Le figure seguenti mostrano dove la funzione può raggiungere il suo valore più piccolo e più grande. Nella figura a sinistra, i valori minimo e massimo sono fissati nei punti del minimo e del massimo locale della funzione. Nella figura a destra - alle estremità del segmento.

Se la funzione y = f(X) continuo sul segmento [ un, b] , quindi raggiunge questo segmento meno e valori più alti . Questo, come già accennato, può accadere sia in punti estremi o alle estremità del segmento. Pertanto, per trovare meno e i valori più grandi della funzione , continuo sul segmento [ un, b] , devi calcolarne i valori in tutto punti critici e alle estremità del segmento, quindi scegli il più piccolo e il più grande di essi.

Sia, ad esempio, necessario determinare il valore massimo della funzione f(X) sul segmento [ un, b] . Per fare ciò, trova tutti i suoi punti critici che giacciono su [ un, b] .

punto critico è chiamato il punto in cui funzione definita, e lei derivatoè zero o non esiste. Quindi dovresti calcolare i valori della funzione nei punti critici. E, infine, si dovrebbero confrontare i valori della funzione nei punti critici e alle estremità del segmento ( f(un) e f(b) ). Il più grande di questi numeri sarà il valore più grande della funzione sull'intervallo [un, b] .

Il problema del ritrovamento i valori più piccoli della funzione .

Cerchiamo insieme i valori più piccoli e più grandi della funzione

Esempio 1. Trova i valori più piccoli e più grandi di una funzione sul segmento [-1, 2] .

Soluzione. Troviamo la derivata di questa funzione. Uguaglia la derivata a zero () e ottieni due punti critici: e . Per trovare i valori più piccoli e più grandi di una funzione su un dato segmento, è sufficiente calcolarne i valori alle estremità del segmento e al punto , poiché il punto non appartiene al segmento [-1, 2] . Questi valori di funzione sono i seguenti: , , . Ne consegue che valore della funzione più piccolo(contrassegnato in rosso nel grafico sottostante), pari a -7, si raggiunge all'estremità destra del segmento - al punto , e più grande(rosso anche nel grafico), è pari a 9, - nel punto critico .

Se la funzione è continua in un certo intervallo e questo intervallo non è un segmento (ma è, ad esempio, un intervallo; la differenza tra un intervallo e un segmento: i punti limite dell'intervallo non sono inclusi nell'intervallo, ma il i punti limite del segmento sono inclusi nel segmento), quindi tra i valori della funzione potrebbe non esserci il più piccolo e il più grande. Quindi, ad esempio, la funzione rappresentata nella figura seguente è continua su ]-∞, +∞[ e non ha il valore più grande.

Tuttavia, per qualsiasi intervallo (chiuso, aperto o infinito), vale la seguente proprietà delle funzioni continue.

Per l'autocontrollo durante i calcoli, è possibile utilizzare calcolatore di derivati ​​online .

Esempio 4. Trova i valori più piccoli e più grandi di una funzione sul segmento [-1, 3] .

Soluzione. Troviamo la derivata di questa funzione come derivata del quoziente:

.

Uguagliamo la derivata a zero, il che ci dà un punto critico: . Appartiene all'intervallo [-1, 3] . Per trovare i valori più piccoli e più grandi di una funzione su un dato segmento, troviamo i suoi valori alle estremità del segmento e nel punto critico trovato:

Confrontiamo questi valori. Conclusione: pari a -5/13, al punto e il valore più grande uguale a 1 nel punto.

Continuiamo a cercare insieme i valori più piccoli e più grandi della funzione

Ci sono docenti che, sul tema della ricerca dei valori più piccoli e più grandi di una funzione, non danno agli studenti esempi più complicati di quelli appena considerati, cioè quelli in cui la funzione è un polinomio o una frazione, il numeratore e denominatore di cui sono polinomi. Ma non ci limiteremo a tali esempi, poiché tra gli insegnanti ci sono amanti del far pensare per intero agli studenti (tabella delle derivate). Pertanto, verranno utilizzati il ​​logaritmo e la funzione trigonometrica.

