazýva mierková invariancia alebo sebepodobnosť. Je to ona, ktorá určuje zlomkový rozmer fraktálových postáv.

Pred príchodom fraktálnej geometrie sa veda zaoberala systémami obsiahnutými v troch priestorových dimenziách. Vďaka Einsteinovi sa ukázalo, že trojrozmerný priestor je len modelom reality, a nie skutočnosťou samotnou. V skutočnosti sa náš svet nachádza v štvorrozmernom časopriestorovom kontinuu.
Vďaka Mandelbrotovi sa ukázalo, ako vyzerá štvorrozmerný priestor, obrazne povedané, fraktálna tvár Chaosu. Benoit Mandelbrot zistil, že štvrtá dimenzia zahŕňa nielen prvé tri dimenzie, ale aj (to je veľmi dôležité!) intervaly medzi nimi.

Rekurzívna (alebo fraktálna) geometria nahrádza euklidovskú. Nová veda je schopná opísať skutočnú povahu telies a javov. Euklidovská geometria sa zaoberala iba umelými, imaginárnymi objektmi patriacimi do troch dimenzií. Len štvrtá dimenzia ich dokáže premeniť na realitu.

Kvapalina, plyn, pevná látka sú tri obvyklé fyzikálne stavy hmoty, ktoré existujú v trojrozmernom svete. Aký je však rozmer kúdol dymu, oblakov, či skôr ich hraníc, neustále rozmazaných turbulentným pohybom vzduchu?

V zásade sú fraktály rozdelené do troch skupín:

Algebraické fraktály

Stochastické fraktály

geometrické fraktály

Pozrime sa bližšie na každý z nich.

Kapitola 2. Klasifikácia fraktálov

geometrické fraktály

Benoit Mandelbrot navrhol fraktálový model, ktorý sa už stal klasikou a často sa používa na demonštráciu typického príkladu samotného fraktálu a na demonštráciu krásy fraktálov, čo tiež priťahuje výskumníkov, umelcov a ľudí, ktorí majú jednoducho záujem.

Práve nimi sa začala história fraktálov. Tento typ fraktálov sa získava jednoduchými geometrickými konštrukciami. Väčšinou sa pri konštrukcii týchto fraktálov postupuje nasledovne: vezme sa „semienko“ – axióma – množina segmentov, na základe ktorých sa fraktál postaví. Ďalej sa na toto „semeno“ aplikuje súbor pravidiel, ktoré ho premenia na nejaký geometrický útvar. Ďalej, rovnaký súbor pravidiel sa opäť aplikuje na každú časť tohto obrázku. Každým krokom bude obrazec čoraz zložitejší a ak vykonáme (aspoň v mysli) nekonečné množstvo transformácií, dostaneme geometrický fraktál.

Fraktály tejto triedy sú najvizuálnejšie, pretože sú okamžite viditeľné v akejkoľvek mierke pozorovania. V dvojrozmernom prípade sa takéto fraktály dajú získať špecifikovaním nejakej prerušovanej čiary, nazývanej generátor. V jednom kroku algoritmu je každý zo segmentov tvoriacich prerušovanú čiaru nahradený generátorom prerušovaných čiar vo vhodnej mierke. Výsledkom nekonečného opakovania tohto postupu (alebo presnejšie pri prechode na limit) je fraktálna krivka. Pri zjavnej zložitosti výslednej krivky, jeho všeobecná forma je daná len formou generátora. Príklady takýchto kriviek sú: Kochova krivka (obr.7), Peanova krivka (obr.8), Minkowského krivka.

Na začiatku 20. storočia matematici hľadali krivky, ktoré nemali v žiadnom bode dotyčnicu. To znamenalo, že krivka náhle zmenila svoj smer a navyše enormne vysokou rýchlosťou (derivácia sa rovná nekonečnu). Hľadanie týchto kriviek nebolo spôsobené len nečinným záujmom matematikov. Faktom je, že na začiatku 20. storočia sa kvantová mechanika veľmi rýchlo rozvíjala. Výskumník M. Brown načrtol trajektóriu suspendovaných častíc vo vode a vysvetlil tento jav takto: náhodne sa pohybujúce atómy kvapaliny narážajú na suspendované častice a tým ich uvádzajú do pohybu. Po takomto vysvetlení Brownovho pohybu stáli vedci pred úlohou nájsť krivku, ktorá by najlepšie znázorňovala pohyb Brownových častíc. Aby to bolo možné, krivka musela spĺňať nasledujúce vlastnosti: nemať v žiadnom bode dotyčnicu. Matematik Koch navrhol jednu takúto krivku.

Kochova krivka je typický geometrický fraktál. Proces jeho konštrukcie je nasledovný: vezmeme jeden segment, rozdelíme ho na tri rovnaké časti a stredný interval nahradíme rovnostranným trojuholníkom bez tohto segmentu. V dôsledku toho sa vytvorí prerušovaná čiara pozostávajúca zo štyroch článkov s dĺžkou 1/3. V ďalšom kroku zopakujeme operáciu pre každý zo štyroch výsledných odkazov atď.

Limitná krivka je Kochova krivka.

Snehová vločka Koch. Vykonaním podobnej transformácie na stranách rovnostranného trojuholníka môžete získať fraktálny obraz Kochovej snehovej vločky.

Ďalším jednoduchým predstaviteľom geometrického fraktálu je Námestie Sierpinski. Je postavený celkom jednoducho: Štvorec je rozdelený rovnými čiarami rovnobežnými s jeho stranami na 9 rovnakých štvorcov. Centrálne námestie je odstránené z námestia. Ukazuje sa súbor pozostávajúci z 8 zostávajúcich štvorcov "prvého stupňa". Ak urobíme to isté s každým štvorcom prvého radu, dostaneme sadu pozostávajúcu zo 64 políčok druhého radu. Pokračujúc v tomto procese donekonečna, získame nekonečnú postupnosť alebo Sierpinského štvorec.

Algebraické fraktály

Toto je najväčšia skupina fraktálov. Algebraické fraktály dostali svoje meno, pretože sú zostavené pomocou jednoduchých algebraických vzorcov.

Získavajú sa pomocou nelineárnych procesov v n-rozmerné priestory. Je známe, že nelineárne dynamické systémy majú niekoľko stabilných stavov. Stav, v akom to bolo dynamický systém po určitom počte iterácií, závisí od jeho počiatočného stavu. Preto má každý stabilný stav (alebo, ako sa hovorí, atraktor) určitú oblasť počiatočných stavov, z ktorých systém nevyhnutne spadne do uvažovaných konečných stavov. Fázový priestor systému je teda rozdelený na oblasti príťažlivosti atraktory. Ak je fázový priestor dvojrozmerný, potom je možné získať zafarbením oblastí príťažlivosti rôznymi farbami portrét farebnej fázy tento systém (iteratívny proces). Zmenou algoritmu výberu farieb môžete získať zložité fraktálne vzory s efektnými viacfarebnými vzormi. Prekvapením pre matematikov bola schopnosť vytvárať veľmi zložité štruktúry pomocou primitívnych algoritmov.

Ako príklad uveďme Mandelbrotovu súpravu. Je zostavený pomocou komplexných čísel.

Časť hranice Mandelbrotovej množiny, zväčšená 200-krát.

Sada Mandelbrot obsahuje body, ktoré počasnekonečné počet iterácií nejde do nekonečna (body, ktoré sú čierne). Body patriace k hranici množiny(tu vznikajú zložité štruktúry) idú do nekonečna v konečnom počte iterácií a body ležiace mimo množiny idú po niekoľkých iteráciách do nekonečna (biele pozadie).

Príkladom ďalšieho algebraického fraktálu je množina Julia. Existujú 2 odrody tohto fraktálu. Prekvapivo sú množiny Julia tvorené podľa rovnakého vzorca ako množina Mandelbrot. Súpravu Julia vynašiel francúzsky matematik Gaston Julia, po ktorom bola zostava pomenovaná.

Zaujímavý fakt, niektoré algebraické fraktály nápadne pripomínajú obrazy zvierat, rastlín a iných biologických objektov, v dôsledku čoho sa nazývajú biomorfy.

Stochastické fraktály

Ďalšou známou triedou fraktálov sú stochastické fraktály, ktoré sa získajú, ak sa niektorý z ich parametrov náhodne zmení v iteračnom procese. Výsledkom sú objekty veľmi podobné prírodným – asymetrické stromy, členité pobrežia atď.

Typickým predstaviteľom tejto skupiny fraktálov je „plazma“.

Na jeho zostavenie sa vezme obdĺžnik a pre každý z jeho rohov sa určí farba. Potom sa nájde stredový bod obdĺžnika a vyfarbí sa farbou rovnajúcou sa aritmetickému priemeru farieb v rohoch obdĺžnika plus nejaké náhodné číslo. Čím väčšie je náhodné číslo, tým bude obrázok „roztrhanejší“. Ak predpokladáme, že farba bodu je výška nad hladinou mora - dostaneme namiesto plazmy - pohorie. Práve na tomto princípe sú hory modelované vo väčšine programov. Pomocou algoritmu podobného plazme sa vytvorí výšková mapa, nanesú sa na ňu rôzne filtre, nanesie sa textúra a fotorealistické hory sú pripravené.

Ak sa pozriete na tento fraktál v sekcii, potom uvidíme, že tento fraktál je objemný a má „drsnosť“, práve kvôli tejto „drsnosti“ je veľmi dôležité použitie tohto fraktálu.

