Slike ispod pokazuju gdje funkcija može dostići svoju najmanju i najveću vrijednost. Na lijevoj slici, najmanja i najveća vrijednost fiksirane su u točkama lokalnog minimuma i maksimuma funkcije. Na desnoj slici - na krajevima segmenta.

Ako je funkcija y = f(x) kontinuirano na intervalu [ a, b] , zatim dopire do ovog segmenta najmanje i najviše vrijednosti . To se, kao što je već spomenuto, može dogoditi bilo u ekstremne tačke ili na krajevima segmenta. Stoga, pronaći najmanje i najveće vrijednosti funkcije , kontinuirano na intervalu [ a, b] , potrebno je izračunati njegove vrijednosti u svemu kritične tačke i na krajevima segmenta, a zatim odaberite najmanji i najveći od njih.

Neka je, na primjer, potrebno odrediti maksimalnu vrijednost funkcije f(x) na segmentu [ a, b] . Da biste to učinili, pronađite sve njegove kritične točke koje leže na [ a, b] .

kritična tačka naziva se tačka u kojoj definirana funkcija, i ona derivat je ili nula ili ne postoji. Zatim biste trebali izračunati vrijednosti funkcije u kritičnim točkama. I, na kraju, treba uporediti vrijednosti funkcije u kritičnim točkama i na krajevima segmenta ( f(a) i f(b) ). Najveći od ovih brojeva će biti najveća vrijednost funkcije na intervalu [a, b] .

Problem nalaženja najmanje vrijednosti funkcije .

Zajedno tražimo najmanju i najveću vrijednost funkcije

Primjer 1. Pronađite najmanju i najveću vrijednost funkcije na segmentu [-1, 2] .

Odluka. Nalazimo derivaciju ove funkcije. Izjednačite derivaciju sa nulom () i dobijete dvije kritične točke: i . Da biste pronašli najmanju i najveću vrijednost funkcije na datom segmentu, dovoljno je izračunati njene vrijednosti na krajevima segmenta i u tački, jer tačka ne pripada segmentu [-1, 2] . Ove vrijednosti funkcije su sljedeće: , , . Iz toga slijedi najmanja vrijednost funkcije(označeno crvenom bojom na donjem grafikonu), jednako -7, dostiže se na desnom kraju segmenta - u tački , i najveći(takođe crvena na grafikonu), jednaka je 9, - u kritičnoj tački.

Ako je funkcija kontinuirana u određenom intervalu i ovaj interval nije segment (ali je, na primjer, interval; razlika između intervala i segmenta: granične točke intervala nisu uključene u interval, već granične točke segmenta su uključene u segment), tada među vrijednostima funkcije možda neće biti najmanja i najveća. Tako, na primjer, funkcija prikazana na donjoj slici je kontinuirana na ]-∞, +∞[ i nema najveću vrijednost.

Međutim, za bilo koji interval (zatvoren, otvoren ili beskonačan) vrijedi sljedeće svojstvo kontinuiranih funkcija.

Za samoprovjeru tokom proračuna možete koristiti online kalkulator derivata .

Primjer 4. Pronađite najmanju i najveću vrijednost funkcije na segmentu [-1, 3] .

Odluka. Izvod ove funkcije nalazimo kao derivaciju kvocijenta:

.

Derivat izjednačavamo sa nulom, što nam daje jednu kritičnu tačku: . Pripada intervalu [-1, 3] . Da bismo pronašli najmanju i najveću vrijednost funkcije na datom segmentu, nalazimo njene vrijednosti na krajevima segmenta i na pronađenoj kritičnoj tački:

Hajde da uporedimo ove vrednosti. Zaključak: jednako -5/13, u tački i najveća vrijednost jednako 1 u tački .

Nastavljamo zajedno tražiti najmanju i najveću vrijednost funkcije

Ima nastavnika koji na temu pronalaženja najmanjih i najvećih vrijednosti funkcije učenicima ne daju primjere složenije od upravo razmatranih, odnosno onih u kojima je funkcija polinom ili razlomak, brojilac a imenilac su polinomi. Ali nećemo se ograničavati na takve primjere, jer među nastavnicima postoje ljubitelji da učenici razmišljaju u potpunosti (tabela izvedenica). Stoga će se koristiti logaritam i trigonometrijska funkcija.

Primjer 8. Pronađite najmanju i najveću vrijednost funkcije na segmentu .

Odluka. Izvod ove funkcije nalazimo kao derivat proizvoda :

Derivat izjednačavamo sa nulom, što daje jednu kritičnu tačku: . Pripada segmentu. Da bismo pronašli najmanju i najveću vrijednost funkcije na datom segmentu, nalazimo njene vrijednosti na krajevima segmenta i na pronađenoj kritičnoj tački:

Rezultat svih radnji: funkcija dostigne svoju minimalnu vrijednost, jednako 0, u tački i u tački i najveća vrijednost jednak e² , u tački .

Za samoprovjeru tokom proračuna možete koristiti online kalkulator derivata .

Primjer 9. Pronađite najmanju i najveću vrijednost funkcije na segmentu .

Odluka. Nalazimo derivaciju ove funkcije:

Izjednačite derivaciju sa nulom:

Jedina kritična tačka pripada segmentu. Da bismo pronašli najmanju i najveću vrijednost funkcije na datom segmentu, nalazimo njene vrijednosti na krajevima segmenta i na pronađenoj kritičnoj tački:

zaključak: funkcija dostigne svoju minimalnu vrijednost, jednako , u točki i najveća vrijednost, jednako , u točki .