Esempio 8. Trova i valori più piccoli e più grandi di una funzione sul segmento .

Soluzione. Troviamo la derivata di questa funzione come derivato del prodotto :

Uguagliamo la derivata a zero, che fornisce un punto critico: . Appartiene al segmento. Per trovare i valori più piccoli e più grandi di una funzione su un dato segmento, troviamo i suoi valori alle estremità del segmento e nel punto critico trovato:

Il risultato di tutte le azioni: la funzione raggiunge il suo valore minimo, uguale a 0, in un punto e in un punto e il valore più grande uguale a e², al punto.

Per l'autocontrollo durante i calcoli, è possibile utilizzare calcolatore di derivati ​​online .

Esempio 9. Trova i valori più piccoli e più grandi di una funzione sul segmento .

Soluzione. Troviamo la derivata di questa funzione:

Uguaglia la derivata a zero:

L'unico punto critico appartiene al segmento. Per trovare i valori più piccoli e più grandi di una funzione su un dato segmento, troviamo i suoi valori alle estremità del segmento e nel punto critico trovato:

Conclusione: la funzione raggiunge il suo valore minimo, uguale a , al punto e il valore più grande, uguale a , al punto .

Nei problemi estremi applicati, trovare i valori più piccoli (massimi) della funzione, di regola, si riduce a trovare il minimo (massimo). Ma non sono i minimi o i massimi stessi ad essere di maggiore interesse pratico, ma i valori dell'argomento a cui sono raggiunti. Quando si risolvono problemi applicati, sorge un'ulteriore difficoltà: la compilazione di funzioni che descrivono il fenomeno o il processo in esame.

Esempio 10 Occorre stagnare una vasca della capacità di 4, avente la forma di un parallelepipedo a base quadrata e aperta superiormente. Quali dovrebbero essere le dimensioni della vasca per poterla ricoprire con la minor quantità di materiale?

Soluzione. Permettere X- lato base h- altezza del serbatoio, S- la sua superficie senza copertura, V- il suo volume. La superficie del serbatoio è espressa dalla formula , cioè è una funzione di due variabili. Esprimere S in funzione di una variabile, utilizziamo il fatto che , donde . Sostituzione dell'espressione trovata h nella formula per S:

Esaminiamo questa funzione per un estremo. È definito e differenziabile ovunque in ]0, +∞[ , e

.

Uguagliamo la derivata a zero () e troviamo il punto critico. Inoltre, quando la derivata non esiste, ma questo valore non è compreso nel dominio di definizione e quindi non può essere un punto estremo. Quindi, - l'unico punto critico. Controlliamo la presenza di un estremo usando il secondo segno sufficiente. Troviamo la derivata seconda. Quando la derivata seconda è maggiore di zero (). Ciò significa che quando la funzione raggiunge il minimo . Perchè questo minimo - l'unico estremo di questa funzione, è il suo valore più piccolo. Quindi, il lato della base del serbatoio dovrebbe essere uguale a 2 m e la sua altezza.

Per l'autocontrollo durante i calcoli, è possibile utilizzare

A volte nei problemi B15 ci sono funzioni "cattive" per le quali è difficile trovare la derivata. In precedenza, si trattava solo di sonde, ma ora queste attività sono così comuni che non possono più essere ignorate durante la preparazione per questo esame.

In questo caso, funzionano altri trucchi, uno dei quali è: monotono.

La funzione f (x) si dice crescente monotona sul segmento se per qualsiasi punto x 1 e x 2 di questo segmento vale quanto segue:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) < f (x2).

La funzione f (x) si dice decrescente monotonicamente sul segmento se per qualsiasi punto x 1 e x 2 di questo segmento vale:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) > f ( x2).

In altre parole, per una funzione crescente, maggiore è x, maggiore è f(x). Per una funzione decrescente, è vero il contrario: più x , il meno f(x).

