1. - dritto. Di conseguenza, la soluzione della disuguaglianza
, è un semipiano che giace al di sotto o al di sopra di questa linea.

2.
- iperbole, perché da qui
. Questa iperbole divide il piano in 3 (!!!) regioni, quindi il segno di disuguaglianza deve essere verificato in ciascuna di esse.

3.
- "parabola reclinata", ovvero parabola ruotata di 90 senso orario. Divide il piano in 2 parti (dentro la parabola e fuori di essa.)

4.
- circonferenza centrata nell'origine, raggio R (dove R>0). Soluzione di disuguaglianza
è un cerchio (cioè l'intera area che giace all'interno del cerchio, insieme al confine), e le disuguaglianze
- l'area esterna al cerchio.

5.
- per a > 0 - un quadrato con i vertici nei punti (a; 0), (0; a), (-a; 0), (0; -a). Di conseguenza, la soluzione della disuguaglianza
è l'area all'interno del quadrato e le disuguaglianze
- l'area esterna alla piazza.

Trasformazioni del grafico:
1 f(x-a; y-b)=0, devi prima tracciare l'equazione f(x; y)=0, quindi spostarla di ma unità lungo l'asse Oh, e via B unità lungo l'asse Oy.
2 . Per tracciare l'equazione
, è necessario rispettare la simmetria del grafico dell'equazione f(x; y) = 0 rispetto all'asse Oy (senza dimenticare di cancellare la parte del grafico originale che giace a sinistra dell'asse Oy) .
3 . Per tracciare l'equazione
, è necessario rispettare la simmetria del grafico dell'equazione f(x; y) = 0 rispetto all'asse Ox (senza dimenticare di cancellare la parte del grafico originale che giace al di sotto dell'asse Ox).
4. Di conseguenza, per tracciare l'equazione
, devi prima tracciare l'equazione f(x; y)=0 (cioè rimuovere tutti i moduli) in primo quarto, quindi eseguire la simmetria di questo grafico su tutti gli assi.
Disuguaglianze con due variabili.

Molto spesso, per risolvere viene utilizzato il "metodo dell'area". Cioè, in primo luogo, nella disuguaglianza, il segno di disuguaglianza viene sostituito con il segno "=" e il grafico risultante viene visualizzato sul piano delle coordinate. Quindi, utilizzando il "metodo del punto di prova", il segno di disuguaglianza viene verificato in ciascuna delle aree formate.

Inoltre, si possono considerare separatamente le disuguaglianze della forma
e
. Per risolverli, costruiamo prima un grafico della funzione
. Quindi la soluzione della prima disuguaglianza saranno i punti che giacciono sotto questo grafico, e la soluzione della seconda, rispettivamente, saranno i punti che giacciono sopra.

Si possono anche individuare le disuguaglianze della forma
. (Il segno di disuguaglianza potrebbe essere diverso.) Per risolverlo, devi disegnare un grafico con una linea continua equazioni
e linea tratteggiata - grafico equazioni
e controlla il segno di disuguaglianza in ciascuna regione risultante (selezionando un punto qualsiasi da ciascuna regione).

Esempio 1

№ 9.20 (d)

Figura Soluzione della disuguaglianza
e determinare tutti i valori di a per i quali la disuguaglianza data ha almeno una soluzione.

Soluzione.

Questa disuguaglianza è equivalente a quanto segue:
.


Per fare ciò, costruiamo prima un grafico dell'equazione
.

a) A nostra volta, per costruire questo grafo, useremo la regola 4 della trasformazione del grafo. Qui f(x; a) = 5x + 2a . Il grafico di questa equazione è una linea retta che interseca gli assi delle coordinate nei punti (2, 0) e (0, 5). Perché consideriamo il caso senza moduli (es
e y), prendiamo solo la parte di questa linea che si trova nel primo quadrante.

b) per costruire un grafico dell'equazione, eseguiamo la simmetria del segmento risultante rispetto a tutti gli assi coordinati e all'origine. Otteniamo un rombo con un "centro" all'origine.

b) Ora spostiamo questo grafico di 3 unità a destra e 1 unità in basso.