U primijenjenim ekstremnim problemima, pronalaženje najmanjih (najvećih) vrijednosti funkcije, po pravilu, svodi se na pronalaženje minimuma (maksimuma). Ali od većeg praktičnog interesa nisu sami minimumi ili maksimumi, već vrijednosti argumenta na kojem se postižu. Prilikom rješavanja primijenjenih problema javlja se dodatna poteškoća - kompilacija funkcija koje opisuju fenomen ili proces koji se razmatra.

Primjer 10 Rezervoar kapaciteta 4, koji ima oblik paralelepipeda sa kvadratnom bazom i otvoren na vrhu, mora biti kalajisan. Koje bi trebalo da budu dimenzije rezervoara da bi se prekrio sa najmanjom količinom materijala?

Odluka. Neka bude x- osnovna strana h- visina rezervoara, S- njegovu površinu bez pokrova, V- njen volumen. Površina rezervoara se izražava formulom, tj. je funkcija dvije varijable. Da izrazim S kao funkciju jedne varijable, koristimo činjenicu da , odakle . Zamjena pronađenog izraza h u formulu za S:

Hajde da ispitamo ovu funkciju za ekstrem. Definiran je i diferencibilan svuda u ]0, +∞[ i

.

Izjednačavamo derivaciju sa nulom () i nalazimo kritičnu tačku. Osim toga, na , derivacija ne postoji, ali ova vrijednost nije uključena u domenu definicije i stoga ne može biti tačka ekstrema. Dakle, - jedina kritična tačka. Provjerimo prisustvo ekstremuma koristeći drugi dovoljan znak. Nađimo drugi izvod. Kada je drugi izvod veći od nule (). To znači da kada funkcija dostigne minimum . Jer ovo minimum - jedini ekstrem ove funkcije, to je njena najmanja vrijednost. Dakle, strana osnove rezervoara treba da bude jednaka 2 m, a njegova visina.

Za samoprovjeru tokom proračuna možete koristiti

Ponekad u problemima B15 postoje "loše" funkcije za koje je teško pronaći izvod. Ranije je to bilo samo na sondama, ali sada su ovi zadaci toliko česti da se više ne mogu zanemariti prilikom priprema za ovaj ispit.

U ovom slučaju rade drugi trikovi, od kojih je jedan - monotono.

Funkcija f (x) naziva se monotono rastućom na segmentu ako je za bilo koju tačku x 1 i x 2 ovog segmenta tačno sljedeće:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) < f (x2).

Funkcija f (x) naziva se monotono opadajućom na segmentu ako je za bilo koju tačku x 1 i x 2 ovog segmenta tačno sljedeće:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) > f ( x2).

Drugim riječima, za rastuću funkciju, što je veći x, veći je i f(x). Za opadajuću funkciju vrijedi suprotno: što je više x, to je manji f(x).

Na primjer, logaritam se monotono povećava ako je baza a > 1 i monotono se smanjuje ako je 0< a < 1. Не забывайте про область допустимых значений логарифма: x > 0.

f (x) = log a x (a > 0; a ≠ 1; x > 0)

Aritmetički kvadratni (i ne samo kvadratni) korijen monotono raste u cijelom domenu definicije:

Eksponencijalna funkcija se ponaša slično logaritmu: povećava se za a > 1 i smanjuje se za 0< a < 1. Но в отличие от логарифма, показательная функция определена для всех чисел, а не только для x > 0:

f (x) = a x (a > 0)

Konačno, stepeni sa negativnim eksponentom. Možete ih napisati kao razlomak. Imaju tačku prekida u kojoj je razbijena monotonija.

Sve ove funkcije se nikada ne nalaze u svom čistom obliku. Dodaju im se polinomi, razlomci i druge gluposti, zbog kojih postaje teško izračunati izvod. Šta se dešava u ovom slučaju - sada ćemo analizirati.

Koordinate vrha parabole

Najčešće se argument funkcije zamjenjuje sa kvadratni trinom oblika y = ax 2 + bx + c . Njegov graf je standardna parabola za koju nas zanima:

1. Grane parabole - mogu ići gore (za > 0) ili dolje (a< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
2. Vrh parabole je tačka ekstrema kvadratne funkcije, u kojoj ova funkcija zauzima najmanju (za a > 0) ili najveću (a< 0) значение.

Od najvećeg interesa je vrh parabole, čija se apscisa izračunava po formuli:

Dakle, pronašli smo tačku ekstrema kvadratne funkcije. Ali ako je originalna funkcija monotona, za nju će tačka x 0 također biti tačka ekstrema. Dakle, formuliramo ključno pravilo:

Ekstremne tačke kvadratnog trinoma i kompleksna funkcija u koju ulazi poklapaju se. Stoga, možete tražiti x 0 za kvadratni trinom i zaboraviti na funkciju.

Iz gornjeg rezonovanja ostaje nejasno kakvu točku dobijamo: maksimum ili minimum. Međutim, zadaci su posebno osmišljeni tako da to nije bitno. Procijenite sami:

1. Ne postoji segment u stanju problema. Stoga nije potrebno izračunati f(a) i f(b). Ostaje da razmotrimo samo tačke ekstrema;
2. Ali postoji samo jedna takva tačka - ovo je vrh parabole x 0, čije se koordinate izračunavaju doslovno usmeno i bez ikakvih izvoda.