Ad esempio, il logaritmo aumenta in modo monotono se la base a > 1 e diminuisce in modo monotono se 0< a < 1. Не забывайте про область допустимых значений логарифма: x > 0.

f (x) = log a x (a > 0; a ≠ 1; x > 0)

La radice aritmetica quadrata (e non solo quadrata) aumenta monotonicamente sull'intero dominio di definizione:

La funzione esponenziale si comporta in modo simile al logaritmo: aumenta per a > 1 e diminuisce per 0< a < 1. Но в отличие от логарифма, показательная функция определена для всех чисел, а не только для x > 0:

f (x) = a x (a > 0)

Infine, gradi con esponente negativo. Puoi scriverli come una frazione. Hanno un punto di rottura in cui la monotonia è rotta.

Tutte queste funzioni non si trovano mai nella loro forma pura. Ad essi vengono aggiunti polinomi, frazioni e altre sciocchezze, per cui diventa difficile calcolare la derivata. Cosa succede in questo caso - ora analizzeremo.

Coordinate del vertice della parabola

Molto spesso, l'argomento della funzione viene sostituito con trinomio quadrato della forma y = ax 2 + bx + c . Il suo grafico è una parabola standard, a cui siamo interessati:

1. Rami di parabola - possono salire (per a > 0) o scendere (a< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
2. Il vertice della parabola è il punto estremo di una funzione quadratica, in cui questa funzione prende il suo più piccolo (per a > 0) o il suo più grande (a< 0) значение.

Di grande interesse è cima di una parabola, la cui ascissa è calcolata con la formula:

Quindi, abbiamo trovato il punto estremo della funzione quadratica. Ma se la funzione originale è monotona, per essa anche il punto x 0 sarà un punto estremo. Pertanto, formuliamo la regola fondamentale:

I punti estremi del trinomio quadrato e la funzione complessa in cui esso entra coincidono. Pertanto, puoi cercare x 0 per un trinomio quadrato e dimenticare la funzione.

Dal ragionamento di cui sopra, non è chiaro che tipo di punto otteniamo: un massimo o un minimo. Tuttavia, le attività sono progettate specificamente in modo che non abbia importanza. Giudica tu stesso:

1. Non vi è alcun segmento nella condizione del problema. Pertanto, non è necessario calcolare f(a) e f(b). Resta da considerare solo i punti estremi;
2. Ma c'è solo uno di questi punti: questa è la parte superiore della parabola x 0, le cui coordinate sono calcolate letteralmente oralmente e senza derivate.

Pertanto, la soluzione del problema è notevolmente semplificata e ridotta a due soli passaggi:

1. Scrivi l'equazione della parabola y = ax 2 + bx + c e trova il suo vertice usando la formula: x 0 = −b /2a;
2. Trova il valore della funzione originale a questo punto: f (x 0). Se non ci sono condizioni aggiuntive, questa sarà la risposta.

A prima vista, questo algoritmo e la sua giustificazione possono sembrare complicati. Non pubblico deliberatamente uno schema di soluzione "nudo", poiché l'applicazione sconsiderata di tali regole è irta di errori.

Consideriamo i veri problemi da esame di prova in matematica: è qui che questa tecnica si verifica più spesso. Allo stesso tempo, faremo in modo che in questo modo molti problemi di B15 diventino quasi verbali.

Sotto la radice c'è una funzione quadratica y \u003d x 2 + 6x + 13. Il grafico di questa funzione è una parabola con rami verso l'alto, poiché il coefficiente a \u003d 1\u003e 0.

Parte superiore della parabola:

x 0 \u003d -b / (2a) \u003d -6 / (2 1) \u003d -6 / 2 \u003d -3

Poiché i rami della parabola sono diretti verso l'alto, nel punto x 0 \u003d −3, la funzione y \u003d x 2 + 6x + 13 assume il valore più piccolo.

La radice è monotonicamente crescente, quindi x 0 è il punto minimo dell'intera funzione. Abbiamo:

Un compito. Trova il valore più piccolo della funzione:

y = log 2 (x 2 + 2x + 9)

Sotto il logaritmo c'è di nuovo una funzione quadratica: y \u003d x 2 + 2x + 9. Il grafico è una parabola con rami verso l'alto, perché a = 1 > 0.

