Tema lekcije: Cilindar, njegovi elementi.
Svrha lekcije:
Učvršćivanje znanja učenika o tijelu okretanja - cilindru (elementi cilindra, formule za površinu bočne i pune površine cilindra).
Cilj učenika: biti u stanju riješiti tipične zadatke za cilindar u UNT zadacima.
Ciljevi lekcije:
1. formiranje vještina za rješavanje tipičnih problema;
2. razviti prostorne predstave na primjeru okruglih tijela;
3. nastaviti formiranje logičkih i grafičkih vještina.
Vrsta lekcije: kombinovani.
Nastavne metode: verbalna, praktična aktivnost, rad sa knjigom, problematična.
Oprema: tabla, stol broj 3, set modela.
Tokom nastave
1. Organizacioni momenat:
1. postavljanje ciljeva
2. psihološki stav.
2. Aktuelizacija osnovnih znanja.
1) Rad na karticama.
Od učenika se traži da popune radni list.
Moguće je raditi i prepisivanjem (u ovom slučaju jedan primjerak se predaje nastavniku, a drugi učenik provjerava u toku daljeg rada na času).
Card.
1. Nacrtajte glavne elemente cilindra na crtežu.
2
.Prikaži a) aksijalni presjek cilindra; b) presjek cilindra ravninom koja prolazi okomito na osu cilindra; c) presjek cilindra ravninom koja je paralelna osi cilindra. Koja se cifra dobije u svakom slučaju?
3. Zapišite formule za izračunavanje površine cilindra.
Šta se može naći po ovim formulama? Šta treba znati u ovim slučajevima?
Učenici predaju nastavne listove.
3. Usmeni rad na modelima. (u cilju generalizacije znanja i provjere obavljenog posla)
1) Koji se oblik naziva cilindar?
Cilindar - Ovo je geometrijsko tijelo koje se sastoji od dva jednaka kruga smještena u paralelnim ravnima i skupa segmenata koji povezuju odgovarajuće tačke ovih krugova.
2) Zašto se cilindar naziva tijelom okretanja?
Cilindar se može dobiti okretanjem pravougaonika oko jedne od njegovih stranica.
3) Koje su vrste cilindara?
Kosi cilindri, ravni cilindri, cilindrične površine.
4) Imenujte elemente cilindra.
Baza cilindara - jednaki krugovi smješteni u paralelnim ravnima.
Visina cilindra - ovo rastojanje između ravni njegovih osnova.
Radijus cilindra je poluprečnik njegove baze.
Osa cilindra je prava linija koja prolazi kroz središta osnove cilindra (osa cilindra je osa rotacije cilindra).
Generator cilindra - ovo je segment koji povezuje tačku kruga gornje baze sa odgovarajućom tačkom kruga donje baze. Svi generatori su paralelni sa osi rotacije i imaju istu dužinu, jednaku visini cilindra.
Generator cilindra tokom rotacije oko ose se formira bočna (cilindrična) površina cilindra .
5) Šta je čišćenje cilindra?
Razvoj bočne površine cilindra je pravougaonik sa stranicama H I C, gdje H je visina cilindra, i C je obim baze.6) Kako pronaći bočnu površinu cilindra?
S b = H · C = 2 π RH
7) Kako pronaći ukupnu površinu cilindra?
S P = S b + 2 S = 2 π R (R + H ).
8) Koje su glavne vrste sekcija cilindra. Koja se cifra dobije u svakom slučaju?
Aksijalni presjek cilindra - presjek cilindra ravninom koja prolazi kroz osu cilindra (aksijalni presjek cilindra je ravan simetrije cilindra). Svi aksijalni presjeci cilindra su jednaki pravokutnici.
presjek ravan paralelna sa osom cilindra. Sekcija je pravougaonik.
Ravan presjek okomito na osu cilindra. Krugovi u poprečnom presjeku, jednaki bazi.
9) Navedite primjere upotrebe cilindara.
Cilindrična gastronomija. Cilindrična arhitektura. Cilindri faraona (učenički nastup 1-2 minute).
4. Učvršćivanje materijala. Rješavanje problema.
At 
Učenici vide listu zadataka za školski rad. Po želji, studenti imaju priliku da odluče prije ocjene.