Dakle, rješenje problema je uvelike pojednostavljeno i svedeno na samo dva koraka:

1. Napišite jednačinu parabole y = ax 2 + bx + c i pronađite njen vrh koristeći formulu: x 0 = −b /2a;
2. Pronađite vrijednost originalne funkcije u ovoj tački: f (x 0). Ako nema dodatnih uslova, ovo će biti odgovor.

Na prvi pogled, ovaj algoritam i njegovo opravdanje mogu izgledati komplikovano. Namjerno ne objavljujem "golu" shemu rješenja, budući da je nepromišljena primjena takvih pravila prepuna grešaka.

Hajde da razmotrimo prave probleme iz probni ispit u matematici - tu se ova tehnika najčešće javlja. Istovremeno ćemo se pobrinuti da na ovaj način mnogi problemi B15 postanu gotovo verbalni.

Ispod korijena je kvadratna funkcija y = x 2 + 6x + 13. Graf ove funkcije je parabola s granama prema gore, budući da je koeficijent a \u003d 1\u003e 0.

Vrh parabole:

x 0 \u003d -b / (2a) \u003d -6 / (2 1) = -6 / 2 \u003d -3

Budući da su grane parabole usmjerene prema gore, u tački x 0 \u003d −3, funkcija y = x 2 + 6x + 13 poprima najmanju vrijednost.

Korijen se monotono povećava, pa je x 0 minimalna tačka cijele funkcije. Imamo:

Zadatak. Pronađite najmanju vrijednost funkcije:

y = log 2 (x 2 + 2x + 9)

Pod logaritmom je opet kvadratna funkcija: y \u003d x 2 + 2x + 9. Graf je parabola s granama prema gore, jer a = 1 > 0.

Vrh parabole:

x 0 \u003d -b / (2a) \u003d -2 / (2 1) = -2/2 = -1

Dakle, u tački x 0 = −1, kvadratna funkcija poprima najmanju vrijednost. Ali funkcija y = log 2 x je monotona, pa:

y min = y (−1) = log 2 ((−1) 2 + 2 (−1) + 9) = ... = log 2 8 = 3

Eksponent je kvadratna funkcija y = 1 − 4x − x 2 . Prepišimo to u normalnom obliku: y = −x 2 − 4x + 1.

Očigledno, graf ove funkcije je parabola, grana se prema dolje (a = −1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:

x 0 = −b /(2a ) = −(−4)/(2 (−1)) = 4/(−2) = −2

Originalna funkcija je eksponencijalna, monotona je, tako da će najveća vrijednost biti u pronađenoj tački x 0 = −2:

Pažljiv čitatelj sigurno će primijetiti da nismo ispisali područje dozvoljenih vrijednosti korijena i logaritma. Ali to nije bilo potrebno: unutra se nalaze funkcije čije su vrijednosti uvijek pozitivne.

Posljedice iz opsega funkcije

Ponekad za rješavanje problema B15 nije dovoljno samo pronaći vrh parabole. Željena vrijednost može lagati na kraju segmenta, ali ne u tački ekstrema. Ako zadatak uopće ne navodi segment, pogledajte raspon tolerancije originalna funkcija. naime:

Obratite pažnju ponovo: nula može biti ispod korena, ali nikada u logaritmu ili nazivniku razlomka. Pogledajmo kako to funkcionira na konkretnim primjerima:

Zadatak. Pronađite najveću vrijednost funkcije:

Ispod korijena je opet kvadratna funkcija: y = 3 - 2x - x 2. Njegov graf je parabola, ali se grana prema dolje jer je a = −1< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический Kvadratni korijen od negativnog broja ne postoji.

Zapisujemo područje ​​dozvoljenih vrijednosti​​(ODZ):

3 − 2x − x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x − 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3)(x − 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; jedan]

Sada pronađite vrh parabole:

x 0 = −b /(2a ) = −(−2)/(2 (−1)) = 2/(−2) = −1

Tačka x 0 = −1 pripada segmentu ODZ - i to je dobro. Sada razmatramo vrijednost funkcije u tački x 0, kao i na krajevima ODZ-a:

y(−3) = y(1) = 0

Dakle, dobili smo brojeve 2 i 0. Od nas se traži da pronađemo najveći - ovo je broj 2.

Zadatak. Pronađite najmanju vrijednost funkcije:

y = log 0,5 (6x - x 2 - 5)

Unutar logaritma nalazi se kvadratna funkcija y = 6x - x 2 - 5. Ovo je parabola s granama prema dolje, ali u logaritmu ne može biti negativnih brojeva, pa ispisujemo ODZ:

6x − x 2 − 5 > 0 ⇒ x 2 − 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)

Imajte na umu: nejednakost je stroga, tako da krajevi ne pripadaju ODZ-u. Na taj način se logaritam razlikuje od korijena, gdje nam krajevi segmenta dosta odgovaraju.

Tražimo vrh parabole:

x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 (−1)) = −6/(−2) = 3

Vrh parabole odgovara duž ODZ: x 0 = 3 ∈ (1; 5). Ali pošto nas krajevi segmenta ne zanimaju, razmatramo vrijednost funkcije samo u tački x 0:

y min = y (3) = log 0,5 (6 3 − 3 2 − 5) = log 0,5 (18 − 9 − 5) = log 0,5 4 = −2

U praksi je prilično uobičajeno koristiti derivaciju za izračunavanje najveće i najmanje vrijednosti funkcije. Ovu radnju izvodimo kada shvatimo kako minimizirati troškove, povećati profit, izračunati optimalno opterećenje proizvodnje itd., odnosno u onim slučajevima kada je potrebno odrediti optimalnu vrijednost parametra. Da bi se takvi problemi ispravno riješili, mora se dobro razumjeti koja je najveća i najmanja vrijednost funkcije.