Povedzme, že chcete opísať tvar hory. Tu nepomôžu obyčajné obrazce z euklidovskej geometrie, pretože neberú do úvahy topografiu povrchu. Ale keď skombinujete konvenčnú geometriu s fraktálnou geometriou, môžete získať samotnú „drsnosť“ hory. Plazmu treba naniesť na obyčajný kužeľ a dostaneme reliéf hory. Takéto operácie je možné vykonávať s mnohými inými objektmi v prírode, vďaka stochastickým fraktálom možno popísať samotnú prírodu.

Teraz si povedzme niečo o geometrických fraktáloch.

.

Kapitola 3 "Fraktálna geometria prírody"

Prečo sa geometria často označuje ako „studená“ a „suchá“? Jedným z dôvodov je jej neschopnosť opísať tvar oblaku, hory, pobrežia alebo stromu. Oblaky nie sú gule, hory nie sú kužele, pobrežia nie sú kruhy, strom kôra nie je hladká, ale zložitosť úplne inej úrovne Počet rôznych dĺžok prírodných objektov na všetky praktické účely je nekonečný.

(Benoit Mandelbrot „Fraktálna geometria prírody“ ).

Krása fraktálov je dvojaká: lahodí oku, o čom svedčí aspoň celosvetová výstava fraktálových obrázkov, ktorú zorganizovala skupina brémskych matematikov pod vedením Peitgena a Richtera. Neskôr boli exponáty tejto grandióznej výstavy zachytené v ilustráciách ku knihe „Krása fraktálov“ od tých istých autorov. Ale je tu ešte jeden, abstraktnejší alebo vznešenejší, aspekt krásy fraktálov, otvorený podľa R. Feynmana len mentálnemu pohľadu teoretika, v tomto zmysle sú fraktály krásne s krásou ťažkého matematického problému. Benoit Mandelbrot upozornil svojich súčasníkov (a pravdepodobne aj svojich potomkov) na nešťastnú medzeru v Euklidových prvkoch, podľa ktorej ľudstvo bez povšimnutia tohto vynechania takmer dve tisícročia chápalo geometriu okolitého sveta a učilo sa matematickej prísnosti prezentácia. Samozrejme, oba aspekty krásy fraktálov sú úzko prepojené a nevylučujú sa, ale vzájomne sa dopĺňajú, hoci každý z nich je sebestačný.

Fraktálna geometria prírody je podľa Mandelbrota skutočnou geometriou, ktorá spĺňa definíciu geometrie navrhnutú v „Erlangenovom programe“ F. Kleina. Faktom je, že pred príchodom neeuklidovskej geometrie N.I. Lobačevskij – L. Bolyai, bola len jedna geometria – tá, ktorá bola uvedená v „Začiatkoch“ a otázka, čo je geometria a ktorá z geometrií je geometriou skutočného sveta, nevznikla a ani nemohla. vznikajú. S príchodom ďalšej geometrie však vyvstala otázka, čo je geometria vo všeobecnosti a ktorá z mnohých geometrií zodpovedá skutočnému svetu. Geometria podľa F. Kleina študuje také vlastnosti objektov, ktoré sú pri transformáciách invariantné: Euklidovské - invarianty skupiny pohybov (transformácie, ktoré nemenia vzdialenosť medzi ľubovoľnými dvoma bodmi, tj predstavujú superpozíciu paralelných posunov a rotácií s resp. bez zmeny orientácie) , Lobachevsky-Bolyai geometria - invarianty Lorentzovej skupiny. Fraktálna geometria sa zaoberá štúdiom invariantov skupiny sebaafinných transformácií, t.j. vlastnosti vyjadrené mocenskými zákonmi.

Čo sa týka zhody s reálnym svetom, fraktálna geometria popisuje veľmi širokú triedu prírodných procesov a javov, a preto môžeme podľa B. Mandelbrota právom hovoriť o fraktálnej geometrii prírody. Nové - fraktálne objekty majú nezvyčajné vlastnosti. Dĺžky, plochy a objemy niektorých fraktálov sú rovné nule, iné sa otáčajú do nekonečna.

Príroda často vytvára úžasné a nádherné fraktály, s dokonalou geometriou a takou harmóniou, že vás jednoducho mrazí od obdivu. A tu sú ich príklady:

morské mušle

Blesk obdivujúc ich krásu. Fraktály vytvorené bleskom nie sú náhodné ani pravidelné.

fraktálny tvar poddruh karfiolu(Brassica cauliflora). Tento špeciálny druh je obzvlášť symetrický fraktál.

Fern je tiež dobrým príkladom fraktálu medzi flórou.

Pávy každý je známy svojim farebným perím, v ktorom sú ukryté pevné fraktály.

Vzory ľadu, mrazu na oknách, to sú tiež fraktály

Zo zväčšeného obrázku leták, predtým konáre stromu- fraktály nájdete vo všetkom

Fraktály sú všade a všade v prírode okolo nás. Celý vesmír je postavený podľa prekvapivo harmonických zákonov s matematickou presnosťou. Je možné si potom myslieť, že naša planéta je náhodná zhluk častíc? Sotva.

Kapitola 4

Fraktály nachádzajú stále viac aplikácií vo vede. Hlavným dôvodom je to, že opisujú skutočný svet niekedy dokonca lepšie ako tradičná fyzika alebo matematika. Tu je niekoľko príkladov:

Niektoré z najvýkonnejších aplikácií fraktálov spočívajú v počítačová grafika. Toto je fraktálna kompresia obrázkov. Moderná fyzika a mechanika len začínajú študovať správanie fraktálnych objektov.

Výhody algoritmov kompresie fraktálnych obrázkov sú veľmi malá veľkosť zbaleného súboru a krátky čas obnovy obrázka. Fraktálne zbalené obrázky je možné zmenšiť bez toho, aby sa objavila pixelizácia (zlá kvalita obrazu - veľké štvorce). Proces kompresie však trvá dlho a niekedy trvá aj hodiny. Algoritmus stratového balenia fraktálov vám umožňuje nastaviť úroveň kompresie podobne ako vo formáte jpeg. Algoritmus je založený na hľadaní veľkých kúskov obrazu podobných niektorým malým kúskom. A do výstupného súboru sa zapíše len to, ktorý kus je tomu podobný. Pri kompresii sa zvyčajne používa štvorcová sieť (kusy sú štvorce), čo vedie k miernemu hranatosti pri obnove obrazu, šesťuholníková sieť je bez takejto nevýhody.

Iterated vyvinul nový obrazový formát „Sting“, ktorý kombinuje fraktálovú a „vlnovú“ (napríklad jpeg) bezstratovú kompresiu. Nový formát umožňuje vytvárať obrázky s možnosťou následného kvalitného škálovania a objem grafických súborov je 15-20% objemu nekomprimovaných obrázkov.

V mechanike a fyzike fraktály sa používajú kvôli jedinečnej vlastnosti opakovať obrysy mnohých prírodných objektov. Fraktály vám umožňujú aproximovať stromy, horské povrchy a pukliny s vyššou presnosťou ako aproximácie pomocou úsečiek alebo polygónov (s rovnakým množstvom uložených údajov). Fraktálne modely, podobne ako prírodné objekty, majú „drsnosť“ a táto vlastnosť je zachovaná pri ľubovoľne veľkom náraste modelu. Prítomnosť jednotnej miery na fraktáloch umožňuje použiť integráciu, teóriu potenciálu, použiť ich namiesto štandardných objektov v už preštudovaných rovniciach.

Fraktálna geometria sa tiež používa návrh anténnych zariadení. Prvýkrát to použil americký inžinier Nathan Cohen, ktorý vtedy žil v centre Bostonu, kde bola inštalácia na budovy zakázaná. externé antény. Cohen vyrezal tvar Kochovej krivky z hliníkovej fólie a potom ho prilepil na kus papiera a potom ho pripojil k prijímaču. Ukázalo sa, že takáto anténa nefunguje horšie ako konvenčná. A hoci fyzikálne princípy takejto antény ešte neboli preštudované, Cohenovi to nezabránilo v založení vlastnej spoločnosti a nastavení ich sériovej výroby. V súčasnosti americká spoločnosť „Fractal Antenna System“ vyvinula nový typ antény. Teraz môžete prestať používať vyčnievajúce externé antény v mobilných telefónoch. Takzvaná fraktálna anténa je umiestnená priamo na hlavnej doske vo vnútri zariadenia.

Existuje aj veľa hypotéz o využití fraktálov – fraktálne vlastnosti má napríklad aj lymfatický a obehový systém, pľúca a mnohé ďalšie.

Kapitola 5. Praktická práca.

Najprv sa zamerajme na fraktály „Náhrdelník“, „Víťazstvo“ a „Námestie“.

Najprv - "náhrdelník"(obr. 7). Kruh je iniciátorom tohto fraktálu. Tento kruh pozostáva z určitého počtu rovnakých kruhov, ale menších, a je to jeden z niekoľkých kruhov, ktoré sú rovnaké, ale veľké veľkosti. Vzdelávací proces je teda nekonečný a môže sa vykonávať v jednom aj v opačnom smere. Tie. postavu je možné zväčšiť zobratím len jedného malého oblúka, alebo ju možno zmenšiť tak, že zvažujeme jej konštrukciu z menších.

ryža. 7.

