Kako množiti moći? Koje snage se mogu množiti, a koje ne? Kako pomnožite broj sa stepenom?

U algebri možete pronaći proizvod potencija u dva slučaja:

1) ako stepeni imaju istu osnovu;

2) ako stepeni imaju iste pokazatelje.

Prilikom množenja stepena sa istom osnovom, baza mora ostati ista, a eksponenti se moraju dodati:

Kada se množe stepeni sa istim pokazateljima, ukupni indikator se može izvaditi iz zagrada:

Razmotrite kako množiti moći, na konkretnim primjerima.

Jedinica u eksponentu nije zapisana, ali pri množenju stepeni uzimaju u obzir:

Prilikom množenja, broj stupnjeva može biti bilo koji. Treba imati na umu da ne možete napisati znak množenja prije slova:

U izrazima se prvo izvodi eksponencijacija.

Ako trebate pomnožiti broj sa stepenom, prvo morate izvesti eksponencijaciju, a tek onda - množenje:

www.algebraclass.ru

Zbrajanje, oduzimanje, množenje i dijeljenje potencija

Sabiranje i oduzimanje potencija

Očigledno, brojevi sa potencijama se mogu sabirati kao i druge veličine , dodavanjem jednog po jednog sa njihovim znakovima.

Dakle, zbir a 3 i b 2 je a 3 + b 2 .
Zbir a 3 - b n i h 5 -d 4 je a 3 - b n + h 5 - d 4.

Odds iste moći istih varijabli može se dodati ili oduzeti.

Dakle, zbir 2a 2 i 3a 2 je 5a 2 .

Takođe je očigledno da ako uzmemo dva kvadrata a, ili tri kvadrata a, ili pet kvadrata a.

Ali stepeni razne varijable I raznih stepeni identične varijable, moraju se dodati dodavanjem njihovim znakovima.

Dakle, zbir 2 i 3 je zbir 2 + a 3 .

Očigledno je da kvadrat a i kocka od a nisu ni dva puta veći od a, već dvostruko veći od a.

Zbir a 3 b n i 3a 5 b 6 je a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Oduzimanje ovlaštenja se vrši na isti način kao i sabiranje, samo što se predznaci oduzimanja moraju shodno tome promijeniti.

Ili:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 \u003d -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Množenje snage

Brojevi sa stepenom mogu se množiti kao i druge veličine tako što ćete ih pisati jedan za drugim, sa ili bez znaka množenja između njih.

Dakle, rezultat množenja a 3 sa b 2 je a 3 b 2 ili aaabb.

Ili:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Rezultat u posljednjem primjeru može se urediti dodavanjem istih varijabli.
Izraz će imati oblik: a 5 b 5 y 3 .

Upoređivanjem nekoliko brojeva (varijabli) sa potencijama, možemo vidjeti da ako se bilo koja dva od njih pomnože, onda je rezultat broj (varijabla) sa stepenom jednakim suma stepeni pojmova.

Dakle, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Ovdje je 5 snaga rezultata množenja, jednaka 2 + 3, zbir potencija članova.

Dakle, a n .a m = a m+n .

Za a n, a se uzima kao faktor onoliko puta koliko je snaga n;

A m , uzima se kao faktor onoliko puta koliko je stepen m jednak;

Zbog toga, potencije sa istim bazama mogu se pomnožiti dodavanjem eksponenata.

Dakle, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . I x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Ili:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Pomnožite (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Odgovor: x 4 - y 4.
Pomnožite (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Ovo pravilo vrijedi i za brojeve čiji su eksponenti − negativan.

1. Dakle, a -2 .a -3 = a -5 . Ovo se može napisati kao (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Ako se a + b pomnože sa a - b, rezultat će biti a 2 - b 2: tj

Rezultat množenja zbira ili razlike dva broja jednak je zbroju ili razlici njihovih kvadrata.

Ako se zbir i razlika dva broja podignu na kvadrat, rezultat će biti jednak zbroju ili razlici ovih brojeva u četvrto stepen.

Dakle, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .

Podjela stepena

Brojevi sa stepenom mogu se podijeliti kao i drugi brojevi oduzimanjem od djelitelja ili postavljanjem u obliku razlomka.

Dakle, a 3 b 2 podijeljeno sa b 2 je 3 .

Pisanje 5 podijeljeno sa 3 izgleda kao $\frac $. Ali ovo je jednako 2. U nizu brojeva
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
bilo koji broj se može podijeliti s drugim, a eksponent će biti jednak razlika indikatori djeljivih brojeva.

Prilikom dijeljenja potencija sa istom osnovom, njihovi eksponenti se oduzimaju..

Dakle, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . To jest, $\frac = y$.

I a n+1:a = a n+1-1 = a n . To jest, $\frac = a^n$.

Ili:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

Pravilo važi i za brojeve sa negativan vrijednosti stepena.
Rezultat dijeljenja -5 sa -3 je -2.
Također, $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 ili $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

Potrebno je vrlo dobro savladati množenje i dijeljenje potencija, budući da se takve operacije vrlo široko koriste u algebri.

Primjeri rješavanja primjera sa razlomcima koji sadrže brojeve sa stepenom

1. Smanjite eksponente u $\frac $ Odgovor: $\frac $.

2. Smanjite eksponente u $\frac$. Odgovor: $\frac $ ili 2x.

3. Smanjite eksponente a 2 / a 3 i a -3 / a -4 i dovedite do zajedničkog nazivnika.
a 2 .a -4 je -2 prvi brojilac.
a 3 .a -3 je a 0 = 1, drugi brojilac.
a 3 .a -4 je -1, zajednički brojnik.
Nakon pojednostavljenja: a -2 /a -1 i 1/a -1 .

4. Smanjiti eksponente 2a 4 /5a 3 i 2 /a 4 i dovesti do zajedničkog imenioca.
Odgovor: 2a 3 / 5a 7 i 5a 5 / 5a 7 ili 2a 3 / 5a 2 i 5/5a 2.

5. Pomnožite (a 3 + b)/b 4 sa (a - b)/3.

6. Pomnožite (a 5 + 1)/x 2 sa (b 2 - 1)/(x + a).

7. Pomnožite b 4 /a -2 sa h -3 /x i a n /y -3 .

8. Podijelite a 4 /y 3 sa 3 /y 2 . Odgovor: a/y.

svojstva stepena

Podsjećamo vas da u ovoj lekciji razumijemo svojstva stepena sa prirodnim pokazateljima i nulom. Stepenima sa racionalnim pokazateljima i njihovim svojstvima će se govoriti u lekcijama za 8. razred.

Eksponent s prirodnim eksponentom ima nekoliko važnih svojstava koja vam omogućavaju da pojednostavite proračune u primjerima eksponenta.

Nekretnina #1
Proizvod moći

Prilikom množenja stepena sa istom osnovom, baza ostaje nepromijenjena, a eksponenti se sabiraju.

a m a n \u003d a m + n, gdje je "a" bilo koji broj, a "m", "n" su bilo koji prirodni brojevi.

Ovo svojstvo snaga također utječe na proizvod tri ili više potencija.

Pojednostavite izraz.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15

Prisutno kao diploma.
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17

Prisutno kao diploma.
(0,8) 3 (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Napominjemo da se u navedenom svojstvu radilo samo o množenju snaga sa istim osnovama.. To se ne odnosi na njihovo dodavanje.

Ne možete zamijeniti zbir (3 3 + 3 2) sa 3 5 . Ovo je razumljivo ako
izračunaj (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 i 3 5 = 243

Nekretnina #2
Privatne diplome

Prilikom dijeljenja potencija sa istom osnovom, baza ostaje nepromijenjena, a eksponent djelitelja se oduzima od eksponenta dividende.

Zapišite količnik kao stepen
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2

Izračunati.

11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
Primjer. Riješite jednačinu. Koristimo svojstvo parcijalnih stepeni.
3 8: t = 3 4

Odgovor: t = 3 4 = 81

Koristeći svojstva br. 1 i br. 2, lako možete pojednostaviti izraze i izvršiti proračune.

Primjer. Pojednostavite izraz.
4 5m + 6 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5

Primjer. Pronađite vrijednost izraza koristeći svojstva stupnjeva.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Napominjemo da se imovina 2 bavila samo podjelom vlasti po istim osnovama.

Ne možete zamijeniti razliku (4 3 −4 2) sa 4 1 . Ovo je razumljivo ako izračunate (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 i 4 1 = 4

Nekretnina #3
Eksponencijacija

Kada se stepen diže na stepen, baza stepena ostaje nepromijenjena, a eksponenti se množe.