Abbiamo il grafico dell'equazione

1. 
   Vediamo che il piano delle coordinate è stato diviso in 2 regioni, all'interno del rombo e al di fuori di esso. Vediamo che, ad esempio, il punto (3,-1) appartiene alla regione interna. Sostituisci le sue coordinate in disuguaglianza. Ci assicuriamo che la disuguaglianza a questo punto sia soddisfatta. Quindi, tutti i punti di questa regione soddisfano la disuguaglianza. Per verificare, sostituiamo anche un punto dalla regione esterna nella disuguaglianza. Ad esempio, questo è il punto (0, 8). Per i valori dati delle variabili, la disuguaglianza si trasforma in una disuguaglianza numerica errata, il che significa che nessun punto della regione esterna soddisfa la disuguaglianza. Infine, otteniamo che la soluzione della disuguaglianza è l'”interno” del rombo. Lo mostriamo con l'ombreggiatura.

Risposta: questa disuguaglianza ha una soluzione per

Esempio 2. Disegna sul piano delle coordinate un insieme di punti che soddisfano la disuguaglianza
.

Soluzione

1. Costruiamo le linee che delimitano il grafico della disuguaglianza. Queste saranno linee che sono l'immagine degli insiemi di quei punti in cui il numeratore e il denominatore diventano 0. Ad es. tracciare i grafici delle equazioni

(MA)

e
(B)

A) Il grafico di questa equazione è un cerchio con centro nel punto (2, -3) e raggio pari a 4 - è rappresentato come una linea continua, perché la disuguaglianza non è rigorosa.

B) Il grafico di questa equazione - una "parabola giacente", abbassata di 1 unità verso il basso - è rappresentato da una linea tratteggiata dovuta al dominio della disuguaglianza.

2. Lascia,
. Allora la nostra disuguaglianza diventa
.

Il cerchio e la parabola dividono il piano delle coordinate in 4 regioni.

Si noti che l'area all'interno del cerchio corrisponde alla disuguaglianza
, cioè.
. L'area al di fuori del cerchio - disuguaglianza
, cioè.
.

Allo stesso modo, l'area "dentro" oa destra della parabola corrisponde alla disuguaglianza
o
, e l'area “fuori”, ovvero a sinistra della parabola, alla disuguaglianza
o
.

E, infine, nella regione IV e , cioè la frazione non è positiva e la disuguaglianza non è soddisfatta.

Quindi, la soluzione alla disuguaglianza è l'unione delle regioni I e III.

con lati uguali. Un rombo con angoli retti è quadrato .

Un rombo è considerato come una specie di parallelogramma, con due lati uguali adiacenti, o con diagonali reciprocamente perpendicolari, o con diagonali che dividono l'angolo in 2 parti uguali.

Proprietà del rombo.

1. Romboè un parallelogramma, quindi i lati opposti sono della stessa lunghezza e paralleli a coppie, AB || CD, AD || Sole.

2. Angolo di intersezione delle diagonali il rombo è dritto (CORRENTE ALTERNATA⊥ BD) e il punto di intersezione sono divisi in due parti identiche. Cioè, le diagonali dividono il rombo in 4 triangoli: rettangolari.

3. Diagonali a rombo sono le bisettrici dei suoi angoli (∠ DCA=∠ bca,∠ ABD=∠ CBD eccetera. ).

4. Somma dei quadrati delle diagonaliè uguale al quadrato del lato moltiplicato per quattro (derivato dall'identità del parallelogramma).

Segni di rombo.

Parallelogramma ABCD sarà chiamato rombo solo se è soddisfatta almeno una delle seguenti condizioni:

1. 2 dei suoi lati adiacenti hanno la stessa lunghezza (cioè, tutti i lati di un rombo sono uguali, AB=BC=CD=AD).

2. L'angolo di intersezione delle diagonali della retta ( corrente alternata⊥ BD).

3. Un 1-on di diagonali taglia in due gli angoli che lo contengono.

Supponiamo di non sapere in anticipo che il quadrilatero risulta essere un parallelogramma, ma è noto che tutti i suoi lati sono uguali. Quindi questo quadrilatero è un rombo.

Simmetria romboidale.

Rombo è simmetrico rispetto a tutte le sue diagonali, è spesso utilizzato in ornamenti e parquet.

Il perimetro di un rombo.

