Obično se u takvom zadatku daju krug i tačka. Potrebno je konstruisati tangentu na kružnicu, dok tangenta mora proći kroz datu tačku.
Ako lokacija tačke nije navedena, tri moguća slučaja lokacije tačke treba posebno navesti.
- Ako tačka leži unutar kružnice ograničene datom kružnicom, tada je nemoguće konstruisati tangentu kroz nju.
- Ako tačka leži na kružnici, tada se tangenta konstruiše tako što se konstruiše prava okomita na poluprečnik povučen u datu tačku.
- Ako tačka leži izvan kruga ograničenog kružnicom, tada se prije konstruiranja tangente traži tačka na kružnici kroz koju mora proći.
Da bi se riješio drugi slučaj, na liniji na kojoj leži poluprečnik, konstruiše se segment koji je jednak poluprečniku i leži na drugoj strani tačke na kružnici. Dakle, tačka na kružnici se dobija središtem segmenta jednakog dvostrukom poluprečniku. Zatim se konstruišu dva kruga, čiji su poluprečniki jednaki dvostrukom poluprečniku originalne kružnice, sa centrima na krajevima segmenta jednakim dvostrukom poluprečniku. Kroz bilo koju tačku preseka ovih kružnica i tačku zadatu uslovom zadatka, povlači se prava linija. To će biti medijana okomita na polumjer originalne kružnice, odnosno okomita na nju, što znači da će biti tangenta na kružnicu.
Treći slučaj, kada tačka leži izvan kruga ograničenog kružnicom, možete riješiti na sljedeći način. Potrebno je konstruisati segment koji povezuje centar date kružnice i datu tačku. Zatim, pronađite njegovu sredinu tako što ćete konstruisati srednju okomicu (opisano u prethodnom paragrafu). Nakon toga nacrtajte krug (ili njegov dio). Tačka preseka konstruisane kružnice i zadate uslovom problema je tačka kroz koju prolazi tangenta, koja takođe prolazi kroz tačku zadatu uslovom problema. Kroz dvije poznate tačke povučena je tangentna linija.
Da bismo dokazali da je konstruisana prava tangenta, treba uzeti u obzir ugao koji formira poluprečnik kružnice dat uslovom problema i segment koji povezuje tačku preseka kružnica sa tačkom datom uslovom problema . Ovaj ugao je zasnovan na polukrugu (prečniku konstruisanog kruga), što znači da je prava linija. To jest, radijus je okomit na konstruisanu liniju. Dakle, konstruisana linija je tangentna.
Ministarstvo obrazovanja i nauke Ruske Federacije
Opštinska budžetska obrazovna ustanova
grad Novosibirsk "Gimnazija br. 4"
Sekcija: matematika
ISTRAŽIVANJE
na ovu temu:
SVOJSTVA DVA KRUGA DIRANJA
Učenici 10. razreda:
Khaziakhmetov Radik Ildarovich
Zubarev Evgenij Vladimirovič
Supervizor:
LL. Barinova
Nastavnik matematike
Najviša kvalifikaciona kategorija
§ 1.Uvod……………………………………………………………………………………………………3
§ 1.1 Međusobni raspored dva kruga……………………………………………………………3
§ 2 Svojstva i njihovi dokazi………………………………………..………………………………4
§ 2.1 Svojstvo 1……………………………………………………………………………………..…………….…4
§ 2.2 Svojstvo 2…………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………
§ 2.3 Svojstvo 3…………………………………………………………………..……………………………6
§ 2.4 Svojstvo 4…………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………….
§ 2.5 Svojstvo 5………………………………………………..……………………………………………8
§ 2.6 Svojstvo 6……………………………………………………………………………………………………………9
§ 3 Zadaci………………………………………………………………………..……………..…11
Reference……………………………………………………………………………….13
§ jedan. Uvod
Mnogi problemi koji uključuju dvije tangentne kružnice mogu se riješiti sažetije i jednostavnije poznavanjem nekih svojstava koja će biti predstavljena kasnije.
Međusobni raspored dva kruga
Za početak ćemo razgovarati o mogućem međusobnom rasporedu dva kruga. Mogu postojati 4 različita slučaja.