Parte superiore della parabola:

x 0 \u003d -b / (2a) \u003d -2 / (2 1) \u003d -2/2 \u003d -1

Quindi, nel punto x 0 = −1, la funzione quadratica assume il valore più piccolo. Ma la funzione y = log 2 x è monotona, quindi:

y min = y (−1) = log 2 ((−1) 2 + 2 (−1) + 9) = ... = log 2 8 = 3

L'esponente è una funzione quadratica y = 1 − 4x − x 2 . Riscriviamolo in forma normale: y = −x 2 − 4x + 1.

Ovviamente il grafico di questa funzione è una parabola, diramata (a = −1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:

x 0 = −b /(2a ) = −(−4)/(2 (−1)) = 4/(−2) = −2

La funzione originale è esponenziale, è monotona, quindi il valore più grande sarà nel punto trovato x 0 = −2:

Un lettore attento noterà sicuramente che non abbiamo scritto l'area dei valori consentiti della radice e del logaritmo. Ma questo non era richiesto: al suo interno ci sono funzioni i cui valori sono sempre positivi.

Conseguenze dall'ambito di una funzione

A volte, per risolvere il problema B15, non basta trovare il vertice della parabola. Il valore desiderato potrebbe mentire alla fine del segmento, ma non al punto estremo. Se l'attività non specifica affatto un segmento, guarda intervallo di tolleranza funzione originaria. Vale a dire:

Presta ancora attenzione: zero può benissimo essere sotto la radice, ma mai nel logaritmo o nel denominatore di una frazione. Vediamo come funziona con esempi specifici:

Un compito. Trova il valore più grande della funzione:

Sotto la radice c'è di nuovo una funzione quadratica: y \u003d 3 - 2x - x 2. Il suo grafico è una parabola, ma si dirama verso il basso poiché a = −1< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический Radice quadrata da un numero negativo non esiste.

Scriviamo l'area dei valori ammessi (ODZ):

3 − 2x − x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x − 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3)(x − 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; uno]

Trova ora il vertice della parabola:

x 0 = −b /(2a ) = −(−2)/(2 (−1)) = 2/(−2) = −1

Il punto x 0 = −1 appartiene al segmento ODZ - e questo è positivo. Consideriamo ora il valore della funzione nel punto x 0, nonché alle estremità della ODZ:

y(−3) = y(1) = 0

Quindi, abbiamo i numeri 2 e 0. Ci viene chiesto di trovare il più grande: questo è il numero 2.

Un compito. Trova il valore più piccolo della funzione:

y = log 0,5 (6x - x 2 - 5)

All'interno del logaritmo c'è una funzione quadratica y \u003d 6x - x 2 - 5. Questa è una parabola con rami verso il basso, ma non possono esserci numeri negativi nel logaritmo, quindi scriviamo ODZ:

6x - x 2 - 5 > 0 ⇒ x 2 - 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)

Nota: la disuguaglianza è rigorosa, quindi le estremità non appartengono all'ODZ. In questo modo, il logaritmo differisce dalla radice, dove le estremità del segmento ci stanno abbastanza bene.

Cercando il vertice della parabola:

x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 (−1)) = −6/(−2) = 3

La parte superiore della parabola si adatta lungo la ODZ: x 0 = 3 ∈ (1; 5). Ma poiché gli estremi del segmento non ci interessano, consideriamo il valore della funzione solo nel punto x 0:

y min = y (3) = log 0,5 (6 3 − 3 2 − 5) = log 0,5 (18 − 9 − 5) = log 0,5 4 = −2

In pratica, è abbastanza comune utilizzare la derivata per calcolare il valore più grande e più piccolo di una funzione. Eseguiamo questa azione quando scopriamo come ridurre al minimo i costi, aumentare i profitti, calcolare il carico ottimale sulla produzione, ecc., cioè in quei casi in cui è necessario determinare il valore ottimale di un parametro. Per risolvere correttamente tali problemi, è necessario avere una buona comprensione di quali sono i valori più grandi e più piccoli di una funzione.

Di solito definiamo questi valori all'interno di un intervallo x , che a sua volta può corrispondere all'intero ambito della funzione o parte di essa. Può essere un segmento [ a ; b ] , e intervallo aperto (a ; b ) , (a ; b ] , [a ; b) , intervallo infinito (a ; b) , (a ; b ] , [a ; b) o intervallo infinito - ∞ ; a , (- ∞ ; a ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; + ∞) .