(a n) m \u003d a n m, gdje je "a" bilo koji broj, a "m", "n" su bilo koji prirodni brojevi.

Imajte na umu da se svojstvo br. 4, kao i druga svojstva stupnjeva, također primjenjuje obrnutim redoslijedom.

(a n b n)= (a b) n

To jest, da biste pomnožili stepene sa istim eksponentima, možete pomnožiti baze i ostaviti eksponent nepromijenjen.

Primjer. Izračunati.
2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10.000

Primjer. Izračunati.
0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1

U složenijim primjerima mogu postojati slučajevi kada se množenje i dijeljenje moraju izvršiti na potencijama s različitim bazama i različitim eksponentima. U tom slučaju savjetujemo vam da učinite sljedeće.

Na primjer, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216

Primjer stepenovanja decimalnog razlomka.

4 21 (−0,25) 20 = 4 4 20 (−0,25) 20 = 4 (4 (−0,25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4

Svojstva 5
Moć kvocijenta (razlomaka)

Da biste podigli količnik na stepen, možete podići dividendu i djelitelj odvojeno na ovaj stepen, a prvi rezultat podijeliti drugim.

(a: b) n \u003d a n: b n, gdje su "a", "b" bilo koji racionalni brojevi, b ≠ 0, n je bilo koji prirodan broj.

Primjer. Izrazite izraz kao parcijalne stepene.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12

Podsjećamo vas da se količnik može predstaviti kao razlomak. Stoga ćemo se na sljedećoj stranici detaljnije zadržati na temi dizanja razlomka na stepen.

Stepeni i korijeni

Operacije sa moćima i korijenima. Stepen sa negativnim ,

nula i razlomak indikator. O izrazima koji nemaju smisla.

Operacije sa stepenom.

1. Prilikom množenja stepena sa istom osnovom, njihovi pokazatelji se zbrajaju:

a m · a n = a m + n .

2. Prilikom dijeljenja stupnjeva sa istom osnovom, njihovi indikatori oduzeto .

3. Stepen proizvoda dva ili više faktora jednak je proizvodu stepena ovih faktora.

4. Stepen omjera (razlomak) jednak je omjeru stupnjeva dividende (brojnik) i djelitelja (imenik):

(a/b) n = a n / b n .

5. Prilikom podizanja stepena na stepen, njihovi indikatori se množe:

Sve gore navedene formule se čitaju i izvršavaju u oba smjera s lijeva na desno i obrnuto.

PRIMJER (2 3 5 / 15)² = 2 ² 3 ² 5 ² / 15 ² = 900 / 225 = 4 .

Operacije s korijenima. U svim formulama ispod, simbol znači aritmetički korijen(radikalni izraz je pozitivan).

1. Korijen proizvoda nekoliko faktora jednak je proizvodu korijena ovih faktora:

2. Korijen omjera je jednak omjeru korijena dividende i djelitelja:

3. Prilikom podizanja korijena na stepen, dovoljno je podići na ovaj stepen korijenski broj:

4. Ako povećate stepen korijena za m puta i istovremeno podignite broj korijena na m -ti stepen, tada se vrijednost korijena neće promijeniti:

5. Ako smanjite stepen korijena za m puta i u isto vrijeme izdvojite korijen m-tog stepena iz radikalnog broja, tada se vrijednost korijena neće promijeniti:

Proširenje koncepta stepena. Do sada smo razmatrali stepene samo sa prirodnim indikatorom; ali operacije sa moćima i korijenima također mogu dovesti do negativan, nula I razlomak indikatori. Svi ovi eksponenti zahtijevaju dodatnu definiciju.

Stepen s negativnim eksponentom. Potencija nekog broja s negativnim (cjelobrojnim) eksponentom definira se kao jedinica podijeljena potencijom istog broja s eksponentom jednakim apsolutnoj vrijednosti negativnog eksponenta:

Sada formula a m : a n = a m-n može se koristiti ne samo za m, više nego n, ali i na m, manje od n .

PRIMJER a 4: a 7 = a 4 — 7 = a — 3 .

Ako želimo formulu a m : a n = a m — n bio pošten prema m = n, potrebna nam je definicija nultog stepena.

Stepen sa nultim eksponentom. Stepen bilo kog broja različitog od nule sa nultim eksponentom je 1.

PRIMJERI. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Stepen sa razlomkom eksponenta. Da biste podigli realni broj a na stepen m / n, potrebno je da izvučete koren n-tog stepena iz m-tog stepena ovog broja a:

O izrazima koji nemaju smisla. Postoji nekoliko takvih izraza.

gdje a ≠ 0 , ne postoji.

Zaista, ako to pretpostavimo x je određeni broj, onda, u skladu sa definicijom operacije dijeljenja, imamo: a = 0· x, tj. a= 0, što je u suprotnosti sa uslovom: a ≠ 0

— bilo koji broj.

Zaista, ako pretpostavimo da je ovaj izraz jednak nekom broju x, tada prema definiciji operacije dijeljenja imamo: 0 = 0 x. Ali ova jednakost važi za bilo koji broj x, što je trebalo dokazati.

0 0 — bilo koji broj.

Rješenje. Razmotrite tri glavna slučaja:

1) x = 0 – ova vrijednost ne zadovoljava ovu jednačinu

2) kada x> 0 dobijamo: x / x= 1, tj. 1 = 1, odakle slijedi,

šta x- bilo koji broj; ali uzimajući to u obzir

naš slučaj x> 0 , odgovor je x > 0 ;

Pravila za množenje stepena sa različitim osnovama

STEPENIJA SA RACIONALNIM INDIKATOROM,

FUNKCIJA NAPAJANJA IV

§ 69. Množenje i podjela potencija sa istim osnovama

Teorema 1. Za množenje stepena sa istim osnovama, dovoljno je sabrati eksponente, a bazu ostaviti istu, tj.

Dokaz. Po definiciji stepena

2 2 2 3 = 2 5 = 32; (-3) (-3) 3 = (-3) 4 = 81.

Razmatrali smo proizvod dvije moći. U stvari, dokazano svojstvo je tačno za bilo koji broj potencija sa istim osnovama.

Teorema 2. Za podelu stepena sa istim osnovama, kada je indikator dividende veći od pokazatelja delioca, dovoljno je oduzeti pokazatelj delitelja od pokazatelja dividende, a osnovicu ostaviti istu, tj. at t > n

(a =/= 0)

Dokaz. Podsjetimo da je količnik dijeljenja jednog broja drugim broj koji, kada se pomnoži s djeliteljem, daje dividendu. Dakle, dokazati formulu , gdje a =/= 0, to je kao dokazivanje formule

Ako t > n , zatim broj t - str biće prirodno; dakle, prema teoremi 1

Teorema 2 je dokazana.

Imajte na umu da je formula

dokazano od nas samo pod pretpostavkom da t > n . Dakle, iz dokazanog još nije moguće izvesti npr. sljedeće zaključke:

Osim toga, još nismo razmatrali stupnjeve sa negativnim eksponentima i još ne znamo kakvo značenje možemo dati izrazu 3 - 2 .

Teorema 3. Da biste stepen podigli na stepen, dovoljno je pomnožiti eksponente, ostavljajući bazu eksponenta istom, tj

Dokaz. Koristeći definiciju stepena i teoremu 1 ovog odjeljka, dobijamo:

Q.E.D.

Na primjer, (2 3) 2 = 2 6 = 64;

518 (Usmeno.) Odredi X iz jednačina:

1) 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 = 2 x ; 3) 4 2 4 4 4 6 4 8 4 10 = 2 x ;

2) 3 3 3 3 5 3 7 3 9 = 3 x ; 4) 1 / 5 1 / 25 1 / 125 1 / 625 = 1 / 5 x .

519. (prilagođeno) Pojednostavite:

520. (prilagođeno) Pojednostavite:

521. Predstavite ove izraze kao stepene sa istim osnovama:

1) 32 i 64; 3) 85 i 163; 5) 4 100 i 32 50;

2) -1000 i 100; 4) -27 i -243; 6) 81 75 8 200 i 3 600 4 150.

Jedna od glavnih karakteristika u algebri, ai u cijeloj matematici, je diploma. Naravno, u 21. vijeku svi proračuni se mogu izvršiti na online kalkulatoru, ali bolje je naučiti kako to učiniti sami za razvoj mozga.

U ovom članku ćemo razmotriti najvažnija pitanja u vezi s ovom definicijom. Naime, shvatićemo šta je to uopšte i koje su njegove glavne funkcije, koja svojstva postoje u matematici.

Pogledajmo primjere kako izgleda proračun, koje su osnovne formule. Analizirat ćemo glavne vrste veličina i po čemu se razlikuju od drugih funkcija.