Fraktálny "Náhrdelník"

Druhý fraktál je "víťazstvo"(obr. 8). Toto meno dostal, pretože sa navonok podobá latinskému písmenu „V“, to znamená „víťazstvo“ - víťazstvo. Tento fraktál pozostáva z určitého počtu malých „v“, ktoré tvoria jedno veľké „V“ a v ľavej polovici, v ktorej sú malé umiestnené tak, že ich ľavé polovice tvoria jednu priamku, je postavená pravá časť. rovnakym sposobom. Každé z týchto „v“ je postavené rovnakým spôsobom a pokračuje v tom do nekonečna.

Obr.8. Fraktálne "víťazstvo"

Tretí fraktál je "Štvorec" (obr. 9). Každá jeho strana pozostáva z jedného radu buniek v tvare štvorcov, ktorých strany tiež predstavujú rady buniek atď.

Obr. 9. Fraktál "Štvorec" Obr.

Fraktál bol nazvaný „Ruža“ (obr. 10), pre jeho vonkajšiu podobnosť s týmto kvetom. Konštrukcia fraktálu je spojená s konštrukciou série sústredných kružníc, ktorých polomer sa mení v pomere k danému pomeru (v tomto prípade R m / R b = ¾ = 0,75.). Potom je do každého kruhu vpísaný pravidelný šesťuholník, ktorého strana sa rovná polomeru kruhu opísaného okolo neho.

Ryža. 11. Fraktál "Ruža *"

Ďalej sa otočíme na pravidelný päťuholník, v ktorom nakreslíme jeho uhlopriečky. Potom v päťuholníku získanom na priesečníku zodpovedajúcich segmentov opäť nakreslíme uhlopriečky. Pokračujme v tomto procese do nekonečna a získajme fraktál „Pentagram“ (obr. 12).

Zavedme prvok kreativity a náš fraktál bude mať podobu viac vizuálneho objektu (obr. 13).

Ryža. 12. Fraktál "Pentagram".

Ryža. 13. Fraktál "Pentagram *"

Ryža. 14 fraktál "Čierna diera"

Experiment č. 1 "Strom"

Teraz, keď som pochopil, čo je fraktál a ako ho zostaviť, pokúsil som sa vytvoriť si vlastné obrázky fraktálov. V Adobe Photoshop som vytvoril malý podprogram alebo akciu, zvláštnosťou tejto akcie je, že opakuje akcie, ktoré robím, a takto získam fraktál.

Na začiatok som vytvoril pozadie pre náš budúci fraktál s rozlíšením 600 x 600. Potom som na toto pozadie nakreslil 3 čiary - základ nášho budúceho fraktálu.

ODĎalším krokom je napísanie skriptu.

duplicitná vrstva ( vrstva > duplikát) a zmeňte typ zmesi na " Obrazovka" .

Zavolajme mu" fr1". Duplikovať túto vrstvu (" fr1") ešte 2 krát.

Teraz musíme prejsť na poslednú vrstvu (fr3) a dvakrát ho zlúčte s predchádzajúcim ( ctrl+e). Znížte jas vrstvy ( Obrázok > Úpravy > Jas/Kontrast , nastavený jas 50% ). Opäť sa spojte s predchádzajúcou vrstvou a odrežte okraje celého výkresu, aby ste odstránili neviditeľné časti. Tento obrázok som skopíroval, zmenšil a prilepil na iný, pričom som zmenil farbu.

Ako posledný krok som skopíroval tento obrázok a vložil ho zmenšený a otočený. Tu je konečný výsledok.

Záver

Táto práca je úvodom do sveta fraktálov. Zvážili sme len najmenšiu časť toho, čo sú fraktály, na základe akých princípov sú postavené.

Fraktálna grafika nie je len súborom sebaopakujúcich sa obrázkov, je to model štruktúry a princípu akejkoľvek bytosti. Celý náš život predstavujú fraktály. Celá príroda okolo nás sa skladá z nich. Treba poznamenať rozšírené používanie fraktálov v počítačové hry, kde terény sú často fraktálne obrázky založené na trojrozmerných modeloch zložitých množín. Fraktály výrazne uľahčujú kreslenie počítačovej grafiky, pomocou fraktálov sa vytvára množstvo špeciálnych efektov, rôzne rozprávkové a neuveriteľné obrázky atď. Tiež pomocou fraktálnej geometrie sa kreslia stromy, oblaky, pobrežia a všetka iná príroda. Fraktálna grafika je potrebná všade a vývoj „fraktálnych technológií“ je jednou z najdôležitejších úloh súčasnosti.

V budúcnosti sa plánujem naučiť zostavovať algebraické fraktály, keď budem podrobnejšie študovať komplexné čísla. Chcem sa tiež pokúsiť vytvoriť svoj fraktálny obraz v programovacom jazyku Pascal pomocou cyklov.

Je potrebné poznamenať, že použitie fraktálov v počítačovej technike, okrem jednoduchého vytvárania krásnych obrázkov na obrazovke počítača. Fraktály vo výpočtovej technike sa používajú v nasledujúcich oblastiach:

1. Komprimujte obrázky a informácie

2. Skrytie informácií v obraze, vo zvuku, ...

3. Šifrovanie údajov pomocou fraktálových algoritmov

4. Tvorba fraktálnej hudby

5. Modelovanie systému

V našej práci nie sú dané všetky oblasti ľudského poznania, kde teória fraktálov našla svoje uplatnenie. Chceme len povedať, že od vzniku teórie neuplynulo viac ako tretina storočia, no počas tejto doby sa fraktály pre mnohých výskumníkov stali náhlym jasným nočným svetlom, ktoré osvetľovalo doteraz neznáme skutočnosti a zákonitosti v konkrétnych dátové oblasti. Pomocou teórie fraktálov začali vysvetľovať vývoj galaxií a vývoj bunky, vznik hôr a vznik oblakov, pohyb cien na burze a vývoj spoločnosti a rodiny. . Možno bola táto vášeň pre fraktály spočiatku až príliš búrlivá a pokusy vysvetliť všetko pomocou teórie fraktálov boli neopodstatnené. Táto teória má však bezpochyby právo na existenciu a ľutujeme, že sa na ňu v poslednom čase akosi zabudlo a zostala súčasťou elity. Pri príprave tejto práce bolo pre nás veľmi zaujímavé nájsť aplikácie TEÓRIE v PRAXI. Pretože veľmi často existuje pocit, že teoretické vedomosti stoja mimo realitu života.

Pojem fraktály sa tak stáva nielen súčasťou „čistej“ vedy, ale aj prvkom ľudskej kultúry. Fraktálna veda je stále veľmi mladá a má pred sebou veľkú budúcnosť. Krása fraktálov nie je ani zďaleka vyčerpaná a ešte nám dá mnoho majstrovských diel – tých, ktoré lahodia oku, aj tých, ktoré prinášajú skutočné potešenie do mysle.

10. Referencie

Bozhokin S.V., Parshin D.A. Fraktály a multifraktály. RHD 2001 .

Vitolin D. Použitie fraktálov v počítačovej grafike. // Počítačový svet-Rusko.-1995

Mandelbrot B. Sebaafinné fraktálne množiny, "Fractals in Physics". M.: Mir 1988

Mandelbrot B. Fraktálna geometria prírody. - M.: "Inštitút pre počítačový výskum", 2002.

Morozov A.D. Úvod do teórie fraktálov. Nižný Novgorod: Vydavateľstvo Nižegorod. univerzita 1999

Paytgen H.-O., Richter P. H. Krása fraktálov. - M.: "Mir", 1993.

internetové zdroje

http://www.ghcube.com/fractals/determin.html

http://fractals.nsu.ru/fractals.chat.ru/

http://fractals.nsu.ru/animations.htm

http://www.cootey.com/fractals/index.html

http://fraktals.ucoz.ru/publ

http://sakva.narod.ru

http://rusnauka.narod.ru/lib/author/kosinov_n/12/

http://www.cnam.fr/fractals/

http://www.softlab.ntua.gr/mandel/

http://subscribe.ru/archive/job.education.maths/201005/06210524.html

Už sme písali o tom, ako abstraktná matematická teória chaosu našla uplatnenie v rôznych vedách – od fyziky po ekonómiu a politológiu. Teraz uvedieme ďalší podobný príklad – teóriu fraktálov. Presná definícia pojmu „fraktál“ neexistuje ani v matematike. Hovoria niečo také, samozrejme. Ale „obyčajný človek“ tomu nerozumie. Ako sa vám napríklad taká veta: "Fraktál je množina s frakčnou Hausdorffovou dimenziou, ktorá je väčšia ako topologická." Napriek tomu nás, fraktály, obklopujú a pomáhajú pochopiť mnohé javy z rôznych sfér života.

Ako to všetko začalo

O fraktály sa okrem profesionálnych matematikov dlho nikto nezaujímal. Pred príchodom počítačov a súvisiaceho softvéru. Všetko sa zmenilo v roku 1982, keď vyšla kniha Benoita Mandelbrota „The Fractal Geometry of Nature“. Táto kniha sa stala bestsellerom ani nie tak pre jednoduché a zrozumiteľné podanie látky (hoci toto tvrdenie je veľmi relatívne - človek, ktorý nemá odborné matematické vzdelanie, v nej ničomu neporozumie), ale preto, počítačové ilustrácie daných fraktálov, ktoré sú naozaj očarujúce. Pozrime sa na tieto obrázky. Naozaj stoja za to.

A takýchto obrázkov je veľa. Čo však má všetka táto nádhera spoločné s naším skutočným životom a tým, čo nás obklopuje v prírode a každodennom svete? Ukazuje sa to najpriamejšie.

Najprv si však povedzme pár slov o samotných fraktáloch ako geometrických objektoch.