Obično ove vrijednosti definiramo unutar nekog intervala x, što zauzvrat može odgovarati cijelom opsegu funkcije ili njenom dijelu. To može biti ili segment [ a ; b ] , i otvoreni interval (a ; b) , (a ; b ] , [ a ; b) , beskonačni interval (a ; b) , (a ; b ] , [ a ; b) ili beskonačan interval - ∞ ; a , (- ∞ ; a ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; + ∞) .

U ovom članku ćemo objasniti kako se najveće i najmanje vrijednosti eksplicitno izračunavaju. datu funkciju sa jednom varijablom y=f(x) y = f (x) .

Osnovne definicije

Počinjemo, kao i uvijek, sa formulacijom glavnih definicija.

Definicija 1

Najveća vrijednost funkcije y = f (x) na nekom intervalu x je vrijednost m a x y = f (x 0) x ∈ X , što za bilo koju vrijednost x x ∈ X , x ≠ x 0 čini nejednakost f (x ) ≤ f (x 0) .

Definicija 2

Najmanja vrijednost funkcije y = f (x) na nekom intervalu x je vrijednost m i n x ∈ X y = f (x 0) , što, za bilo koju vrijednost x ∈ X , x ≠ x 0, čini nejednakost f(X f (x) ≥ f(x0) .

Ove definicije su prilično očigledne. Može biti još jednostavnije reći ovo: najveća vrijednost funkcije je njena najveća vrijednost na poznatom intervalu na apscisi x 0, a najmanja je najmanja prihvaćena vrijednost na istom intervalu na x 0.

Definicija 3

Stacionarne tačke su takve vrednosti argumenta funkcije u kojima njena derivacija postaje 0.

Zašto moramo znati šta su stacionarne tačke? Da bismo odgovorili na ovo pitanje, moramo se sjetiti Fermatove teoreme. Iz toga slijedi da je stacionarna tačka tačka u kojoj se nalazi ekstrem diferencijabilne funkcije (tj. njen lokalni minimum ili maksimum). Posljedično, funkcija će uzeti najmanju ili najveću vrijednost na određenom intervalu tačno u jednoj od stacionarnih tačaka.

Druga funkcija može poprimiti najveću ili najmanju vrijednost u onim točkama u kojima je sama funkcija određena, a njen prvi izvod ne postoji.

Prvo pitanje koje se nameće prilikom proučavanja ove teme je: možemo li u svim slučajevima odrediti maksimalnu ili minimalnu vrijednost funkcije na datom intervalu? Ne, to ne možemo učiniti kada će se granice datog intervala poklapati sa granicama domene definicije, ili ako imamo posla sa beskonačnim intervalom. Takođe se dešava da funkcija u datom intervalu ili u beskonačnosti poprimi beskonačno male ili beskonačno velike vrednosti. U tim slučajevima nije moguće odrediti najveću i/ili najmanju vrijednost.

Ovi trenuci će postati razumljiviji nakon slike na grafikonima:

Prva slika nam pokazuje funkciju koja uzima najveće i najmanju vrijednost(m a x y i m i n y) u stacionarnim tačkama koje se nalaze na segmentu [ - 6 ; 6].

Hajde da detaljno ispitamo slučaj prikazan u drugom grafikonu. Promijenimo vrijednost segmenta u [ 1 ; 6] i dobijamo da će se najveća vrijednost funkcije postići u tački sa apscisom na desnoj granici intervala, a najmanja - u stacionarnoj tački.

Na trećoj slici, apscise tačaka predstavljaju granične tačke segmenta [ - 3 ; 2]. Oni odgovaraju najvećoj i najmanjoj vrijednosti date funkcije.

Pogledajmo sada četvrtu sliku. U njemu funkcija uzima m a x y (najveća vrijednost) i m i n y (najmanja vrijednost) u stacionarnim tačkama u otvorenom intervalu (- 6 ; 6).

Ako uzmemo interval [ 1 ; 6) , tada možemo reći da će najmanja vrijednost funkcije na njemu biti dostignuta u stacionarnoj tački. Nećemo znati maksimalnu vrijednost. Funkcija bi mogla uzeti najveću vrijednost na x jednaku 6 ako je x = 6 pripadalo intervalu. Upravo je ovaj slučaj prikazan na slici 5.

Na grafikonu 6, ova funkcija dobija najmanju vrijednost u desnoj granici intervala (- 3 ; 2 ] , a ne možemo izvući definitivne zaključke o najvećoj vrijednosti.

Na slici 7 vidimo da će funkcija imati m a x y u stacionarnoj tački, a apscisa je jednaka 1. Funkcija dostiže svoju minimalnu vrijednost na granici intervala na desnoj strani. Na minus beskonačnosti, vrijednosti funkcije će se asimptotski približiti y = 3.

Ako uzmemo interval x ∈ 2 ; + ∞ , tada ćemo vidjeti da data funkcija na njoj neće poprimiti ni najmanju ni najveću vrijednost. Ako x teži 2, tada će vrijednosti funkcije težiti minus beskonačnosti, jer je prava linija x = 2 vertikalna asimptota. Ako apscisa teži plus beskonačnosti, tada će se vrijednosti funkcije asimptotski približiti y = 3. Ovo je slučaj prikazan na slici 8.

