Argomento della lezione: Il cilindro, i suoi elementi.
Lo scopo della lezione:
Consolidamento delle conoscenze degli studenti sul corpo di rivoluzione - il cilindro (elementi del cilindro, formule per l'area della superficie laterale e completa del cilindro).
Obiettivo dello studente: essere in grado di risolvere compiti tipici per un cilindro in compiti UNT.
Obiettivi della lezione:
1. formare competenze per la risoluzione di problemi tipici;
2. sviluppare rappresentazioni spaziali sull'esempio dei corpi rotondi;
3. continuare la formazione delle capacità logiche e grafiche.
Tipo di lezione: combinato.
Metodi di insegnamento: attività verbale, pratica, lavoro con un libro, problematica.
Attrezzatura: tavola, tavola numero 3, una serie di modelli.
Durante le lezioni
1. Momento organizzativo:
1. definizione degli obiettivi
2. atteggiamento psicologico.
2. Attualizzazione delle conoscenze di base.
1) Lavora sulle carte.
Gli studenti sono invitati a compilare un foglio di lavoro.
È possibile lavorare utilizzando la copia (in questo caso una copia viene consegnata al docente e la seconda lo studente verifica nel corso del lavoro successivo nella lezione).
Carta.
1. Disegna gli elementi principali del cilindro sul disegno.
2
.raffigurare a) la sezione assiale del cilindro; b) sezione del cilindro di un piano passante perpendicolare all'asse del cilindro; c) sezione del cilindro di un piano parallelo all'asse del cilindro. Quale cifra si ottiene in ciascun caso?
3. Annota le formule per calcolare la superficie di un cilindro.
Cosa si può trovare in queste formule? Cosa si dovrebbe sapere in questi casi?
Gli studenti consegnano i fogli di lavoro.
3. Lavoro orale su modelli. (per generalizzare le conoscenze e verificare il lavoro svolto)
1) Quale forma si chiama cilindro?
Cilindro - Questo è un corpo geometrico costituito da due cerchi uguali situati su piani paralleli e un insieme di segmenti che collegano i punti corrispondenti di questi cerchi.
2) Perché un cilindro è chiamato corpo di rivoluzione?
Un cilindro può essere ottenuto ruotando un rettangolo attorno a uno dei suoi lati.
3) Quali sono i tipi di bombole?
Cilindri inclinati, cilindri diritti, superfici cilindriche.
4) Denominare gli elementi del cilindro.
Basi cilindro - cerchi uguali situati su piani paralleli.
Altezza cilindro - Questo la distanza tra i piani delle sue basi.
Raggio del cilindro è il raggio della sua base.
Asse del cilindro è una retta passante per i centri della base del cilindro (l'asse del cilindro è l'asse di rotazione del cilindro).
Generatrice cilindrica - questo è un segmento che collega il punto del cerchio della base superiore con il punto corrispondente del cerchio della base inferiore. Tutti i generatori sono paralleli all'asse di rotazione e hanno la stessa lunghezza, pari all'altezza del cilindro.
Si forma la generatrice del cilindro durante la rotazione attorno all'asse superficie laterale (cilindrica) di un cilindro .
5) Che cos'è una spazzata del cilindro?
Lo sviluppo della superficie laterale del cilindro è un rettangolo con i lati H e C, dove Hè l'altezza del cilindro, e Cè la circonferenza della base.6) Come trovare la superficie laterale di un cilindro?
S b = H · C = 2 π RH
7) Come trovare la superficie totale di un cilindro?
S P = S b + 2 S = 2 π R (R + H ).
8) Quali sono i principali tipi di sezioni del cilindro. Quale cifra si ottiene in ciascun caso?
Sezione assiale del cilindro - sezione del cilindro di un piano passante per l'asse del cilindro (la sezione assiale del cilindro è il piano di simmetria del cilindro). Tutte le sezioni assiali del cilindro sono rettangoli uguali.
sezione trasversale piano parallelo all'asse del cilindro. La sezione è un rettangolo.
Sezione Aerea perpendicolare all'asse del cilindro. Cerchi in sezione trasversale, uguali alla base.
9) Fornire esempi di utilizzo dei cilindri.
Gastronomia cilindrica. Architettura cilindrica. Cilindri del faraone (esibizione degli studenti 1-2 minuti).