Čo je to fraktál, zjednodušene povedané

Najprv. Ako sa budujú, fraktály. Ide o pomerne komplikovaný postup, ktorý využíva špeciálne transformácie v komplexnej rovine (nemusíte vedieť, čo to je). Dôležité je len to, že tieto transformácie sa opakujú (vyskytujú sa, ako sa v matematike hovorí, iterácie). V dôsledku tohto opakovania vznikajú fraktály (tie, ktoré ste videli vyššie).

Po druhé. Fraktál je sebepodobná (presne alebo približne) štruktúra. To znamená nasledovné. Ak si na niektorý z prezentovaných obrázkov prinesiete mikroskop, zväčšíte obrázok napríklad 100-krát a pozriete sa na fragment fraktálu, ktorý spadol do okuláru, zistíte, že je totožný s pôvodným obrázkom. Ak si zoberiete silnejší mikroskop, ktorý zväčší obraz 1000-krát, zistíte, že kúsok úlomku predchádzajúceho obrazu, ktorý spadol do okuláru, má rovnakú alebo veľmi podobnú štruktúru.

To vedie k veľmi dôležitému záveru pre to, čo nasleduje. Fraktál má mimoriadne zložitú štruktúru, ktorá sa opakuje v rôznych mierkach. Ale čím viac sa dostávame hlbšie do jeho zariadenia, tým je vo všeobecnosti zložitejšie. A kvantitatívne odhady vlastností pôvodného obrázku sa môžu začať meniť.

Teraz opustíme abstraktnú matematiku a prejdeme k veciam okolo nás – zdalo by sa teda, že je to jednoduché a zrozumiteľné.

Fraktálne objekty v prírode

Pobrežie

Predstavte si, že fotografujete ostrov, ako je Británia, z obežnej dráhy Zeme. Získate rovnaký obrázok ako na geografickej mape. Hladký obrys pobrežia zo všetkých strán - more.

Zistenie dĺžky pobrežia je veľmi jednoduché. Vezmite obyčajnú niť a opatrne ju položte pozdĺž hraníc ostrova. Potom zmerajte jeho dĺžku v centimetroch a výsledné číslo vynásobte mierkou mapy - v jednom centimetri je niekoľko kilometrov. Tu je výsledok.

A teraz ďalší experiment. Letíte v lietadle z vtáčej perspektívy a fotografujete pobrežie. Ukazuje sa obrázok podobný fotografiám zo satelitu. Ale toto pobrežie je členité. Na vašich obrázkoch sa objavujú malé zátoky, zálivy, úlomky pôdy vyčnievajúce do mora. To všetko je pravda, ale zo satelitu to nebolo vidieť. Štruktúra pobrežia sa stáva zložitejšou.

Povedzme, že po príchode domov ste na základe svojich obrázkov vytvorili podrobnú mapu pobrežia. A rozhodli sme sa zmerať jeho dĺžku pomocou toho istého vlákna a presne ho rozložiť podľa nových údajov, ktoré ste dostali. Nová hodnota dĺžky pobrežia prekročí starú hodnotu. A významné. Toto je intuitívne jasné. Koniec koncov, teraz by vaša niť mala obchádzať brehy všetkých zátok a zálivov, a nielen ísť pozdĺž pobrežia.

Poznámka. Oddialili sme a veci sa stali oveľa zložitejšími a mätúcimi. Ako fraktály.

A teraz k ďalšej iterácii. Kráčate po tom istom pobreží. A opraviť reliéf pobrežia. Ukazuje sa, že brehy zálivov a zálivov, ktoré ste nasnímali z lietadla, nie sú vôbec také hladké a jednoduché, ako ste si mysleli na svojich obrázkoch. Majú zložitú štruktúru. A tak, ak zmapujete toto „pešie“ pobrežie, bude sa ešte predlžovať.

Áno, v prírode neexistujú nekonečná. Ale je úplne jasné, že pobrežie je typický fraktál. Zostáva rovnaký, ale jeho štruktúra sa stáva čoraz zložitejšou, keď sa pozriete bližšie (spomeňte si na príklad mikroskopu).

Toto je skutočne úžasný fenomén. Sme zvyknutí, že každý geometrický objekt, ktorý je rozmerovo obmedzený na rovine (štvorec, trojuholník, kruh), má pevnú a konečnú dĺžku svojich hraníc. Tu je však všetko inak. Dĺžka pobrežia v limite sa ukazuje ako nekonečná.

Drevo

Predstavme si strom. Obyčajný strom. Nejaká sypaná lipa. Pozrime sa na jej kufor. okolo koreňa. Ide o mierne zdeformovaný valec. Tie. má veľmi jednoduchú formu.

Zdvihnime oči. Z kmeňa sa začínajú vynárať vetvy. Každá vetva má na svojom začiatku rovnakú štruktúru ako kmeň – z hľadiska geometrie valcovú. Zmenila sa ale štruktúra celého stromu. Stalo sa to oveľa zložitejšie.

Teraz sa pozrime na tieto vetvy. Vybiehajú z nich menšie konáre. Na svojej základni majú rovnaký mierne zdeformovaný valcový tvar. Ako ten istý kufor. A potom z nich odchádzajú oveľa menšie ratolesti. Atď.

Strom sa reprodukuje na každej úrovni. Zároveň sa jeho štruktúra neustále stáva zložitejšou, ale zostáva sama sebe podobná. Nie je to fraktál?

Obeh

Tu je ľudský obehový systém. Má tiež fraktálovú štruktúru. Existujú tepny a žily. Podľa jedného z nich krv prichádza do srdca (žily), podľa iných z neho (tepny). A potom sa obehový systém začne podobať tomu istému stromu, o ktorom sme hovorili vyššie. Cievy sa pri zachovaní ich štruktúry stenčujú a sú rozvetvenejšie. Prenikajú do najodľahlejších oblastí nášho tela, privádzajú kyslík a ďalšie životne dôležité zložky do každej bunky. Toto je typická fraktálna štruktúra, ktorá sa reprodukuje v stále menších mierkach.

Riečne odtoky

"Z diaľky dlho tečie rieka Volga." Na geografickej mape je to taká modrá kľukatá čiara. No, hlavné prítoky sú označené. Dobre, Kama. Čo ak oddialime? Ukazuje sa, že tieto prítoky sú oveľa väčšie. Nielen pri samotnej Volge, ale aj pri rieke Oka a Kama. A majú svoje prítoky, len menšie. A tie majú svoje. Objaví sa štruktúra, ktorá je prekvapivo podobná ľudskému obehovému systému. A opäť vyvstáva otázka. Aký je rozsah celého tohto vodného systému? Ak zmeriate dĺžku iba hlavného kanála, všetko je jasné. Môžete si to prečítať v ktorejkoľvek učebnici. Čo ak sa všetko meria? Opäť v limite sa získa nekonečno.

Náš vesmír

Samozrejme, v rozsahu miliárd svetelných rokov je vesmír usporiadaný jednotne. Poďme sa však na to pozrieť bližšie. A potom uvidíme, že v tom nie je žiadna homogénnosť. Niekde sú galaxie (hviezdokopy), niekde je prázdnota. prečo? Prečo sa rozloženie hmoty riadi nepravidelnými hierarchickými zákonmi. A čo sa deje vo vnútri galaxií (ďalšie oddialenie). Niekde je hviezd viac, niekde menej. Niekde sú planetárne systémy, ako v našej slnečnej sústave, ale niekde nie.

Neprejavuje sa tu fraktálová podstata sveta? Teraz je, samozrejme, obrovská priepasť medzi všeobecnou teóriou relativity, ktorá vysvetľuje vznik nášho vesmíru a jeho štruktúru, a fraktálovou matematikou. Ale kto vie? Snáď sa to všetko raz dostane do „spoločného menovateľa“ a my sa budeme na priestor okolo seba pozerať úplne inými očami.

K praktickým veciam

Takýchto príkladov možno uviesť veľa. Vráťme sa však k prozaickejším veciam. Vezmime si napríklad ekonomiku. Zdalo by sa, a tu sú fraktály. Ukazuje sa, že veľmi. Príkladom toho sú akciové trhy.

Prax ukazuje, že ekonomické procesy sú často chaotické a nepredvídateľné. Dodnes existujúce matematické modely, ktoré sa snažili tieto procesy opísať, nezohľadňovali jeden veľmi dôležitý faktor – schopnosť trhu sa samoorganizovať.

Tu prichádza na pomoc teória fraktálov, ktoré majú vlastnosti „samoorganizácie“ a reprodukujú sa na úrovni rôznych mierok. Samozrejme, fraktál je čisto matematický objekt. A v prírode a v ekonomike neexistujú. Existuje však koncept fraktálnych javov. Sú to fraktály iba v štatistickom zmysle. Napriek tomu symbióza fraktálnej matematiky a štatistiky umožňuje získať dostatočne presné a adekvátne prognózy. Tento prístup je obzvlášť účinný pri analýze akciových trhov. A to nie sú „predstavy“ matematikov. Expertné údaje ukazujú, že mnohí účastníci akciových trhov míňajú veľa peňazí na zaplatenie špecialistov v oblasti fraktálnej matematiky.

Čo dáva teória fraktálov? Predpokladá všeobecnú, globálnu závislosť cien od toho, čo sa stalo v minulosti. Samozrejme, miestne proces tvorby cien je náhodný. Náhodné skoky a poklesy cien, ku ktorým môže dôjsť na chvíľu, majú však tú zvláštnosť, že sa zhromažďujú v zhlukoch. Ktoré sa reprodukujú vo veľkom meradle času. Preto analýzou toho, čo bolo kedysi, môžeme predpovedať, ako dlho bude trvať ten či onen trend vývoja trhu (rast alebo pokles).