U ovom paragrafu ćemo dati niz radnji koje se moraju izvršiti da bi se pronašla najveća ili najmanja vrijednost funkcije u određenom intervalu.

1. Prvo, pronađimo domenu funkcije. Provjerimo da li je segment naveden u uvjetu uključen u njega.
2. Sada izračunajmo tačke sadržane u ovom segmentu u kojima prvi izvod ne postoji. Najčešće se mogu naći u funkcijama čiji je argument zapisan pod predznakom modula ili u funkcijama stepena čiji je eksponent razlomački racionalan broj.
3. Zatim saznajemo koje stacionarne tačke spadaju u dati segment. Da biste to učinili, morate izračunati derivaciju funkcije, zatim je izjednačiti sa 0 i riješiti rezultirajuću jednadžbu, a zatim odabrati odgovarajuće korijene. Ako ne dobijemo ni jednu stacionarnu tačku ili one ne spadaju u dati segment, onda prelazimo na sljedeći korak.
4. Odredimo koje će vrijednosti funkcija zauzeti u datim stacionarnim točkama (ako ih ima), ili u onim tačkama gdje prvi izvod ne postoji (ako postoji), ili izračunamo vrijednosti za x = a i x = b .
5. 5. Imamo niz vrijednosti funkcije, od kojih sada trebamo izabrati najveću i najmanju. Ovo će biti najveća i najmanja vrijednost funkcije koju trebamo pronaći.

Pogledajmo kako pravilno primijeniti ovaj algoritam prilikom rješavanja problema.

Primjer 1

Stanje: data je funkcija y = x 3 + 4 x 2. Odrediti njegovu najveću i najmanju vrijednost na segmentima [ 1 ; 4 ] i [ - 4 ; - jedan] .

Odluka:

Počnimo s pronalaženjem domene ove funkcije. U ovom slučaju, to će biti skup svih realnih brojeva osim 0. Drugim riječima, D (y) : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; +∞ . Oba segmenta navedena u uvjetu bit će unutar područja definicije.

Sada izračunavamo derivaciju funkcije prema pravilu diferencijacije razlomka:

y "= x 3 + 4 x 2" = x 3 + 4 " x 2 - x 3 + 4 x 2" x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 x x 4 = x 3 - 8 x 3

Naučili smo da će izvod funkcije postojati u svim tačkama segmenata [1; 4 ] i [ - 4 ; - jedan] .

Sada moramo odrediti stacionarne tačke funkcije. Uradimo to sa jednačinom x 3 - 8 x 3 = 0. Ima samo jedan pravi korijen, a to je 2. To će biti stacionarna tačka funkcije i pasti u prvi segment [ 1 ; 4 ] .

Izračunajmo vrijednosti funkcije na krajevima prvog segmenta i u datoj tački, tj. za x = 1 , x = 2 i x = 4:

y(1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y(2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y(4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

Dobili smo da je najveća vrijednost funkcije m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 će se postići pri x = 1 , a najmanji m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 – pri x = 2 .

Drugi segment ne uključuje nikakve stacionarne tačke, tako da moramo izračunati vrijednosti funkcije samo na krajevima datog segmenta:

y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3

Dakle, m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

odgovor: Za segment [ 1 ; 4 ] - m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , za segment [ - 4 ; - 1 ] - m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

pogledajte sliku:

Prije nego što naučite ovu metodu, savjetujemo vam da pregledate kako pravilno izračunati jednostranu granicu i granicu u beskonačnosti, kao i da naučite osnovne metode za njihovo pronalaženje. Da bismo pronašli najveću i/ili najmanju vrijednost funkcije na otvorenom ili beskonačnom intervalu, izvodimo sljedeće korake u nizu.

1. Prvo morate provjeriti da li će dati interval biti podskup domene date funkcije.
2. Odredimo sve tačke koje se nalaze u traženom intervalu i u kojima prvi izvod ne postoji. Obično se javljaju u funkcijama u kojima je argument zatvoren u znaku modula i u funkcijama stepena s frakciono racionalnim eksponentom. Ako ove tačke nedostaju, možete preći na sljedeći korak.
3. Sada određujemo koje stacionarne tačke spadaju u dati interval. Prvo, izjednačimo izvod sa 0, riješimo jednačinu i pronađemo odgovarajuće korijene. Ako nemamo niti jednu stacionarnu tačku ili ne spadaju u navedeni interval, odmah prelazimo na daljnje radnje. Oni su određeni tipom intervala.

• Ako interval izgleda kao [ a ; b) , tada trebamo izračunati vrijednost funkcije u tački x = a i jednostranoj granici lim x → b - 0 f (x) .
• Ako interval ima oblik (a ; b ] , tada trebamo izračunati vrijednost funkcije u tački x = b i jednostranoj granici lim x → a + 0 f (x) .
• Ako interval ima oblik (a ; b) , tada trebamo izračunati jednostrane granice lim x → b - 0 f (x), lim x → a + 0 f (x) .
• Ako interval izgleda kao [ a ; + ∞) , tada je potrebno izračunati vrijednost u tački x = a i granicu na plus beskonačnost lim x → + ∞ f (x) .
• Ako interval izgleda kao (- ∞ ; b ] , izračunavamo vrijednost u tački x = b i granicu u minus beskonačnosti lim x → - ∞ f (x) .
• Ako je - ∞ ; b , tada razmatramo jednostranu granicu lim x → b - 0 f (x) i granicu na minus beskonačnost lim x → - ∞ f (x)
• Ako je - ∞ ; + ∞ , tada razmatramo granice na minus i plus beskonačnost lim x → + ∞ f (x) , lim x → - ∞ f (x) .

