Oggi andiamo nel paese della Geometria, dove faremo conoscenza vari tipi triangoli.
Ritenere figure geometriche e trova tra questi gli “extra” (Fig. 1).
Riso. 1. Illustrazione per esempio
Vediamo che le figure n. 1, 2, 3, 5 sono quadrangoli. Ognuno di loro ha il suo nome (Fig. 2).
Riso. 2. Quadrilateri
Ciò significa che la figura "extra" è un triangolo (Fig. 3).
Riso. 3. Illustrazione per esempio
Un triangolo è una figura composta da tre punti che non giacciono sulla stessa linea retta e tre segmenti di linea che collegano questi punti a coppie.
I punti sono chiamati vertici del triangolo, segmenti - suo partiti. I lati del triangolo si formano Ci sono tre angoli ai vertici di un triangolo.
Le caratteristiche principali di un triangolo sono tre lati e tre angoli. I triangoli sono classificati in base all'angolo acuto, rettangolare e ottuso.
Un triangolo si dice ad angolo acuto se tutti e tre i suoi angoli sono acuti, cioè inferiori a 90° (Fig. 4).
Riso. 4. Triangolo acuto
Un triangolo si dice rettangolo se uno dei suoi angoli è 90° (Fig. 5).
Riso. 5. Triangolo rettangolo
Un triangolo si dice ottuso se uno dei suoi angoli è ottuso, cioè maggiore di 90° (Fig. 6).
Riso. 6. Triangolo ottuso
In base al numero di lati uguali, i triangoli sono equilateri, isoscele, scaleni.
Un triangolo isoscele è un triangolo in cui due lati sono uguali (Fig. 7).
Riso. 7. Triangolo isoscele
Questi lati sono chiamati laterale, Terzo lato - base. In un triangolo isoscele gli angoli alla base sono uguali.
I triangoli isoscele sono acuto e ottuso(Fig. 8) .
Riso. 8. Triangoli isoscele acuti e ottusi
Si chiama triangolo equilatero, in cui tutti e tre i lati sono uguali (Fig. 9).
Riso. 9. Triangolo equilatero
In un triangolo equilatero tutti gli angoli sono uguali. Triangoli equilateri sempre ad angolo acuto.
Un triangolo è chiamato versatile, in cui tutti e tre i lati hanno lunghezze diverse (Fig. 10).
Riso. 10. Triangolo scaleno
Completa il compito. Dividi questi triangoli in tre gruppi (Fig. 11).
Riso. 11. Illustrazione per il compito
Per prima cosa, distribuiamo in base alla dimensione degli angoli.
Triangoli acuti: n. 1, n. 3.
Triangoli rettangoli: #2, #6.
Triangoli ottusi: #4, #5.
Questi triangoli sono divisi in gruppi in base al numero di lati uguali.
Triangoli scaleni: n. 4, n. 6.
Triangoli isoscele: n. 2, n. 3, n. 5.
Triangolo equilatero: n. 1.
Rivedere i disegni.
Pensa a quale pezzo di filo è fatto ogni triangolo (fig. 12).
Riso. 12. Illustrazione per il compito
Puoi discutere in questo modo.
Il primo pezzo di filo è diviso in tre parti uguali, quindi puoi ricavarne un triangolo equilatero. È mostrato terzo nella figura.
Il secondo pezzo di filo è diviso in tre parti diverse, quindi puoi ricavarne un triangolo scaleno. Viene mostrato per primo nell'immagine.
Il terzo pezzo di filo è diviso in tre parti, dove le due parti hanno la stessa lunghezza, quindi puoi ricavarne un triangolo isoscele. È mostrato secondo nella foto.
Oggi nella lezione abbiamo conosciuto diversi tipi di triangoli.
Bibliografia
- MI. Moro, MA Bantova e altri Matematica: libro di testo. Grado 3: in 2 parti, parte 1. - M.: "Illuminismo", 2012.
- MI. Moro, MA Bantova e altri Matematica: libro di testo. Grado 3: in 2 parti, parte 2. - M.: "Illuminismo", 2012.