Razumjet ćemo kako riješiti različite probleme koristeći ovu vrijednost. Na primjerima ćemo pokazati kako podići na nulti stepen, iracionalan, negativan itd.

Online kalkulator eksponencije

Koliki je stepen broja

Šta znači izraz "podići broj na stepen"?

Stepen n broja a je proizvod faktora veličine a n puta za redom.

Matematički to izgleda ovako:

a n = a * a * a * …a n .

Na primjer:

• 2 3 = 2 u trećem koraku. = 2 * 2 * 2 = 8;
• 4 2 = 4 u koraku. dva = 4 * 4 = 16;
• 5 4 = 5 u koraku. četiri = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
• 10 5 \u003d 10 u 5 koraka. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000;
• 10 4 \u003d 10 u 4 koraka. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.

Ispod je tabela kvadrata i kocke od 1 do 10.

Tabela stepeni od 1 do 10

Ispod su rezultati podizanja prirodnih brojeva na pozitivne stepene - "od 1 do 100".

Ch-lo	2. razred	3. razred
1	1	1
2	4	8
3	9	27
4	16	64
5	25	125
6	36	216
7	49	343
8	64	512
9	81	279
10	100	1000

Svojstva diploma

Šta je karakteristično za takvu matematičku funkciju? Pogledajmo osnovna svojstva.

Naučnici su ustanovili sledeće znakovi karakteristični za sve stepene:

• a n * a m = (a) (n+m) ;
• a n: a m = (a) (n-m) ;
• (a b) m =(a) (b*m) .

Provjerimo na primjerima:

2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. S druge strane 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32.

Slično: 2 3: 2 2 = 8 / 4 = 2. Inače 2 3-2 = 2 1 =2.

(2 3) 2 = 8 2 = 64. Šta ako je drugačije? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

Kao što vidite, pravila funkcionišu.

Ali kako biti sa sabiranjem i oduzimanjem? Sve je jednostavno. Prvo se vrši eksponencijacija, pa tek onda sabiranje i oduzimanje.

Pogledajmo primjere:

• 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
• 5 2 - 3 2 = 25 - 9 = 16

Ali u ovom slučaju, prvo morate izračunati zbrajanje, jer postoje akcije u zagradama: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.

Kako proizvoditi proračuni u složenijim slučajevima? Redoslijed je isti:

• ako postoje zagrade, morate početi s njima;
• zatim eksponencijalnost;
• zatim izvršiti operacije množenja, dijeljenja;
• nakon sabiranja, oduzimanja.

Postoje specifična svojstva koja nisu karakteristična za sve stepene:

1. Koren n-tog stepena od broja a do stepena m biće zapisan kao: a m / n .
2. Kada se razlomak podiže na stepen: i brojnik i njegov imenilac podliježu ovom postupku.
3. Kada se proizvod različitih brojeva podiže na stepen, izraz će odgovarati umnošku ovih brojeva na dati stepen. To jest: (a * b) n = a n * b n .
4. Kada podižete broj na negativan stepen, trebate podijeliti 1 brojem u istom koraku, ali sa znakom “+”.
5. Ako je nazivnik razlomka u negativnom stepenu, onda će ovaj izraz biti jednak proizvodu brojnika i nazivnika u pozitivnom stepenu.
6. Bilo koji broj na stepen 0 = 1 i na korak. 1 = sebi.

Ova pravila su važna u pojedinačnim slučajevima, u nastavku ćemo ih detaljnije razmotriti.

Stepen s negativnim eksponentom

Šta učiniti sa negativnim stepenom, odnosno kada je indikator negativan?

Na osnovu svojstava 4 i 5(vidi tačku iznad) ispostavilo se:

A (- n) = 1 / A n, 5 (-2) = 1/5 2 \u003d 1/25.

I obrnuto:

1 / A (- n) \u003d A n, 1 / 2 (-3) \u003d 2 3 \u003d 8.

Šta ako je razlomak?

(A / B) (- n) = (B / A) n , (3 / 5) (-2) = (5 / 3) 2 = 25 / 9.

Stepen sa prirodnim indikatorom

Podrazumijeva se kao stepen sa eksponentima jednakim cijelim brojevima.

Stvari koje treba zapamtiti:

A 0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3,15 0 = 1; (-4) 0 = 1…itd.

A 1 = A, 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3…itd.

Također, ako je (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2...onda će rezultat biti sa znakom “+”. Ako se negativan broj podigne na neparan stepen, onda obrnuto.

Opća svojstva, kao i sve gore opisane specifične karakteristike, također su karakteristične za njih.

Razlomak stepena

Ovaj pogled se može napisati kao šema: A m / n. Čita se kao: korijen n-tog stepena broja A na stepen m.

S frakcijskim indikatorom možete učiniti bilo što: smanjiti, razložiti na dijelove, podići na drugi stupanj itd.

Stepen sa iracionalnim eksponentom

Neka je α iracionalan broj i A ˃ 0.

Da biste razumjeli suštinu diplome sa takvim indikatorom, Pogledajmo različite moguće slučajeve:

• A \u003d 1. Rezultat će biti jednak 1. Budući da postoji aksiom - 1 je jednako jedan u svim potencijama;

A r 1 ˂ A α ˂ A r 2 , r 1 ˂ r 2 su racionalni brojevi;

• 0˂A˂1.

U ovom slučaju, obrnuto: A r 2 ˂ A α ˂ A r 1 pod istim uslovima kao u drugom paragrafu.

Na primjer, eksponent je broj π. To je racionalno.

r 1 - u ovom slučaju je jednako 3;

r 2 - biće jednako 4.

Tada je za A = 1 1 π = 1.

A = 2, zatim 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4 , 8 ˂ 2 π ˂ 16.

A = 1/2, tada (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3 , 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.

Takve stupnjeve karakteriziraju sve gore opisane matematičke operacije i specifična svojstva.

Zaključak

Hajde da rezimiramo - čemu služe ove vrijednosti, koje su prednosti takvih funkcija? Naravno, prije svega, pojednostavljuju život matematičara i programera prilikom rješavanja primjera, jer omogućavaju minimiziranje proračuna, reduciranje algoritama, sistematizaciju podataka i još mnogo toga.

Gdje još ovo znanje može biti korisno? U bilo kojoj radnoj specijalnosti: medicina, farmakologija, stomatologija, građevinarstvo, tehnologija, inženjering, dizajn itd.

Očigledno, brojevi sa potencijama se mogu sabirati kao i druge veličine , dodavanjem jednog po jednog sa njihovim znakovima.

Dakle, zbir a 3 i b 2 je a 3 + b 2 .
Zbir a 3 - b n i h 5 -d 4 je a 3 - b n + h 5 - d 4 .

Odds iste moći istih varijabli može se dodati ili oduzeti.

Dakle, zbir 2a 2 i 3a 2 je 5a 2 .

Takođe je očigledno da ako uzmemo dva kvadrata a, ili tri kvadrata a, ili pet kvadrata a.

Ali stepeni razne varijable I raznih stepeni identične varijable, moraju se dodati dodavanjem njihovim znakovima.

Dakle, zbir 2 i 3 je zbir 2 + a 3 .

Očigledno je da kvadrat a i kocka od a nisu ni dva puta veći od a, već dvostruko veći od a.

Zbir a 3 b n i 3a 5 b 6 je a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Oduzimanje ovlaštenja se vrši na isti način kao i sabiranje, samo što se predznaci oduzimanja moraju shodno tome promijeniti.

Ili:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Množenje snage

Brojevi sa stepenom mogu se množiti kao i druge veličine tako što ćete ih pisati jedan za drugim, sa ili bez znaka množenja između njih.

Dakle, rezultat množenja a 3 sa b 2 je a 3 b 2 ili aaabb.

Ili:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Rezultat u posljednjem primjeru može se urediti dodavanjem istih varijabli.
Izraz će imati oblik: a 5 b 5 y 3 .

Upoređivanjem nekoliko brojeva (varijabli) sa potencijama, možemo vidjeti da ako se bilo koja dva od njih pomnože, onda je rezultat broj (varijabla) sa stepenom jednakim suma stepeni pojmova.

Dakle, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Ovdje je 5 snaga rezultata množenja, jednaka 2 + 3, zbir potencija članova.

Dakle, a n .a m = a m+n .

Za a n, a se uzima kao faktor onoliko puta koliko je snaga n;

A m , uzima se kao faktor onoliko puta koliko je stepen m jednak;

Zbog toga, potencije sa istim bazama mogu se pomnožiti dodavanjem eksponenata.