V celosvetovom meradle sa teda ten či onen trh „reprodukuje“ sám. Za predpokladu náhodných výkyvov spôsobených množstvom vonkajších faktorov v každom konkrétnom časovom okamihu. Globálne trendy však pretrvávajú.

Záver

Prečo je svet usporiadaný podľa fraktálového princípu? Odpoveď je možno taká, že fraktály ako matematický model majú vlastnosť samoorganizácie a sebapodobnosti. Zároveň je každá z ich foriem (pozri obrázky uvedené na začiatku článku) svojvoľne zložitá, ale žije si svoj vlastný život a rozvíja podobné formy. Takto náš svet nefunguje?

A tu je spoločnosť. Objaví sa nejaký nápad. Najprv dosť abstraktné. A potom „preniká medzi masy“. Áno, nejako sa to mení. Ale vo všeobecnosti je zachovaná. A mení sa na úrovni väčšiny ľudí na cieľové označenie životnej cesty. Tu je ten istý ZSSR. Nasledujúci zjazd CPSU prijal ďalšie prelomové rozhodnutia a všetko išlo z kopca. V menšom meradle. Mestské výbory, stranícke výbory. A tak ďalej pre každého človeka. opakujúca sa štruktúra.

Samozrejme, teória fraktálov nám neumožňuje predpovedať budúce udalosti. A to je sotva možné. Ale veľa z toho, čo nás obklopuje a čo sa deje v našom každodennom živote, nám umožňuje pozerať sa úplne inými očami. Pri vedomí.

OBECNÝ ROZPOČET VŠEOBECNÁ ŠKOLA STREDNÁ VŠEOBECNÁ ŠKOLA

od. Mečetnoje

Vedecko-praktická konferencia "Úžasný svet matematiky"

Výskumná práca „Cesta do sveta fraktálov“

Vyplnil: žiak 10. ročníka

Allahverdieva Nailya

Vedúci: Davydová E.V.

1. 
   Úvod.
2. 
   Hlavná časť:

a) Pojem fraktál;

b) História vzniku fraktálov;

c) Klasifikácia fraktálov;

d) Aplikácia fraktálov;

e) Fraktály v prírode;

f) Farby fraktálov.

3. Záver.

Úvod.

Čo sa skrýva za tajomným pojmom „fraktál“? Pravdepodobne sa pre mnohých tento pojem spája s krásnymi obrázkami, zložitými vzormi a živými obrázkami vytvorenými pomocou počítačovej grafiky. Ale fraktály nie sú ľahké krásne obrázky. Sú to špeciálne štruktúry, ktoré sú základom všetkého, čo nás obklopuje. Fraktály, ktoré vtrhli do vedeckého sveta len pred niekoľkými desaťročiami, dokázali urobiť skutočnú revolúciu vo vnímaní okolitej reality. Pomocou fraktálov môže človek vytvárať vysoko presné matematické modely prírodných objektov, systémov, procesov a javov.

Hlavná časť
Koncept fraktálu.

fraktál(z lat. fractus- rozdrvený, zlomený, zlomený) - zložitý geometrický útvar, ktorý má vlastnosť sebapodobnosti, to znamená, že sa skladá z niekoľkých častí, z ktorých každá je podobná celej postave ako celku. Mnohé objekty v prírode majú fraktálne vlastnosti, ako sú pobrežia, oblaky, koruny stromov, obehový systém a alveolárny systém ľudí alebo zvierat.

Fraktály, najmä v lietadle, sú obľúbené pre svoju kombináciu krásy a jednoduchosti konštrukcie s počítačom.

História stvorenia.
Francúzskemu matematikovi Benoitovi Mandelbrotovi, vedcovi, ktorý je dnes uznávaný ako otec fraktálnej geometrie, sa podarilo posunúť vedu o fraktáloch na novú úroveň. Mandelbrot prvýkrát definoval pojem „fraktál“:

Citovať

"Fraktál je štruktúra pozostávajúca z častí, ktoré sú v istom zmysle podobné celku."
V 70. rokoch pracoval Benoit Mandelbrot ako matematický analytik v IBM. Vedec prvýkrát premýšľal o fraktáloch v procese štúdia šumu v elektronických sieťach. Rušenie v prenose dát bolo na prvý pohľad absolútne chaotické. Mandelbrot vykreslil výskyt chýb a bol prekvapený, keď zistil, že v akomkoľvek časovom rámci vyzerali všetky fragmenty rovnako. Na stupnici týždňa sa zvuky objavili v rovnakom poradí ako na stupnici jedného dňa, hodiny alebo minúty. Mandelbrot si uvedomil, že frekvencia chýb pri prenose dát je rozložená v čase podľa princípu, ktorý stanovil Cantor na konci 19. storočia. Potom sa Benoit Mandelbrot začal vážne zaujímať o štúdium fraktálov.
Na rozdiel od svojich predchodcov Mandelbrot na vytváranie fraktálov nepoužíval geometrické konštrukcie, ale algebraické transformácie rôznej zložitosti. Matematik použil metódu reverznej iterácie, ktorá zahŕňa opakovaný výpočet tej istej funkcie. Pomocou schopností počítača matematik vykonal obrovské množstvo sekvenčných výpočtov, ktorých výsledky graficky zobrazil v komplexnej rovine. Takto sa objavila Mandelbrotova množina - komplexný algebraický fraktál, ktorý je dnes považovaný za klasiku vedy o fraktáloch. V niektorých prípadoch možno ten istý objekt považovať za hladký aj fraktálový. Na vysvetlenie, prečo sa to deje, Mandelbrot poskytuje zaujímavý názorný príklad. Guľôčka vlnených nití v určitej vzdialenosti vyzerá ako bod s rozmerom 1. Guľa umiestnená v blízkosti vyzerá ako dvojrozmerný disk. Keď ho vezmete do rúk, môžete jasne cítiť objem lopty - teraz je vnímaná ako trojrozmerná. A guľu fraktálu možno považovať len z pohľadu pozorovateľa pomocou zväčšovacieho zariadenia alebo muchy, ktorá pristála na povrchu nerovnej vlnenej nite. Preto skutočná fraktálnosť objektu závisí od uhla pohľadu pozorovateľa a od rozlíšenia použitého nástroja.
Mandelbrot zaznamenal zaujímavý vzor - čím bližšie sa pozriete na meraný objekt, tým bude jeho hranica rozšírenejšia. Túto vlastnosť možno názorne preukázať meraním dĺžky jedného z prírodných fraktálov – pobrežia. Meraním na geografickej mape môžete získať približnú hodnotu dĺžky, pretože sa nebudú brať do úvahy všetky hrbole a ohyby. Ak sa meranie vykonáva s prihliadnutím na všetky nerovnosti reliéfu viditeľné z výšky ľudského rastu, výsledok bude trochu iný - dĺžka pobrežia sa výrazne zvýši. A ak si teoreticky predstavíte, že meracie zariadenie obíde nepravidelnosti každého kamienku, tak v tomto prípade bude dĺžka pobrežia takmer nekonečná.
Klasifikácia fraktálov.

Fraktály sa delia na:

geometrické: fraktály tejto triedy sú najviditeľnejšie, je v nich okamžite viditeľná sebapodobnosť. História fraktálov sa začala práve geometrickými fraktálmi, ktoré študovali matematici v 19. storočí.

algebraické: táto skupina fraktálov dostala svoje meno, pretože fraktály sa tvoria pomocou jednoduchých algebraických vzorcov.

stochastický: vzniká v prípade náhodnej zmeny v iteračnom procese fraktálnych parametrov. Dvojrozmerné stochastické fraktály sa používajú pri modelovaní terénu a hladiny mora.

geometrické fraktály

Práve nimi sa začala história fraktálov. Tento typ fraktálov sa získava jednoduchými geometrickými konštrukciami. Väčšinou sa pri konštrukcii týchto fraktálov postupuje nasledovne: vezme sa „semienko“ – axióma – množina segmentov, na základe ktorých sa fraktál postaví. Ďalej sa na toto „semeno“ aplikuje súbor pravidiel, ktoré ho premenia na nejaký geometrický útvar. Ďalej, rovnaký súbor pravidiel sa opäť aplikuje na každú časť tohto obrázku. Každým krokom bude obrazec čoraz zložitejší a ak vykonáme (aspoň v mysli) nekonečné množstvo transformácií, dostaneme geometrický fraktál. Klasické príklady geometrických fraktálov: Kochova snehová vločka, Liszt, Sierpinského trojuholník, Dračia lomená čiara (Príloha 1).

Algebraické fraktály

Druhá veľká skupina fraktálov je algebraická (príloha 2). Dostali svoje meno, pretože sú postavené na základe algebraických vzorcov, niekedy veľmi jednoduchých. Existuje niekoľko metód na získanie algebraických fraktálov.

Bohužiaľ, mnohé z pojmov ročníka 10-11, ktoré súvisia s komplexnými číslami, ktoré sú potrebné na vysvetlenie konštrukcie fraktálu, sú mi neznáme a sú stále ťažko pochopiteľné, preto ich nemôžem podrobne opísať konštrukcie fraktálov tohto typu.

Spočiatku je fraktálna povaha čierna a biela, ale ak pridáte trochu fantázie a farby, môžete získať skutočné umelecké dielo.