№ 2 . Aksijalni presjek cilindra je kvadrat čija je dijagonala 20 cm Nađite: a) visinu cilindra; b) Dakle cilindar.
№3 Površina aksijalnog presjeka cilindra je 10 m 2, a površina baze je 5 m 2. Pronađite visinu cilindra.
№4 Krajevi segmenta AB leže na različite osnove cilindar. Radijus cilindra je r, njegova visoka - h, udaljenost između prave AB i ose cilindra je d. Nađi: a) visina ako r = 10, d= 8, AB = 13.
№5* Kroz generatricu AA 1 cilindra povučene su dvije sekantne ravni, od kojih jedna prolazi kroz osu cilindra. Odrediti omjer površina poprečnog presjeka cilindra prema ovim ravninama ako je ugao između njih jednak j.
5. Obrazovni samostalni rad. Samostalan rad na opcijama. (Moguća je organizacija rada u paru).
Ravan g, paralelna osi cilindra, odsijeca luk A od obima osnove m D sa stepenom mjerom a . Radijus cilindra je a, visina je h, razmak između ose cilindra OO 1 i ravni g je jednak d.
Opcija 2. 1) Napravite plan za izračunavanje površine poprečnog presjeka iz podataka a , h, d.2) Pronađite AD ako a =8 cm, a = 120°. 6. Postavljanje domaće zadaće . Ponovite formulu 1 i riješite broj 25. 7. Reflektivno-evaluacijski blok.Refleksija.Šta ste novo naučili na lekciji?
šta ste naučili?
Kakvo je vaše raspoloženje na kraju časa?
Možete li objasniti rješenje ovih problema kolegi iz razreda koji je danas propustio čas?
Cilindrična površina se formira pomeranjem prave linije paralelne sa sobom. Tačka prave linije, koja je odabrana, kreće se duž date ravninske krive - vodič. Ova linija se zove generatrisa cilindrične površine.
Pravo cilindar je cilindar u kojem su generatori okomiti na bazu. Ako generatori cilindra nisu okomiti na bazu, to će biti kosi cilindar.
kružni cilindar- cilindar čija je osnova kružnica.
okrugli cilindar- cilindar koji je i ravan i kružnog oblika.
Pravi kružni cilindar određeno radijusom baze R i generisanje L, što je jednako visini cilindra H.
Prizma je poseban slučaj cilindra.
Formule za pronalaženje elemenata cilindra.
Bočna površina desnog kružnog cilindra:
S strana = 2πRH
Ukupna površina desnog kružnog cilindra:
S=Sstrana+ 2Smain = 2 π R(H+R)
Zapremina pravog kružnog cilindra:
V = S glavni H = πR 2 H
Pravi kružni cilindar sa zakošenom bazom ili kratko zakošeni cilindar definiran je polumjerom baze R, minimalna visina h1 i maksimalne visine h2.
Bočna površina zakošenog cilindra:
S strana \u003d πR (h 1 + h 2)
Područje osnova zakošenog cilindra.
Cilindar (kružni cilindar) - tijelo koje se sastoji od dvije kružnice, spojene paralelnim prijenosom, i svih segmenata koji povezuju odgovarajuće tačke ovih krugova. Krugovi se nazivaju bazama cilindra, a segmenti koji povezuju odgovarajuće tačke krugova kružnica nazivaju se generatori cilindra.
Osnove cilindra su jednake i leže u paralelnim ravnima, a generatori cilindra su paralelni i jednaki. Površina cilindra sastoji se od baze i bočne površine. Bočnu površinu formiraju generatori.
Cilindar se naziva pravim ako su njegovi generatori okomiti na ravni baze. Cilindar se može smatrati tijelom koje se dobije rotacijom pravougaonika oko jedne od njegovih strana kao ose. Postoje i druge vrste cilindara - eliptični, hiperbolični, parabolični. Prizma se takođe smatra vrstom cilindra.
Slika 2 prikazuje kosi cilindar. Krugovi sa centrima O i O 1 su njegove osnove.