4. Fissaggio del materiale. Risoluzione dei problemi.
In 
Gli studenti vedono un elenco di attività per il lavoro in classe. Se lo si desidera, gli studenti hanno la possibilità di decidere prima del voto.
№ 2 . La sezione assiale del cilindro è un quadrato la cui diagonale è di cm 20. Trova: a) l'altezza del cilindro; b) Quindi cilindro.
№3 L'area della sezione assiale del cilindro è di 10 m 2 e l'area di base è di 5 m 2. Trova l'altezza del cilindro.
№4 Le estremità del segmento AB giacciono motivi diversi cilindro. Il raggio del cilindro è r, il suo sballo - h, la distanza tra la retta AB e l'asse del cilindro è d. Trova: un) altezza se r = 10, d= 8, AB = 13.
№5* Due piani secanti sono disegnati attraverso la generatrice AA 1 del cilindro, uno dei quali passa per l'asse del cilindro. Trova il rapporto tra le aree della sezione trasversale del cilindro rispetto a questi piani se l'angolo tra loro è uguale a j.
5. Lavoro indipendente educativo. Lavoro indipendente sulle opzioni. (È possibile organizzare il lavoro in coppia).
Il piano g, parallelo all'asse del cilindro, taglia l'arco A dalla circonferenza della base m D con misura di grado a . Il raggio del cilindro è un, l'altezza è h, la distanza tra l'asse del cilindro OO 1 e il piano g è uguale a d.
Opzione 2. 1) Fare un piano per calcolare l'area della sezione trasversale dai dati un , h, d.2) Trova AD se un = 8 cm, un = 120°. 6. Impostazione dei compiti . Ripeti la formula 1 e risolvi il numero 25. 7. Blocco riflessivo-valutativo.Riflessione. Quali novità hai imparato durante la lezione?
Cosa hai imparato?
Qual è il tuo stato d'animo alla fine della lezione?
Puoi spiegare la soluzione a questi problemi a un compagno di classe che ha saltato la lezione oggi?
Una superficie cilindrica si forma spostando una retta parallela a se stessa. Il punto della retta selezionata si sposta lungo la curva piana data - guida. Questa linea è chiamata generatrice di una superficie cilindrica.
Dritto cilindroè un cilindro in cui i generatori sono perpendicolari alla base. Se i generatori del cilindro non sono perpendicolari alla base, lo sarà cilindro inclinato.
cilindro circolare- un cilindro la cui base è un cerchio.
cilindro tondo- un cilindro sia rettilineo che circolare.
Cilindro diritto circolare determinato dal raggio della base R e generare l, che è uguale all'altezza del cilindro H.
Un prisma è un caso speciale di un cilindro.
Formule per trovare gli elementi di un cilindro.
Area della superficie laterale di un cilindro circolare retto:
Lato S = 2πUR
Superficie totale di un cilindro circolare retto:
S=Slato+ 2Sprincipale = 2 π R(H+R)
Volume di un cilindro circolare diritto:
V = S principale H = πR 2 H
Un cilindro circolare diritto con una base smussata o un cilindro smussato brevemente è definito dal raggio della base R, altezza minima h1 e altezza massima h2.
Superficie laterale del cilindro smussato:
Lato S \u003d πR (h 1 + h 2)
L'area delle basi di un cilindro smussato.
Cilindro (cilindro circolare) - un corpo costituito da due cerchi combinati da un trasferimento parallelo e tutti i segmenti che collegano i punti corrispondenti di questi cerchi. I cerchi sono chiamati basi del cilindro e i segmenti che collegano i punti corrispondenti dei cerchi dei cerchi sono chiamati generatori del cilindro.
Le basi del cilindro sono uguali e giacciono su piani paralleli e i generatori del cilindro sono paralleli e uguali. La superficie di un cilindro è costituita da basi e da una superficie laterale. La superficie laterale è formata da generatori.
Un cilindro si dice diritto se i suoi generatori sono perpendicolari ai piani della base. Un cilindro può essere considerato come un corpo ottenuto ruotando un rettangolo attorno ad uno dei suoi lati come un asse. Esistono altri tipi di cilindro: ellittico, iperbolico, parabolico. Un prisma è anche considerato una specie di cilindro.
La figura 2 mostra un cilindro inclinato. Cerchi con centri O e O 1 sono le sue basi.
