Učenicima se daje mnogo matematičkih zadataka. Među njima se vrlo često nalaze zadaci sa sljedećom formulacijom: postoje dvije vrijednosti. Kako pronaći najmanji zajednički višekratnik datih brojeva? Potrebno je biti sposoban za obavljanje takvih zadataka, jer se stečene vještine koriste za rad sa razlomcima s različitim nazivnicima. U članku ćemo analizirati kako pronaći LCM i osnovne koncepte.
Prije nego što pronađete odgovor na pitanje kako pronaći LCM, morate definirati pojam višestruka. Najčešće, formulacija ovog koncepta je sljedeća: višekratnik neke vrijednosti A je prirodan broj koji će biti djeljiv sa A bez ostatka. Dakle, za 4, 8, 12, 16, 20 i tako dalje, do potrebnu granicu.
U ovom slučaju, broj djelitelja za određenu vrijednost može biti ograničen, a postoji beskonačno mnogo višekratnika. Ista vrijednost postoji i za prirodne vrijednosti. Ovo je indikator koji se dijeli bez ostatka. Nakon što smo se pozabavili konceptom najmanje vrijednosti za određene indikatore, prijeđimo na to kako je pronaći.
Pronalaženje NOC-a
Najmanji višekratnik dva ili više eksponenata je najmanji prirodan broj koji je u potpunosti djeljiv sa svim datim brojevima.
Postoji nekoliko načina da se pronađe takva vrijednost. Razmotrimo sljedeće metode:
- Ako su brojevi mali, upišite u red sve deljive sa njim. Nastavite to raditi dok ne pronađete nešto zajedničko među njima. U zapisu su označeni slovom K. Na primjer, za 4 i 3, najmanji višekratnik je 12.
- Ako su oni veliki ili trebate pronaći višekratnik za 3 ili više vrijednosti, tada biste trebali koristiti drugu tehniku ovdje, koja uključuje razlaganje brojeva na proste faktore. Prvo postavite najveći od navedenih, a zatim sve ostalo. Svaki od njih ima svoj broj množitelja. Kao primjer, razložimo 20 (2*2*5) i 50 (5*5*2). Za manji od njih podvucite faktore i dodajte najvećem. Rezultat će biti 100, što će biti najmanji zajednički višekratnik gore navedenih brojeva.
- Kod pronalaženja 3 broja (16, 24 i 36) principi su isti kao i za druga dva. Proširimo svaki od njih: 16 = 2*2*2*2, 24=2*2*2*3, 36=2*2*3*3. U dekompoziciju najvećeg nisu uključene samo dvije dvojke iz proširenja broja 16. Sabiramo ih i dobijamo 144, što je najmanji rezultat za prethodno navedene numeričke vrijednosti.
Sada znamo koja je opća tehnika za pronalaženje najmanje vrijednosti za dvije, tri ili više vrijednosti. Međutim, postoje i privatne metode, pomaže u traženju NOC-a, ako prethodni ne pomažu.
Kako pronaći GCD i NOC.
Privatni načini pronalaženja
Kao i kod svakog matematičkog odjeljka, postoje posebni slučajevi pronalaženja LCM-a koji pomažu u određenim situacijama:
- ako je jedan od brojeva djeljiv s ostalima bez ostatka, tada mu je jednak najmanji višekratnik ovih brojeva (NOC 60 i 15 je jednako 15);
- Koprosti brojevi nemaju zajedničke proste djelitelje. Njihova najmanja vrijednost jednaka je proizvodu ovih brojeva. Dakle, za brojeve 7 i 8, ovo će biti 56;
- isto pravilo vrijedi i za druge slučajeve, uključujući i posebne, o kojima se može pročitati u stručnoj literaturi. Ovo bi trebalo uključiti i slučajeve dekompozicije složenih brojeva, koji su predmet zasebnih članaka, pa čak i doktorskih disertacija.
Posebni slučajevi su rjeđi od standardnih primjera. Ali zahvaljujući njima, možete naučiti kako raditi s frakcijama različitog stepena složenosti. Ovo posebno vrijedi za razlomke., gdje postoje različiti imenioci.
Neki primjeri
Pogledajmo nekoliko primjera, zahvaljujući kojima možete razumjeti princip pronalaženja najmanjeg višekratnika:
- Nalazimo LCM (35; 40). Prvo postavljamo 35 = 5*7, zatim 40 = 5*8. Najmanjem broju dodamo 8 i dobijemo NOC 280.