Dakle, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . I x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Ili:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Pomnožite (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Odgovor: x 4 - y 4.
Pomnožite (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Ovo pravilo važi i za brojeve čiji su eksponenti - negativan.

1. Dakle, a -2 .a -3 = a -5 . Ovo se može napisati kao (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Ako se a + b pomnože sa a - b, rezultat će biti a 2 - b 2: tj

Rezultat množenja zbira ili razlike dva broja jednak je zbroju ili razlici njihovih kvadrata.

Ako se zbir i razlika dva broja podignu na kvadrat, rezultat će biti jednak zbroju ili razlici ovih brojeva u četvrto stepen.

Dakle, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .

Podjela stepena

Brojevi sa stepenom mogu se podijeliti kao i drugi brojevi oduzimanjem od djelitelja ili postavljanjem u obliku razlomka.

Dakle, a 3 b 2 podijeljeno sa b 2 je 3 .

Ili:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

Pisanje 5 podijeljeno sa 3 izgleda kao $\frac(a^5)(a^3)$. Ali ovo je jednako 2. U nizu brojeva
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
bilo koji broj se može podijeliti s drugim, a eksponent će biti jednak razlika indikatori djeljivih brojeva.

Prilikom dijeljenja potencija sa istom osnovom, njihovi eksponenti se oduzimaju..

Dakle, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . To jest, $\frac(yyy)(yy) = y$.

I a n+1:a = a n+1-1 = a n . To jest, $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

Ili:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

Pravilo važi i za brojeve sa negativan vrijednosti stepena.
Rezultat dijeljenja -5 sa -3 je -2.
Također, $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 ili $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Potrebno je vrlo dobro savladati množenje i dijeljenje potencija, budući da se takve operacije vrlo široko koriste u algebri.

Primjeri rješavanja primjera sa razlomcima koji sadrže brojeve sa stepenom

1. Smanjite eksponente u $\frac(5a^4)(3a^2)$ Odgovor: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Smanjite eksponente u $\frac(6x^6)(3x^5)$. Odgovor: $\frac(2x)(1)$ ili 2x.

3. Smanjite eksponente a 2 / a 3 i a -3 / a -4 i dovedite do zajedničkog nazivnika.
a 2 .a -4 je -2 prvi brojilac.
a 3 .a -3 je a 0 = 1, drugi brojilac.
a 3 .a -4 je -1, zajednički brojnik.
Nakon pojednostavljenja: a -2 /a -1 i 1/a -1 .

4. Smanjiti eksponente 2a 4 /5a 3 i 2 /a 4 i dovesti do zajedničkog imenioca.
Odgovor: 2a 3 / 5a 7 i 5a 5 / 5a 7 ili 2a 3 / 5a 2 i 5/5a 2.

5. Pomnožite (a 3 + b)/b 4 sa (a - b)/3.

6. Pomnožite (a 5 + 1)/x 2 sa (b 2 - 1)/(x + a).

7. Pomnožite b 4 /a -2 sa h -3 /x i a n /y -3 .

8. Podijelite a 4 /y 3 sa 3 /y 2 . Odgovor: a/y.

9. Podijelite (h 3 - 1)/d 4 sa (d n + 1)/h.

Sadržaj lekcije

Šta je diploma?

Stepen naziva proizvod nekoliko identičnih faktora. Na primjer:

2×2×2

Vrijednost ovog izraza je 8

2 x 2 x 2 = 8

Lijeva strana ove jednadžbe se može skratiti – prvo zapišite faktor ponavljanja i preko njega označite koliko puta se ponavlja. Ponavljajući množitelj u ovom slučaju je 2. Ponavlja se tri puta. Stoga, preko dvojke pišemo trojku:

2 3 = 8

Ovaj izraz glasi ovako: dva na treći stepen jednako je osam ili " treći stepen od 2 je 8.

Kratki oblik pisanja množenja istih faktora se češće koristi. Stoga, moramo zapamtiti da ako je drugi broj upisan u neki broj, onda je to množenje nekoliko identičnih faktora.

Na primjer, ako je dat izraz 5 3, onda treba imati na umu da je ovaj izraz ekvivalentan pisanju 5 × 5 × 5.

Poziva se broj koji se ponavlja osnova stepena. U izrazu 5 3 osnova stepena je broj 5 .

I broj koji je upisan iznad broja 5 se zove eksponent. U izrazu 5 3, eksponent je broj 3. Eksponent pokazuje koliko puta se ponavlja baza stepena. U našem slučaju, baza 5 se ponavlja tri puta.

Operacija množenja identičnih faktora naziva se eksponencijacija.

Na primjer, ako trebate pronaći proizvod četiri identična faktora, od kojih je svaki jednak 2, onda kažu da je broj 2 podignuta na četvrti stepen:

Vidimo da je broj 2 na četvrti stepen broj 16.

Imajte na umu da u ovoj lekciji gledamo stepeni sa prirodnim indikatorom. Ovo je vrsta stepena čiji je eksponent prirodan broj. Podsjetimo da su prirodni brojevi cijeli brojevi koji su veći od nule. Na primjer, 1, 2, 3 i tako dalje.

Općenito, definicija diplome s prirodnim pokazateljem je sljedeća:

Stepen of a sa prirodnim indikatorom n je izraz forme a n, što je jednako proizvodu n množitelja, od kojih je svaki jednak a

primjeri:

Budite oprezni kada broj podižete na stepen. Često, zbog nepažnje, osoba množi bazu stepena sa eksponentom.

Na primjer, broj 5 na drugi stepen je proizvod dva faktora, od kojih je svaki jednak 5. Ovaj proizvod je jednak 25

Sada zamislite da smo nehotice pomnožili bazu 5 sa eksponentom 2

Došlo je do greške, jer broj 5 na drugi stepen nije jednak 10.

Dodatno, treba napomenuti da je stepen broja s eksponentom 1 sam broj:

Na primjer, broj 5 na prvi stepen je sam broj 5.

Shodno tome, ako broj nema indikator, onda moramo pretpostaviti da je indikator jednak jedinici.

Na primjer, brojevi 1, 2, 3 dati su bez eksponenta, tako da će njihovi eksponenti biti jednaki jedan. Svaki od ovih brojeva može se napisati sa eksponentom 1

A ako podignete 0 na neki stepen, dobijate 0. Zaista, koliko god se puta ništa ne pomnoži samo po sebi, ništa neće ispasti. primjeri:

A izraz 0 0 nema smisla. Ali u nekim granama matematike, posebno u analizi i teoriji skupova, izraz 0 0 može imati smisla.

Za trening ćemo riješiti nekoliko primjera dizanja brojeva na stepen.

Primjer 1 Podignite broj 3 na drugi stepen.

Broj 3 na drugi stepen je proizvod dva faktora, od kojih je svaki jednak 3

3 2 = 3 × 3 = 9

Primjer 2 Podignite broj 2 na četvrti stepen.

Broj 2 na četvrti stepen je proizvod četiri faktora, od kojih je svaki jednak 2

2 4 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16

Primjer 3 Podignite broj 2 na treći stepen.

Broj 2 na treći stepen je proizvod tri faktora, od kojih je svaki jednak 2

2 3 = 2 × 2 × 2 = 8

Eksponencijacija broja 10

Da se broj 10 podigne na stepen, dovoljno je dodati broj nula iza jedinice, jednak eksponentu.

Na primjer, podignimo broj 10 na drugi stepen. Prvo napišemo sam broj 10 i označimo broj 2 kao indikator

10 2

Sada stavljamo znak jednakosti, zapisujemo jedan i nakon ovoga zapisujemo dvije nule, jer broj nula treba biti jednak eksponentu

10 2 = 100

Dakle, broj 10 na drugi stepen je broj 100. To je zbog činjenice da je broj 10 na drugi stepen proizvod dva faktora, od kojih je svaki jednak 10

10 2 = 10 × 10 = 100

Primjer 2. Podignimo broj 10 na treći stepen.

U ovom slučaju, iza jedinice će biti tri nule:

10 3 = 1000

Primjer 3. Podignimo broj 10 na četvrti stepen.

U ovom slučaju, iza jedinice će biti četiri nule:

10 4 = 10000

Primjer 4. Podignimo broj 10 na prvi stepen.

U ovom slučaju, iza jedinice će biti jedna nula:

10 1 = 10

Predstavljanje brojeva 10, 100, 1000 kao stepen sa bazom 10

Da biste brojeve 10, 100, 1000 i 10000 predstavili kao stepen sa osnovom 10, morate napisati bazu 10 i navesti broj jednak broju nula u originalnom broju kao eksponent.