Il raggio di un cilindro è il raggio della sua base. L'altezza del cilindro è la distanza tra i piani delle basi. L'asse di un cilindro è una retta passante per i centri delle basi. È parallelo ai generatori. La sezione di un cilindro di un piano passante per l'asse del cilindro è chiamata sezione assiale. Il piano passante per la generatrice di un cilindro rettilineo e perpendicolare alla sezione assiale tracciata attraverso questa generatrice è chiamato piano tangente del cilindro.
Un piano perpendicolare all'asse del cilindro interseca la sua superficie laterale lungo un cerchio uguale alla circonferenza della base.
Un prisma inscritto in un cilindro è un prisma le cui basi sono poligoni uguali inscritti nelle basi del cilindro. I suoi bordi laterali sono generatrici del cilindro. Un prisma si dice circoscritto vicino a un cilindro se le sue basi sono poligoni uguali circoscritti vicino alle basi del cilindro. I piani delle sue facce toccano la superficie laterale del cilindro.
L'area della superficie laterale del cilindro può essere calcolata moltiplicando la lunghezza della generatrice per il perimetro della sezione del cilindro per un piano perpendicolare alla generatrice.
La superficie laterale di un cilindro destro può essere trovata dal suo sviluppo. Lo sviluppo del cilindro è un rettangolo di altezza h e lunghezza P, che è uguale al perimetro della base. Pertanto, l'area della superficie laterale del cilindro è uguale all'area del suo sviluppo ed è calcolata dalla formula:
In particolare, per un cilindro circolare retto:
P = 2πR e Sb = 2πRh.
La superficie totale di un cilindro è uguale alla somma delle aree della sua superficie laterale e delle sue basi.
Per un cilindro circolare diritto:
S p = 2πRh + 2πR 2 = 2πR(h + R)
Esistono due formule per trovare il volume di un cilindro inclinato.
Puoi trovare il volume moltiplicando la lunghezza della generatrice per l'area della sezione trasversale del cilindro per un piano perpendicolare alla generatrice.
Il volume di un cilindro inclinato è uguale al prodotto dell'area della base e dell'altezza (la distanza tra i piani in cui giacciono le basi):
V = Sh = S l sin α,
dove l è la lunghezza della generatrice e α è l'angolo tra la generatrice e il piano della base. Per un cilindro diritto h = l.
La formula per trovare il volume di un cilindro circolare è la seguente:
V \u003d π R 2 h \u003d π (d 2 / 4) h,
dove d è il diametro di base.
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Il nome della scienza "geometria" è tradotto come "misurazione della terra". Nasce grazie agli sforzi dei primissimi agrimensori antichi. E avvenne così: durante le piene del sacro Nilo, ruscelli d'acqua a volte lavavano i confini degli appezzamenti dei contadini, e i nuovi confini potevano non coincidere con quelli vecchi. Le tasse venivano pagate dai contadini al tesoro del faraone in proporzione all'entità dell'assegnazione della terra. Dopo la fuoriuscita, persone speciali sono state impegnate nella misurazione delle aree di seminativo entro i nuovi confini. Fu come risultato delle loro attività che sorse una nuova scienza, che si sviluppò in Grecia antica. Lì ha ricevuto il nome e l'ha acquisito praticamente aspetto moderno. In futuro, il termine divenne il nome internazionale per la scienza delle figure piatte e tridimensionali.
La planimetria è una branca della geometria che si occupa dello studio delle figure piane. Un altro ramo della scienza è la stereometria, che considera le proprietà delle figure spaziali (volumetriche). Anche il cilindro descritto in questo articolo appartiene a tali figure.
Ci sono molti esempi della presenza di oggetti cilindrici nella vita di tutti i giorni. Quasi tutte le parti di rotazione - alberi, boccole, colli, assi, ecc. Hanno una forma cilindrica (molto meno spesso - conica). Il cilindro trova largo impiego in edilizia: torri, colonne portanti, decorative. E poi, stoviglie, alcuni tipi di confezionamento, tubi di vari diametri. E infine - i famosi cappelli, che sono diventati per molto tempo un simbolo dell'eleganza maschile. L'elenco è infinito.
Definizione di cilindro come figura geometrica
Un cilindro (cilindro circolare) è solitamente chiamato una figura composta da due cerchi, che, se lo si desidera, sono combinati utilizzando una traslazione parallela. Sono questi cerchi che sono le basi del cilindro. Ma le linee (segmenti retti) che collegano i punti corrispondenti sono dette "generatori".