- NOK (45; 54). Polažemo svaki od njih: 45 = 3*3*5 i 54 = 3*3*6. Dodamo broj 6 na 45. Dobijamo NOC jednak 270.
- Pa, posljednji primjer. Postoji 5 i 4. Za njih ne postoje jednostavni višekratnici, tako da će najmanji zajednički višekratnik u ovom slučaju biti njihov proizvod, jednak 20.
Zahvaljujući primjerima, možete razumjeti kako se NOC nalazi, koje su nijanse i koje je značenje takvih manipulacija.
Pronalaženje NOC-a je mnogo lakše nego što se na prvi pogled čini. Za to se koristi i jednostavno proširenje i množenje jednostavnih vrijednosti jedna na drugu.. Sposobnost rada sa ovim dijelom matematike pomaže u daljem proučavanju matematičkih tema, posebno razlomaka različitog stepena složenosti.
Ne zaboravite povremeno rješavati primjere razne metode, ovo razvija logički aparat i omogućava vam da zapamtite brojne pojmove. Naučite metode za pronalaženje takvog indikatora i moći ćete dobro raditi s ostalim matematičkim dijelovima. Srećno učenje matematike!
Video
Ovaj video će vam pomoći da shvatite i zapamtite kako pronaći najmanji zajednički višekratnik.
Materijal predstavljen u nastavku je logičan nastavak teorije iz članka pod naslovom LCM - najmanji zajednički višekratnik, definicija, primjeri, odnos između LCM i GCD. Ovdje ćemo razgovarati o pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika (LCM), a posebnu pažnju posvetite rješavanju primjera. Hajde da prvo pokažemo kako se LCM dva broja izračunava u terminima GCD ovih brojeva. Zatim razmotrite pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika rastavljanjem brojeva u proste faktore. Nakon toga ćemo se fokusirati na pronalaženje LCM od tri ili više brojeva, a također ćemo obratiti pažnju na izračunavanje LCM negativnih brojeva.
Navigacija po stranici.
Izračunavanje najmanjeg zajedničkog višekratnika (LCM) kroz gcd
Jedan od načina da se pronađe najmanji zajednički višekratnik je zasnovan na odnosu između LCM i GCD. Postojeći odnos između LCM i GCD omogućava vam da izračunate najmanji zajednički višekratnik dva pozitivna cijela broja kroz poznati najveći zajednički djelitelj. Odgovarajuća formula ima oblik LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) . Razmotrimo primjere pronalaženja LCM-a prema gornjoj formuli.
Primjer.
Pronađite najmanji zajednički višekratnik dva broja 126 i 70.
Rješenje.
U ovom primjeru a=126, b=70. Koristimo odnos između LCM i GCD izražen formulom LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). Odnosno, prvo moramo pronaći najveći zajednički djelitelj brojeva 70 i 126, nakon čega možemo izračunati LCM ovih brojeva prema napisanoj formuli.
Pronađite gcd(126, 70) koristeći Euklidov algoritam: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , dakle gcd(126, 70)=14 .
Sada nalazimo traženi najmanji zajednički višekratnik: LCM(126, 70)=126 70: GCM(126, 70)= 126 70:14=630 .
odgovor:
LCM(126, 70)=630 .
Primjer.
Šta je LCM(68, 34)?
Rješenje.
Jer 68 je jednako djeljivo sa 34, tada je gcd(68, 34)=34. Sada izračunavamo najmanji zajednički višekratnik: LCM(68, 34)=68 34: LCM(68, 34)= 68 34:34=68 .
odgovor:
LCM(68, 34)=68 .
Imajte na umu da prethodni primjer odgovara sljedećem pravilu za pronalaženje LCM-a za pozitivne cijele brojeve a i b: ako je broj a djeljiv sa b, tada je najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva a.
Pronalaženje LCM-a faktoringom brojeva u proste faktore
Drugi način da se pronađe najmanji zajednički višekratnik je baziran na faktoringu brojeva u proste faktore. Ako napravimo proizvod svih prostih faktora ovih brojeva, nakon čega iz ovog proizvoda isključimo sve zajedničke proste faktore koji su prisutni u proširenjima ovih brojeva, onda će rezultirajući proizvod biti jednak najmanjem zajedničkom višekratniku ovih brojeva.