Il perimetro di una figura geometrica- la lunghezza totale dei confini di una figura geometrica piatta. Il perimetro ha la stessa dimensione delle quantità della lunghezza.

sintesi di altre presentazioni

"Compiti per segni di somiglianza di triangoli" - Somiglianza di triangoli. Determinare l'altezza di un oggetto usando uno specchio. Determinare l'altezza di un oggetto da una pozzanghera. Soluzione di problemi pratici. L'ombra del bastone. Determinazione dell'altezza di un oggetto. Misurare l'altezza di oggetti di grandi dimensioni. Motto della lezione. Soluzione di problemi secondo disegni già pronti. Lavoro indipendente. Ginnastica per gli occhi. Metodo Talete. Carta individuale. Determinazione dell'altezza della piramide. Assegna un nome a triangoli simili.

"Proprietà dei quadrilateri" - Nomi dei quadrilateri. Tutti gli angoli sono giusti. Proprietà dei quadrilateri. Trapezio. Un quadrato è un rettangolo in cui tutti i lati sono uguali. Elementi di un parallelogramma. Le diagonali tagliano in due gli angoli. Quadrilatero. Dettatura. Diagonale. angoli opposti. Aiuta Dunno a riparare il diavolo. Informazioni storiche. Quadrilateri e loro proprietà. Diagonali. Rombo. lati opposti. Feste.

"Rombo" - Segni. Perimetro. L'aspetto del rombo. Storia del rombo. Rombo. Un rombo con diagonali. Cos'è un rombo. Formula della zona. Fatti interessanti. Proprietà del rombo. Rombo nella vita.

"La soluzione del teorema di Pitagora" - Dimostrazione per decomposizione. Zona quadrata. La prova più semplice. Prova di Perigal. Pitagorici. Diagonale. Prova del IX secolo d.C seguaci. Altezza. Diametro. Prova completa. Motivo. esagoni. Dimostrazione per sottrazione. Quadrato. Rettangolo. Possibilità di applicazione del teorema. La prova di Gutheil. Applicazione del teorema. Problema del loto. Storia del teorema.

"Area di un rettangolo" grado 8 "- L'area del quadrato è uguale al quadrato del suo lato. La zona. Trova l'area e il perimetro del quadrato. Unità di zona. Un poligono è composto da più poligoni. Trova l'area di un triangolo. I lati di ciascuno dei rettangoli. Unità. Trova l'area del quadrato. ABCD e DSMK sono quadrati. L'area di un rombo è la metà del prodotto delle sue diagonali. Un parallelogramma è disegnato sul lato AB. Trova l'area dell'esagono.

"Trapezio" Grado 8 "- I muscoli trapezi di entrambi i lati della schiena insieme hanno la forma di un trapezio. Compiti per il lavoro orale. Sono quadrilateri trapezi. Proprietà di un trapezio isoscele. Segni di un trapezio isoscele. Tipi di trapezio. L'area del trapezio. Elementi a trapezio. Definizione. La linea mediana del trapezio. Trapezio. La figura geometrica è stata chiamata così per la sua somiglianza con un tavolino.

AB \parallelo CD,\;BC \parallelo AD

AB=CD,\;BC=AD

2. Le diagonali del rombo sono perpendicolari.

AC\perp BD

Prova

Poiché un rombo è un parallelogramma, le sue diagonali sono divise in due.

Quindi \triangle BOC = \triangle DOC su tre lati (BO = OD , OC è giunto, BC = CD ). Otteniamo che \angle BOC = \angle COD e sono adiacenti.

\Freccia destra \angolo BOC = 90^(\circ) e \angolo COD = 90^(\circ) .

3. Il punto di intersezione delle diagonali le divide in due.

AC=2\cpunto AO=2\cpunto CO

BD=2\cdot BO=2\cdot DO

4. Le diagonali di un rombo sono le bisettrici dei suoi angoli.

\angolo1 = \angolo2; \; \angolo 5 = \angolo 6;

\angolo 3 = \angolo 4; \; \angolo 7 = \angolo 8.

Prova

A causa del fatto che le diagonali sono divise a metà dal punto di intersezione e tutti i lati del rombo sono uguali tra loro, l'intera figura è divisa dalle diagonali in 4 triangoli uguali:

\triangolo BOC, \; \triangolo BOA, \; \triangolo AOD, \; \triangolo COD.

Ciò significa che BD , AC sono bisettrici.