Predstavimo broj 10 kao stepen sa bazom 10. Vidimo da ima jednu nulu. Dakle, broj 10 kao stepen sa bazom 10 biće predstavljen kao 10 1

10 = 10 1

Primjer 2. Predstavimo broj 100 kao stepen sa bazom 10. Vidimo da broj 100 sadrži dvije nule. Dakle, broj 100 kao stepen sa bazom 10 biće predstavljen kao 10 2

100 = 10 2

Primjer 3. Predstavimo broj 1000 kao stepen sa bazom 10.

1 000 = 10 3

Primjer 4. Predstavimo broj 10.000 kao stepen sa bazom 10.

10 000 = 10 4

Eksponencijacija negativnog broja

Kada se negativan broj podiže na stepen, on mora biti stavljen u zagrade.

Na primjer, podignimo negativni broj −2 na drugi stepen. Broj −2 na drugi stepen je proizvod dva faktora, od kojih je svaki jednak (−2)

(−2) 2 = (−2) × (−2) = 4

Ako broj -2 ne stavimo u zagrade, ispalo bi da izračunavamo izraz -2 2 koji nije jednako 4 . Izraz -2² će biti jednak -4. Da bismo razumeli zašto, hajde da se dotaknemo nekih tačaka.

Kada stavimo minus ispred pozitivnog broja, time nastupamo operacija preuzimanja suprotne vrijednosti.

Recimo da je dat broj 2, a vi trebate pronaći njegov suprotni broj. Znamo da je suprotnost od 2 −2. Drugim riječima, da biste pronašli suprotan broj za 2, dovoljno je staviti minus ispred ovog broja. Umetanje minusa ispred broja već se smatra punopravnom operacijom u matematici. Ova operacija, kao što je gore spomenuto, naziva se operacija preuzimanja suprotne vrijednosti.

U slučaju izraza −2 2, javljaju se dvije operacije: operacija preuzimanja suprotne vrijednosti i eksponencijacija. Podizanje na stepen je operacija većeg prioriteta od uzimanja suprotne vrijednosti.

Stoga se izraz −2 2 izračunava u dva koraka. Prvo se izvodi operacija eksponencijalnosti. U ovom slučaju, pozitivni broj 2 je podignut na drugi stepen.

Tada je uzeta suprotna vrijednost. Ova suprotna vrijednost je pronađena za vrijednost 4. A suprotna vrijednost za 4 je −4

−2 2 = −4

Zagrade imaju najveći prioritet izvršenja. Stoga se u slučaju izračunavanja izraza (−2) 2 prvo uzima suprotna vrijednost, a zatim se negativni broj −2 podiže na drugi stepen. Rezultat je pozitivan odgovor 4, jer je proizvod negativnih brojeva pozitivan broj.

Primjer 2. Podići broj −2 na treći stepen.

Broj −2 na treći stepen je proizvod tri faktora, od kojih je svaki jednak (−2)

(−2) 3 = (−2) × (−2) × (−2) = −8

Primjer 3. Podići broj −2 na četvrti stepen.

Broj −2 na četvrti stepen je proizvod četiri faktora, od kojih je svaki jednak (−2)

(−2) 4 = (−2) × (−2) × (−2) × (−2) = 16

Lako je vidjeti da kada se negativan broj podigne na stepen, može se dobiti ili pozitivan ili negativan odgovor. Predznak odgovora zavisi od eksponenta početnog stepena.

Ako je eksponent paran, onda je odgovor da. Ako je eksponent neparan, odgovor je negativan. Pokažimo to na primjeru broja −3

U prvom i trećem slučaju indikator je bio odd broj, tako je odgovor postao negativan.

U drugom i četvrtom slučaju indikator je bio čak broj, tako je odgovor postao pozitivno.

Primjer 7 Podignite broj -5 na treći stepen.

Broj -5 na treći stepen je proizvod tri faktora, od kojih je svaki jednak -5. Eksponent 3 je neparan broj, tako da možemo unaprijed reći da će odgovor biti negativan:

(−5) 3 = (−5) × (−5) × (−5) = −125

Primjer 8 Podignite broj -4 na četvrti stepen.

Broj -4 na četvrti stepen je proizvod četiri faktora, od kojih je svaki jednak -4. U ovom slučaju indikator 4 je paran, tako da možemo unaprijed reći da će odgovor biti pozitivan:

(−4) 4 = (−4) × (−4) × (−4) × (−4) = 256

Pronalaženje vrijednosti izraza

Prilikom pronalaženja vrijednosti izraza koji ne sadrže zagrade, prvo će se izvesti eksponencijacija, zatim množenje i dijeljenje po njihovom redu, a zatim sabiranje i oduzimanje po njihovom redu.

Primjer 1. Pronađite vrijednost izraza 2 + 5 2

Prvo se izvodi eksponencijacija. U ovom slučaju, broj 5 se podiže na drugi stepen - ispada 25. Zatim se ovaj rezultat dodaje broju 2

2 + 5 2 = 2 + 25 = 27

Primjer 10. Pronađite vrijednost izraza −6 2 × (−12)

Prvo se izvodi eksponencijacija. Imajte na umu da broj −6 nije u zagradama, pa će broj 6 biti podignut na drugi stepen, a zatim će se ispred rezultata staviti minus:

−6 2 × (−12) = −36 × (−12)

Završavamo primjer množenjem −36 sa (−12)

−6 2 × (−12) = −36 × (−12) = 432

Primjer 11. Pronađite vrijednost izraza −3 × 2 2

Prvo se izvodi eksponencijacija. Tada se rezultat množi sa brojem −3

−3 × 2 2 = −3 × 4 = −12

Ako izraz sadrži zagrade, onda prvo morate izvršiti operacije u tim zagradama, zatim eksponencijaliranje, zatim množenje i dijeljenje, a zatim sabiranje i oduzimanje.

Primjer 12. Pronađite vrijednost izraza (3 2 + 1 × 3) − 15 + 5

Hajde da prvo uradimo zagrade. Unutar zagrada primjenjujemo prethodno naučena pravila, naime, prvo povisimo broj 3 na drugi stepen, zatim izvršimo množenje 1 × 3, a zatim dodamo rezultate povećanja broja 3 na stepen i množenja 1 × 3. Zatim se oduzimanje i sabiranje izvode redoslijedom kojim se pojavljuju. Uredimo sljedeći redoslijed izvođenja radnje na originalnom izrazu:

(3 2 + 1 × 3) - 15 + 5 = 12 - 15 + 5 = 2

Primjer 13. Pronađite vrijednost izraza 2 × 5 3 + 5 × 2 3

Prvo, podižemo brojeve na stepen, zatim izvodimo množenje i dodajemo rezultate:

2 x 5 3 + 5 x 2 3 = 2 x 125 + 5 x 8 = 250 + 40 = 290

Identitetske transformacije moći

Različite identične transformacije mogu se izvršiti na moćima, čime se pojednostavljuju.

Pretpostavimo da je bilo potrebno izračunati izraz (2 3) 2 . U ovom primjeru, dva na treći stepen je podignuta na drugi stepen. Drugim riječima, stepen se podiže na drugi stepen.

(2 3) 2 je proizvod dva stepena, od kojih je svaka jednaka 2 3

Štaviše, svaka od ovih snaga je proizvod tri faktora, od kojih je svaki jednak 2

Dobili smo proizvod 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2, koji je jednak 64. Dakle, vrijednost izraza (2 3) 2 ili jednaka 64

Ovaj primjer se može znatno pojednostaviti. Za to se indikatori izraza (2 3) 2 mogu pomnožiti i ovaj proizvod se može napisati preko baze 2

Dobio 2 6 . Dva na šesti stepen je proizvod šest faktora, od kojih je svaki jednak 2. Ovaj proizvod je jednak 64

Ovo svojstvo funkcionira jer je 2 3 proizvod 2 × 2 × 2, koji se zauzvrat ponavlja dva puta. Tada se ispostavlja da se baza 2 ponavlja šest puta. Odavde možemo napisati da je 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 2 6

Općenito, iz bilo kojeg razloga a sa indikatorima m I n, vrijedi sljedeća jednakost:

(a n)m = a n × m

Ova identična transformacija se zove eksponencijacija. Može se pročitati ovako: “Kada se stepen diže na stepen, baza ostaje nepromijenjena, a eksponenti se množe” .

Nakon množenja indikatora, dobijate još jedan stepen, čija se vrijednost može pronaći.

Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza (3 2) 2

U ovom primjeru, baza je 3, a brojevi 2 i 2 su eksponenti. Koristimo se pravilom eksponencijalnosti. Ostavljamo bazu nepromijenjenu i množimo indikatore:

Dobio 3 4 . A broj 3 na četvrti stepen je 81

Pogledajmo ostale transformacije.

