Iz osnovne formule za zapreminu tetraedra

gdje S je površina bilo kojeg lica, i H- visina spuštena na njega, možete izvesti brojne formule koje izražavaju zapreminu kroz različite elemente tetraedra. Dajemo ove formule za tetraedar A B C D.

(2) ,

gdje je ∠ ( AD,ABC) je ugao između ivice AD i čeona ravnina ABC;

(3) ,

gdje je ∠ ( ABC,ABD) je ugao između lica ABC I ABD;

gdje | AB,CD| - razmak između suprotnih rebara AB I CD, ∠ (AB,CD) je ugao između ovih ivica.

Formule (2)–(4) se mogu koristiti za pronalaženje uglova između pravih i ravni; Posebno je korisna formula (4) pomoću koje možete pronaći razmak između kosih linija AB I CD.

Formule (2) i (3) su slične formuli S = (1/2)ab grijeh C za površinu trougla. Formula S = rp slična formula

gdje r je polumjer upisane sfere tetraedra, Σ je njegova ukupna površina (zbir površina svih strana). Postoji i prekrasna formula koja povezuje zapreminu tetraedra sa radijusom R njegov opisani obim ( Crelle formula):

gdje je Δ površina trokuta čije su stranice numerički jednake umnošku suprotnih ivica ( AB× CD, AC× BD,AD× BC). Iz formule (2) i kosinusne teoreme za triedarske uglove (vidi Sferna trigonometrija), može se izvesti formula slična Heronovoj formuli za trouglove.

Razmotrimo proizvoljan trougao ABC i tačku D koja ne leži u ravni ovog trougla. Povežite ovu tačku segmentima sa vrhovima trougla ABC. Kao rezultat, dobijamo trouglove ADC, CDB, ABD. Površina omeđena sa četiri trokuta ABC, ADC, CDB i ABD naziva se tetraedar i označava se DABC.
Trouglovi koji čine tetraedar nazivaju se njegove strane.
Stranice ovih trouglova nazivaju se ivicama tetraedra. A njihovi vrhovi su vrhovi tetraedra

Tetraedar ima 4 lica, 6 rebara I 4 vrha.
Dvije ivice koje nemaju zajednički vrh nazivaju se suprotnim.
Često se, radi praktičnosti, naziva jedno od lica tetraedra osnovu, a preostale tri strane su bočne strane.

Dakle, tetraedar je najjednostavniji poliedar čija su lica četiri trokuta.

Ali takođe je tačno da je svaka proizvoljna trouglasta piramida tetraedar. Tada je takođe tačno da se tetraedar naziva piramida sa trouglom u osnovi.

Visina tetraedra naziva se segment koji povezuje vrh sa tačkom koja se nalazi na suprotnoj strani i okomita na nju.
Medijan tetraedra naziva se segment koji povezuje vrh sa tačkom preseka medijana suprotnog lica.
Bimedijski tetraedar naziva se segment koji povezuje sredine ukrštanja ivica tetraedra.

Budući da je tetraedar piramida sa trouglastom bazom, volumen svakog tetraedra se može izračunati pomoću formule

• S je područje bilo kojeg lica,
• H- visina spuštena na ovom licu

Pravilni tetraedar - posebna vrsta tetraedra

Tetraedar u kojem su sva lica jednakostranični trouglovi naziva se ispravan.
Svojstva pravilnog tetraedra:

• Sve ivice su jednake.
• Svi ravni uglovi pravilnog tetraedra su 60°
• Pošto je svaki od njegovih vrhova vrh tri pravilna trougla, zbir ravnih uglova u svakom vrhu je 180°
• Bilo koji vrh pravilnog tetraedra se projektuje na ortocentar suprotnog lica (do tačke preseka visina trougla).

Neka nam je dat pravilan tetraedar ABCD sa ivicama jednakim a . DH je njegova visina.
Napravimo dodatne konstrukcije BM - visina trougla ABC i DM - visina trougla ACD.
Visina BM jednaka je BM i jednaka
Uzmimo u obzir trougao BDM, gdje je DH, što je visina tetraedra, također visina ovog trougla.
Visina trokuta spuštena na stranu MB može se pronaći pomoću formule

, gdje
BM=, DM=, BD=a,
p=1/2 (BM+BD+DM)=
Zamijenite ove vrijednosti u formulu visine. Get


Izvadimo 1/2a. Get

Primijenite formulu razlike kvadrata

Nakon nekih manjih transformacija, dobijamo


Zapremina bilo kojeg tetraedra može se izračunati pomoću formule
,
gdje ,

Zamjenom ovih vrijednosti dobijamo

Tako je formula zapremine za pravilan tetraedar

gdje a– ivica tetraedra

Izračunavanje zapremine tetraedra ako su poznate koordinate njegovih vrhova

Neka nam budu date koordinate vrhova tetraedra

Nacrtajte vektore iz vrha , , .
Da biste pronašli koordinate svakog od ovih vektora, oduzmite odgovarajuću početnu koordinatu od krajnje koordinate. Get

Definicija tetraedra

Tetrahedron- najjednostavnije poliedarsko tijelo čija su lica i osnova trouglovi.