1. Krugovi se ne smiju ukrštati.
2. Križ.
3. Dodirnite na jednoj tački spolja.
4. Dodirnite u jednom trenutku unutra.
§ 2. Svojstva i njihovi dokazi
Pređimo direktno na dokaz svojstava.
§ 2.1 Svojstvo 1
Segmenti između tačaka preseka tangenti sa kružnicama su međusobno jednaki i jednaki su dva srednja geometrijska poluprečnika ovih kružnica.
Dokaz 1. O 1 A 1 i O 2 V 1 - radijusi povučeni do dodirnih tačaka.
2. O 1 A 1 ┴ A 1 V 1, O2V1 ┴ A 1 V 1 → O 1 A 1 ║ O 2 V 1. (prema stavu 1)
- ▲O 1 O 2 D - pravougaona, jer O 2 D ┴ O 2 V 1
- O 1 O 2 \u003d R + r, O 2 D \u003d R - r
- Po Pitagorinoj teoremi A 1 V 1 = 2√Rr
(O 1 D 2 =(R+r) 2 -(R-r) 2 =R 2 +2Rr+r2-R 2 +2Rr-r 2 =√4Rr=2√Rr)
A 2 B 2 = 2√Rr (slično dokazano)
1) Nacrtajte poluprečnike do preseka tangenti sa kružnicama.
2) Ovi radijusi će biti okomiti na tangente i paralelni jedan s drugim.
3) Spustite okomicu iz središta manjeg kruga na poluprečnik većeg kruga.
4) Hipotenuza rezultirajućeg pravouglog trougla jednaka je zbiru poluprečnika kružnica. Noga je jednaka njihovoj razlici.
5) Pitagorinom teoremom dobijamo željenu relaciju.
§ 2.2 Svojstvo 2
Tačke presjeka prave koja siječe tačku dodira kružnica i ne leži ni u jednoj od njih, s tangentama dijele segmente vanjskih tangenta ograničene tačkama dodira, na dijelove, od kojih je svaki jednak geometrijska sredina poluprečnika ovih kružnica.
Dokaz 1.GOSPOĐA= MA 1 (kao segmenti tangenti)
2.MS = MV 1 (kao segmenti tangenti)
3.A 1 M \u003d MV 1 = √Rr, A 2 N = NB 2 = √Rr (prema stavu 1 i 2 )
Izjave korištene u dokazu Segmenti tangenti povučeni iz jedne tačke u neki krug su jednaki. Koristimo ovo svojstvo za oba data kruga.
§ 2.3 Svojstvo 3
Dužina segmenta unutrašnje tangente zatvorene između vanjskih tangenta jednaka je dužini segmenta vanjske tangente između dodirnih tačaka i jednaka je dvama srednjim geometrijskim polumjerima ovih kružnica.
Dokaz Ovaj zaključak proizilazi iz prethodnog svojstva.
MN = MC + CN = 2MC = 2A 1 M = A 1 B 1 = 2√Rr
§ 2.4 Svojstvo 4
Trokut formiran središtima tangentnih kružnica i središtem tangentnog segmenta između polumjera povučenih do tačaka dodira je pravougaonog oblika. Omjer njegovih nogu jednak je količniku korijena polumjera ovih kružnica.
Dokaz 1.MO 1 je simetrala ugla A 1 MC, MO 2 je simetrala ugla B 1 MC, jer Središte kružnice upisane u kut leži na simetrali tog ugla.
2. Prema stavu 1 RO 1 MS + RSMO 2 = 0,5 (RA1MS + RSMV 1) = 0,5p = p/2
3.RO 1 MO 2 - ravno. MS - visina trougla O 1 MO 2, jer tangenta MN je okomita na poluprečnike povučene do dodirnih tačaka → trouglovi O 1 MS i MO 2 S su slični.
4.O 1 M / MO 2 \u003d O 1 C / MS \u003d r / √Rr = √r / R (po sličnosti)
Izjave korištene u dokazu 1) Središte kružnice upisane u ugao leži na simetrali tog ugla. Kraci trougla su simetrale uglova.