Množenje snage

Da biste pomnožili stepene, morate posebno izračunati svaki stepen i pomnožiti rezultate.

Na primjer, pomnožimo 2 2 sa 3 3 .

2 2 je broj 4, a 3 3 je broj 27. Pomnožimo brojeve 4 i 27, dobijemo 108

2 2 x 3 3 = 4 x 27 = 108

U ovom primjeru, osnove ovlasti bile su različite. Ako su baze iste, onda se može napisati jedna baza, a kao indikator upisati zbir indikatora početnih stepeni.

Na primjer, pomnožite 2 2 sa 2 3

U ovom primjeru eksponenti imaju istu bazu. U ovom slučaju možete napisati jednu bazu 2 i zapisati zbir eksponenata 2 2 i 2 3 kao indikator. Drugim riječima, ostavite bazu nepromijenjenu i dodajte eksponente originalnih stupnjeva. To će izgledati ovako:

Dobio 2 5 . Broj 2 na peti stepen je 32

Ovo svojstvo funkcionira jer je 2 2 proizvod 2 × 2, a 2 3 proizvod 2 × 2 × 2 . Tada se dobije proizvod pet identičnih faktora, od kojih je svaki jednak 2. Ovaj proizvod se može predstaviti kao 2 5

Općenito, za bilo koje a i indikatori m I n vrijedi sljedeća jednakost:

Ova identična transformacija se zove glavno svojstvo diplome. Može se pročitati ovako: PPrilikom množenja stepena sa istom osnovom, baza se ostavlja nepromijenjena, a eksponenti se sabiraju. .

Imajte na umu da se ova transformacija može primijeniti na bilo koji broj stupnjeva. Glavna stvar je da je baza ista.

Na primjer, pronađimo vrijednost izraza 2 1 × 2 2 × 2 3 . Fondacija 2

U nekim problemima može biti dovoljno izvršiti odgovarajuću transformaciju bez izračunavanja konačnog stepena. Ovo je naravno vrlo zgodno, jer nije tako lako izračunati velike snage.

Primjer 1. Izraz 5 8 × 25 izraziti stepenom

U ovom zadatku treba da bude tako da se umesto izraza 5 8 × 25 dobije jedan stepen.

Broj 25 može se predstaviti kao 5 2 . Tada dobijamo sledeći izraz:

U ovom izrazu možete primijeniti glavno svojstvo stepena - ostavite bazu 5 nepromijenjenom i dodajte indikatore 8 i 2:

Napišimo rješenje ukratko:

Primjer 2. Izraz 2 9 × 32 izraziti kao stepen

Broj 32 može se predstaviti kao 2 5 . Tada dobijamo izraz 2 9 × 2 5 . Zatim možete primijeniti osnovno svojstvo stepena - ostavite bazu 2 nepromijenjenu i dodajte indikatore 9 i 5. Ovo će rezultirati sljedećim rješenjem:

Primjer 3. Izračunajte proizvod 3 × 3 koristeći osnovno svojstvo snage.

Svima je dobro poznato da je tri puta tri jednako devet, ali zadatak zahtijeva korištenje glavnog svojstva stepena u toku rješavanja. Kako uraditi?

Podsjećamo da ako je broj dan bez indikatora, onda se indikator mora smatrati jednakim jedan. Dakle, faktori 3 i 3 mogu se zapisati kao 3 1 i 3 1

3 1 × 3 1

Sada koristimo glavno svojstvo stepena. Ostavljamo bazu 3 nepromijenjenu i dodajemo indikatore 1 i 1:

3 1 × 3 1 = 3 2 = 9

Primjer 4. Izračunajte proizvod 2 × 2 × 3 2 × 3 3 koristeći osnovno svojstvo snage.

Proizvod 2 × 2 zamjenjujemo sa 2 1 × 2 1 , zatim sa 2 1 + 1 , a zatim sa 2 2 . Umnožak 3 2 × 3 3 zamjenjuje se sa 3 2 + 3, a zatim sa 3 5

Primjer 5. Izvršite množenje x × x

Ovo su dva identična alfabetska faktora sa indikatorima 1. Radi jasnoće, zapisujemo ove indikatore. Dalja baza x ostavite nepromijenjeno i dodajte indikatore:

Dok ste za tablom, ne treba zapisivati ​​množenje potencija sa istim osnovama tako detaljno kao što je to urađeno ovde. Takve kalkulacije moraju biti urađene u umu. Detaljan unos će najvjerovatnije iznervirati nastavnika i on će sniziti ocjenu za ovo. Ovdje je dat detaljan zapis kako bi materijal bio što pristupačniji za razumijevanje.

Rješenje ovog primjera treba napisati ovako:

Primjer 6. Izvršite množenje x 2 × x

Indeks drugog faktora jednak je jedan. Hajde da to zapišemo radi jasnoće. Zatim ostavljamo bazu nepromijenjenu i dodajemo indikatore:

Primjer 7. Izvršite množenje y 3 y 2 y

Indeks trećeg faktora jednak je jedan. Hajde da to zapišemo radi jasnoće. Zatim ostavljamo bazu nepromijenjenu i dodajemo indikatore:

Primjer 8. Izvršite množenje aa 3 a 2 a 5

Indeks prvog faktora jednak je jedan. Hajde da to zapišemo radi jasnoće. Zatim ostavljamo bazu nepromijenjenu i dodajemo indikatore:

Primjer 9. Izrazite stepen 3 8 kao proizvod potencija sa istom osnovom.

U ovom zadatku morate napraviti proizvod stupnjeva čije će osnovice biti jednake 3, a zbir eksponenata će biti jednak 8. Možete koristiti bilo koje indikatore. Predstavljamo stepen 3 8 kao proizvod potencija 3 5 i 3 3

U ovom primjeru, ponovo smo se oslonili na glavno svojstvo stepena. Na kraju krajeva, izraz 3 5 × 3 3 može se zapisati kao 3 5 + 3, odakle je 3 8 .

Naravno, bilo je moguće predstaviti moć 3 8 kao proizvod drugih moći. Na primjer, u obliku 3 7 × 3 1 , budući da je i ovaj proizvod 3 8

Predstavljanje diplome kao proizvoda moći sa istom osnovom uglavnom je kreativan rad. Zato se nemojte plašiti eksperimentisanja.

Primjer 10. Submit Degree x 12 kao razni proizvodi moći sa bazama x .

Koristimo glavno svojstvo stepena. Zamislite x 12 kao proizvodi sa bazama x, a zbir eksponenata je jednak 12

Konstrukcije sa zbirom indikatora su snimljene radi preglednosti. Većinu vremena mogu se preskočiti. Tada dobijamo kompaktno rješenje:

Eksponencijalnost proizvoda

Da biste podignuli proizvod na stepen, trebate svaki faktor ovog proizvoda podići na navedeni stepen i pomnožiti rezultate.

Na primjer, podignimo proizvod 2 × 3 na drugi stepen. Ovaj proizvod uzimamo u zagrade i označavamo 2 kao indikator

Sada podižemo svaki faktor proizvoda 2 × 3 na drugi stepen i množimo rezultate:

Princip rada ovog pravila zasniva se na definiciji stepena, koja je data na samom početku.

Podići proizvod 2 × 3 na drugi stepen znači ponoviti ovaj proizvod dva puta. A ako to ponovite dvaput, možete dobiti sljedeće:

2×3×2×3

Od permutacije mjesta faktora, proizvod se ne mijenja. Ovo vam omogućava da grupišete iste množitelje:

2×2×3×3

Ponavljajući množitelji mogu se zamijeniti kratkim unosima - bazama sa eksponentima. Proizvod 2 × 2 može se zamijeniti sa 2 2 , a proizvod 3 × 3 može se zamijeniti sa 3 2 . Tada se izraz 2 × 2 × 3 × 3 pretvara u izraz 2 2 × 3 2 .

Neka bude ab originalni rad. Za podizanje ovog proizvoda na snagu n, potrebno je posebno podići faktore a I b do navedenog stepena n

Ovo svojstvo vrijedi za bilo koji broj faktora. Važe i sljedeći izrazi:

Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza (2 × 3 × 4) 2

U ovom primjeru, trebate podići proizvod 2 × 3 × 4 na drugi stepen. Da biste to učinili, morate svaki faktor ovog proizvoda podići na drugi stepen i pomnožiti rezultate:

Primjer 3. Podignite proizvod na treću potenciju a×b×c

Ovaj proizvod stavljamo u zagrade, a kao indikator označavamo broj 3

Primjer 4. Podignite proizvod na treći stepen 3 xyz

Ovaj proizvod stavljamo u zagrade i označavamo 3 kao indikator

(3xyz) 3

Podignimo svaki faktor ovog proizvoda na treći stepen:

(3xyz) 3 = 3 3 x 3 y 3 z 3

Broj 3 na treći stepen jednak je broju 27. Ostalo ostavljamo nepromijenjenim:

(3xyz) 3 = 3 3 x 3 y 3 z 3 = 27x 3 y 3 z 3

U nekim primjerima, množenje potencija sa istim eksponentima može se zamijeniti proizvodom baza s istim eksponentom.