In questo articolo spiegheremo come vengono calcolati in modo esplicito i valori più grande e più piccolo. data funzione con una variabile y=f(x) y = f (x) .

Definizioni di base

Cominciamo, come sempre, con la formulazione delle principali definizioni.

Definizione 1

Il valore più grande della funzione y = f (x) su un intervallo x è il valore m a x y = f (x 0) x ∈ X , che, per qualsiasi valore x x ∈ X , x ≠ x 0, rende la disuguaglianza f (x ) ≤ f (x 0) .

Definizione 2

Il valore più piccolo della funzione y = f (x) su un intervallo x è il valore m i n x ∈ X y = f (x 0) , che, per qualsiasi valore x ∈ X , x ≠ x 0, rende la disuguaglianza f(X f (x) ≥ f(x0) .

Queste definizioni sono abbastanza ovvie. Può essere ancora più semplice dire questo: il valore più grande di una funzione è il suo valore più grande in un intervallo noto in ascissa x 0, e il più piccolo è il valore più piccolo accettato nello stesso intervallo in x 0.

Definizione 3

I punti stazionari sono tali valori dell'argomento della funzione in cui la sua derivata diventa 0.

Perché abbiamo bisogno di sapere cosa sono i punti stazionari? Per rispondere a questa domanda, dobbiamo ricordare il teorema di Fermat. Ne consegue che un punto stazionario è un punto in cui si trova l'estremo di una funzione differenziabile (cioè il suo minimo o massimo locale). Di conseguenza, la funzione assumerà il valore più piccolo o più grande in un determinato intervallo esattamente in uno dei punti stazionari.

Un'altra funzione può assumere il valore più grande o più piccolo in quei punti in cui la funzione stessa è definita e la sua derivata prima non esiste.

La prima domanda che sorge quando si studia questo argomento è: in tutti i casi, possiamo determinare il valore massimo o minimo di una funzione su un dato intervallo? No, non possiamo farlo quando i confini dell'intervallo dato coincideranno con i confini del dominio di definizione, o se si tratta di un intervallo infinito. Succede anche che una funzione in un dato intervallo o all'infinito assume valori infinitamente piccoli o infinitamente grandi. In questi casi non è possibile determinare il valore maggiore e/o minore.

Questi momenti diventeranno più chiari dopo l'immagine sui grafici:

La prima figura ci mostra la funzione che prende il più grande e valore più piccolo(m a x y e m i n y) in punti stazionari situati sul segmento [-6; 6].

Esaminiamo in dettaglio il caso indicato nel secondo grafico. Cambiamo il valore del segmento in [ 1 ; 6] e otteniamo che il valore più grande della funzione sarà raggiunto nel punto con l'ascissa nel limite destro dell'intervallo, e il più piccolo - nel punto stazionario.

Nella terza figura, le ascisse dei punti rappresentano i punti limite del segmento [-3; 2]. Corrispondono al valore più grande e più piccolo della funzione data.

Ora diamo un'occhiata alla quarta immagine. In esso, la funzione prende m a x y (il valore più grande) e m i n y (il valore più piccolo) in punti stazionari nell'intervallo aperto (- 6 ; 6) .

Se prendiamo l'intervallo [ 1 ; 6) , allora possiamo dire che il valore più piccolo della funzione su di esso sarà raggiunto in un punto stazionario. Non conosceremo il valore massimo. La funzione potrebbe assumere il valore più grande a x uguale a 6 se x = 6 appartenesse all'intervallo. È questo il caso che è mostrato nella Figura 5.

Sul grafico 6, questa funzione acquisisce il valore più piccolo nel bordo destro dell'intervallo (- 3 ; 2 ] , e non possiamo trarre conclusioni definitive sul valore più grande.

In figura 7, vediamo che la funzione avrà m a x y nel punto stazionario, con un'ascissa uguale a 1 . La funzione raggiunge il suo valore minimo al limite dell'intervallo sul lato destro. A meno infinito, i valori della funzione si avvicineranno asintoticamente a y = 3 .