2) Koristeći činjenicu da su ovako formirani uglovi jednaki, dobijamo da je ugao koji tražimo pravi ugao. Zaključujemo da je ovaj trokut zaista pravougli trokut.
3) Dokazujemo sličnost trouglova na koje visina (pošto je tangenta okomita na poluprečnike povučene u dodirnim tačkama) deli pravougaoni trougao, i sličnošću dobijamo željeni odnos.
§ 2.5 Svojstvo 5
Trougao formiran dodirnom tačkom kružnica jedna sa drugom i tačkama preseka kružnica sa tangentom, je pravougaoni trougao. Omjer njegovih nogu jednak je količniku korijena polumjera ovih kružnica.
Dokaz
- ▲A 1 MS i ▲SMV 1 su jednakokračne → RMA 1 S = RMSA 1 = α, RMV 1 S = RMSV 1 = β.
- 2α + 2β + RA 1 MS + RSMV 1 = 2p → 2α + 2β = 2p - (RA 1 MS + RSMV 1) = 2p - p = p, α + β = p/2
- Ali RA 1 SV 1 = α + β → RA 1 SV 1 - direktno → RV 1 CO 2 = RSV 1 O 2 = p/2 - β = α
- ▲A 1 MS i ▲CO 2 B 1 su slični → A 1 C / SV 1 = MS / O 2 B 1 = √Rr / R = √r / R
Izjave korištene u dokazu 1) Slikamo zbir uglova trouglova, koristeći činjenicu da su jednakokraki. Jednakokračni trouglovi se dokazuju korištenjem svojstva o jednakosti tangentnih segmenata.
2) Oslikavajući zbir uglova na ovaj način, dobijamo da u trouglu koji se razmatra postoji pravi ugao, dakle pravougaonog oblika. Prvi dio tvrdnje je dokazan.
3) Po sličnosti trouglova (kod opravdavanja koristimo znak sličnosti pod dva ugla) nalazimo omjer krakova pravouglog trougla.
§ 2.6 Svojstvo 6
Četvorokut formiran od presjeka kružnica s tangentom je trapez u koji se može upisati kružnica.
Dokaz 1.▲A 1 RA 2 i ▲B 1 RV 2 su jednakokračne jer A 1 P = RA 2 i B 1 P = PB 2 kao segmenti tangenti → ▲A 1 RA 2 i ▲B 1 PB 2 su slični.
2.A 1 A 2 ║ B 1 B 2, jer odgovarajući uglovi formirani na preseku sekante A 1 B 1 su jednaki.
- MN - srednja linija po svojstvu 2 → A 1 A 2 + B 1 B 2 = 2MN = 4√Rr
- A 1 B 1 + A 2 B 2 \u003d 2 √ Rr + 2 √ Rr \u003d 4 √ Rr \u003d A 1 A 2 + B 1 B 2 → u trapezu A 2 A 1 B 1 B 2 zbir osnovica je jednaka zbiru strana, a to je neophodan i dovoljan uslov za postojanje upisanog kruga.
Izjave korištene u dokazu 1) Koristimo ponovo svojstvo tangentnih segmenata. Uz nju ćemo dokazati jednakokračne trouglove formirane od presjeka tangenta i tangentnih tačaka.
2) Iz ovoga slijedi sličnost ovih trouglova i paralelizam njihovih osnova. Na osnovu toga zaključujemo da je ovaj četverougao trapez.
3) Prema svojstvu (2) koje smo ranije dokazali nalazimo srednju liniju trapeza. Jednaka je sa dva srednja geometrijska poluprečnika kružnica. U rezultirajućem trapezu zbir osnova je jednak zbiru stranica, a to je neophodan i dovoljan uslov za postojanje upisane kružnice.
§ 3. Zadaci
Razmotrite, koristeći praktičan primjer, kako se rješenje problema može pojednostaviti korištenjem gornjih svojstava.