Najavljeno pravilo za pronalaženje LCM proizlazi iz jednakosti LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). Zaista, proizvod brojeva a i b jednak je proizvodu svih faktora uključenih u proširenja brojeva a i b. Zauzvrat, gcd(a, b) je jednak proizvodu svih prostih faktora koji su istovremeno prisutni u proširenjima brojeva a i b (što je opisano u odjeljku o pronalaženju gcd pomoću dekompozicije brojeva na proste faktore ).
Uzmimo primjer. Neka znamo da je 75=3 5 5 i 210=2 3 5 7 . Sastavite proizvod svih faktora ovih proširenja: 2 3 3 5 5 5 7 . Sada iz ovog proizvoda izuzimamo sve faktore koji su prisutni i u proširenju broja 75 i u proširenju broja 210 (takvi faktori su 3 i 5), tada će proizvod dobiti oblik 2 3 5 5 7 . Vrijednost ovog proizvoda jednaka je najmanjem zajedničkom višekratniku brojeva 75 i 210, tj. LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050.
Primjer.
Nakon faktoringa brojeva 441 i 700 u proste faktore, pronađite najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva.
Rješenje.
Razložimo brojeve 441 i 700 na proste faktore:
Dobijamo 441=3 3 7 7 i 700=2 2 5 5 7 .
Sada napravimo proizvod svih faktora uključenih u proširenja ovih brojeva: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Izuzmimo iz ovog proizvoda sve faktore koji su istovremeno prisutni u oba proširenja (postoji samo jedan takav faktor - to je broj 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . Na ovaj način, LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100.
odgovor:
LCM(441, 700)= 44 100 .
Pravilo za pronalaženje LCM pomoću dekompozicije brojeva na proste faktore može se formulisati malo drugačije. Ako faktorima koji nedostaju iz proširenja broja b dodamo faktore iz dekompozicije broja a, tada će vrijednost rezultirajućeg proizvoda biti jednaka najmanjem zajedničkom višekratniku brojeva a i b.
Na primjer, uzmimo sve iste brojeve 75 i 210, njihova proširenja u proste faktore su sljedeća: 75=3 5 5 i 210=2 3 5 7 . Faktorima 3, 5 i 5 iz dekompozicije broja 75 dodamo faktore koji nedostaju 2 i 7 iz dekompozicije broja 210, dobijemo proizvod 2 3 5 5 7 , čija je vrijednost LCM(75 , 210) .
Primjer.
Pronađite najmanji zajednički višekratnik brojeva 84 i 648.
Rješenje.
Prvo dobijamo dekompoziciju brojeva 84 i 648 na proste faktore. Izgledaju kao 84=2 2 3 7 i 648=2 2 2 3 3 3 3 . Faktorima 2, 2, 3 i 7 iz dekompozicije broja 84 dodamo faktore koji nedostaju 2, 3, 3 i 3 iz dekompozicije broja 648, dobijemo proizvod 2 2 2 3 3 3 3 7 , što je jednako 4 536 . Dakle, željeni najmanji zajednički višekratnik brojeva 84 i 648 je 4,536.
odgovor:
LCM(84, 648)=4 536 .
Pronalaženje LCM od tri ili više brojeva
Najmanji zajednički višekratnik tri ili više brojeva može se naći sukcesivnim pronalaženjem LCM dva broja. Prisjetite se odgovarajuće teoreme, koja daje način da se pronađe LCM od tri ili više brojeva.
Teorema.
Neka su dati cijeli brojevi pozitivni brojevi a 1 , a 2 , …, ak , najmanji zajednički višekratnik mk ovih brojeva nalazi se uzastopnim proračunom m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , …, mk = LCM (mk−1, ak) .
Razmotrimo primjenu ove teoreme na primjeru pronalaženja najmanjeg zajedničkog višekratnika četiri broja.
Primjer.
Pronađite LCM četiri broja 140, 9, 54 i 250.
Rješenje.
U ovom primjeru a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.
Prvo nađemo m 2 = LCM (a 1, a 2) \u003d LCM (140, 9). Da bismo to učinili, koristeći Euklidov algoritam, određujemo gcd(140, 9) , imamo 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , dakle, gcd( 140, 9)=1 , odakle LCM(140, 9)=140 9: LCM(140, 9)= 140 9:1=1 260 . Odnosno, m 2 =1 260 .