Poluprečnik cilindra je poluprečnik njegove baze. Visina cilindra je udaljenost između ravnina baza. Osa cilindra je prava linija koja prolazi kroz središta baza. Paralelno je sa generatorima. Presjek cilindra ravninom koja prolazi kroz osu cilindra naziva se aksijalni presjek. Ravan koja prolazi kroz generatricu pravog cilindra i okomita na aksijalni presjek povučen kroz ovu generatrisu naziva se tangentna ravan cilindra.
Ravan okomita na osu cilindra siječe njegovu bočnu površinu duž kružnice jednake obimu baze.
Prizma upisana u cilindar je prizma čije su osnove jednaki mnogouglovi upisani u osnovice cilindra. Njegove bočne ivice su generatrise cilindra. Za prizmu se kaže da je opisana u blizini cilindra ako su njene osnove jednaki poligoni opisani u blizini osnova cilindra. Ravnine njegovih strana dodiruju bočnu površinu cilindra.
Površina bočne površine cilindra može se izračunati množenjem dužine generatrike s perimetrom presjeka cilindra ravninom koja je okomita na generatricu.
Bočna površina desnog cilindra može se naći iz njegovog razvoja. Razvoj cilindra je pravougaonik visine h i dužine P koja je jednaka obodu osnove. Stoga je površina bočne površine cilindra jednaka površini njegovog razvoja i izračunava se po formuli:
Konkretno, za desni kružni cilindar:
P = 2πR, i Sb = 2πRh.
Ukupna površina cilindra jednaka je zbroju površina njegove bočne površine i njegovih baza.
Za pravi kružni cilindar:
S p = 2πRh + 2πR 2 = 2πR(h + R)
Postoje dvije formule za pronalaženje volumena nagnutog cilindra.
Zapreminu možete pronaći množenjem dužine generatrike s površinom poprečnog presjeka cilindra ravninom koja je okomita na generatricu.
Zapremina nagnutog cilindra jednaka je umnošku površine baze i visine (udaljenost između ravnina u kojima leže baze):
V = Sh = S l sin α,
gdje je l dužina generatrise, a α je ugao između generatrike i ravni baze. Za pravi cilindar h = l.
Formula za pronalaženje zapremine kružnog cilindra je sljedeća:
V \u003d π R 2 h = π (d 2 / 4) h,
gdje je d osnovni prečnik.
stranice, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, obavezan je link na izvor.
Naziv nauke "geometrija" preveden je kao "merenje zemlje". Nastao je zahvaljujući naporima prvih drevnih geodeta. A dogodilo se ovako: tokom poplava svetog Nila potoci vode ponekad su ispirali granice poljoprivrednih parcela, a nove granice se možda neće poklapati sa starim. Poreze su seljaci plaćali u faraonsku blagajnu srazmjerno veličini zemljišne parcele. Nakon izlivanja, na mjerenju površina oranica u novim granicama angažovana su posebna lica. Kao rezultat njihovih aktivnosti nastala je nova nauka koja se razvila u Ancient Greece. Tamo je dobila ime i praktično stekla moderan izgled. U budućnosti, termin je postao međunarodni naziv za nauku o ravnim i trodimenzionalnim figurama.
Planimetrija je grana geometrije koja se bavi proučavanjem ravnih figura. Druga grana nauke je stereometrija, koja razmatra svojstva prostornih (volumetrijskih) figura. Cilindar opisan u ovom članku također pripada takvim figurama.
Postoji mnogo primjera prisutnosti cilindričnih predmeta u svakodnevnom životu. Gotovo svi dijelovi rotacije - osovine, čahure, vratovi, osovine itd. imaju cilindrični (mnogo rjeđe - konusni) oblik. Cilindar se široko koristi u građevinarstvu: tornjevi, potporni, ukrasni stupovi. A osim toga, posuđe, neke vrste ambalaže, cijevi raznih promjera. I na kraju - poznati šeširi, koji su već dugo postali simbol muške elegancije. Lista je beskrajna.
Definicija cilindra kao geometrijske figure
Cilindar (kružni cilindar) se obično naziva figura koja se sastoji od dva kruga, koji se, po želji, kombiniraju pomoću paralelnog prijevoda. Upravo su ovi krugovi osnove cilindra. Ali linije (ravni segmenti) koje povezuju odgovarajuće tačke nazivaju se "generatori".