Zadatak 1
U trouglu ABC, stranica AC = 15 cm, u trokut je upisan krug. Drugi krug dodiruje prvi i stranice AB i BC. Tačka F je izabrana na strani AB, a tačka M na strani BC tako da je segment FM zajednička tangenta na kružnice. Nađite omjer površina trougla BFM i četverougla AFMC ako je FM 4 cm, a tačka M je dvostruko udaljenija od centra jedne kružnice nego od centra druge.
Dato: FM zajednička tangenta AC=15cm FM=4cm O 2 M=2O 1 M
Pronađite S BFM /S AFMC
Rješenje:
1)FM=2√Rr,O 1 M/O 2 M=√r/R
2)2√Rr=4, √r/R=0,5 →r=1,R=4; PQ=FM=4
3)▲BO 1 P i ▲BO 2 Q su slični → BP/BQ=O 1 P/O 2 Q, BP/(BP+PQ)=r/R,BP/(BP+4)=0,25;BP = 4/3
4)FM+BP=16/3, S FBM=r*P FBM=1*(16/3)=16/3; AC+BQ=15+4/3+4=61/3
5) S ABC \u003d R * R ABC \u003d 4 * (61/3) = 244/3 → S BFM / S AFMC \u003d (16/3): (244/3) \u003d 4/61
Zadatak 2
Dvije tangentne kružnice sa zajedničkom tačkom D i zajedničkom tangentom FK koja prolazi kroz ovu tačku upisane su u jednakokraki trougao ABC. Odredite rastojanje između centara ovih kružnica ako je osnova trokuta AC = 9 cm, a odsječak bočne stranice trokuta zatvoren između dodirnih tačaka kružnica 4 cm.
Dato: ABC je jednakokraki trougao; FK je zajednička tangenta upisanih kružnica. AC = 9 cm; NE = 4 cm
Rješenje:
Neka se prave AB i CD sijeku u tački O. Tada je OA = OD, OB = OC, pa je CD = AB = 2√Rr
Tačke O 1 i O 2 leže na simetrali ugla AOD. Simetrala jednakokračnog trougla AOD je njegova visina, pa je AD ┴ O 1 O 2 i BC ┴ O 1 O 2, pa
AD ║ BC i ABCD je jednakokraki trapez.
Segment MN je njegova srednja linija, tako da je AD + BC = 2MN = 2AB = AB + CD
Stoga se u ovaj trapez može upisati kružnica.
Neka je AP visina trapeza, pravokutni trouglovi ARV i O 1 FO 2 su slični, pa je AR/O 1 F = AV/O 1 O 2 .
Odavde to nalazimo 
Bibliografija
- Prilog listu "Prvi septembar" "Matematika" br. 43, 2003.
- USE 2010. Matematika. Zadatak C4. Gordin R.K.
Prava linija tangentna na kružnicu čini ugao od 90 sa poluprečnikom povučenim do tačke dodira. Dakle, da bi se konstruisala prava tangenta na kružnicu u datoj tački, potrebno je povući traženu liniju okomitu na poluprečnik.
Razmotrimo nekoliko primjera konstrukcije tangenta i konjugacija.
PRIMJER 1
Kroz tačku A povucite pravu tangentu na kružnicu sa centrom O1
Da bismo riješili problem, izvodimo sljedeće konstrukcije:
1) spojiti tačke O 1 i A pravom linijom;
2) iz tačke O 2 - sredine segmenta O 1 A - povući pomoćnu kružnicu poluprečnika O 2 A sve dok se ne siječe sa datom kružnicom u tački B.
Ovo drugo je dodirna tačka, pošto je ugao ABO 1 jednak 90 (zasnovan je na
na prečniku AO 1), dakle, radijus O 1 B je zajednička normala na pravu liniju i kružni luk u tački B.
PRIMJER 2
Konstruisati zajedničku tangentu na dve kružnice poluprečnika R 1 i R 2 (slika 3.4).
Da bismo riješili problem, izvodimo sljedeće konstrukcije:
1) iz centra O 1 velikog kruga povlačimo pomoćni krug poluprečnika koji je jednak razlici između R 1 i R 2, odnosno R 1 - R 2;
2) na ovu kružnicu iz tačke O 2 povučemo tangentu O 2 K kao što je to urađeno u primeru 1;
3) nastavljamo pravu liniju O 1 K dok se ne ukršta sa datom velikom kružnicom, dobijamo tačku B, koja je tačka dodira. Iz tačke O 2 povlačimo pravu liniju paralelnu sa O 1 B sve dok se prava ne ukršta sa kružnicom u tački A, koja je druga dodirna tačka tangente AB.