- MI. Moreau. Lezioni di matematica: Linee guida per l'insegnante. Livello 3 - M.: Istruzione, 2012.
- Documento normativo. Monitoraggio e valutazione dei risultati di apprendimento. - M.: "Illuminismo", 2011.
- "Scuola di Russia": programmi per scuola elementare. - M.: "Illuminismo", 2011.
- SI Volkov. Matematica: lavoro di prova. Livello 3 - M.: Istruzione, 2012.
- V.N. Rudnitskaja. Prove. - M.: "Esame", 2012.
- Nsportal.ru ().
- Prosv.ru ().
- Do.gendocs.ru ().
Compiti a casa
1. Termina le frasi.
a) Un triangolo è una figura che consiste di ..., non giacente sulla stessa retta, e ..., che collega questi punti a coppie.
b) I punti vengono chiamati … , segmenti - suo … . I lati di un triangolo si formano ai vertici di un triangolo ….
c) A seconda della dimensione dell'angolo, i triangoli sono ..., ..., ....
d) In base al numero di lati uguali, i triangoli sono ..., ..., ....
2. Disegna
ma) triangolo rettangolo;
b) un triangolo acuto;
c) un triangolo ottuso;
d) un triangolo equilatero;
e) triangolo scaleno;
e) un triangolo isoscele.
3. Fai un compito sull'argomento della lezione per i tuoi compagni.
Oggi andremo nel paese della geometria, dove conosceremo diversi tipi di triangoli.
Esamina le forme geometriche e trova l'"extra" tra di esse (Fig. 1).
Riso. 1. Illustrazione per esempio
Vediamo che le figure n. 1, 2, 3, 5 sono quadrangoli. Ognuno di loro ha il suo nome (Fig. 2).
Riso. 2. Quadrilateri
Ciò significa che la figura "extra" è un triangolo (Fig. 3).
Riso. 3. Illustrazione per esempio
Un triangolo è una figura composta da tre punti che non giacciono sulla stessa linea retta e tre segmenti di linea che collegano questi punti a coppie.
I punti sono chiamati vertici del triangolo, segmenti - suo partiti. I lati del triangolo si formano Ci sono tre angoli ai vertici di un triangolo.
Le caratteristiche principali di un triangolo sono tre lati e tre angoli. I triangoli sono classificati in base all'angolo acuto, rettangolare e ottuso.
Un triangolo si dice ad angolo acuto se tutti e tre i suoi angoli sono acuti, cioè inferiori a 90° (Fig. 4).
Riso. 4. Triangolo acuto
Un triangolo si dice rettangolo se uno dei suoi angoli è 90° (Fig. 5).
Riso. 5. Triangolo rettangolo
Un triangolo si dice ottuso se uno dei suoi angoli è ottuso, cioè maggiore di 90° (Fig. 6).
Riso. 6. Triangolo ottuso
In base al numero di lati uguali, i triangoli sono equilateri, isoscele, scaleni.
Un triangolo isoscele è un triangolo in cui due lati sono uguali (Fig. 7).
Riso. 7. Triangolo isoscele
Questi lati sono chiamati laterale, Terzo lato - base. In un triangolo isoscele gli angoli alla base sono uguali.
I triangoli isoscele sono acuto e ottuso(Fig. 8) .
Riso. 8. Triangoli isoscele acuti e ottusi
Si chiama triangolo equilatero, in cui tutti e tre i lati sono uguali (Fig. 9).
Riso. 9. Triangolo equilatero
In un triangolo equilatero tutti gli angoli sono uguali. Triangoli equilateri sempre ad angolo acuto.
Un triangolo è chiamato versatile, in cui tutti e tre i lati hanno lunghezze diverse (Fig. 10).
Riso. 10. Triangolo scaleno
Completa il compito. Dividi questi triangoli in tre gruppi (Fig. 11).
Riso. 11. Illustrazione per il compito
Per prima cosa, distribuiamo in base alla dimensione degli angoli.
Triangoli acuti: n. 1, n. 3.
Triangoli rettangoli: #2, #6.
Triangoli ottusi: #4, #5.
Questi triangoli sono divisi in gruppi in base al numero di lati uguali.