Sada pronalazimo m 3 = LCM (m 2, a 3) = LCM (1 260, 54). Izračunajmo ga kroz gcd(1 260, 54) , što je također određeno Euklidovim algoritmom: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Tada je gcd(1 260, 54)=18, odakle je LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . To jest, m 3 = 3 780.
Ostalo da se pronađe m 4 = LCM (m 3, a 4) = LCM (3 780, 250). Da bismo to učinili, nalazimo GCD(3 780, 250) koristeći Euklid algoritam: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Dakle, gcd(3 780, 250)=10, odakle je gcd(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . To jest, m 4 = 94 500.
Dakle, najmanji zajednički višekratnik od originalna četiri broja je 94.500.
odgovor:
LCM(140, 9, 54, 250)=94.500.
U mnogim slučajevima, najmanji zajednički umnožak tri ili više brojeva prikladno se nalazi korištenjem prostih faktorizacija datih brojeva. U tom slučaju treba se pridržavati sljedećeg pravila. Najmanji zajednički umnožak nekoliko brojeva jednak je umnošku koji je sastavljen na sljedeći način: faktori koji nedostaju iz proširenja drugog broja dodaju se svim faktorima iz proširenja prvog broja, faktori koji nedostaju iz proširenja broja treći broj se dodaje dobijenim faktorima i tako dalje.
Razmotrimo primjer pronalaženja najmanjeg zajedničkog višekratnika koristeći dekompoziciju brojeva na proste faktore.
Primjer.
Pronađite najmanji zajednički višekratnik pet brojeva 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .
Rješenje.
Prvo dobijamo proširenja ovih brojeva u proste faktore: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 prosti faktori) i 143=11 13 .
Da biste pronašli LCM ovih brojeva, faktorima prvog broja 84 (to su 2, 2, 3 i 7) morate dodati faktore koji nedostaju iz proširenja drugog broja 6. Proširivanje broja 6 ne sadrži faktore koji nedostaju, jer su i 2 i 3 već prisutni u proširenju prvog broja 84 . Pored faktora 2, 2, 3 i 7 dodajemo faktore koji nedostaju 2 i 2 iz proširenja trećeg broja 48, dobijamo skup faktora 2, 2, 2, 2, 3 i 7. Nema potrebe dodavati faktore ovom skupu u sljedećem koraku, pošto je 7 već sadržano u njemu. Konačno, faktorima 2, 2, 2, 2, 3 i 7 dodajemo faktore 11 i 13 koji nedostaju iz proširenja broja 143. Dobijamo proizvod 2 2 2 2 3 7 11 13 , koji je jednak 48 048 .
Najveći zajednički djelitelj
Definicija 2
Ako je prirodni broj a djeljiv prirodnim brojem $b$, tada se $b$ naziva djelitelj od $a$, a broj $a$ se naziva višekratnik od $b$.
Neka $a$ i $b$- cijeli brojevi. Broj $c$ se naziva zajedničkim djeliteljem i za $a$ i za $b$.
Skup zajedničkih djelitelja brojeva $a$ i $b$ je konačan, jer nijedan od ovih djelitelja ne može biti veći od $a$. To znači da među ovim djeliteljima postoji najveći, koji se naziva najveći zajednički djelitelj brojeva $a$ i $b$, a za označavanje se koristi notacija:
$gcd \ (a;b) \ ili \ D \ (a;b)$
Da biste pronašli najveći zajednički djelitelj dva broja:
- Pronađite proizvod brojeva pronađenih u koraku 2. Rezultirajući broj će biti željeni najveći zajednički djelitelj.
Primjer 1
Pronađite gcd brojeva $121$ i $132.$
$242=2\cdot 11\cdot 11$
$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
Odaberite brojeve koji su uključeni u proširenje ovih brojeva
$242=2\cdot 11\cdot 11$
$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
Pronađite proizvod brojeva pronađenih u koraku 2. Rezultirajući broj će biti željeni najveći zajednički djelitelj.
$gcd=2\cdot 11=22$
Primjer 2
Pronađite GCD monoma $63$ i $81$.