Rice. 3.3. Konstrukcija tangente
linija u krug
Rice. 3.4. Konstrukcija tangente
na dva kruga
3.3. Konjugacija dva prava
PRIMJER 3
Konstruirajte konjugaciju dviju pravih m i n koji se sijeku radijusa
konjugacija R c (slika 3.5).
Rice. 3.5. Konjugacija dvije prave koje se sijeku
ispustimo okomice na date prave i dobijemo tačke konjugacije A i B; iz tačke O poluprečnika R c povlačimo luk konjugacije između tačaka A i B.
3.4. Konjugacija prave sa krugom (unutarnji i spoljašnji)
PRIMJER 4
Konstruisati spoljašnje i unutrašnje konjugacije kružnice poluprečnika R c
sa centrom O 1 sa pravom linijom t luka datog radijusa konjugacije.
D Rice. 3.6. Izgradnja eksternog konjugacija kruga i prave linije Rice. 3.7. Konstrukcija unutrašnje konjugacije kružnice i prave linije
Da biste napravili vanjskog partnera, izvršite sljedeće radnje
|
1) povući pravu m paralelnu pravoj t na rastojanju R c i pomoćnu kružnicu od centra O 1 poluprečnika (R 1 + R c); tačka preseka prave linije m i pomoćne kružnice - tačka O - je centar luka konjugacije; 2) povežite centre O 1 i O pravom linijom, njen presek sa datim krugom će dati prvu tačku konjugacije - tačku A; 3) ispustimo okomicu iz tačke O na datu pravu t i dobijemo drugu tačku konjugacije - tačku B; 4) iz tačke O povučemo luk konjugacije AB poluprečnika R c. Konstrukcija unutrašnje konjugacije kružnice sa pravom linijom (slika 3.7) izvodi se slično kao i konstrukcija vanjske konjugacije. Razlika je u tome što je poluprečnik pomoćne kružnice jednak ne zbiru poluprečnika, već njihovoj razlici (R 1 – R s). |
Prilikom crtanja kontura objekata relativno je često potrebno graditi zajedničke tangente na dva luka kružnice. Zajednička tangenta na dvije kružnice može biti vanjska ako se obje kružnice nalaze na istoj njenoj strani, i unutrašnja ako se kružnice nalaze na različitim stranama tangente.
Konstrukcija zajedničke vanjske tangente na dvije kružnice polumjera R i r (Slika 47). Iz središta kruga većeg radijusa - tačke O 1 opisati krug sa poluprečnikom R – r (Slika 47, a). Pronađite sredinu segmenta O 2 O 1 – tačka O 3 i iz njega nacrtajte pomoćni krug poluprečnika O 3 O 2 ili O 3 O 1. Oba nacrtana kruga se sijeku u tačkama A I IN . bodova O 1 I B spojiti pravu liniju i na njenom presjeku sa kružnicom polumjera R definisati tačku kontakta D (Slika 47, b). Od tačke O 2 paralelno sa pravom linijom O 1 D crtati liniju sve dok se ne siječe s krugom polumjera r i dobiti drugu dodirnu tačku C . Pravo CD je željena tangenta. Druga zajednička vanjska tangenta na ove kružnice je također konstruirana (prava EF ).
Slika 47
Konstrukcija zajedničke unutrašnje tangente na dvije kružnice polumjera R i r (Slika 48). Iz centra bilo kojeg kruga, na primjer: tačke O 1 , opišite krug s polumjerom R +r (Slika 48, a). Podjela segmenta O 2 O 1 prepolovi, dobij bod O 3 . Od tačke O 3 kako opisati drugu pomoćnu kružnicu iz centra sa radijusom O 3 O 2 = O 3 O 1 i označite tačke A I IN preseci pomoćnih krugova. Povezivanje pravih tačaka A I O 1 (Slika 48, b), u njenom preseku sa kružnicom poluprečnika R dobiti dodirnu tačku D . Kroz centar kružnice poluprečnika r nacrtati liniju paralelnu sa linijom O 1 D , a na njenom preseku sa datom kružnicom, određena je druga tačka dodira OD . Pravo CD – unutrašnja tangenta na date kružnice. Druga tangenta je konstruisana slično EF .