Triangoli scaleni: n. 4, n. 6.
Triangoli isoscele: n. 2, n. 3, n. 5.
Triangolo equilatero: n. 1.
Rivedere i disegni.
Pensa a quale pezzo di filo è fatto ogni triangolo (fig. 12).
Riso. 12. Illustrazione per il compito
Puoi discutere in questo modo.
Il primo pezzo di filo è diviso in tre parti uguali, quindi puoi ricavarne un triangolo equilatero. È mostrato terzo nella figura.
Il secondo pezzo di filo è diviso in tre parti diverse, quindi puoi ricavarne un triangolo scaleno. Viene mostrato per primo nell'immagine.
Il terzo pezzo di filo è diviso in tre parti, dove le due parti hanno la stessa lunghezza, quindi puoi ricavarne un triangolo isoscele. È mostrato secondo nella foto.
Oggi nella lezione abbiamo conosciuto diversi tipi di triangoli.
Bibliografia
- MI. Moro, MA Bantova e altri Matematica: libro di testo. Grado 3: in 2 parti, parte 1. - M.: "Illuminismo", 2012.
- MI. Moro, MA Bantova e altri Matematica: libro di testo. Grado 3: in 2 parti, parte 2. - M.: "Illuminismo", 2012.
- MI. Moreau. Lezioni di matematica: Linee guida per gli insegnanti. Livello 3 - M.: Istruzione, 2012.
- Documento normativo. Monitoraggio e valutazione dei risultati di apprendimento. - M.: "Illuminismo", 2011.
- "Scuola della Russia": programmi per la scuola elementare. - M.: "Illuminismo", 2011.
- SI Volkov. Matematica: lavoro di prova. Livello 3 - M.: Istruzione, 2012.
- V.N. Rudnitskaja. Prove. - M.: "Esame", 2012.
- Nsportal.ru ().
- Prosv.ru ().
- Do.gendocs.ru ().
Compiti a casa
1. Termina le frasi.
a) Un triangolo è una figura che consiste di ..., non giacente sulla stessa retta, e ..., che collega questi punti a coppie.
b) I punti vengono chiamati … , segmenti - suo … . I lati di un triangolo si formano ai vertici di un triangolo ….
c) A seconda della dimensione dell'angolo, i triangoli sono ..., ..., ....
d) In base al numero di lati uguali, i triangoli sono ..., ..., ....
2. Disegna
a) un triangolo rettangolo
b) un triangolo acuto;
c) un triangolo ottuso;
d) un triangolo equilatero;
e) triangolo scaleno;
e) un triangolo isoscele.
3. Fai un compito sull'argomento della lezione per i tuoi compagni.
Triangoloè un poligono con tre lati (o tre angoli). I lati di un triangolo sono spesso indicati da lettere minuscole, che corrispondono a lettere maiuscole indicando vertici opposti.
Triangolo acuto Un triangolo si dice se tutti e tre gli angoli sono acuti.
triangolo ottuso Un triangolo si dice se uno dei suoi angoli è ottuso.
triangolo rettangolo si chiama triangolo, in cui uno degli angoli è retto, cioè uguale a 90°; si chiamano i lati a, b che formano un angolo retto le gambe; si dice il lato c opposto all'angolo retto ipotenusa.
Triangolo isoscele viene chiamato un triangolo, in cui due dei suoi lati sono uguali (a \u003d c); questi lati uguali sono chiamati laterale, viene chiamata la terza parte la base del triangolo.
triangolo equilatero si chiama triangolo, in cui tutti i suoi lati sono uguali (a = b = c). Se nessuno dei suoi lati (abc) è uguale in un triangolo, allora lo è triangolo disuguale.
Proprietà di base dei triangoli
In qualsiasi triangolo:
Segni di uguaglianza dei triangoli
I triangoli sono congruenti se sono rispettivamente uguali:
Segni di uguaglianza dei triangoli rettangoli
Due triangoli rettangoli sono uguali se si verifica una delle seguenti condizioni:
Altezzatriangoloè una perpendicolare caduta da qualsiasi vertice al lato opposto (o alla sua continuazione). Questa parte è chiamata la base del triangolo. Le tre altezze di un triangolo si intersecano sempre in un punto, chiamato ortocentro del triangolo.