Važno je da su osnovice cilindra uvijek jednake (ako ovaj uvjet nije ispunjen, onda ispred sebe imamo krnji konus, nešto drugo, ali ne cilindar) i da su u paralelnim ravnima. Segmenti koji povezuju odgovarajuće tačke na kružnicama su paralelni i jednaki.
Ukupnost beskonačnog skupa generatora nije ništa drugo do bočna površina cilindra - jedan od elemenata date geometrijske figure. Njegova druga važna komponenta su krugovi o kojima smo gore govorili. Zovu se baze.
Vrste cilindara
Najjednostavniji i najčešći tip cilindra je kružni. Formiran je od dva pravilna kruga koji djeluju kao baze. Ali umjesto njih mogu biti druge figure.
Osnove cilindara mogu formirati (osim krugova) elipse i druge zatvorene figure. Ali cilindar ne mora nužno imati zatvoreni oblik. Na primjer, parabola, hiperbola ili druga otvorena funkcija može poslužiti kao osnova cilindra. Takav cilindar će biti otvoren ili raspoređen.
Prema kutu nagiba generatrisa prema bazama, cilindri mogu biti ravni ili kosi. Za desni cilindar, generatori su strogo okomiti na ravninu baze. Ako se ovaj ugao razlikuje od 90°, cilindar je nagnut.
Šta je površina revolucije
Desni kružni cilindar je bez sumnje najčešća okretna površina koja se koristi u inženjerstvu. Ponekad se, prema tehničkim indikacijama, koriste konusne, sferne i neke druge vrste površina, ali 99% svih rotirajućih osovina, osovina itd. izrađene u obliku cilindara. Da bismo bolje razumjeli što je okretna površina, možemo razmotriti kako se formira sam cilindar.
Recimo da postoji linija a postavljena okomito. ABCD je pravougaonik čija jedna stranica (segment AB) leži na pravoj liniji a. Ako zakrenemo pravougaonik oko prave linije, kao što je prikazano na slici, zapremina koju će on zauzimati dok se okreće biće naše telo okretanja - pravi kružni cilindar visine H = AB = DC i poluprečnika R = AD = BC.
U ovom slučaju, kao rezultat rotacije figure - pravokutnika - dobiva se cilindar. Rotirajući trokut, možete dobiti konus, rotirajući polukrug - loptu itd.
Površina cilindra
Da bi se izračunala površina običnog ravnog kružnog cilindra, potrebno je izračunati površine baza i bočne površine.
Prvo, pogledajmo kako se izračunava bočna površina. Ovo je proizvod obima i visine cilindra. Opseg je, pak, jednak dvostrukom proizvodu univerzalnog broja P na poluprečnik kruga.
Poznato je da je površina kruga jednaka proizvodu P na kvadrat poluprečnika. Dakle, dodavanjem formule za područje određivanja bočne površine sa dvostrukim izrazom za osnovnu površinu (postoje ih dvije) i izvođenjem jednostavnih algebarskih transformacija, dobivamo konačni izraz za određivanje površine površine cilindar.
Određivanje zapremine figure
Zapremina cilindra određena je standardnom shemom: površina baze se množi s visinom.
Dakle, konačna formula izgleda ovako: željeno se definira kao proizvod visine tijela univerzalnim brojem P i kvadrat polumjera baze.
Rezultirajuća formula, mora se reći, primjenjiva je na rješavanje najneočekivanijih problema. Na isti način kao i zapremina cilindra, na primjer, određuje se volumen električnih instalacija. Ovo može biti potrebno za izračunavanje mase žica.
Jedina razlika u formuli je u tome što umjesto polumjera jednog cilindra postoji prečnik jezgre ožičenja podijeljen na dva i broj žila u žici se pojavljuje u izrazu N. Također, dužina žice se koristi umjesto visine. Dakle, volumen "cilindra" se izračunava ne po jedan, već po broju žica u pletenici.
Takvi proračuni su često potrebni u praksi. Nakon svega značajan dio rezervoari za vodu su napravljeni u obliku cevi. I često je potrebno izračunati zapreminu cilindra čak iu domaćinstvu.