Online kalkulator

Tetraedar ima četiri lica, od kojih je svako formirano od tri strane. Tetraedar ima četiri vrha, svaki sa tri ivice.

Ovo tijelo je podijeljeno u nekoliko tipova. Ispod je njihova klasifikacija.

1. Izoedarski tetraedar- sva njegova lica su isti trouglovi;
2. Ortocentrični tetraedar- sve visine povučene od svakog vrha do suprotnog lica su iste po dužini;
3. Pravougaoni tetraedar- ivice koje izlaze iz jednog vrha međusobno formiraju ugao od 90 stepeni;
4. okvir;
5. Proporcionalno;
6. incentric.

Formule zapremine tetraedra

Zapreminu datog tijela možemo pronaći na nekoliko načina. Analizirajmo ih detaljnije.

Kroz mješoviti proizvod vektora

Ako je tetraedar izgrađen na tri vektora sa koordinatama:

A ⃗ = (a x, a y, a z) \vec(a)=(a_x, a_y, a_z)a= (a x​ , a y​ , a z​ )
b ⃗ = (b x , b y , b z) \vec(b)=(b_x, b_y, b_z)b= (b x​ , b y​ , b z​ )
c ⃗ = (c x, c y, c z) \vec(c)=(c_x, c_y, c_z)c= (c x​ , c y​ , c z​ ) ,

tada je volumen ovog tetraedra mješoviti proizvod ovih vektora, odnosno takva determinanta:

Zapremina tetraedra kroz determinantu

V = 1 6 ⋅ ∣ axayazbxbybzcxcycz ∣ V=\frac(1)(6)\cdot\begin(vmatrix) a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_zma \\ \end )V =6 1 ​ ⋅ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ a x​ b x​ c x​ ​ a y​ b y​ c y​ ​ a z​ b z​ c z​ ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​

Zadatak 1

Poznate su koordinate četiri vrha oktaedra. A (1, 4, 9) A(1,4,9) A (1 , 4 , 9 ), B(8, 7, 3) B(8,7,3) B(8, 7, 3), C (1, 2, 3) C(1,2,3) C (1 , 2 , 3 ), D(7, 12, 1) D(7,12,1) D (7 , 1 2 , 1 ). Pronađite njen volumen.

Rješenje

A (1, 4, 9) A(1,4,9) A (1 , 4 , 9 )
B(8, 7, 3) B(8,7,3) B(8, 7, 3)
C (1, 2, 3) C(1,2,3) C (1 , 2 , 3 )
D(7, 12, 1) D(7,12,1) D (7 , 1 2 , 1 )

Prvi korak je određivanje koordinata vektora na kojima je dato tijelo izgrađeno.
Da biste to učinili, trebate pronaći svaku koordinatu vektora oduzimanjem odgovarajućih koordinata dvije tačke. Na primjer, vektorske koordinate A B → \overrightarrow(AB) A B, odnosno vektor usmjeren iz tačke AA A do tačke B B B, ovo su razlike odgovarajućih koordinata tačaka B B B I AA A:

AB → = (8 − 1 , 7 − 4 , 3 − 9) = (7 , 3 , − 6) \overrightarrow(AB)=(8-1, 7-4, 3-9)=(7, 3, -6)A B= (8 − 1 , 7 − 4 , 3 − 9 ) = (7 , 3 , − 6 )

AC → = (1 − 1 , 2 − 4 , 3 − 9) = (0 , − 2 , − 6) \overrightarrow(AC)=(1-1, 2-4, 3-9)=(0, - 2, -6)A C= (1 − 1 , 2 − 4 , 3 − 9 ) = (0 , − 2 , − 6 )
AD → = (7 − 1 , 12 − 4 , 1 − 9) = (6 , 8 , − 8) \overrightarrow(AD)=(7-1, 12-4, 1-9)=(6, 8, -8)A D= (7 − 1 , 1 2 − 4 , 1 − 9 ) = (6 , 8 , − 8 )

Sada nalazimo mješoviti proizvod ovih vektora, za to sastavljamo determinantu trećeg reda, uz pretpostavku da je A B → = a ⃗ \overrightarrow(AB)=\vec(a)A B= a, A C → = b ⃗ \overrightarrow(AC)=\vec(b)A C= b, A D → = c ⃗ \overrightarrow(AD)=\vec(c)A D= c.