L'ortocentro di un triangolo acuto si trova all'interno del triangolo e l'ortocentro di un triangolo ottuso è all'esterno; L'ortocentro di un triangolo rettangolo coincide con il vertice dell'angolo retto.
Medianoè un segmento di linea che collega qualsiasi vertice di un triangolo con il punto medio del lato opposto. Le tre mediane di un triangolo si intersecano in un punto, che si trova sempre all'interno del triangolo ed è il suo centro di gravità. Questo punto divide ogni mediana 2:1 dall'alto.
Bisettriceè il segmento della bisettrice dell'angolo dal vertice al punto di intersezione con il lato opposto. Le tre bisettrici di un triangolo si intersecano in un punto, che si trova sempre all'interno del triangolo ed è il centro del cerchio inscritto. La bisettrice divide il lato opposto in parti proporzionali ai lati adiacenti.
Perpendicolare medianaè una perpendicolare disegnata dal punto medio del segmento (lato). Le tre perpendicolari mediane di un triangolo si intersecano in un punto, che è il centro del cerchio circoscritto.
IN triangolo acuto questo punto giace all'interno del triangolo, in un triangolo ottuso - all'esterno, in uno rettangolare - al centro dell'ipotenusa. L'ortocentro, il centro di gravità, il centro della circonferenza e il centro della circonferenza inscritta coincidono solo in un triangolo equilatero.
teorema di Pitagora
In un triangolo rettangolo il quadrato della lunghezza dell'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati delle lunghezze delle gambe.
Dimostrazione del teorema di Pitagora
Costruisci il quadrato AKMB usando l'ipotenusa AB come lato. Quindi estendiamo i lati del triangolo rettangolo ABC in modo da ottenere un quadrato CDEF il cui lato è a + b. È ora chiaro che l'area del quadrato CDEF è (a + b) 2. D'altra parte, quest'area è uguale alla somma delle aree di quattro triangoli rettangoli e del quadrato AKMB, cioè
c 2 + 4 (ab / 2) = c 2 + 2 ab,
c 2 + 2 ab = (a + b) 2,
ed infine abbiamo:
c 2 = un 2 + b 2 .
Proporzioni in un triangolo arbitrario
Nel caso generale (per un triangolo arbitrario) abbiamo:
c 2 \u003d a 2 + b 2 - 2 ab * cos C,
dove C è l'angolo tra i lati a e b.
- school-club.ru - quali sono i triangoli?
- math.ru - tipi di triangoli;
- raduga.rkc-74.ru - tutto sui triangoli per i più piccoli.
Notazione standard
Triangolo con vertici UN, B e C indicato come (vedi Fig.). Il triangolo ha tre lati:
Le lunghezze dei lati di un triangolo sono indicate in minuscolo con lettere latine(a,b,c):
Il triangolo ha i seguenti angoli:
Gli angoli ai vertici corrispondenti sono tradizionalmente indicati con lettere greche (α, β, γ).
Segni di uguaglianza dei triangoli
Un triangolo sul piano euclideo può essere definito in modo univoco (fino alla congruenza) dalle seguenti terzine di elementi di base:
- a, b, γ (uguaglianza su due lati e angolo compreso tra loro);
- a, β, γ (uguaglianza di lato e due angoli adiacenti);
- a, b, c (uguaglianza su tre lati).
Segni di uguaglianza dei triangoli rettangoli:
- lungo la gamba e l'ipotenusa;
- su due gambe;
- lungo la gamba e l'angolo acuto;
- ipotenusa e angolo acuto.
Alcuni punti del triangolo sono "accoppiati". Ad esempio, ci sono due punti da cui tutti i lati sono visibili con un angolo di 60° o con un angolo di 120°. Sono chiamati punti Torricelli. Ci sono anche due punti le cui proiezioni sui lati giacciono ai vertici di un triangolo regolare. Questo - punti di Apollonio. Punti e simili sono chiamati Punti Brocard.