5. Le diagonali formano 4 triangoli rettangoli da un rombo.

6. Qualsiasi rombo può contenere un cerchio centrato nel punto di intersezione delle sue diagonali.

7. La somma dei quadrati delle diagonali è uguale al quadrato di uno dei lati del rombo moltiplicato per quattro

AC^2 + BD^2 = 4\cpunto AB^2

Segni di un rombo

1. Un parallelogramma con diagonali perpendicolari è un rombo.

\begin(casi) AC \perp BD \\ ABCD \end(casi)- parallelogramma, \Rightarrow ABCD - rombo.

Prova

ABCD è un parallelogramma \Rightarrow AO = CO ; BO=OD. Si indica anche che AC \perp BD \Rightarrow \triangle AOB = \triangle BOC = \triangle COD = \triangle AOD- su 2 gambe.

Si scopre che AB = BC = CD = AD.

Provato!

2. Quando in un parallelogramma almeno una delle diagonali divide a metà entrambi gli angoli (attraverso i quali passa), allora questa figura sarà un rombo.

Prova

In una nota: non tutte le figure (quadrilatere) con diagonali perpendicolari saranno un rombo.

Per esempio:

Questo non è più un rombo, nonostante la perpendicolarità delle diagonali.

Per distinguerlo, vale la pena ricordare che in un primo momento il quadrilatero deve essere un parallelogramma e avere

E ancora la domanda è: un rombo è un parallelogramma o no?

Con piena destra - un parallelogramma, perché ha e (ricorda il nostro segno 2).

E ancora, poiché un rombo è un parallelogramma, allora deve avere tutte le proprietà di un parallelogramma. Ciò significa che un rombo ha gli angoli opposti uguali, i lati opposti sono paralleli e le diagonali sono tagliate in due dal punto di intersezione.

Proprietà del rombo

Guarda l'immagine:

Come nel caso di un rettangolo, queste proprietà sono distintive, cioè per ciascuna di queste proprietà possiamo concludere che non abbiamo solo un parallelogramma, ma un rombo.

Segni di un rombo

E fai ancora attenzione: non dovrebbe esserci solo un quadrilatero con diagonali perpendicolari, ma un parallelogramma. Assicurarsi:

No, certo che no, sebbene le sue diagonali e siano perpendicolari, e la diagonale sia la bisettrice degli angoli u. Ma ... le diagonali non dividono, il punto di intersezione a metà, quindi - NON un parallelogramma, e quindi NON un rombo.

Cioè, un quadrato è un rettangolo e un rombo allo stesso tempo. Vediamo cosa ne viene fuori.

È chiaro perché? - rombo - la bisettrice dell'angolo A, che è uguale a. Quindi divide (e anche) in due angoli lungo.

Bene, è abbastanza chiaro: le diagonali del rettangolo sono uguali; le diagonali a rombo sono perpendicolari e, in generale, le diagonali a parallelogramma sono divise a metà per il punto di intersezione.

LIVELLO MEDIO

Proprietà dei quadrilateri. Parallelogramma

Proprietà del parallelogramma

Attenzione! Parole " proprietà del parallelogramma» significa che se hai un compito mangiare parallelogramma, allora si possono usare tutte le seguenti cose.

Teorema sulle proprietà di un parallelogramma.

In qualsiasi parallelogramma:

Vediamo perché questo è vero, in altre parole LO DImostreremo teorema.

Allora perché 1) è vero?

Poiché è un parallelogramma, allora:

• come sdraiato trasversalmente
• come sdraiato di fronte.

Quindi, (sulla base II: e - generale.)

Bene, una volta, allora - ecco fatto! - dimostrato.

Ma a proposito! Abbiamo anche dimostrato 2)!

Come mai? Ma dopotutto (guarda l'immagine), cioè perché.

Solo 3 rimanenti).

Per fare ciò, devi ancora disegnare una seconda diagonale.

E ora lo vediamo - secondo l'II segno (l'angolo e il lato "tra" di loro).

Proprietà comprovate! Passiamo ai segni.

Caratteristiche del parallelogramma

Ricordiamo che il segno di un parallelogramma risponde alla domanda "come scoprirlo?" Che la figura è un parallelogramma.

Nelle icone è così:

Come mai? Sarebbe bello capire perché - basta. Ma guarda:

Bene, abbiamo capito perché il segno 1 è vero.

Bene, è ancora più facile! Disegniamo di nuovo una diagonale.

Che significa:

Eè anche facile. Ma... diverso!

Significa, . Oh! Ma anche - unilaterale interna alla secante!

Quindi il fatto che significa questo.