Pronaći ćemo prema predstavljenom algoritmu. Za ovo:
Razložimo brojeve na proste faktore
$63=3\cdot 3\cdot 7$
$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
Odabiremo brojeve koji su uključeni u proširenje ovih brojeva
$63=3\cdot 3\cdot 7$
$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
Nađimo proizvod brojeva pronađenih u koraku 2. Rezultirajući broj će biti željeni najveći zajednički djelitelj.
$gcd=3\cdot 3=9$
GCD dva broja možete pronaći na drugi način, koristeći skup djelitelja brojeva.
Primjer 3
Pronađite gcd brojeva $48$ i $60$.
Rješenje:
Pronađite skup djelitelja od $48$: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$
Sada pronađimo skup djelitelja od $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\desno\)$
Nađimo presjek ovih skupova: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - ovaj skup će odrediti skup zajedničkih djelitelja brojeva $48$ i $60 $. Najveći element u ovom setu će biti broj $12$. Dakle, najveći zajednički djelitelj $48$ i $60$ je $12$.
Definicija NOC-a
Definicija 3
zajednički umnožak prirodnih brojeva$a$ i $b$ su prirodni broj koji je višekratnik i $a$ i $b$.
Uobičajeni višekratnici brojeva su brojevi koji su djeljivi sa originalom bez ostatka. Na primjer, za brojeve $25$ i $50$, zajednički višekratnici će biti brojevi $50,100,150,200$, itd.
Najmanji zajednički višekratnik će se zvati najmanji zajednički umnožak i označen sa LCM$(a;b)$ ili K$(a;b).$
Da biste pronašli LCM dva broja, trebate:
- Rastaviti brojeve na proste faktore
- Napišite faktore koji su dio prvog broja i dodajte im faktore koji su dio drugog i ne idu u prvi
Primjer 4
Pronađite LCM brojeva $99$ i $77$.
Pronaći ćemo prema predstavljenom algoritmu. Za ovo
Rastaviti brojeve na proste faktore
$99=3\cdot 3\cdot 11$
Zapišite faktore uključene u prvi
dodajte im faktore koji su dio drugog i ne idu u prvi
Pronađite proizvod brojeva pronađenih u koraku 2. Rezultirajući broj će biti željeni najmanji zajednički višekratnik
$LCC=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$
Sastavljanje lista djelitelja brojeva često oduzima mnogo vremena. Postoji način da se pronađe GCD koji se zove Euklidov algoritam.
Izjave na kojima se zasniva Euklidov algoritam:
Ako su $a$ i $b$ prirodni brojevi, a $a\vdots b$, onda je $D(a;b)=b$
Ako su $a$ i $b$ prirodni brojevi takvi da je $b
Koristeći $D(a;b)= D(a-b;b)$, možemo sukcesivno smanjivati brojeve koji se razmatraju dok ne dođemo do para brojeva tako da je jedan od njih djeljiv drugim. Tada će manji od ovih brojeva biti željeni najveći zajednički djelitelj za brojeve $a$ i $b$.
Svojstva GCD i LCM
- Svaki zajednički višekratnik $a$ i $b$ je djeljiv sa K$(a;b)$
- Ako je $a\vdots b$, onda je K$(a;b)=a$
Ako je K$(a;b)=k$ i $m$-prirodni broj, onda je K$(am;bm)=km$
Ako je $d$ zajednički djelitelj za $a$ i $b$, tada je K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $
Ako je $a\vdots c$ i $b\vdots c$, onda je $\frac(ab)(c)$ zajednički višekratnik $a$ i $b$
Za bilo koje prirodne brojeve $a$ i $b$ jednakost
$D(a;b)\cdot K(a;b)=ab$
Svaki zajednički djelitelj $a$ i $b$ je djelitelj $D(a;b)$
Online kalkulator vam omogućava da brzo pronađete najveći zajednički djelitelj i najmanji zajednički višekratnik dva ili bilo kojeg drugog broja brojeva.
Kalkulator za pronalaženje GCD i NOC
Pronađite GCD i NOC
GCD i NOC pronađeni: 5806
Kako koristiti kalkulator
- Unesite brojeve u polje za unos
- U slučaju unosa pogrešnih znakova, polje za unos će biti istaknuto crvenom bojom
- pritisnite dugme "Pronađi GCD i NOC"
Kako unositi brojeve
- Brojevi se unose odvojeni razmacima, tačkama ili zarezima
- Dužina unesenih brojeva nije ograničena, tako da pronalaženje gcd i lcm dugih brojeva neće biti teško
Šta je NOD i NOK?