Diretto
In ogni triangolo il baricentro, l'ortocentro e il centro della circonferenza circoscritta giacciono sulla stessa retta, detta linea di Eulero.
Si chiama la retta passante per il centro della circonferenza circoscritta e il punto di Lemoine Asse di Brokar. I punti di Apollonio giacciono su di esso. Sulla stessa retta giacciono anche le punte Torricelli e Lemoine. Le basi delle bisettrici esterne degli angoli di un triangolo giacciono sulla stessa retta, chiamata asse delle bisettrici esterne. Sulla stessa linea giacciono anche i punti di intersezione delle rette contenenti i lati dell'ortotriangolo con le rette contenenti i lati del triangolo. Questa linea è chiamata asse ortocentrico, è perpendicolare alla retta di Eulero.
Se prendiamo un punto sulla circonferenza circoscritta di un triangolo, le sue proiezioni sui lati del triangolo giaceranno su una retta, chiamata La linea retta di Simson dato punto. Le linee di Simson di punti diametralmente opposti sono perpendicolari.
triangoli
- Si chiama triangolo con i vertici alla base dei ceviani tracciato per un dato punto triangolo ceviano questo punto.
- Si dice triangolo con i vertici nelle proiezioni di un dato punto sui lati sotto la pelle o triangolo del pedale questo punto.
- Un triangolo con i vertici al secondo punto di intersezione delle rette tracciate per i vertici e il punto dato, con la circonferenza circoscritta, si dice triangolo ceviano. Un triangolo ceviano è simile a uno sottocutaneo.
cerchi
- Cerchio inscrittoè una circonferenza tangente a tutti e tre i lati del triangolo. Lei è l'unica. Viene chiamato il centro del cerchio inscritto in centro.
- Cerchio circoscritto- un cerchio passante per tutti e tre i vertici del triangolo. Anche il cerchio circoscritto è unico.
- Cerchia- un cerchio tangente ad un lato di un triangolo e l'estensione degli altri due lati. Ci sono tre di questi cerchi in un triangolo. Il loro centro radicale è il centro del cerchio inscritto del triangolo mediano, chiamato Il punto di Spieker.
I punti medi dei tre lati di un triangolo, le basi delle sue tre altezze e i punti medi dei tre segmenti di linea che collegano i suoi vertici all'ortocentro giacciono su un unico cerchio chiamato cerchio di nove punti o Circolo di Eulero. Il centro del cerchio di nove punti si trova sulla linea di Eulero. Un cerchio di nove punti tocca un cerchio inscritto e tre cerchi. Viene chiamato il punto di contatto tra una circonferenza inscritta e una circonferenza di nove punti Punto Feuerbach. Se da ogni vertice tracciamo triangoli su linee rette contenenti lati, ortesi uguali in lunghezza ai lati opposti, i sei punti risultanti giacciono su un cerchio - Cerchi di Conway. In ogni triangolo si possono inscrivere tre cerchi in modo tale che ciascuno di essi tocchi due lati del triangolo e altri due cerchi. Tali cerchi sono chiamati Circoli Malfatti. I centri dei cerchi circoscritti dei sei triangoli in cui il triangolo è diviso per mediane giacciono su un cerchio, che è chiamato Circolo di Lamun.
Un triangolo ha tre cerchi che toccano due lati del triangolo e il cerchio circoscritto. Tali cerchi sono chiamati semi-iscritto o Cerchi di Verrier. I segmenti che collegano i punti di contatto dei cerchi di Verrier con il cerchio circoscritto si intersecano in un punto, detto Punto Verrier. Serve come centro dell'omoteità, che porta il cerchio circoscritto all'incerchio. I punti di tangenza dei cerchi di Verrier con i lati giacciono su una retta passante per il centro del cerchio inscritto.
I segmenti di linea che collegano i punti tangenti del cerchio inscritto con i vertici si intersecano in un punto, chiamato punto Gergonne, e i segmenti che collegano i vertici con i punti di contatto delle circonferenze - in Punto Nagel.