1. Na kraju je potrebno izvući zaključak na osnovu dobijenih vrijednosti funkcije i granica. Ovdje postoji mnogo opcija. Dakle, ako je jednostrana granica jednaka minus beskonačnosti ili plus beskonačnosti, onda je odmah jasno da se ništa ne može reći o najmanjoj i najvećoj vrijednosti funkcije. U nastavku ćemo razmotriti jedan tipičan primjer. Detaljni opisi pomoći da shvatite šta je šta. Ako je potrebno, možete se vratiti na slike 4 - 8 u prvom dijelu materijala.

Primjer 2

Uslov: data je funkcija y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 . Izračunajte njegovu najveću i najmanju vrijednost u intervalima - ∞ ; - 4 , - ∞ ; - 3 , (- 3 ; 1 ] , (- 3 ; 2) , [ 1 ; 2) , 2 ; + ∞ , [ 4 ; +∞) .

Odluka

Prije svega, nalazimo domenu funkcije. Imenilac razlomka je kvadratni trinom, koji ne bi trebao ići na 0:

x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y) : x ∈ (- ∞ ; - 3) ∪ (- 3 ; 2) ∪ (2 ; + ∞)

Dobili smo opseg funkcije kojem pripadaju svi intervali navedeni u uvjetu.

Sada ćemo razlikovati funkciju i dobiti:

y "= 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4" = 3 e 1 x 2 + x - 6 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6 " == 3 e 1 x 2 + x - 6 1 "x 2 + x - 6 - 1 x 2 + x - 6" (x 2 + x - 6) 2 = - 3 (2 x + 1) e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2

Prema tome, derivati ​​funkcije postoje u cijelom domenu njene definicije.

Pređimo na pronalaženje stacionarnih tačaka. Derivat funkcije postaje 0 na x = - 1 2 . Ovo je stacionarna tačka koja se nalazi u intervalima (- 3 ; 1 ] i (- 3 ; 2) .

Izračunajmo vrijednost funkcije na x = - 4 za interval (- ∞ ; - 4 ] , kao i granicu na minus beskonačnost:

y (- 4) \u003d 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 \u003d 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0. 456 lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 = 3 e 0 - 4 = - 1

Pošto je 3 e 1 6 - 4 > - 1 , onda je m a x y x ∈ (- ∞ ; - 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4. Ovo nam ne dozvoljava da jedinstveno odredimo najmanju vrijednost funkcije. Možemo samo zaključiti da postoji granica ispod -1, budući da se ovoj vrijednosti funkcija približava asimptotski na minus beskonačnosti.

Karakteristika drugog intervala je da nema niti jednu stacionarnu tačku niti jednu strogu granicu. Stoga ne možemo izračunati ni najveću ni najmanju vrijednost funkcije. Definiranjem granice na minus beskonačnost i kako argument teži - 3 na lijevoj strani, dobijamo samo raspon vrijednosti:

lim x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

To znači da će se vrijednosti funkcije nalaziti u intervalu - 1; +∞

Da bismo pronašli maksimalnu vrijednost funkcije u trećem intervalu, odredimo njenu vrijednost u stacionarnoj tački x = - 1 2 ako je x = 1 . Također moramo znati jednostrano ograničenje za slučaj kada argument teži - 3 na desnoj strani:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 y (1) = 3 e 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1 . 644 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (- 0) - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

Pokazalo se da će funkcija poprimiti najveću vrijednost u stacionarnoj tački m a x y x ∈ (3 ; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4. Što se tiče najmanje vrijednosti, ne možemo je odrediti. Sve to možemo znam , je prisustvo donje granice do - 4 .

Za interval (- 3 ; 2), uzmimo rezultate prethodnog izračunavanja i još jednom izračunajmo čemu je jednaka jednostrana granica kada težimo 2 s lijeve strane:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e - 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 lim x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

Dakle, m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4 , a najmanja vrijednost se ne može odrediti, a vrijednosti funkcije su ograničene odozdo brojem - 4 .

Na osnovu onoga što smo uradili u prethodna dva proračuna, možemo tvrditi da na intervalu [ 1 ; 2) funkcija će poprimiti najveću vrijednost pri x = 1, a najmanju je nemoguće pronaći.

Na intervalu (2 ; + ∞) funkcija neće dostići ni najveću ni najmanju vrijednost, tj. uzimat će vrijednosti iz intervala - 1; +∞ .

lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Izračunavši koliko će biti jednaka vrijednost funkcije pri x = 4, saznajemo da je m a x y x ∈ [ 4 ; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 , a data funkcija na plus beskonačno će se asimptotski približiti pravoj y = - 1 .

Uporedimo ono što smo dobili u svakom proračunu sa grafikom date funkcije. Na slici su asimptote prikazane isprekidanim linijama.

To je sve o čemu smo hteli da pričamo o pronalaženju najveće i najmanje vrednosti funkcije. Ovi nizovi radnji koje smo dali pomoći će vam da izvršite potrebne proračune što je brže i jednostavnije moguće. Ali zapamtite da je često korisno prvo saznati na kojim intervalima će se funkcija smanjiti, a na kojima će se povećati, nakon čega se mogu izvući daljnji zaključci. Tako možete preciznije odrediti najveću i najmanju vrijednost funkcije i opravdati rezultate.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Sa ovom uslugom možete pronaći najveću i najmanju vrijednost funkcije jedna varijabla f(x) sa dizajnom rješenja u Wordu. Ako je zadana funkcija f(x,y), stoga je potrebno pronaći ekstremum funkcije dvije varijable. Također možete pronaći intervale povećanja i smanjenja funkcije.