Najveći zajednički djelitelj od nekoliko brojeva je najveći prirodni cijeli broj kojim su svi originalni brojevi djeljivi bez ostatka. Najveći zajednički djelitelj je skraćeno GCD.
Najmanji zajednički višekratnik nekoliko brojeva je najmanji broj koji je djeljiv sa svakim od originalnih brojeva bez ostatka. Najmanji zajednički višekratnik je skraćeno NOC.
Kako provjeriti da li je broj djeljiv sa drugim brojem bez ostatka?
Da biste saznali da li je jedan broj djeljiv drugim bez ostatka, možete koristiti neka svojstva djeljivosti brojeva. Zatim se njihovim kombinovanjem može provjeriti djeljivost po nekima od njih i njihovim kombinacijama.
Neki znakovi djeljivosti brojeva
1. Znak djeljivosti broja sa 2
Da bismo utvrdili da li je broj djeljiv sa dva (da li je paran), dovoljno je pogledati posljednju cifru ovog broja: ako je jednak 0, 2, 4, 6 ili 8, onda je broj paran, što znači da je djeljiv sa 2.
primjer: utvrdi da li je broj 34938 djeljiv sa 2.
Rješenje: pogledajte posljednju cifru: 8 znači da je broj djeljiv sa dva.
2. Znak djeljivosti broja sa 3
Broj je djeljiv sa 3 kada je zbir njegovih cifara djeljiv sa 3. Dakle, da biste utvrdili da li je broj djeljiv sa 3, morate izračunati zbir cifara i provjeriti da li je djeljiv sa 3. Čak i ako se zbir cifara pokaže vrlo velikim, možete ponoviti isti postupak opet.
primjer: utvrdi da li je broj 34938 djeljiv sa 3.
Rješenje: računamo zbir cifara: 3+4+9+3+8 = 27. 27 je djeljiv sa 3, što znači da je broj djeljiv sa tri.
3. Znak djeljivosti broja sa 5
Broj je djeljiv sa 5 kada je njegova zadnja cifra nula ili pet.
primjer: utvrdi da li je broj 34938 djeljiv sa 5.
Rješenje: pogledajte posljednju cifru: 8 znači da broj NIJE djeljiv sa pet.
4. Znak djeljivosti broja sa 9
Ovaj znak je vrlo sličan znaku djeljivosti sa tri: broj je djeljiv sa 9 kada je zbir njegovih cifara djeljiv sa 9.
primjer: utvrdi da li je broj 34938 djeljiv sa 9.
Rješenje: izračunavamo zbir cifara: 3+4+9+3+8 = 27. 27 je djeljivo sa 9, što znači da je broj djeljiv sa devet.
Kako pronaći GCD i LCM dva broja
Kako pronaći GCD dva broja
Većina na jednostavan način Izračunavanje najvećeg zajedničkog djelitelja dva broja je pronaći sve moguće djelitelje tih brojeva i odabrati najveći od njih.
Razmotrimo ovu metodu koristeći primjer pronalaženja GCD(28, 36) :
- Faktoriziramo oba broja: 28 = 1 2 2 7 , 36 = 1 2 2 3 3
- Pronalazimo zajedničke faktore, odnosno one koje imaju oba broja: 1, 2 i 2.
- Izračunavamo proizvod ovih faktora: 1 2 2 \u003d 4 - ovo je najveći zajednički djelitelj brojeva 28 i 36.
Kako pronaći LCM dva broja
Postoje dva najčešća načina da se pronađe najmanji višekratnik dva broja. Prvi način je da možete napisati prve višekratnike dva broja, a zatim među njima izabrati broj koji će biti zajednički za oba broja i istovremeno najmanji. A drugi je pronaći GCD ovih brojeva. Hajde da to samo razmotrimo.
Da biste izračunali LCM, morate izračunati proizvod originalnih brojeva, a zatim ga podijeliti s prethodno pronađenim GCD. Nađimo LCM za iste brojeve 28 i 36:
- Pronađite proizvod brojeva 28 i 36: 28 36 = 1008
- Za gcd(28, 36) se već zna da je 4
- LCM(28, 36) = 1008 / 4 = 252 .