Slika 48
3.3 Konjugati sa kružnim lukom
3.3.1 Konjugacija dvije prave lukom kružnice
Svi zadaci za konjugaciju po luku mogu se svesti na dvije vrste. Uparivanje se vrši ili prema datom radijusu spojnog luka, ili kroz tačku navedenu na jednoj od linija parenja. U oba slučaja potrebno je konstruisati centar spojnog luka.
Konjugacija dvije prave koje se sijeku lukom zadanog radijusa R c (Slika 49, a). Budući da spojni luk mora dodirivati date linije, tada se njegovo središte mora ukloniti sa svake linije za iznos jednak polumjeru R c . Konjugacija se gradi ovako. Povučene su dvije prave, paralelne sa datim i udaljene od njih polumjerom R c i označite tačku na preseku ovih linija O – centar luka parenja. Od tačke O ispusti okomicu na svaku od datih linija. Okomite osnove - tačke A I B – su dodirne tačke spojnog luka. Ova konstrukcija konjugacije vrijedi za dvije prave linije koje se ukrštaju koje čine bilo koji ugao. Za uparivanje stranica pravog ugla možete koristiti i metodu prikazanu na slici 49, b.
Slika 49
Konjugacija dviju pravih koje se sijeku, na jednoj od kojih je data tačka kontakta A spojnog luka (Slika 50). Poznato je da je geometrijsko mjesto centara lukova koji konjugiraju dvije prave koje se ukrštaju simetrala ugla kojeg čine ove prave. Dakle, konstruisanjem simetrale ugla, od dodirne tačke A vrati okomicu na pravu dok se ne siječe sa simetralom i označi točku O – centar luka parenja. pada sa tačke O okomito na drugu pravu liniju, dobijemo drugu tačku tangente B i poluprečnik R c =OA=OB izvršiti konjugaciju dvije prave linije, na jednoj od kojih je postavljena tačka kontakta.
Konjugacija dvije paralelne prave lukom koji prolazi kroz datu kontaktnu tačku A (Slika 51). Od tačke A vrati okomicu na date prave i označi tačku u njenom preseku sa drugom linijom B . Odjeljak AB podijelite na pola i osvojite bod O - centar spojnog luka sa radijusom.
Slika 50 Slika 51
Transekti, tangente - sve se to moglo čuti stotine puta na časovima geometrije. Ali matura je gotova, godine prolaze, a sva ta znanja se zaboravljaju. Šta treba zapamtiti?
Essence
Izraz "tangenta na kružnicu" vjerovatno je svima poznat. Ali malo je vjerovatno da će svi moći brzo formulirati njegovu definiciju. U međuvremenu, tangenta je takva prava linija koja leži u istoj ravni sa kružnicom koja je siječe samo u jednoj tački. Možda ih postoji veliki izbor, ali svi imaju ista svojstva, o kojima će biti riječi u nastavku. Kao što možete pretpostaviti, tačka kontakta je mjesto gdje se kružnica i linija seku. U svakom slučaju, to je jedan, ali ako ih je više, onda će to biti sekanta.
Istorija otkrića i proučavanja
Koncept tangente pojavio se u antici. Konstrukcija ovih pravih linija, prvo do kružnice, a zatim do elipsa, parabola i hiperbola uz pomoć ravnala i šestara, izvođena je još u početnim fazama razvoja geometrije. Naravno, istorija nije sačuvala ime pronalazača, ali je očito da su i u to vrijeme ljudi bili prilično svjesni svojstava tangente na kružnicu.