Pravila unosa funkcije:

Neophodan uslov za ekstremum funkcije jedne varijable

Jednadžba f "0 (x *) \u003d 0 je neophodan uslov za ekstremum funkcije jedne varijable, tj. u tački x * prvi izvod funkcije mora nestati. Odabire stacionarne tačke x c ​​u kojima funkcija ne povećava se i ne smanjuje.

Dovoljan uslov za ekstremum funkcije jedne varijable

Neka je f 0 (x) dvaput diferencibilan u odnosu na x koji pripada skupu D . Ako je u tački x * ispunjen uslov:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

Tada je tačka x * tačka lokalnog (globalnog) minimuma funkcije.

Ako je u tački x * ispunjen uslov:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0

Ta tačka x * je lokalni (globalni) maksimum.

Primjer #1. Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije: na segmentu.
Odluka.

Kritična tačka je jedan x 1 = 2 (f'(x)=0). Ova tačka pripada segmentu . (Tačka x=0 nije kritična, jer je 0∉).
Izračunavamo vrijednosti funkcije na krajevima segmenta i na kritičnoj tački.
f(1)=9, f(2)= 5 / 2 , f(3)=3 8 / 81
Odgovor: f min = 5 / 2 za x=2; f max =9 pri x=1

Primjer #2. Koristeći derivacije višeg reda, pronađite ekstremum funkcije y=x-2sin(x) .
Odluka.
Pronađite izvod funkcije: y’=1-2cos(x) . Nađimo kritične tačke: 1-cos(x)=2, cos(x)=1, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Nalazimo y''=2sin(x), izračunajmo , pa su x= π / 3 +2πk, k∈Z minimalne tačke funkcije; , pa su x=- π / 3 +2πk, k∈Z maksimalne tačke funkcije.

Primjer #3. Istražiti funkciju ekstrema u okolini tačke x=0.
Odluka. Ovdje je potrebno pronaći ekstreme funkcije. Ako je ekstrem x=0, onda saznajte njegov tip (minimum ili maksimum). Ako među pronađenim tačkama nema x = 0, onda izračunajte vrijednost funkcije f(x=0).
Treba napomenuti da kada derivacija na svakoj strani date tačke ne promijeni svoj predznak, moguće situacije nisu iscrpljene čak ni za diferencijabilne funkcije: može se dogoditi da za proizvoljno malo susjedstvo na jednoj strani tačke x 0 ili na obje strane derivacija mijenja predznak. U ovim tačkama, potrebno je primijeniti druge metode za proučavanje funkcija do ekstrema.

Primjer #4. Podijelite broj 49 na dva člana, čiji će proizvod biti najveći.
Odluka. Neka je x prvi pojam. Tada je (49-x) drugi član.
Proizvod će biti maksimalan: x (49-x) → max

Sa praktične tačke gledišta, najzanimljivija je upotreba derivacije za pronalaženje najveće i najmanje vrednosti funkcije. Sa čime je to povezano? Maksimiziranje profita, minimiziranje troškova, određivanje optimalnog opterećenja opreme... Drugim riječima, u mnogim oblastima života treba riješiti problem optimizacije nekih parametara. A to je problem pronalaženja najveće i najmanje vrijednosti funkcije.

Treba napomenuti da se najveća i najmanja vrijednost funkcije obično traže na nekom intervalu X, koji je ili cijeli domen funkcije ili dio domene. Interval X sam po sebi može biti segment linije, otvoreni interval , beskonačan interval .

U ovom članku ćemo govoriti o pronalaženju najveće i najmanje vrijednosti eksplicitno zadane funkcije jedne varijable y=f(x).

Navigacija po stranici.

Najveća i najmanja vrijednost funkcije - definicije, ilustracije.

Hajde da se ukratko zadržimo na glavnim definicijama.

Najveća vrijednost funkcije , što za bilo koje nejednakost je tačna.

Najmanja vrijednost funkcije y=f(x) na intervalu X naziva se takva vrijednost , što za bilo koje nejednakost je tačna.

Ove definicije su intuitivne: najveća (najmanja) vrijednost funkcije je najveća (najmanja) vrijednost prihvaćena u intervalu koji se razmatra sa apscisom.

Stacionarne tačke su vrijednosti argumenta kod kojih derivacija funkcije nestaje.

Zašto su nam potrebne stacionarne tačke pri pronalaženju najvećih i najmanjih vrijednosti? Odgovor na ovo pitanje daje Fermatova teorema. Iz ove teoreme slijedi da ako diferencijabilna funkcija ima ekstrem (lokalni minimum ili lokalni maksimum) u nekoj tački, onda je ta tačka stacionarna. Dakle, funkcija često uzima svoju najveću (najmanju) vrijednost na intervalu X u jednoj od stacionarnih tačaka iz ovog intervala.

Također, funkcija često može poprimiti najveću i najmanju vrijednost na mjestima gdje prvi izvod ove funkcije ne postoji, a sama funkcija je definirana.