Se prendiamo un intervallo x ∈ 2 ; + ∞ , allora vedremo che la funzione data non assumerà né il valore più piccolo né quello più grande. Se x tende a 2, i valori della funzione tenderanno a meno infinito, poiché la retta x = 2 è un asintoto verticale. Se l'ascissa tende a più infinito, i valori della funzione si avvicineranno asintoticamente a y = 3. Questo è il caso mostrato in Figura 8.

In questo paragrafo daremo una sequenza di azioni che devono essere eseguite per trovare il valore più grande o più piccolo di una funzione in un determinato intervallo.

1. Per prima cosa, troviamo il dominio della funzione. Verifichiamo se il segmento specificato nella condizione è incluso in essa.
2. Ora calcoliamo i punti contenuti in questo segmento in cui la derivata prima non esiste. Molto spesso, possono essere trovati in funzioni il cui argomento è scritto sotto il segno del modulo, o in funzioni di potenza, il cui esponente è un numero frazionario razionale.
3. Successivamente, scopriamo quali punti stazionari cadono in un dato segmento. Per fare ciò, è necessario calcolare la derivata della funzione, quindi associarla a 0 e risolvere l'equazione risultante, quindi scegliere le radici appropriate. Se non otteniamo un singolo punto stazionario o non cadono in un determinato segmento, procediamo al passaggio successivo.
4. Determiniamo quali valori assumerà la funzione nei punti stazionari dati (se presenti), o in quei punti in cui la derivata prima non esiste (se presente), oppure calcoliamo i valori per x = a e x = b.
5. 5. Abbiamo una serie di valori di funzione, da cui ora dobbiamo scegliere il più grande e il più piccolo. Questo sarà il valore più grande e più piccolo della funzione che dobbiamo trovare.

Vediamo come applicare correttamente questo algoritmo durante la risoluzione dei problemi.

Esempio 1

Condizione:è data la funzione y = x 3 + 4 x 2. Determinare il suo valore più grande e più piccolo sui segmenti [ 1 ; 4] e [-4; - uno ] .

Soluzione:

Iniziamo trovando il dominio di questa funzione. In questo caso, sarà l'insieme di tutti i numeri reali tranne 0 . In altre parole, D (y) : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; +∞ . Entrambi i segmenti specificati nella condizione saranno all'interno dell'area di definizione.

Ora calcoliamo la derivata della funzione secondo la regola di differenziazione di una frazione:

y "= x 3 + 4 x 2" = x 3 + 4 " x 2 - x 3 + 4 x 2" x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 x x 4 = x 3 - 8 x 3

Abbiamo appreso che la derivata della funzione esisterà in tutti i punti dei segmenti [ 1 ; 4] e [-4; - uno ] .

Ora dobbiamo determinare i punti stazionari della funzione. Facciamolo con l'equazione x 3 - 8 x 3 = 0. Ha solo una vera radice, che è 2. Sarà un punto stazionario della funzione e cadrà nel primo segmento [ 1 ; quattro ] .

Calcoliamo i valori della funzione alle estremità del primo segmento e nel punto dato, cioè per x = 1 , x = 2 e x = 4:

y(1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y(2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y(4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

Abbiamo ottenuto che il valore massimo della funzione m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 sarà ottenuto per x = 1 e il più piccolo m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 – a x = 2 .

Il secondo segmento non include punti stazionari, quindi dobbiamo calcolare i valori della funzione solo alle estremità del segmento dato:

y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3

Quindi, m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m io n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Risposta: Per il segmento [ 1 ; 4 ] - ma x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , m io n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , per il segmento [-4; - 1 ] - ma x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m io n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Guarda l'immagine:

Prima di apprendere questo metodo, ti consigliamo di rivedere come calcolare correttamente il limite unilaterale e il limite all'infinito, oltre a imparare i metodi di base per trovarli. Per trovare il valore più grande e/o più piccolo di una funzione su un intervallo aperto o infinito, eseguiamo i seguenti passaggi in sequenza.