È importante che le basi del cilindro siano sempre uguali (se questa condizione non è soddisfatta, abbiamo davanti a noi un tronco di cono, qualcos'altro, ma non un cilindro) e siano su piani paralleli. I segmenti che collegano i punti corrispondenti sui cerchi sono paralleli e uguali.
La totalità di un insieme infinito di generatori non è altro che la superficie laterale di un cilindro, uno degli elementi di una data figura geometrica. La sua altra componente importante sono i cerchi discussi sopra. Si chiamano basi.
Tipi di cilindri
Il tipo di cilindro più semplice e comune è quello circolare. È formato da due cerchi regolari che fungono da basi. Ma al loro posto potrebbero esserci altre figure.
Le basi dei cilindri possono formare (ad eccezione dei cerchi) ellissi e altre figure chiuse. Ma il cilindro potrebbe non avere necessariamente una forma chiusa. Ad esempio, una parabola, un'iperbole o un'altra funzione aperta possono fungere da base di un cilindro. Tale cilindro sarà aperto o schierato.
A seconda dell'angolo di inclinazione delle generatrici rispetto alle basi, i cilindri possono essere diritti o inclinati. Per un cilindro retto, i generatori sono rigorosamente perpendicolari al piano della base. Se questo angolo è diverso da 90°, il cilindro è inclinato.
Cos'è una superficie di rivoluzione
Un cilindro circolare retto è senza dubbio la superficie di rivoluzione più comune utilizzata in ingegneria. A volte, secondo indicazioni tecniche, vengono utilizzate superfici coniche, sferiche e altri tipi, ma il 99% di tutti gli alberi rotanti, assi, ecc. realizzato sotto forma di cilindri. Per capire meglio cos'è una superficie di rivoluzione, possiamo considerare come è formato il cilindro stesso.
Diciamo che c'è una linea un posto verticalmente. ABCD è un rettangolo, uno dei cui lati (segmento AB) giace su una retta un. Se ruotiamo un rettangolo attorno a una linea retta, come mostrato in figura, il volume che occuperà durante la rotazione sarà il nostro corpo di rivoluzione: un cilindro circolare retto con altezza H = AB = DC e raggio R = AD = BC.
In questo caso, come risultato della rotazione della figura - un rettangolo - si ottiene un cilindro. Ruotando un triangolo, puoi ottenere un cono, ruotare un semicerchio - una palla, ecc.
Superficie del cilindro
Per calcolare la superficie di un normale cilindro circolare rettilineo, è necessario calcolare le aree delle basi e della superficie laterale.
Per prima cosa, diamo un'occhiata a come viene calcolata l'area della superficie laterale. Questo è il prodotto della circonferenza e dell'altezza del cilindro. La circonferenza, a sua volta, è uguale al doppio del prodotto del numero universale P al raggio del cerchio.
L'area di un cerchio è nota per essere uguale al prodotto P al quadrato del raggio. Quindi, sommando le formule per l'area di determinazione della superficie laterale con il doppio dell'espressione per l'area di base (ce ne sono due) ed eseguendo semplici trasformazioni algebriche, otteniamo l'espressione finale per determinare l'area della superficie del cilindro.
Determinazione del volume di una figura
Il volume di un cilindro è determinato dallo schema standard: la superficie della base viene moltiplicata per l'altezza.
Quindi, la formula finale si presenta così: il desiderato è definito come il prodotto dell'altezza del corpo per il numero universale P e il quadrato del raggio di base.
La formula risultante, va detto, è applicabile alla soluzione dei problemi più inaspettati. Allo stesso modo del volume di un cilindro, ad esempio, viene determinato il volume del cablaggio elettrico. Questo potrebbe essere necessario per calcolare la massa dei fili.
L'unica differenza nella formula è che al posto del raggio di un cilindro c'è il diametro dell'anima del cablaggio diviso in due e nell'espressione compare il numero di fili del filo N. Inoltre, viene utilizzata la lunghezza del filo anziché l'altezza. Pertanto, il volume del "cilindro" viene calcolato non da uno, ma dal numero di fili nella treccia.
Tali calcoli sono spesso richiesti nella pratica. Dopotutto porzione significativa i serbatoi per l'acqua sono realizzati sotto forma di tubo. E spesso è necessario calcolare il volume di un cilindro anche in casa.