∣ axayazbxbybzcxcycz ∣ = ∣ 7 3 − 6 0 − 2 − 6 6 8 − 8 ∣ = 7 ⋅ (− 2) ⋅ (− 8) + 3 ⋅ (− 6) ⋅ 6 + (− 8) ⋅ 6 + (− 8) (− 6) ⋅ (− 2) ⋅ 6 − 7 ⋅ (− 6) ⋅ 8 − 3 ⋅ 0 ⋅ (− 8) = 112 − 108 − 0 − 72 + 336 + 0 = 268 &begin(vmatrix) a_x a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\ \end(vmatrix)= \begin(vmatrix) 7 & 3 & -6 \\ 0 & -2 & -6 \\ 6 & 8 & -8 \\ \end(vmatrix)=7\cdot(-2)\cdot(-8) + 3\cdot(-6)\cdot6 + (-6)\cdot0\cdot8 - (-6)\cdot (-2)\cdot6 - 7\cdot(-6)\cdot8 - 3\cdot0\cdot(-8) = 112 - 108 - 0 - 72 + 336 + 0 = 268∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ a x​ b x​ cx​ ​ ay​ by​ cy​ ​ az​ bz​ cz​ ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ 7 0 6 ​ 3 − 2 8 ​ − 6 − 6 − 8 ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ = 7 ⋅ (− 2 ) ⋅ (− 8 ) + 3 ⋅ (− 6 ) ⋅ 6 + (− 6 ) ⋅ 0 ⋅ 8 − (− 6 ) ⋅ (− 2 ) ⋅ 6 − 7 ⋅ (− 6 ) ⋅ 8 − 3 ⋅ 0 ⋅ (− 8 ) = 1 1 2 − 1 0 8 − 0 − 7 2 + 3 3 6 + 0 = 2 6 8

To jest, zapremina tetraedra je:

$V=61\cdot |$

Odgovori

$44.8\text{cm3 .}$

Formula za volumen izoedarskog tetraedra duž njegove stranice

Ova formula vrijedi samo za izračunavanje volumena izoedarskog tetraedra, odnosno tetraedra u kojem su sve strane identični pravilni trouglovi.

Volumen izoedarskog tetraedra

$V=12\sqrt{2\cdot a^3}$

aaa je dužina ivice tetraedra.

Zadatak 2

Nađite zapreminu tetraedra ako je njegova stranica jednaka $11\text{cm.}$

Rješenje

$a=11$

Zamena aaa u formulu za zapreminu tetraedra:

$V=12\sqrt{2\cdot a^{3=12\sqrt{2\cdot 11^{3\approx 156.8\text{cm3}}}}}$

Odgovori

$156.8\text{cm3 .}$

Bilješka. Ovo je dio lekcije sa problemima iz geometrije (odsjek geometrija tijela, zadaci o piramidi). Ako trebate riješiti problem iz geometrije kojeg ovdje nema - pišite o tome na forumu. U zadacima se umjesto simbola "kvadratni korijen" koristi funkcija sqrt (), u kojoj je sqrt simbol kvadratnog korijena, a radikalni izraz je naznačen u zagradama.Za jednostavne radikalne izraze može se koristiti znak "√".. pravilni tetraedar je pravilna trouglasta piramida u kojoj su sva lica jednakostranični trouglovi.

Za pravilan tetraedar, svi diedarski uglovi na ivicama i svi triedarski uglovi na vrhovima su jednaki

Tetraedar ima 4 lica, 4 vrha i 6 ivica.

Osnovne formule za pravilan tetraedar date su u tabeli.

gdje:
S - Površina pravilnog tetraedra
V - volumen
h - visina spuštena do baze
r - poluprečnik kružnice upisane u tetraedar
R - poluprečnik opisane kružnice
a - dužina rebra

Praktični primjeri

Zadatak.
Nađite površinu trokutaste piramide sa svakim rubom jednakim √3

Rješenje.
Pošto su sve ivice trouglaste piramide jednake, to je tačno. Površina pravilne trouglaste piramide je S = a 2 √3.
Onda
S = 3√3

Odgovori: 3√3

Zadatak.
Sve ivice pravilne trouglaste piramide su 4 cm.Nađite zapreminu piramide

Rješenje.
Kako je u pravilnoj trouglastoj piramidi visina piramide projektovana na centar osnove, koja je ujedno i središte opisane kružnice, onda

AO = R = √3 / 3a
AO = 4√3 / 3

Tako se visina piramide OM može naći iz pravouglog trougla AOM

AO 2 + OM 2 = AM 2
OM 2 = AM 2 - AO 2
OM 2 = 4 2 - (4√3 / 3) 2
OM 2 = 16 - 16/3
OM = √(32/3)
OM = 4√2 / √3

Zapremina piramide se nalazi po formuli V = 1/3 Sh
U ovom slučaju nalazimo površinu baze po formuli S \u003d √3/4 a 2

V = 1/3 (√3 / 4 * 16) (4√2 / √3)
V=16√2/3

Odgovori: 16√2/3cm