Ellissi, parabole e iperboli
Conica inscritta (ellisse) e sua prospettiva
Un numero infinito di coniche (ellissi, parabole o iperboli) può essere inscritto in un triangolo. Se inscriviamo una conica arbitraria in un triangolo e colleghiamo i punti di contatto con vertici opposti, le linee risultanti si intersecheranno in un punto, chiamato prospettiva coniche. Per ogni punto del piano che non giace su un lato o sulla sua estensione, esiste una conica inscritta con una prospettiva in quel punto.
Ellisse di Steiner circoscritta e ceviani che passano attraverso i suoi fuochi
Un'ellisse può essere inscritta in un triangolo che tocca i lati nei punti medi. Si chiama tale ellisse Ellisse incisa da Steiner(la sua prospettiva sarà il baricentro del triangolo). Viene chiamata l'ellisse descritta, che è tangente alle rette passanti per vertici paralleli ai lati circoscritto dall'ellisse di Steiner. Se una trasformazione affine ("skew") traduce il triangolo in uno regolare, la sua ellisse di Steiner inscritta e circoscritta andrà in un cerchio inscritto e circoscritto. I Ceviani disegnati attraverso i fuochi dell'ellisse di Steiner descritta (punti di Skutin) sono uguali (teorema di Skutin). Di tutte le ellissi circoscritte, l'ellisse di Steiner circoscritta ha zona più piccola, e di tutte le ellissi incise, l'ellisse inscritta di Steiner ha l'area più ampia.
L'ellisse di Brocard e il suo osservatore - Punto Lemoine
Viene chiamata un'ellisse con fuochi nei punti di Brokar Ellisse di Brocard. La sua prospettiva è il punto Lemoine.
Proprietà di una parabola inscritta
Parabola di Kiepert
Le prospettive delle parabole iscritte giacciono sull'ellisse di Steiner circoscritta. Il fuoco di una parabola inscritta giace sul cerchio circoscritto e la direttrice passa attraverso l'ortocentro. Si chiama una parabola inscritta in un triangolo la cui direttrice è la retta di Eulero La parabola di Kiepert. La sua prospettiva è il quarto punto di intersezione del cerchio circoscritto e dell'ellisse di Steiner circoscritta, detta Punto Steiner.
Iperbole di Cypert
Se l'iperbole descritta passa per il punto di intersezione delle altezze, allora è equilatera (cioè i suoi asintoti sono perpendicolari). Il punto di intersezione degli asintoti di un'iperbole equilatera giace su un cerchio di nove punti.
Trasformazioni
Se le linee che passano per i vertici e alcuni punti non sdraiati sui lati e le loro estensioni vengono riflesse rispetto alle bisettrici corrispondenti, anche le loro immagini si intersecheranno in un punto, che è chiamato coniugato isogonalmente quello originale (se il punto giace sul cerchio circoscritto, le rette risultanti saranno parallele). Molte coppie di punti notevoli sono coniugati isogonalmente: il centro del cerchio circoscritto e l'ortocentro, il baricentro e il punto di Lemoine, i punti di Brocard. I punti di Apollonio sono coniugati isogonalmente ai punti Torricelli e il centro dell'incerchio è coniugato isogonalmente a se stesso. Sotto l'azione della coniugazione isogonale, le rette vanno in coniche circoscritte e le coniche circoscritte in rette. Pertanto, l'iperbole di Kiepert e l'asse di Brocard, l'iperbole di Enzhabek e la linea di Eulero, l'iperbole di Feuerbach e la linea dei centri del cerchio inscritto sono coniugate isogonalmente. I cerchi circoscritti dei triangoli subdermici di punti coniugati isogonalmente coincidono. I fuochi delle ellissi incise sono coniugati isogonalmente.
Se, invece di un ceviano simmetrico, prendiamo un ceviano la cui base è lontana dal centro del lato quanto la base di quello originale, allora anche tali ceviani si intersecheranno in un punto. Viene chiamata la trasformazione risultante coniugazione isotomica. Mappa anche le linee alle coniche circoscritte. I punti Gergonne e Nagel sono coniugati isotomicamente. Sotto trasformazioni affini, i punti coniugati isotomicamente passano in quelli coniugati isotomicamente. Alla coniugazione dell'isotomia, l'ellisse di Steiner descritta passa nella linea retta all'infinito.