1. Innanzitutto è necessario verificare se l'intervallo specificato sarà un sottoinsieme del dominio della funzione data.
2. Determiniamo tutti i punti che sono contenuti nell'intervallo richiesto e nei quali la derivata prima non esiste. Di solito si verificano in funzioni in cui l'argomento è racchiuso nel segno del modulo e in funzioni di potenza con esponente frazionario razionale. Se mancano questi punti, puoi procedere al passaggio successivo.
3. Ora determiniamo quali punti stazionari cadono in un dato intervallo. Innanzitutto, uguagliamo la derivata a 0, risolviamo l'equazione e troviamo le radici adatte. Se non abbiamo un singolo punto stazionario o non rientrano nell'intervallo specificato, procediamo immediatamente a ulteriori azioni. Sono determinati dal tipo di intervallo.

• Se l'intervallo è simile a [ a ; b) , allora dobbiamo calcolare il valore della funzione nel punto x = a e il limite unilaterale lim x → b - 0 f (x) .
• Se l'intervallo ha la forma (a ; b ] , allora dobbiamo calcolare il valore della funzione nel punto x = b e il limite unilaterale lim x → a + 0 f (x) .
• Se l'intervallo ha la forma (a ; b) , allora dobbiamo calcolare i limiti unilaterali lim x → b - 0 f (x) , lim x → a + 0 f (x) .
• Se l'intervallo è simile a [ a ; + ∞) , allora è necessario calcolare il valore nel punto x = a e il limite a più infinito lim x → + ∞ f (x) .
• Se l'intervallo è simile a (- ∞ ; b ] , calcoliamo il valore nel punto x = b e il limite a meno infinito lim x → - ∞ f (x) .
• Se - ∞ ; b , allora consideriamo il limite unilaterale lim x → b - 0 f (x) e il limite a meno infinito lim x → - ∞ f (x)
• Se - ∞ ; + ∞ , allora consideriamo i limiti a meno e più infinito lim x → + ∞ f (x) , lim x → - ∞ f (x) .

1. Alla fine, devi trarre una conclusione basata sui valori ottenuti dalla funzione e dai limiti. Ci sono molte opzioni qui. Quindi, se il limite unilaterale è uguale a meno infinito o più infinito, allora è immediatamente chiaro che non si può dire nulla sul valore più piccolo e più grande della funzione. Di seguito considereremo un tipico esempio. Descrizioni dettagliate aiutarti a capire cosa è cosa. Se necessario, puoi tornare alle figure 4 - 8 nella prima parte del materiale.

Esempio 2

Condizione: data una funzione y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 . Calcola il suo valore più grande e più piccolo negli intervalli - ∞ ; - 4 , - ∞ ; - 3 , (- 3 ; 1 ] , (- 3 ; 2) , [ 1 ; 2) , 2 ; + ∞ , [ 4 ; +∞) .

Soluzione

Innanzitutto troviamo il dominio della funzione. Il denominatore della frazione è un trinomio quadrato, che non deve andare a 0:

x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y) : x ∈ (- ∞ ; - 3) ∪ (- 3 ; 2) ∪ (2 ; + ∞)

Abbiamo ottenuto l'ambito della funzione, a cui appartengono tutti gli intervalli specificati nella condizione.

Ora differenziamo la funzione e otteniamo:

y "= 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4" = 3 e 1 x 2 + x - 6 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6 " == 3 e 1 x 2 + x - 6 1 "x 2 + x - 6 - 1 x 2 + x - 6" (x 2 + x - 6) 2 = - 3 (2 x + 1) e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2

Di conseguenza, le derivate di una funzione esistono sull'intero dominio della sua definizione.

Passiamo alla ricerca di punti stazionari. La derivata della funzione diventa 0 in x = - 1 2 . Questo è un punto stazionario che si trova negli intervalli (- 3 ; 1 ] e (- 3 ; 2) .