U modernim vremenima interes za ovaj fenomen je ponovo rasplamsao - započeo je novi krug proučavanja ovog koncepta, u kombinaciji s otkrivanjem novih krivulja. Dakle, Galileo je uveo koncept cikloide, a Fermat i Descartes su izgradili tangentu na nju. Što se tiče krugova, čini se da za drevne na ovim prostorima nije ostalo nikakvih tajni.
Svojstva
Poluprečnik povučen do tačke preseka će biti
glavno, ali ne i jedino svojstvo koje ima tangenta na kružnicu. Još jedna važna karakteristika uključuje već dvije ravne linije. Dakle, kroz jednu tačku koja leži izvan kruga mogu se povući dvije tangente, dok će im segmenti biti jednaki. Postoji još jedna teorema na ovu temu, ali se ona rijetko obrađuje u okviru standardnog školskog predmeta, iako je izuzetno zgodna za rješavanje nekih problema. Zvuči ovako. Iz jedne tačke koja se nalazi izvan kruga, na nju se povlače tangenta i sekansa. Formiraju se segmenti AB, AC i AD. A je presek linija, B je tačka kontakta, C i D su preseci. U ovom slučaju vrijedi sljedeća jednakost: dužina tangente na kružnicu, na kvadrat, bit će jednaka proizvodu segmenata AC i AD.
Postoji važna posljedica navedenog. Za svaku tačku kružnice možete izgraditi tangentu, ali samo jednu. Dokaz za to je prilično jednostavan: teoretski spuštajući okomicu iz polumjera na nju, saznajemo da formirani trokut ne može postojati. A to znači da je tangenta jedinstvena.
Zgrada
Među ostalim zadacima iz geometrije, postoji posebna kategorija, po pravilu, ne
omiljen kod učenika i studenata. Za rješavanje zadataka iz ove kategorije potrebni su vam samo kompas i ravnalo. Ovo su građevinski zadaci. Postoje i metode za konstruisanje tangente.
Dakle, dat je krug i tačka koja leži izvan njenih granica. I kroz njih je potrebno povući tangentu. Kako uraditi? Prije svega, trebate nacrtati segment između središta kruga O i date tačke. Zatim ga pomoću kompasa podijelite na pola. Da biste to učinili, trebate postaviti radijus - nešto više od polovine udaljenosti između središta izvorne kružnice i zadane točke. Nakon toga morate izgraditi dva luka koja se ukrštaju. Štaviše, radijus kompasa nije potrebno mijenjati, a središte svakog dijela kruga bit će početna točka i O, respektivno. Sjecišta lukova moraju biti povezana, što će segment podijeliti na pola. Postavite radijus na kompasu jednak ovoj udaljenosti. Zatim, sa centrom u točki presjeka, nacrtajte još jedan krug. Na njoj će ležati i početna tačka i O. U ovom slučaju će biti još dva preseka sa kružnicom datom u zadatku. Oni će biti dodirne tačke za početno datu tačku.
Do rođenja je dovela konstrukcija tangenti na krug
diferencijalni račun. Prvi rad na ovu temu objavio je poznati njemački matematičar Leibniz. Predvidio je mogućnost pronalaženja maksimuma, minimuma i tangenta, bez obzira na frakcijske i iracionalne vrijednosti. Pa, sada se koristi i za mnoge druge proračune.
Osim toga, tangenta na kružnicu povezana je sa geometrijskim značenjem tangente. Odatle dolazi i njegovo ime. U prijevodu s latinskog, tangens znači "tangenta". Dakle, ovaj koncept je povezan ne samo sa geometrijom i diferencijalnim računom, već i sa trigonometrijom.
Dva kruga
Tangenta ne utiče uvek samo na jednu figuru. Ako se u jedan krug može povući ogroman broj pravih linija, zašto onda ne i obrnuto? Može. Ali zadatak u ovom slučaju je ozbiljno komplikovan, jer tangenta na dva kruga ne može proći ni kroz jednu tačku, a relativni položaj svih ovih figura može biti veoma
drugačije.