Tuttavia, come già accennato, la forma del cilindro può essere diversa. E in alcuni casi è necessario calcolare a cosa è uguale il volume del cilindro inclinato.
La differenza è che la superficie della base non viene moltiplicata per la lunghezza della generatrice, come nel caso di un cilindro rettilineo, ma per la distanza tra i piani, un segmento perpendicolare costruito tra di loro.
Come si può vedere dalla figura, un tale segmento è uguale al prodotto della lunghezza della generatrice per il seno dell'angolo di inclinazione della generatrice rispetto al piano.
Come costruire uno spazzacamino
In alcuni casi è necessario ritagliare un alesatore cilindrico. La figura seguente mostra le regole con cui viene costruito un grezzo per la fabbricazione di un cilindro con una data altezza e diametro.
Si prega di notare che la figura è mostrata senza cuciture.
Differenze del cilindro smussato
Immaginiamo un cilindro rettilineo delimitato da un lato da un piano perpendicolare ai generatori. Ma il piano che delimita il cilindro dall'altra parte non è perpendicolare ai generatori e non è parallelo al primo piano.
La figura mostra un cilindro smussato. Aereo un ad un angolo diverso da 90° rispetto ai generatori, interseca la figura.
Questa forma geometrica è più comune nella pratica sotto forma di connessioni di tubazioni (gomiti). Ma ci sono anche edifici costruiti a forma di cilindro smussato.
Caratteristiche geometriche del cilindro smussato
La pendenza di uno dei piani del cilindro smussato cambia leggermente l'ordine di calcolo sia della superficie di tale figura che del suo volume.
Cilindro
def. Un cilindro è un corpo costituito da due cerchi allineati
traslazione parallela e tutti i segmenti che collegano i punti corrispondenti
questi cerchi.
I cerchi sono chiamati basi del cilindro e i segmenti che collegano i punti corrispondenti dei cerchi di questi cerchi sono chiamati generatori del cilindro (Fig. 1)
Riso. 1 fig. 2 fig. 3 fig. 4
Proprietà del cilindro:
1) Le basi del cilindro sono uguali e giacciono su piani paralleli.
2) I generatori del cilindro sono uguali e paralleli.
def. Il raggio di un cilindro è il raggio della sua base.
def. L'altezza di un cilindro è la distanza tra i piani delle sue basi.
def. La sezione di un cilindro di un piano passante per l'asse del cilindro è chiamata sezione assiale.
La sezione assiale del cilindro è un rettangolo di lato 2R e l(in un cilindro diritto l= H) fig. 2
La sezione trasversale del cilindro, parallela al suo asse, è costituita da rettangoli (Fig. 3).
Sezione di un cilindro di un piano parallelo alle basi - un cerchio uguale alle basi (Fig. 4)
La superficie di un cilindro.
La superficie laterale del cilindro è composta da generatori.
L'intera superficie di un cilindro è costituita dalle basi e dalla superficie laterale.
S pieno = 2 S principale + S lato ; S principale = P ∙ R 2 ; S lato = 2 P ∙ R ∙NS pieno = 2PR ∙(R + H)
Parte pratica:
№1. Il raggio del cilindro è di 3 cm e la sua altezza è di 5 cm. Trova l'area della sezione assiale e l'area della metà
superficie del cilindro.
№2.
La diagonale della sezione assiale del cilindro è inclinata rispetto al piano della base ad angolo 
ed è uguale a 20 cm Trova l'area della superficie laterale del cilindro.
№3. Il raggio del cilindro è di 2 cm e la sua altezza è di 3 cm. Trova la diagonale della sezione assiale del cilindro.
№4.
La diagonale della sezione assiale del cilindro, uguale a 
, forma un angolo con il piano della base 
. Trova la superficie laterale del cilindro.
№5.
La superficie laterale del cilindro è 15 
. Trova l'area della sezione assiale.
№6.
Trova l'altezza del cilindro se la sua area di base è 1 e lato S = 
.
№7.
La diagonale della sezione assiale del cilindro ha una lunghezza di 8 cm ed è inclinata rispetto al piano della base ad angolo 
. Trova l'area totale del cilindro.
Un camino cilindrico con un diametro di 65 cm ha un'altezza di 18 m. Quanto stagno è necessario per realizzarlo se il 10% del materiale viene speso per il rivetto?