Stochastické fraktály

Typickým predstaviteľom tejto triedy fraktálov je „Plazma“ (príloha 3). Aby sme ho postavili, zoberme si obdĺžnik a definujme farbu pre každý z jeho rohov. Ďalej nájdeme stredový bod obdĺžnika a zafarbíme ho farbou rovnajúcou sa aritmetickému priemeru farieb v rohoch obdĺžnika plus nejaké náhodné číslo. Čím väčšie je náhodné číslo, tým viac bude vzor „roztrhaný“. Ak teraz povieme, že farbou bodu je nadmorská výška, namiesto plazmy dostaneme pohorie. Práve na tomto princípe sú hory modelované vo väčšine programov. Pomocou algoritmu podobného plazme sa zostaví výšková mapa, aplikujú sa na ňu rôzne filtre, aplikuje sa textúra a fotorealistické hory sú pripravené!

Aplikácia fraktálov

Dokonca aj dnes sú fraktály široko používané v širokej škále oblastí. Smer fraktálnej archivácie grafických informácií sa aktívne rozvíja. Teoreticky môže archivácia fraktálov komprimovať obrázky až na veľkosť bodu bez straty kvality. Pri zväčšovaní obrázkov komprimovaných podľa fraktálového princípu sú zreteľne zobrazené najmenšie detaily a úplne chýba zrnitý efekt.

Princípy fraktálnej teórie sa používajú v medicíne na analýzu elektrokardiogramov, pretože srdcová frekvencia je tiež fraktál. Smer výskumu obehového systému a iné interné systémy Ľudské telo. V biológii sa fraktály používajú na modelovanie procesov vyskytujúcich sa v populáciách.
Meteorológovia využívajú fraktálne závislosti na analýzu intenzity pohybu vzdušných hmôt, čo umožňuje presnejšie predpovedať zmeny počasia. Fyzika fraktálnych médií úspešne rieši problémy štúdia dynamiky zložitých turbulentných prúdov, adsorpčných a difúznych procesov. V petrochemickom priemysle sa fraktály používajú na modelovanie poréznych materiálov. Teória fraktálov sa efektívne uplatňuje pri práci na finančných trhoch. Fraktálna geometria sa používa na vytvorenie výkonných anténnych zariadení.
Teória fraktálov je dnes samostatným vedným odborom, na základe ktorého vzniká stále viac nových smerov v rôznych oblastiach. Význam fraktálov bol predmetom mnohých vedeckých prác.

Ale tieto nezvyčajné predmety sú nielen mimoriadne užitočné, ale aj neuveriteľne krásne. Preto si fraktály postupne nachádzajú svoje miesto v umení. Ich úžasná estetická príťažlivosť inšpiruje mnohých umelcov k tvorbe fraktálnych malieb. Moderní skladatelia vytvárajú hudobné diela pomocou elektronických nástrojov s rôznymi fraktálovými charakteristikami. Spisovatelia používajú fraktálnu štruktúru na formovanie svojich literárnych diel a dizajnéri vytvárajú fraktálne kusy nábytku a interiéru.

Fraktalita v prírode

V roku 1977 vyšla Mandelbrotova kniha „Fractals: Form, Randomness and Dimension“ a v roku 1982 vyšla ďalšia monografia – „The Fractal Geometry of Nature“, na stránkach ktorej autor demonštroval názorné príklady rôznych fraktálových množín a poskytol dôkazy pre existenciu fraktálov v prírode. Mandelbrot vyjadril hlavnú myšlienku teórie fraktálov nasledujúcimi slovami:

"Prečo sa geometria často nazýva studená a suchá? Jedným z dôvodov je, že nedokáže presne opísať tvar oblaku, hory, stromu alebo pobrežia. Oblaky nie sú gule, pobrežia nie sú kruhy a kôra nie je hladká." a blesky sa nepohybujú v priamom smere. Príroda nám ukazuje nielen vyšší stupeň, ale aj úplne inú úroveň zložitosti. Počet rôznych dĺžkových mierok v štruktúrach je vždy nekonečný. Existencia týchto štruktúr je výzvou nás s ťažkou úlohou študovať tie formy, ktoré Euklides zavrhol ako beztvaré, máme za úlohu skúmať morfológiu amorfného. Matematici však na túto výzvu pokrčili ramenami a rozhodli sa stále viac vzďaľovať od prírody a vymýšľať teórie, ktoré nezodpovedajú ničomu, čo je možné vidieť alebo cítiť."

Mnoho prírodných objektov má vlastnosti fraktálnej množiny (príloha 4).

Sú fraktály skutočne univerzálnymi štruktúrami, ktoré boli brané ako základ pre vytvorenie úplne všetkého, čo na tomto svete existuje? Tvar mnohých prírodných objektov je čo najbližšie k fraktálom. Ale nie všetky fraktály existujúce na svete majú takú pravidelnú a nekonečne sa opakujúcu štruktúru ako množiny vytvorené matematikmi. Pohoria, povrchy kovových zlomov, turbulentné prúdenie, oblaky, pena a mnohé, mnohé ďalšie prírodné fraktály nemajú ideálne presnú sebapodobnosť. A bolo by absolútne nesprávne veriť, že fraktály sú univerzálnym kľúčom ku všetkým tajomstvám vesmíru. Napriek všetkej zdanlivej zložitosti sú fraktály len zjednodušeným modelom reality. Ale spomedzi všetkých dnes dostupných teórií sú fraktály tým najpresnejším prostriedkom na opis sveta okolo nás.

Sú fraktály skutočne univerzálnymi štruktúrami, ktoré boli brané ako základ pre vytvorenie úplne všetkého, čo na tomto svete existuje? Tvar mnohých prírodných objektov je čo najbližšie k fraktálom. Ale nie všetky fraktály existujúce na svete majú takú pravidelnú a nekonečne sa opakujúcu štruktúru ako množiny vytvorené matematikmi. Pohoria, povrchy kovových zlomov, turbulentné prúdenie, oblaky, pena a mnohé, mnohé ďalšie prírodné fraktály nemajú ideálne presnú sebapodobnosť. A bolo by absolútne nesprávne veriť, že fraktály sú univerzálnym kľúčom ku všetkým tajomstvám vesmíru. Napriek všetkej zdanlivej zložitosti sú fraktály len zjednodušeným modelom reality. Ale spomedzi všetkých dnes dostupných teórií sú fraktály tým najpresnejším prostriedkom na opis sveta okolo nás.
fraktálne farby

Krásu fraktálom dodávajú ich jasné a chytľavé farby. Komplexné farebné schémy robia fraktály krásnymi a nezabudnuteľnými. Z matematického hľadiska sú fraktály čiernobiele objekty, z ktorých každý bod buď patrí do množiny, alebo nepatrí. Schopnosti moderných počítačov však umožňujú urobiť fraktály farebnými a jasnými. A to nie je jednoduché sfarbenie susedných oblastí súpravy v ľubovoľnom poradí.

Analýzou hodnoty každého bodu program automaticky určí odtieň konkrétneho fragmentu. Body, kde funkcia nadobúda konštantnú hodnotu, sú zobrazené čiernou farbou. Ak hodnota funkcie smeruje k nekonečnu, potom je bod natretý inou farbou. Intenzita farbenia závisí od rýchlosti približovania sa k nekonečnu. Čím viac opakovaní je potrebných na priblíženie bodu k stabilnej hodnote, tým svetlejší bude jeho odtieň. A naopak - body, ktoré sa rýchlo ponáhľajú do nekonečna, sú namaľované v jasných a nasýtených farbách.
Záver

Keď prvýkrát počujete o fraktáloch, zaujíma vás, čo to je?

Na jednej strane je to zložitý geometrický útvar, ktorý má vlastnosť sebapodobnosti, to znamená, že sa skladá z niekoľkých častí, z ktorých každá je podobná celej postave.

Tento koncept uchvacuje svojou krásou a tajomnosťou, ktorá sa prejavuje v tých najneočakávanejších oblastiach: meteorológia, filozofia, geografia, biológia, mechanika a dokonca aj história.

V prírode je takmer nemožné nevidieť fraktál, pretože takmer každý objekt (oblaky, hory, pobrežie atď.) má fraktálovú štruktúru. Väčšina webdizajnérov, programátorov má svoju vlastnú galériu fraktálov (výnimočne krásnych).

V skutočnosti nám fraktály otvárajú oči a umožňujú nám pozrieť sa na matematiku z inej perspektívy. Zdalo by sa, že bežné výpočty sa robia s obyčajnými „suchými“ číslami, ale to nám dáva jedinečné výsledky vlastným spôsobom, čo nám umožňuje cítiť sa ako tvorca prírody. Fraktály objasňujú, že matematika je tiež vedou o kráse.

Jeho projektová práca Chcel som hovoriť o celkom novom koncepte "fraktálu" v matematike. Čo to je, aké typy existujú, kde sú distribuované. Naozaj dúfam, že vás fraktály zaujali. Napokon, ako sa ukázalo, fraktály sú celkom zaujímavé a sú takmer na každom kroku.

Bibliografia

• 
  http://ru.wikipedia.org/wiki
• 
  http://www.metaphor.ru/er/misc/fractal_gallery.xml
• 
  http://fractals.narod.ru/
• 
  http://rusproject.narod.ru/article/fractals.htm
• 
  Bondarenko V.A., Dolnikov V.L. Kompresia fraktálov podľa Barnsley-Sloana. // Automatizácia a telemechanika.-1994.-N5.-str.12-20.
• 
  Vatolin D. Použitie fraktálov v počítačovej grafike. // Počítačový svet-Rusko.-1995.-N15.-str.11.
• 
  Feder E. Fraktály. Za. z angl.-M.: Mir, 1991.-254s. (Jens Feder, Plenum Press, New York, 1988)
• 
  Aplikácia fraktálov a chaosu. 1993, Springer-Verlag, Berlín.