Vrste i sorte
Kada su u pitanju dva kruga i jedna ili više pravih linija, čak i ako se zna da su to tangente, ne postaje odmah jasno kako se sve te figure nalaze u odnosu jedna na drugu. Na osnovu toga postoji nekoliko varijanti. Dakle, krugovi mogu imati jednu ili dvije zajedničke točke ili ih uopće ne imati. U prvom slučaju će se ukrštati, au drugom će se dodirivati. A ovdje postoje dvije varijante. Ako je jedan krug, takoreći, ugrađen u drugi, onda se dodir naziva unutrašnjim, ako ne, onda vanjskim. Možete razumjeti relativni položaj figura ne samo na osnovu crteža, već i na osnovu informacija o zbiru njihovih polumjera i udaljenosti između njihovih centara. Ako su ove dvije veličine jednake, krugovi se dodiruju. Ako je prvi veći, sijeku se, a ako je manji, onda nemaju zajedničkih tačaka.
Isto i sa pravim linijama. Za bilo koje dvije kružnice koje nemaju zajedničke tačke, jedna može
izgraditi četiri tangente. Dvije od njih će se ukrštati između figura, nazivaju se unutrašnjim. Nekoliko drugih je eksterno.
Ako govorimo o krugovima koji imaju jednu zajedničku tačku, onda je zadatak uvelike pojednostavljen. Činjenica je da će za svaki međusobni aranžman u ovom slučaju imati samo jednu tangentu. I proći će kroz tačku njihovog ukrštanja. Dakle, konstrukcija poteškoće neće uzrokovati.
Ako figure imaju dvije točke presjeka, onda se za njih može konstruirati prava linija, tangentna na kružnicu, i jednu i drugu, ali samo vanjsku. Rješenje ovog problema je slično onome što će biti razmotreno u nastavku.
Rješavanje problema
I unutrašnje i vanjske tangente na dvije kružnice nisu tako jednostavne konstrukcije, iako se ovaj problem može riješiti. Činjenica je da se za to koristi pomoćna figura, pa sami razmislite o ovoj metodi
prilično problematično. Dakle, date su dvije kružnice s različitim polumjerima i centrima O1 i O2. Za njih morate izgraditi dva para tangenata.
Prije svega, blizu središta većeg kruga, potrebno je izgraditi pomoćni. U tom slučaju, razlika između polumjera dvije početne figure mora se utvrditi na kompasu. Tangente na pomoćnu kružnicu grade se iz centra manjeg kruga. Nakon toga, iz O1 i O2, povlače se okomice na ove prave sve dok se ne sijeku s originalnim figurama. Kao što slijedi iz glavnog svojstva tangente, tražene tačke na obje kružnice se nalaze. Problem je riješen, barem, njegov prvi dio.
Da bi se konstruisale unutrašnje tangente, potrebno je praktično rešiti
sličan zadatak. Opet je potrebna pomoćna figura, ali ovaj put će njen polumjer biti jednak zbroju originalnih. Tangente su konstruisane na njega iz centra jedne od datih kružnica. Dalji tok rješenja može se razumjeti iz prethodnog primjera.
Tangenta na krug ili čak dva ili više nije tako težak zadatak. Naravno, matematičari su odavno prestali rješavati takve probleme ručno i povjeravaju proračune posebnim programima. Ali nemojte misliti da sada nije potrebno biti u mogućnosti to učiniti sami, jer da biste ispravno formulirali zadatak za računalo, morate puno učiniti i razumjeti. Nažalost, postoji bojazan da će konstruktivni zadaci nakon konačnog prelaska na testni oblik kontrole znanja stvarati sve veće poteškoće kod učenika.
Što se tiče pronalaženja zajedničkih tangenta za više kružnica, to nije uvijek moguće, čak i ako leže u istoj ravni. Ali u nekim slučajevima moguće je pronaći takvu liniju.
Primjeri iz stvarnog života
U praksi se često susreće zajednička tangenta na dvije kružnice, iako to nije uvijek uočljivo. Transporteri, blok sistemi, remenice prijenosa remenica, zatezanje konca u šivaćoj mašini, pa čak i samo lanac bicikla - sve su to primjeri iz života. Zato nemojte misliti da geometrijski problemi ostaju samo u teoriji: u inženjerstvu, fizici, građevinarstvu i mnogim drugim oblastima, oni nalaze praktičnu primjenu.