Se nei segmenti tagliati dai lati del triangolo dal cerchio circoscritto si inscrivono cerchi che toccano i lati alla base dei cevi tracciati per un certo punto, e quindi i punti di contatto di questi cerchi sono collegati al circoscritto cerchio con vertici opposti, quindi tali linee si intersecheranno in un punto. Viene chiamata la trasformazione del piano, facendo corrispondere il punto originale a quello risultante trasformazione isocircolare. La composizione delle coniugazioni isogonali e isotomiche è la composizione della trasformazione isocircolare con se stessa. Questa composizione è una trasformazione proiettiva che lascia in posizione i lati del triangolo e traduce l'asse delle bisettrici esterne in una linea retta all'infinito.
Se continuiamo i lati del triangolo di Ceviano di un punto e prendiamo i loro punti di intersezione con i lati corrispondenti, i punti di intersezione risultanti giaceranno su una retta, chiamata polare trilineare punto di partenza. Asse ortocentrico - polare trilineare dell'ortocentro; la polare trilineare del centro del cerchio inscritto è l'asse delle bisettrici esterne. Le polari trilineari dei punti giacenti sulla conica circoscritta si intersecano in un punto (per il cerchio circoscritto questo è il punto di Lemoine, per l'ellisse di Steiner circoscritta è il baricentro). La composizione della coniugazione isogonale (o isotomica) e della polare trilineare è una trasformazione di dualità (se il punto coniugato isogonalmente (isotomicamente) al punto giace sulla polare trilineare del punto, allora la polare trilineare del punto isogonalmente (isotomicamente) coniugato al punto giace sulla polare trilineare del punto).
Cubi
Le relazioni in un triangolo
Nota: in questa sezione, , , sono le lunghezze dei tre lati del triangolo, e , , sono gli angoli rispettivamente opposti a questi tre lati (angoli opposti).
disuguaglianza triangolare
In un triangolo non degenerato la somma delle lunghezze dei suoi due lati è maggiore della lunghezza del terzo lato, in un triangolo degenere è uguale. In altre parole, le lunghezze dei lati di un triangolo sono legate dalle seguenti disuguaglianze:
La disuguaglianza triangolare è uno degli assiomi della metrica.
Teorema della somma dei triangoli degli angoli
Teorema seno
,dove R è il raggio della circonferenza circoscritta al triangolo. Segue dal teorema che se a< b < c, то α < β < γ.
Teorema del coseno
Teorema della tangente
Altri rapporti
I rapporti metrici in un triangolo sono dati per:
Risolvere i triangoli
Il calcolo dei lati e degli angoli sconosciuti di un triangolo, basato su quelli noti, è stato storicamente chiamato "soluzioni di triangoli". In questo caso vengono utilizzati i teoremi trigonometrici generali di cui sopra.
Area di un triangolo
Casi speciali NotazionePer l'area valgono le seguenti disuguaglianze:
Calcolare l'area di un triangolo nello spazio usando i vettori
Siano i vertici del triangolo nei punti , , .
Introduciamo il vettore area. La lunghezza di questo vettore è uguale all'area del triangolo ed è diretta lungo la normale al piano del triangolo:
Siano , dove , , sono le proiezioni del triangolo sui piani delle coordinate. in cui
e allo stesso modo
L'area del triangolo è .
Un'alternativa è calcolare le lunghezze dei lati (usando il teorema di Pitagora) e poi usando la formula di Heron.
Teoremi del triangolo
Teorema di Desargues: se due triangoli sono prospettici (le linee che passano per i vertici corrispondenti dei triangoli si intersecano in un punto), i loro rispettivi lati si intersecano su una retta.
Il teorema di Sond: se due triangoli sono prospettici e ortologhi (perpendicolari scesi dai vertici di un triangolo ai lati opposti ai vertici corrispondenti del triangolo e viceversa), allora entrambi i centri dell'ortologia (i punti di intersezione di queste perpendicolari) e il centro della prospettiva giacciono su una retta perpendicolare all'asse prospettico (retta dal teorema di Desargues).