Međutim, kao što je već spomenuto, oblik cilindra može biti različit. A u nekim slučajevima potrebno je izračunati koliki je volumen nagnutog cilindra.
Razlika je u tome što se površina baze ne množi s dužinom generatrike, kao u slučaju ravnog cilindra, već s razmakom između ravnina - okomitim segmentom koji je izgrađen između njih.
Kao što se može vidjeti sa slike, takav segment je jednak proizvodu dužine generatrike sa sinusom ugla nagiba generatrike prema ravni.
Kako napraviti cilindar za čišćenje
U nekim slučajevima potrebno je izrezati razvrtač cilindra. Na slici ispod prikazana su pravila po kojima se gradi blank za proizvodnju cilindra zadane visine i promjera.
Imajte na umu da je slika prikazana bez šavova.
Zakošene razlike cilindra
Zamislimo pravi cilindar omeđen s jedne strane ravninom koja je okomita na generatore. Ali ravan koja ograničava cilindar s druge strane nije okomita na generatore i nije paralelna s prvom ravninom.
Na slici je prikazan zakošeni cilindar. Avion ali pod nekim uglom drugim od 90° u odnosu na generatore, siječe sliku.
Ovaj geometrijski oblik je u praksi češći u obliku cevovodnih priključaka (koljena). Ali postoje čak i zgrade izgrađene u obliku zakošenog cilindra.
Geometrijske karakteristike zakošenog cilindra
Nagib jedne od ravnina zakošenog cilindra malo mijenja redoslijed izračunavanja i površine takve figure i njenog volumena.
Cilindar
Def. Cilindar je tijelo koje se sastoji od dva poravnata kruga
paralelna translacija i svi segmenti koji povezuju odgovarajuće tačke
ovi krugovi.
Krugovi se nazivaju osnove cilindra, a segmenti koji povezuju odgovarajuće tačke kružnica ovih kružnica nazivaju se generatori cilindra (slika 1)
pirinač. 1 sl. 2 sl. 3 sl. 4
Svojstva cilindra:
1) Osnove cilindra su jednake i leže u paralelnim ravnima.
2) Generatori cilindra su jednaki i paralelni.
Def. Poluprečnik cilindra je poluprečnik njegove baze.
Def. Visina cilindra je udaljenost između ravnina njegovih baza.
Def. Presjek cilindra ravninom koja prolazi kroz osu cilindra naziva se aksijalni presjek.
Aksijalni presjek cilindra je pravougaonik sa stranicama 2R i l(u ravnom cilindru l= H) sl. 2
Poprečni presjek cilindra, paralelan njegovoj osi, su pravokutnici (sl. 3).
Presjek cilindra ravninom paralelnom sa bazama - krug jednak bazama (slika 4)
Površina cilindra.
Bočna površina cilindra je sastavljena od generatora.
Puna površina cilindra sastoji se od baze i bočne površine.
S pun = 2 S main + S strana ; S main = P ∙ R 2 ; S strana = 2 P ∙ R ∙NS pun = 2PR ∙(R + H)
Praktični dio:
№1. Poluprečnik cilindra je 3 cm, a visina mu je 5 cm. Pronađite površinu aksijalnog presjeka i površinu polovice
površine cilindra.
№2.
Dijagonala aksijalnog presjeka cilindra je nagnuta prema ravni baze pod uglom 
i jednaka je 20 cm Nađite površinu bočne površine cilindra.
№3. Poluprečnik cilindra je 2cm, a visina 3cm. Pronađite dijagonalu aksijalnog presjeka cilindra.
№4.
Dijagonala aksijalnog presjeka cilindra, jednaka 
, formira ugao sa ravninom baze 
. Pronađite bočnu površinu cilindra.
№5.
Bočna površina cilindra je 15 
. Pronađite površinu aksijalnog presjeka.
№6.
Odredite visinu cilindra ako je njegova baza 1, a S strana = 
.
№7.
Dijagonala aksijalnog presjeka cilindra je dužine 8 cm i nagnuta je prema ravni baze pod uglom 
. Pronađite ukupnu površinu cilindra.
Cilindrični dimnjak prečnika 65cm ima visinu od 18m. Koliko je kalaja potrebno da se napravi ako se 10% materijala potroši na zakovicu?