Na primjer, izračunajmo vrijednost izraza 5 2 × 3 2 . Podignite svaki broj na drugi stepen i pomnožite rezultate:

5 2 x 3 2 = 25 x 9 = 225

Ali ne možete izračunati svaki stepen posebno. Umjesto toga, ovaj proizvod potencija može se zamijeniti proizvodom s jednim eksponentom (5 × 3) 2 . Zatim izračunajte vrijednost u zagradama i podignite rezultat na drugi stepen:

5 2 × 3 2 = (5 × 3) 2 = (15) 2 = 225

U ovom slučaju ponovo je korišteno pravilo eksponencijalnog proizvoda. Uostalom, ako (a x b)n = a n × b n , onda a n × b n = (a × b) n. To jest, lijeva i desna strana jednačine su obrnute.

Eksponencijacija

Ovu transformaciju smatrali smo primjerom kada smo pokušali razumjeti suštinu identičnih transformacija stupnjeva.

Kada se stepen diže na stepen, baza se ostavlja nepromijenjena, a eksponenti se množe:

(a n)m = a n × m

Na primjer, izraz (2 3) 2 je podizanje stepena na stepen - dva na treći stepen se diže na drugi stepen. Da biste pronašli vrijednost ovog izraza, baza se može ostaviti nepromijenjena, a eksponenti se mogu pomnožiti:

(2 3) 2 = 2 3 × 2 = 2 6

(2 3) 2 = 2 3 × 2 = 2 6 = 64

Ovo pravilo se zasniva na prethodnim pravilima: eksponencijalizaciji proizvoda i osnovnom svojstvu stepena.

Vratimo se na izraz (2 3) 2 . Izraz u zagradama 2 3 je proizvod tri identična faktora, od kojih je svaki jednak 2. Tada se u izrazu (2 3) 2 snaga unutar zagrada može zamijeniti proizvodom 2 × 2 × 2.

(2×2×2) 2

A ovo je eksponencijalnost proizvoda koji smo ranije proučavali. Prisjetite se da da biste podignuli proizvod na stepen, morate svaki faktor ovog proizvoda podići na navedeni stepen i pomnožiti rezultate:

(2 x 2 x 2) 2 = 2 2 x 2 2 x 2 2

Sada se bavimo glavnim svojstvom diplome. Ostavljamo bazu nepromijenjenu i dodajemo indikatore:

(2 x 2 x 2) 2 = 2 2 x 2 2 x 2 2 = 2 2 + 2 + 2 = 2 6

Kao i ranije, dobili smo 2 6 . Vrijednost ovog stepena je 64

(2 x 2 x 2) 2 = 2 2 x 2 2 x 2 2 = 2 2 + 2 + 2 = 2 6 = 64

Proizvod čiji su faktori i moći također se može podići na snagu.

Na primjer, pronađimo vrijednost izraza (2 2 × 3 2) 3 . Ovdje se indikatori svakog množitelja moraju pomnožiti sa ukupnim indikatorom 3. Zatim pronađite vrijednost svakog stepena i izračunajte proizvod:

(2 2 x 3 2) 3 = 2 2 x 3 x 3 2 x 3 = 2 6 x 3 6 = 64 x 729 = 46656

Otprilike ista stvar se dešava kada se podigne na snagu proizvoda. Rekli smo da se pri podizanju proizvoda na stepen svaki faktor ovog proizvoda podiže na naznačeni stepen.

Na primjer, da biste povećali proizvod 2 × 4 na treći stepen, trebate napisati sljedeći izraz:

Ali ranije je rečeno da ako je broj dan bez indikatora, onda se indikator treba smatrati jednakim jedan. Ispada da faktori proizvoda 2 × 4 u početku imaju eksponente jednake 1. To znači da je izraz 2 1 × 4 1 ​​podignut na treći stepen. A ovo je podizanje stepena na moć.

Prepišimo rješenje koristeći pravilo eksponencijacije. Trebali bismo dobiti isti rezultat:

Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza (3 3) 2

Ostavljamo bazu nepromijenjenu i množimo indikatore:

Dobio 3 6 . Broj 3 na šesti stepen je broj 729

Primjer 3xy)³

Primjer 4. Izvršite eksponencijaciju u izrazu ( abc)⁵

Podignimo svaki faktor proizvoda na peti stepen:

Primjer 5sjekira) 3

Podignimo svaki faktor proizvoda na treći stepen:

Pošto je negativan broj −2 podignut na treći stepen, uzet je u zagradama.

Primjer 6. Izvršite eksponencijaciju u izrazu (10 xy) 2

Primjer 7. Izvršite eksponencijaciju u izrazu (−5 x) 3

Primjer 8. Izvršite eksponencijaciju u izrazu (−3 y) 4

Primjer 9. Izvršite eksponencijaciju u izrazu (−2 abx)⁴

Primjer 10. Pojednostavite izraz x 5×( x 2) 3

Stepen x 5 će za sada ostati nepromijenjena, au izrazu ( x 2) 3 izvesti eksponencijaciju na stepen:

x 5 × (x 2) 3 = x 5 × x 2×3 = x 5 × x 6

Sada uradimo množenje x 5 × x 6. Da bismo to učinili, koristimo glavno svojstvo stepena - bazu x ostavite nepromijenjeno i dodajte indikatore:

x 5 × (x 2) 3 = x 5 × x 2×3 = x 5 × x 6 = x 5 + 6 = x 11

Primjer 9. Nađite vrijednost izraza 4 3 × 2 2 koristeći osnovno svojstvo stepena.

Glavno svojstvo stepena može se koristiti ako su baze početnih stepeni iste. U ovom primjeru baze su različite, pa je za početak potrebno malo modificirati originalni izraz, odnosno da bi osnove stupnjeva postale iste.

Pogledajmo pomno snagu 4 3 . Osnova ovog stepena je broj 4, koji se može predstaviti kao 2 2 . Tada će originalni izraz imati oblik (2 2) 3 × 2 2 . Eksponencijacijom na stepen u izrazu (2 2) 3 dobijamo 2 6 . Tada će originalni izraz imati oblik 2 6 × 2 2 , koji se može izračunati korištenjem glavnog svojstva stepena.

Napišimo rješenje ovog primjera:

Podjela stepena

Da biste izvršili dijeljenje stepena, morate pronaći vrijednost svakog stepena, a zatim izvršiti dijeljenje običnih brojeva.

Na primjer, podijelimo 4 3 sa 2 2 .

Izračunaj 4 3 , dobićemo 64 . Izračunamo 2 2 , dobijemo 4. Sada podijelimo 64 sa 4, dobijemo 16

Ako se pri dijeljenju stupnjeva baze ispostavi da su isti, tada se baza može ostaviti nepromijenjena, a eksponent djelitelja se može oduzeti od eksponenta dividende.

Na primjer, pronađimo vrijednost izraza 2 3: 2 2

Ostavljamo bazu 2 nepromijenjenu i oduzimamo eksponent djelitelja od eksponenta dividende:

Dakle, vrijednost izraza 2 3: 2 2 je 2 .

Ovo svojstvo se zasniva na množenju stepena sa istim bazama, ili, kako smo govorili, na glavnom svojstvu stepena.

Vratimo se na prethodni primjer 2 3: 2 2 . Ovdje je dividenda 2 3, a djelitelj je 2 2 .

Podijeliti jedan broj drugim znači pronaći broj koji će, kada se pomnoži s djeliteljem, dati dividendu kao rezultat.

U našem slučaju, dijeljenje 2 3 sa 2 2 znači pronalaženje stepena koji će, kada se pomnoži s djeliteljem 2 2, rezultirati 2 3 . Koja se snaga može pomnožiti sa 2 2 da se dobije 2 3 ? Očigledno, samo stepen 2 1 . Od glavne osobine diplome imamo:

Možete provjeriti da li je vrijednost izraza 2 3: 2 2 jednaka 2 1 direktnim procjenom izraza 2 3: 2 2 . Da bismo to učinili, prvo pronađemo vrijednost stepena 2 3 , dobićemo 8 . Tada nađemo vrijednost stepena 2 2 , dobijemo 4 . Podijelimo 8 sa 4, dobićemo 2 ili 2 1 , budući da je 2 = 2 1 .