E se guardi dall'altra parte, allora sono interni unilaterali a una secante! E quindi.

Vedi com'è bello?!

E ancora semplicemente:

Esattamente lo stesso, e.

Fai attenzione: se hai trovato almeno un segno di parallelogramma nel tuo problema, allora hai Esattamente parallelogramma e puoi usare tutti proprietà di un parallelogramma.

Per maggiore chiarezza, osserva il diagramma:

Proprietà dei quadrilateri. Rettangolo.

Proprietà rettangolo:

Il punto 1) è abbastanza ovvio: dopo tutto, il segno 3 () è semplicemente soddisfatto

E punto 2) - molto importante. Quindi dimostriamolo

Quindi, su due gambe (e - generale).

Ebbene, poiché i triangoli sono uguali, anche le loro ipotenuse sono uguali.

Lo ha dimostrato!

E immagina, l'uguaglianza delle diagonali è una proprietà distintiva di un rettangolo tra tutti i parallelogrammi. Cioè, la seguente affermazione è vera

Vediamo perché?

Quindi, (intendendo gli angoli del parallelogramma). Ma ancora una volta, ricordalo: un parallelogramma e quindi.

Significa, . E, naturalmente, ne consegue che ciascuno di loro Dopotutto, nella quantità che dovrebbero dare!

Qui abbiamo dimostrato che se parallelogramma improvvisamente (!) saranno diagonali uguali, quindi questo esattamente un rettangolo.

Ma! Fai attenzione! Si tratta di parallelogrammi! Nemmeno uno un quadrilatero con diagonali uguali è un rettangolo, e solo parallelogramma!

Proprietà dei quadrilateri. Rombo

E ancora la domanda è: un rombo è un parallelogramma o no?

Con piena destra - un parallelogramma, perché ha e (ricorda il nostro segno 2).

E ancora, poiché un rombo è un parallelogramma, deve avere tutte le proprietà di un parallelogramma. Ciò significa che un rombo ha gli angoli opposti uguali, i lati opposti sono paralleli e le diagonali sono tagliate in due dal punto di intersezione.

Ma ci sono anche proprietà speciali. Formuliamo.

Proprietà del rombo

Come mai? Ebbene, poiché un rombo è un parallelogramma, le sue diagonali sono divise a metà.

Come mai? Sì, ecco perché!

In altre parole, le diagonali e risultarono essere le bisettrici degli angoli del rombo.

Come nel caso di un rettangolo, queste proprietà sono distintivo, ognuno di essi è anche il segno di un rombo.

Segni di rombo.

Perché? E guarda

Quindi, e entrambi questi triangoli sono isoscele.

Per essere un rombo, un quadrilatero deve prima "diventare" un parallelogramma e quindi dimostrare già la caratteristica 1 o la caratteristica 2.

Proprietà dei quadrilateri. Quadrato

Cioè, un quadrato è un rettangolo e un rombo allo stesso tempo. Vediamo cosa ne viene fuori.

È chiaro perché? Quadrato - rombo - la bisettrice dell'angolo, che è uguale a. Quindi divide (e anche) in due angoli lungo.

Bene, è abbastanza chiaro: le diagonali del rettangolo sono uguali; le diagonali a rombo sono perpendicolari e, in generale, le diagonali a parallelogramma sono divise a metà per il punto di intersezione.

Come mai? Bene, basta applicare il teorema di Pitagora a.

RIASSUNTO E FORMULA BASE

Proprietà del parallelogramma:

1. I lati opposti sono uguali: , .
2. Gli angoli opposti sono: , .
3. Gli angoli su un lato si sommano a: , .
4. Le diagonali sono divise a metà per il punto di intersezione: .

Proprietà rettangolo:

1. Le diagonali di un rettangolo sono: .
2. Il rettangolo è un parallelogramma (tutte le proprietà di un parallelogramma sono soddisfatte per un rettangolo).

Proprietà del rombo:

1. Le diagonali del rombo sono perpendicolari: .
2. Le diagonali di un rombo sono le bisettrici dei suoi angoli: ; ; ; .
3. Un rombo è un parallelogramma (tutte le proprietà di un parallelogramma sono soddisfatte per un rombo).

Proprietà quadrate:

Un quadrato è un rombo e un rettangolo allo stesso tempo, quindi, per un quadrato, tutte le proprietà di un rettangolo e di un rombo sono soddisfatte. Così come.