Príloha 1

Dodatok 2

príloha 3

Dodatok 4

Ako bol objavený fraktál

Matematické formy známe ako fraktály patria ku genialite významného vedca Benoita Mandelbrota. Väčšinu svojho života vyučoval matematiku na Yale University v Spojených štátoch. V rokoch 1977 - 1982 publikoval Mandelbrot vedecké práce venované štúdiu „fraktálnej geometrie“ alebo „geometrie prírody“, v ktorých rozložil zdanlivo náhodné matematické formy na jednotlivé prvky, ktoré sa pri bližšom skúmaní ukázali ako opakujúce sa, čo dokázalo existencia určitého vzoru na kopírovanie. Mandelbrotov objav mal významné dôsledky vo vývoji fyziky, astronómie a biológie.

fraktály v prírode

V prírode má veľa objektov fraktálne vlastnosti, napr.: koruny stromov, karfiol, oblaky, obehový a alveolárny systém ľudí a zvierat, kryštály, snehové vločky, ktorých prvky sú usporiadané do jednej komplexnej štruktúry, pobrežia (fraktálny koncept umožňoval vedci na meranie pobrežia Britských ostrovov a iných predtým nemerateľných objektov).

Zvážte štruktúru karfiolu. Ak odrežete jeden z kvetov, je zrejmé, že v rukách zostáva rovnaký karfiol, len v menšej veľkosti. Môžeme krájať znova a znova, dokonca aj pod mikroskopom - ale všetko, čo dostaneme, sú malé kópie karfiolu. V tomto najjednoduchšom prípade aj malá časť fraktálu obsahuje informácie o celej výslednej štruktúre.

Fraktály v digitálnej technológii

Fraktálna geometria neoceniteľne prispela k rozvoju nových technológií v oblasti digitálnej hudby a tiež umožnila komprimovať digitálne obrázky. Existujúce algoritmy kompresie fraktálnych obrázkov sú založené na princípe ukladania komprimovaného obrázka namiesto samotného digitálneho obrázka. Pri komprimovanom obrázku zostáva hlavný obrázok pevným bodom. Microsoft použil jeden z variantov tohto algoritmu pri vydávaní svojej encyklopédie, ale z jedného alebo druhého dôvodu rozšírené tento nápad nebol prijatý.

Matematickým základom fraktálnej grafiky je fraktálna geometria, kde metódy konštrukcie „obrázkov-následníkov“ sú založené na princípe dedenia od pôvodných „objektov-rodičov“. Samotné koncepty fraktálnej geometrie a fraktálnej grafiky sa objavili len asi pred 30 rokmi, ale už sa pevne udomácnili v každodennom živote počítačových dizajnérov a matematikov.

Základné koncepty fraktálnej počítačovej grafiky sú:

• Fraktálny trojuholník - fraktálny obrazec - fraktálny objekt (hierarchia v zostupnom poradí)
• fraktálna čiara
• fraktálne zloženie
• "Rodičovský objekt" a "Nástupný objekt"

Rovnako ako vo vektorovej a 3D grafike je vytváranie fraktálnych obrázkov matematicky vypočítateľné. Hlavný rozdiel oproti prvým dvom typom grafiky je v tom, že fraktálny obrázok je zostavený podľa rovnice alebo sústavy rovníc – na vykonanie všetkých výpočtov nie je potrebné uložiť do pamäte počítača nič viac ako vzorec – a taký kompaktný matematický aparát umožnil využitie tejto myšlienky v počítačovej grafike. Jednoduchou zmenou koeficientov rovnice môžete ľahko získať úplne iný fraktálny obraz - pomocou niekoľkých matematických koeficientov sú špecifikované povrchy a čiary veľmi zložitého tvaru, čo vám umožňuje implementovať také kompozičné techniky, ako sú horizontály a vertikály. , symetria a asymetria, diagonálne smery a oveľa viac.

Ako vytvoriť fraktál?

Tvorca fraktálov plní úlohu umelca, fotografa, sochára a vedca-vynálezcu zároveň. Aké sú fázy vytvárania výkresu od začiatku?

• nastavte tvar obrázka pomocou matematického vzorca
• skúmať konvergenciu procesu a meniť jeho parametre
• vyberte typ obrázka
• vyberte si farebnú paletu

Medzi fraktálne grafické editory a ďalšie grafické programy patria:

• "Umelecký dabér"
• "Maliar" (bez počítača žiadny umelec nikdy nedosiahne možnosti stanovené programátormi iba s pomocou ceruzky a štetcového pera)
• "Adobe Photoshop" (ale tu nie je obrázok vytvorený od začiatku, ale spravidla iba spracovaný)

Zvážte usporiadanie ľubovoľného fraktálneho geometrického útvaru. V jeho strede je najjednoduchší prvok - rovnostranný trojuholník, ktorý dostal rovnaký názov: "fraktál". Na strednom segmente strán zostrojíme rovnostranné trojuholníky so stranou rovnajúcou sa jednej tretine strany pôvodného fraktálneho trojuholníka. Na rovnakom princípe sa stavajú ešte menšie trojuholníky - dedičia druhej generácie - a tak ďalej do nekonečna. Výsledný objekt sa nazýva „fraktálny obrazec“, z ktorého sekvencií získame „fraktálnu kompozíciu“.

Zdroj: http://www.iknowit.ru/

Fraktály a staroveké mandaly

Toto je mandala na prilákanie peňazí. Červená vraj funguje ako magnet na peniaze. Pripomínajú vám niečo zdobené vzory? Zdali sa mi veľmi povedomé a začal som študovať mandaly ako fraktál.

Mandala je v zásade geometrickým symbolom komplexnej štruktúry, ktorá sa interpretuje ako model vesmíru, „mapa vesmíru“. Tu je prvý príznak fraktality!

Sú vyšívané na látke, maľované na piesku, vyrobené z farebných práškov a vyrobené z kovu, kameňa a dreva. Jasný a očarujúci vzhľad, robí to krásna dekorácia podlahy, steny a stropy chrámov v Indii. V staroindickom jazyku „mandala“ znamená mystický kruh vzťahu medzi duchovnými a hmotnými energiami Vesmíru, alebo iným spôsobom kvet života.

Chcel som napísať veľmi krátku recenziu fraktálových mandál s minimom odsekov, ktoré ukazujú, že vzťah jednoznačne existuje. Pri pokuse nájsť a prepojiť informácie o fraktáloch a mandalách do jedného celku som však mal pocit kvantového skoku do neznámeho priestoru.

Rozsiahlosť tejto témy demonštrujem citátom: „Takéto fraktálne kompozície či mandaly sa dajú použiť ako vo forme obrazov, dizajnových prvkov obytných a pracovných priestorov, nositeľných amuletov, tak vo forme videokaziet, počítačových programov... Vo všeobecnosti je téma pre štúdium fraktálov jednoducho obrovská.

Jedno môžem povedať s istotou, že svet je oveľa rozmanitejší a bohatší ako úbohé predstavy našej mysle o ňom.

Fraktálne morské živočíchy

Moje dohady o fraktálových morských živočíchoch neboli neopodstatnené. Tu sú prví zástupcovia. Chobotnica je živočích morského dna z radu hlavonožcov.

Pri pohľade na túto fotografiu mi bola zrejmá fraktálna štruktúra jeho tela a prísavky na všetkých ôsmich chápadlách tohto zvieraťa. Prísavky na chápadlách dospelej chobotnice dosahujú až 2000.

Zaujímavosťou je, že chobotnica má tri srdcia: jedno (hlavné) poháňa modrú krv po celom tele a ďalšie dve - žiabre - tlačia krv cez žiabre. Niektoré typy týchto hlbokomorských fraktálov sú jedovaté.

Tým, že sa chobotnica prispôsobuje a maskuje svojmu prostrediu, má veľmi užitočnú schopnosť meniť farbu.

Chobotnice sú považované za najinteligentnejšie spomedzi všetkých bezstavovcov. Poznajú ľudí, zvyknú si na tých, ktorí ich kŕmia. Bolo by zaujímavé pozrieť sa na chobotnice, ktoré sa ľahko trénujú dobrá pamäť a dokonca rozlišovať geometrické tvary. Ale vek týchto fraktálových zvierat nie je dlhý - maximálne 4 roky.

Človek používa atrament tohto živého fraktálu a iných hlavonožcov. Umelcami sú vyhľadávané pre ich trvácnosť a krásny hnedý tón. V stredomorskej kuchyni je chobotnica zdrojom vitamínov B3, B12, draslíka, fosforu a selénu. Ale myslím si, že tieto morské fraktály musia vedieť variť, aby sa mohli tešiť z ich použitia ako jedla.

Mimochodom, treba poznamenať, že chobotnice sú predátori. Svojimi fraktálovými chápadlami držia korisť v podobe mäkkýšov, kôrovcov a rýb. Je škoda, ak sa takýto krásny mäkkýš stane potravou týchto morských fraktálov. Podľa mňa je to aj typický predstaviteľ fraktálov morského kráľovstva.