2 3: 2 2 = 8: 4 = 2

Dakle, prilikom podjele potencija sa istom osnovom vrijedi sljedeća jednakost:

Takođe se može desiti da ne samo osnove, već i indikatori budu isti. U ovom slučaju, odgovor će biti jedan.

Na primjer, pronađimo vrijednost izraza 2 2: 2 2 . Izračunajmo vrijednost svakog stepena i izvršimo dijeljenje rezultirajućih brojeva:

Prilikom rješavanja primjera 2 2: 2 2 možete primijeniti i pravilo za dijeljenje stupnjeva sa istim bazama. Rezultat je broj na nultu potenciju, jer je razlika između eksponenata 2 2 i 2 2 nula:

Zašto je broj 2 na nultom stepenu jednak jedan, saznali smo iznad. Ako izračunate 2 2: 2 2 na uobičajen način, bez korištenja pravila za dijeljenje stupnjeva, dobićete jedan.

Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza 4 12: 4 10

Ostavljamo 4 nepromijenjeno i oduzimamo eksponent djelitelja od eksponenta dividende:

4 12: 4 10 = 4 12 − 10 = 4 2 = 16

Primjer 3. Pošalji privatno x 3: x kao diploma sa bazom x

Koristimo pravilo podjele stupnjeva. Baza x ostavite ga nepromijenjenim i oduzmite eksponent djelitelja od eksponenta dividende. Eksponent djelitelja je jednak jedan. Radi jasnoće, zapišimo:

Primjer 4. Pošalji privatno x 3: x 2 kao snaga sa bazom x

Koristimo pravilo podjele stupnjeva. Baza x

Podjela stupnjeva se može napisati kao razlomak. Dakle, prethodni primjer se može napisati na sljedeći način:

Brojnik i imenilac razlomka mogu se napisati u proširenom obliku, odnosno u obliku proizvoda identičnih faktora. Stepen x 3 se može napisati kao x × x × x, i stepen x 2 as x × x. Zatim izgradnja x 3 − 2 se može preskočiti i koristiti smanjenje razlomaka. U brojniku i u nazivniku biće moguće smanjiti po dva faktora x. Rezultat će biti jedan množitelj x

Ili još kraće:

Takođe, korisno je moći brzo smanjiti razlomke koji se sastoje od stepena. Na primjer, razlomak se može smanjiti na x 2. Da biste smanjili razlomak za x 2 trebate podijeliti brojilac i imenilac razlomka sa x 2

Podjela stupnjeva ne može se detaljno opisati. Gornja skraćenica se može skratiti:

Ili još kraće:

Primjer 5. Izvrši podjelu x 12 : x 3

Koristimo pravilo podjele stupnjeva. Baza x ostavite ga nepromijenjenim i oduzmite eksponent djelitelja od eksponenta dividende:

Rješenje pišemo korištenjem redukcije frakcija. Podjela stepena x 12 : x 3 će biti napisano kao . Zatim ovaj razlomak smanjujemo za x 3 .

Primjer 6. Pronađite vrijednost izraza

U brojiocu izvodimo množenje potencija sa istim bazama:

Sada primjenjujemo pravilo za podjelu potencija sa istim osnovama. Ostavljamo bazu 7 nepromijenjenu i oduzimamo eksponent djelitelja od eksponenta dividende:

Završavamo primjer izračunavanjem snage 7 2

Primjer 7. Pronađite vrijednost izraza

Izvršimo eksponencijaciju u brojiocu. Ovo treba da uradite sa izrazom (2 3) 4

Sada izvršimo množenje potencija sa istim bazama u brojniku.

Podsjećamo vas da u ovoj lekciji razumijemo svojstva stepena sa prirodnim pokazateljima i nulom. Stepenima sa racionalnim pokazateljima i njihovim svojstvima će se govoriti u lekcijama za 8. razred.

Eksponent s prirodnim eksponentom ima nekoliko važnih svojstava koja vam omogućavaju da pojednostavite proračune u primjerima eksponenta.

Nekretnina #1
Proizvod moći

Zapamtite!

Prilikom množenja stepena sa istom osnovom, baza ostaje nepromijenjena, a eksponenti se sabiraju.

a m a n \u003d a m + n, gdje je " a" - bilo koji broj, a " m", " n" - bilo koji prirodni brojevi.

Ovo svojstvo snaga također utječe na proizvod tri ili više potencija.

• Pojednostavite izraz.
  b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
• Prisutno kao diploma.
  6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
• Prisutno kao diploma.
  (0,8) 3 (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Bitan!

Napominjemo da se u navedenom svojstvu radilo samo o množenju snaga sa istih osnova . To se ne odnosi na njihovo dodavanje.

Ne možete zamijeniti zbir (3 3 + 3 2) sa 3 5 . Ovo je razumljivo ako
izračunaj (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 i 3 5 = 243

Nekretnina #2
Privatne diplome

Zapamtite!

Prilikom dijeljenja potencija sa istom osnovom, baza ostaje nepromijenjena, a eksponent djelitelja se oduzima od eksponenta dividende.

= 11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 44

Primjer. Riješite jednačinu. Koristimo svojstvo parcijalnih stepeni.
3 8: t = 3 4

T = 3 8 − 4

Odgovor: t = 3 4 = 81

Koristeći svojstva br. 1 i br. 2, lako možete pojednostaviti izraze i izvršiti proračune.

• Primjer. Pojednostavite izraz.
  4 5m + 6 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5
• Primjer. Pronađite vrijednost izraza koristeći svojstva stupnjeva.
  = = = 2 9 + 2

  2 5

  = 2 11

  2 5

  = 2 11 − 5 = 2 6 = 64

  Bitan!

  Napominjemo da se imovina 2 bavila samo podjelom vlasti po istim osnovama.

  Ne možete zamijeniti razliku (4 3 −4 2) sa 4 1 . Ovo je razumljivo ako uzmemo u obzir (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 , i 4 1 = 4

  Budi pazljiv!

  Nekretnina #3
  Eksponencijacija

  Zapamtite!

  Kada se stepen diže na stepen, baza stepena ostaje nepromijenjena, a eksponenti se množe.

  (a n) m \u003d a n m, gdje je "a" bilo koji broj, a "m", "n" su bilo koji prirodni brojevi.

  
  

  Svojstva 4
  Stepen proizvoda

  Zapamtite!

  Kada se proizvod podiže na stepen, svaki od faktora se podiže na stepen. Rezultati se zatim množe.

  (a b) n \u003d a n b n, gdje su "a", "b" bilo koji racionalni brojevi; "n" - bilo koji prirodan broj.

  • Primjer 1
    (6 a 2 b 3 c) 2 = 6 2 a 2 2 b 3 2 s 1 2 = 36 a 4 b 6 s 2
    
  • Primjer 2
    (−x 2 y) 6 = ((−1) 6 x 2 6 y 1 6) = x 12 y 6

  Bitan!

  Imajte na umu da se svojstvo br. 4, kao i druga svojstva stupnjeva, također primjenjuje obrnutim redoslijedom.

  (a n b n)= (a b) n

  To jest, da biste pomnožili stepene sa istim eksponentima, možete pomnožiti baze i ostaviti eksponent nepromijenjen.

  • Primjer. Izračunati.
    2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10.000
  • Primjer. Izračunati.
    0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1

  U složenijim primjerima mogu postojati slučajevi kada se množenje i dijeljenje moraju izvršiti na potencijama s različitim bazama i različitim eksponentima. U tom slučaju savjetujemo vam da učinite sljedeće.

  Na primjer, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216
  

  Primjer stepenovanja decimalnog razlomka.

  4 21 (−0,25) 20 = 4 4 20 (−0,25) 20 = 4 (4 (−0,25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4

  Svojstva 5
  Moć kvocijenta (razlomaka)

  Zapamtite!

  Da biste podigli količnik na stepen, možete podići dividendu i djelitelj odvojeno na ovaj stepen, a prvi rezultat podijeliti s drugim.

  (a: b) n \u003d a n: b n, gdje su "a", "b" bilo koji racionalni brojevi, b ≠ 0, n je bilo koji prirodan broj.

  • Primjer. Izrazite izraz kao parcijalne stepene.
    (5: 3) 12 = 5 12: 3 12

  Podsjećamo vas da se količnik može predstaviti kao razlomak. Stoga ćemo se na sljedećoj stranici detaljnije zadržati na temi dizanja razlomka na stepen.