Odgovorimo odmah na jedno od najčešćih pitanja na ovu temu: "Da li je uvijek moguće odrediti najveću (najmanju) vrijednost funkcije"? Ne ne uvek. Ponekad se granice intervala X poklapaju sa granicama domene funkcije, ili je interval X beskonačan. A neke funkcije na beskonačnosti i na granicama domene definicije mogu uzeti i beskonačno velike i beskonačno male vrijednosti. U ovim slučajevima se ništa ne može reći o najvećoj i najmanjoj vrijednosti funkcije.

Radi jasnoće dajemo grafičku ilustraciju. Pogledajte slike - i mnogo toga će vam biti jasno.

Na segmentu

Na prvoj slici, funkcija uzima najveću (max y) i najmanju (min y) vrijednost u stacionarnim tačkama unutar segmenta [-6;6].

Razmotrite slučaj prikazan na drugoj slici. Promijenite segment u . U ovom primjeru, najmanja vrijednost funkcije postiže se u stacionarnoj tački, a najveća - u tački sa apscisom koja odgovara desnoj granici intervala.

Na slici br. 3, granične tačke segmenta [-3; 2] su apscise tačaka koje odgovaraju najvećoj i najmanjoj vrijednosti funkcije.

Na otvorenom

Na četvrtoj slici funkcija uzima najveću (max y) i najmanju (min y) vrijednost u stacionarnim točkama unutar otvorenog intervala (-6;6).

Na intervalu se ne mogu izvući zaključci o najvećoj vrijednosti.

U beskonačnosti

U primjeru prikazanom na sedmoj slici, funkcija uzima najveću vrijednost (max y ) u stacionarnoj tački sa apscisom x=1 , a najmanju vrijednost (min y ) postiže se na desnoj granici intervala. Na minus beskonačnosti, vrijednosti funkcije asimptotski se približavaju y=3.

Na intervalu funkcija ne dostiže ni najmanju ni najveću vrijednost. Kako x=2 teži udesno, vrijednosti funkcije teže minus beskonačnosti (prava x=2 je vertikalna asimptota), a kako apscisa teži plus beskonačnosti, vrijednosti funkcije asimptotski se približavaju y=3 . Grafička ilustracija ovog primjera prikazana je na slici 8.

Algoritam za pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti kontinuirane funkcije na segmentu.

Pišemo algoritam koji nam omogućava da pronađemo najveću i najmanju vrijednost funkcije na segmentu.

1. Pronalazimo domenu funkcije i provjeravamo da li sadrži cijeli segment.
2. Pronalazimo sve tačke u kojima prvi izvod ne postoji i koje su sadržane u segmentu (obično se takve tačke javljaju u funkcijama sa argumentom pod znakom modula i u funkcijama stepena sa razlomačno-racionalnim eksponentom). Ako takvih tačaka nema, idite na sljedeću tačku.
3. Određujemo sve stacionarne tačke koje spadaju u segment. Da bismo to učinili, izjednačavamo je sa nulom, rješavamo rezultirajuću jednadžbu i biramo odgovarajuće korijene. Ako nema stacionarnih tačaka ili nijedna od njih ne pada u segment, idite na sljedeći korak.
4. Izračunavamo vrijednosti funkcije u odabranim stacionarnim tačkama (ako ih ima), u tačkama u kojima prvi izvod ne postoji (ako postoji), kao i na x=a i x=b.
5. Od dobivenih vrijednosti funkcije biramo najveću i najmanju - to će biti željena maksimalna i najmanja vrijednost funkcije.

Analizirajmo algoritam prilikom rješavanja primjera za pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti funkcije na segmentu.

Primjer.

Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije

• na segmentu;
• na intervalu [-4;-1] .

Odluka.

Domen funkcije je cijeli skup realnih brojeva, osim nule, odnosno . Oba segmenta spadaju u domen definicije.

Nalazimo derivaciju funkcije u odnosu na:

Očigledno, derivacija funkcije postoji u svim tačkama segmenata i [-4;-1] .

Stacionarne tačke se određuju iz jednačine . Jedini pravi korijen je x=2. Ova stacionarna tačka spada u prvi segment.

Za prvi slučaj izračunavamo vrijednosti funkcije na krajevima segmenta i u stacionarnoj tački, odnosno za x=1, x=2 i x=4:

Dakle, najveća vrijednost funkcije se postiže na x=1, a najmanja vrijednost – na x=2 .

Za drugi slučaj izračunavamo vrijednosti funkcije samo na krajevima segmenta [-4;-1] (pošto ne sadrži nikakve stacionarne točke):

Odluka.

Počnimo s opsegom funkcije. Kvadratni trinom u nazivniku razlomka ne smije nestati:

Lako je provjeriti da svi intervali iz uvjeta problema pripadaju domeni funkcije.

Hajde da razlikujemo funkciju:

Očigledno, derivacija postoji na cijelom domenu funkcije.

Nađimo stacionarne tačke. Izvod nestaje na . Ova stacionarna tačka spada u intervale (-3;1] i (-3;2) .

A sada možete usporediti rezultate dobivene u svakoj tački sa grafom funkcije. Plave isprekidane linije označavaju asimptote.

Ovo se može završiti pronalaženjem najveće i najmanje vrijednosti funkcije. Algoritmi o kojima se govori u ovom članku omogućavaju vam da dobijete rezultate uz minimum radnji. Međutim, može biti korisno prvo odrediti intervale povećanja i smanjenja funkcije i tek nakon toga donijeti zaključke o najvećoj i najmanjoj vrijednosti funkcije na bilo kojem intervalu. Ovo daje jasniju sliku i rigorozno opravdanje rezultata.