Toto je príbuzný slimákov, ulitník mäkkýše Glaucus, aka Glaucus, aka Glaucus atlanticus, aka Glaucilla marginata. Tento fraktál je tiež nezvyčajný v tom, že žije a pohybuje sa pod hladinou vody, pričom je držaný povrchovým napätím. Pretože mäkkýš je hermafrodit, potom po párení obaja "partneri" kladú vajíčka. Tento fraktál sa nachádza vo všetkých oceánoch tropického pásma.

Fraktály morskej ríše

Každý z nás aspoň raz v živote držal v rukách a skúmal morskú mušľu s nefalšovaným detským záujmom.

Mušle sú zvyčajne krásnym suvenírom, ktorý pripomína výlet do mora. Keď sa pozriete na tento špirálovitý útvar bezstavovcových mäkkýšov, niet pochýb o jeho fraktálnej povahe.

My ľudia sme trochu ako tieto mäkkýše s mäkkým telom, žijeme v pohodlných fraktálových betónových domoch, umiestňujeme a presúvame svoje telo v rýchlych autách.

Ďalším typickým predstaviteľom fraktálneho podmorského sveta je koral.
V prírode je známych viac ako 3 500 odrôd koralov, v palete ktorých sa rozlišuje až 350 farebných odtieňov.

Koral je materiálom kostry kolónie koralových polypov, tiež z čeľade bezstavovcových. Ich obrovské nahromadenia tvoria celé koralové útesy, ktorých fraktálny spôsob vzniku je zrejmý.

Koral s plnou dôverou možno nazvať fraktálom z morského kráľovstva.

Používa ho aj človek ako suvenír alebo surovinu na šperky a ozdoby. Ale je veľmi ťažké zopakovať krásu a dokonalosť fraktálnej prírody.

Nejako o tom nepochybujem podmorský svet nájdete tiež veľa fraktálových zvierat.

Keď som opäť raz v kuchyni vykonal rituál s nožom a doskou na krájanie a potom som nôž ponoril do studenej vody, znova som v slzách zisťoval, ako sa vysporiadať so slzným fraktálom, ktorý sa mi takmer denne objavuje pred očami.

Princíp fraktality je rovnaký ako u známej hniezdnej bábiky – hniezdenia. To je dôvod, prečo si fraktálnosť okamžite nevšimneme. Navyše, svetlá jednotná farba a jej prirodzená schopnosť vyvolávať nepríjemné pocity neprispievajú k podrobnému pozorovaniu vesmíru a identifikácii fraktálnych matematických vzorcov.

Šalátová cibuľa fialovej farby však vďaka svojej farbe a absencii slzných fytoncídov pripomenula prirodzenú fraktálnosť tejto zeleniny. Samozrejme, je to jednoduchý fraktál, obyčajné kruhy rôznych priemerov, dalo by sa povedať aj najprimitívnejší fraktál. Nezaškodilo by však pripomenúť, že lopta je považovaná za ideálnu geometrický obrazec v našom vesmíre.

Na internete bolo publikovaných veľa článkov o prospešných vlastnostiach cibule, no akosi sa nikto nepokúsil študovať tento prírodný exemplár z pohľadu fraktality. Môžem len konštatovať užitočnosť použitia fraktálu v podobe cibule v mojej kuchyni.

P.S. A už som si kúpil krájač zeleniny na sekanie fraktálu. Teraz sa musíte zamyslieť nad tým, aká fraktálna je taká zdravá zelenina, akou je obyčajná biela kapusta. Rovnaký princíp hniezdenia.

Fraktály v ľudovom umení

Moju pozornosť upútal príbeh svetoznámej hračky "Matryoshka". Pri bližšom pohľade môžeme s istotou povedať, že táto suvenírová hračka je typickým fraktálom.

Princíp fraktality je zrejmý, keď sú všetky figúrky drevenej hračky zoradené v rade a nie sú vnorené do seba.

Môj malý prieskum histórie výskytu tohto hračkárskeho fraktálu na svetovom trhu ukázal, že táto kráska má japonské korene. Matrioška bola vždy považovaná za originálny ruský suvenír. Ukázalo sa však, že bola prototypom japonskej figúrky starého mudrca Fukuruma, ktorý bol kedysi privezený do Moskvy z Japonska.

Ale bolo to ruské hračkárske remeslo, ktoré prinieslo svetovú slávu tejto japonskej figúrke. Odkiaľ sa vzala myšlienka fraktálneho hniezdenia hračky, pre mňa osobne zostalo záhadou. S najväčšou pravdepodobnosťou autor tejto hračky použil princíp hniezdenia figúrok do seba. A najjednoduchší spôsob, ako investovať, sú podobné postavy rôznych veľkostí, a to už je fraktál.

Nemenej zaujímavým predmetom štúdia je maľba fraktálnej hračky. Ide o dekoratívny obraz - Khokhloma. Tradičnými prvkami Khokhloma sú bylinné vzory kvetov, bobúľ a konárov.

Opäť všetky znaky fraktality. Koniec koncov, rovnaký prvok sa môže opakovať niekoľkokrát v rôznych verziách a pomeroch. Výsledkom je ľudová fraktálna maľba.

A ak nikoho neprekvapíte novodobým maľovaním počítačových myší, krytov notebookov a telefónov, tak fraktálne ladenie auta v ľudovom štýle je novinkou v automobilovom dizajne. Zostáva len prekvapiť, ako sa svet fraktálov v našom živote prejavuje takým nezvyčajným spôsobom v takých pre nás obyčajných veciach.

fraktály v kuchyni

Zakaždým, keď som karfiol nakrájal na malé ružičky na blanšírovanie vo vriacej vode, nikdy som nevenoval pozornosť zjavným znakom fraktality, kým som nemal tento exemplár v rukách.

Typický predstaviteľ fraktálu z flóry vychvaľoval sa na mojom kuchynskom stole.

Pri všetkej láske ku karfiolu som vždy narazil na exempláre s jednotným povrchom bez viditeľných známok fraktálnosti a ani veľké množstvo súkvetí vnorených do seba mi nedalo dôvod to vidieť zdravá zelenina fraktál.

Ale povrch tohto konkrétneho exempláru s výraznou fraktálnou geometriou nenechal nikoho na pochybách o fraktálnom pôvode tohto druhu kapusty.

Ďalší výlet do hypermarketu fraktálový status kapustnice len potvrdil. Medzi obrovským množstvom exotickej zeleniny bola celá krabica fraktálov. Bol to Romanescu, čiže románska brokolica, koralový karfiol.

Ukazuje sa, že dizajnéri a 3D umelci obdivujú jeho exotické tvary podobné fraktálom.

Púčiky kapusty rastú v logaritmickej špirále. Prvá zmienka o kapuste Romanescu pochádza z Talianska zo 16. storočia.

A brokolica vôbec nie je v mojom jedálničku častým hosťom, hoci obsahom živín a stopových prvkov mnohonásobne predčí karfiol. Jeho povrch a tvar sú ale také jednotné, že by mi ani nenapadlo v ňom vidieť rastlinný fraktál.

Fraktály v quillingu

Keď som videl prelamované remeslá pomocou techniky quilling, nikdy som neopustil pocit, že mi niečo pripomínajú. Opakovanie rovnakých prvkov v rôznych veľkostiach – samozrejme, ide o princíp fraktality.

Po zhliadnutí ďalšej quillingovej majstrovskej triedy už nebolo ani pochýb o fraktálnosti quillingu. Na výrobu rôznych prvkov pre remeslá z quillingu sa skutočne používa špeciálne pravítko s kruhmi rôznych priemerov. Pri všetkej kráse a originalite produktov je to neuveriteľne jednoduchá technika.

Takmer všetky základné prvky pre remeslá v quillingu sú vyrobené z papiera. Ak sa chcete zásobiť bezplatným papierom na quilling, skontrolujte si doma svoje police. Určite tam nájdete pár žiarivých lesklých časopisov.

Quillingové nástroje sú jednoduché a lacné. Všetko, čo potrebujete na amatérsku quillingovú prácu, nájdete vo svojich domácich papiernictvách.

A história quillingu sa začína v 18. storočí v Európe. V renesancii používali mnísi z francúzskych a talianskych kláštorov quilling na zdobenie obálok kníh a ani si neuvedomovali fraktálnosť techniky rolovania papiera, ktorú vynašli. Dievčatá z vysokej spoločnosti dokonca absolvovali kurz quillingu v špeciálnych školách. Takto sa táto technika začala šíriť po krajinách a kontinentoch.

Túto majstrovskú triedu video quillingu o vytváraní luxusného peria možno dokonca nazvať „fraktály typu „urob si sám“. Pomocou papierových fraktálov sa získavajú nádherné exkluzívne valentínske pohľadnice a mnoho ďalších zaujímavých vecí. Veď fantázia, podobne ako príroda, je nevyčerpateľná.

Nie je žiadnym tajomstvom, že Japonci sú v živote veľmi obmedzení v priestore, a preto musia v jeho efektívnom využití všemožne vynikať. Takeshi Miyakawa ukazuje, ako sa to dá urobiť efektívne a zároveň esteticky. Jeho fraktálový šatník potvrdzuje, že použitie fraktálov v dizajne nie je len poctou móde, ale aj harmonickým dizajnovým riešením v obmedzenom priestore.

Tento príklad využitia fraktálov v reálnom živote vo vzťahu k dizajnu nábytku mi ukázal, že fraktály sú skutočné nielen na papieri v matematických vzorcoch a počítačových programoch.

A zdá sa, že príroda využíva princíp fraktality všade. Stačí sa naň bližšie pozrieť a prejaví sa v celej svojej veľkolepej hojnosti a nekonečnosti bytia.