Pronalaženje GCD i LCM za više brojeva
Najveći zajednički djelitelj se može naći za nekoliko brojeva, a ne samo za dva. Za to se brojevi za traženje najvećeg zajedničkog djelitelja razlažu na proste faktore, zatim se pronalazi proizvod zajedničkih prostih faktora ovih brojeva. Također, da biste pronašli GCD nekoliko brojeva, možete koristiti sljedeću relaciju: gcd(a, b, c) = gcd(gcd(a, b), c).
Sličan odnos vrijedi i za najmanji zajednički višekratnik brojeva: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)
primjer: pronađite GCD i LCM za brojeve 12, 32 i 36.
- Prvo, hajde da faktorizujemo brojeve: 12 = 1 2 2 3 , 32 = 1 2 2 2 2 2 , 36 = 1 2 2 3 3 .
- Nađimo zajedničke faktore: 1, 2 i 2.
- Njihov proizvod će dati gcd: 1 2 2 = 4
- Sada pronađimo LCM: za ovo prvo pronađemo LCM(12, 32): 12 32 / 4 = 96 .
- Da biste pronašli LCM sva tri broja, trebate pronaći GCD(96, 36): 96 = 1 2 2 2 2 2 3 , 36 = 1 2 2 3 3 , GCD = 1 2 2 3 = 12 .
- LCM(12, 32, 36) = 96 36 / 12 = 288 .
Tema "Više brojeva" se izučava u 5. razredu srednje škole. Njegov cilj je poboljšati pismene i usmene vještine matematičkih proračuna. U ovoj lekciji se uvode novi pojmovi - "više brojeva" i "djelitelja", tehnika pronalaženja djelitelja i višekratnika prirodnog broja, razrađuje se sposobnost pronalaženja LCM na različite načine.
Ova tema je veoma važna. Znanje o tome može se primijeniti pri rješavanju primjera s razlomcima. Da biste to učinili, morate pronaći zajednički nazivnik izračunavanjem najmanjeg zajedničkog višekratnika (LCM).
Višekratnik A je cijeli broj koji je djeljiv sa A bez ostatka.
Svaki prirodan broj ima beskonačan broj svojih višekratnika. Smatra se da je to najmanje. Višekratnik ne može biti manji od samog broja.
Potrebno je dokazati da je broj 125 višekratnik broja 5. Da biste to učinili, trebate podijeliti prvi broj drugim. Ako je 125 djeljivo sa 5 bez ostatka, onda je odgovor potvrdan.
Ova metoda je primjenjiva za male brojeve.
Prilikom izračunavanja LCM-a postoje posebni slučajevi.
1. Ako trebate pronaći zajednički višekratnik za 2 broja (na primjer, 80 i 20), pri čemu je jedan od njih (80) djeljiv bez ostatka s drugim (20), tada je ovaj broj (80) najmanji višestruka ova dva broja.
LCM (80, 20) = 80.
2. Ako dva nemaju zajednički djelitelj, onda možemo reći da je njihov LCM proizvod ova dva broja.
LCM (6, 7) = 42.
Razmotrimo posljednji primjer. 6 i 7 u odnosu na 42 su djelitelji. Oni dijele višekratnik bez ostatka.
U ovom primjeru, 6 i 7 su djelitelji parova. Njihov proizvod je jednak najvišem broju (42).
Broj se naziva prostim ako je djeljiv samo sa sobom ili sa 1 (3:1=3; 3:3=1). Ostalo se naziva kompozitnim.
U drugom primjeru, trebate odrediti da li je 9 djelitelj u odnosu na 42.
42:9=4 (ostatak 6)
Odgovor: 9 nije djelitelj broja 42 jer odgovor ima ostatak.
Delitelj se razlikuje od višekratnika po tome što je djelitelj broj kojim se dijele prirodni brojevi, a višekratnik je i sam djeljiv tim brojem.
Najveći zajednički djelitelj brojeva a I b, pomnoženo njihovim najmanjim višekratnikom, dat će proizvod samih brojeva a I b.
Naime: GCD (a, b) x LCM (a, b) = a x b.
Uobičajeni višekratnici za složenije brojeve nalaze se na sljedeći način.
Na primjer, pronađite LCM za 168, 180, 3024.
Ove brojeve rastavljamo na proste faktore, zapisujemo ih kao proizvod potencija:
168=2³x3¹x7¹
2⁴h3³h5¹h7¹=15120
LCM (168, 180, 3024) = 15120.