Calcoliamo il valore della funzione in x = - 4 per l'intervallo (- ∞ ; - 4 ] , così come il limite a meno infinito:

y (- 4) \u003d 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 \u003d 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0. 456 lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 = 3 e 0 - 4 = - 1

Poiché 3 e 1 6 - 4 > - 1 , allora m a x y x ∈ (- ∞ ; - 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4. Questo non ci permette di determinare in modo univoco il valore più piccolo della funzione. Possiamo solo concludere che esiste un limite inferiore a -1, poiché è a questo valore che la funzione si avvicina asintoticamente a meno infinito.

Una caratteristica del secondo intervallo è che non ha un singolo punto stazionario e non un singolo confine rigoroso. Pertanto, non possiamo calcolare né il valore più grande né quello più piccolo della funzione. Definendo il limite a meno infinito e poiché l'argomento tende a -3 sul lato sinistro, otteniamo solo l'intervallo di valori:

lim x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Ciò significa che i valori della funzione si troveranno nell'intervallo -1; +∞

Per trovare il valore massimo della funzione nel terzo intervallo, determiniamo il suo valore nel punto stazionario x = - 1 2 se x = 1 . Dobbiamo anche conoscere il limite unilaterale per il caso in cui l'argomento tende a -3 sul lato destro:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 y (1) = 3 e 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1 . 644 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (- 0) - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

Si è scoperto che la funzione assumerà il valore più grande in un punto stazionario m a x y x ∈ (3 ; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4. Quanto al valore più piccolo, non possiamo determinarlo. sapere, è la presenza di un limite inferiore a -4.

Per l'intervallo (- 3 ; 2), prendiamo i risultati del calcolo precedente e calcoliamo ancora una volta a cosa è uguale il limite unilaterale tendendo a 2 dal lato sinistro:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e - 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 lim x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

Quindi, m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4 e il valore più piccolo non può essere determinato e i valori della funzione sono delimitati dal basso dal numero - 4 .

Sulla base di quanto fatto nei due calcoli precedenti, possiamo affermare che sull'intervallo [ 1 ; 2) la funzione assumerà il valore più grande in x = 1, ed è impossibile trovare il più piccolo.

Sull'intervallo (2 ; + ∞), la funzione non raggiungerà né il valore più grande né quello più piccolo, ad es. prenderà valori dall'intervallo -1; +∞ .

lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Avendo calcolato a quale sarà uguale il valore della funzione in x = 4 , scopriamo che m a x y x ∈ [ 4 ; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 , e la funzione data a più infinito si avvicinerà asintoticamente alla retta y = - 1 .

Confrontiamo ciò che abbiamo ottenuto in ogni calcolo con il grafico della funzione data. Nella figura, gli asintoti sono rappresentati da linee tratteggiate.

Questo è tutto ciò di cui volevamo parlare sulla ricerca del valore più grande e più piccolo di una funzione. Quelle sequenze di azioni che abbiamo fornito ti aiuteranno a fare i calcoli necessari il più rapidamente e semplicemente possibile. Ma ricorda che spesso è utile scoprire prima su quali intervalli diminuirà la funzione e su quali intervalli aumenterà, dopodiché si possono trarre ulteriori conclusioni. In questo modo puoi determinare con maggiore precisione il valore più grande e più piccolo della funzione e giustificare i risultati.

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Con questo servizio puoi trovare il valore più grande e più piccolo di una funzione una variabile f(x) con il disegno della soluzione in Word. Se la funzione f(x,y) è data, quindi, è necessario trovare l'estremo della funzione di due variabili. Puoi anche trovare gli intervalli di aumento e diminuzione della funzione.

Regole di immissione delle funzioni:

Condizione necessaria per un estremo di una funzione di una variabile

L'equazione f "0 (x *) \u003d 0 è una condizione necessaria per l'estremo di una funzione di una variabile, ad es. nel punto x * la derivata prima della funzione deve svanire. Seleziona i punti stazionari x c in cui la funzione non aumenta e non diminuisce.

Condizione sufficiente per un estremo di una funzione di una variabile

Sia f 0 (x) due volte differenziabile rispetto a x appartenente all'insieme D . Se al punto x * la condizione è soddisfatta:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

Quindi il punto x * è il punto del minimo locale (globale) della funzione.

Se al punto x * la condizione è soddisfatta:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0

Quel punto x * è un massimo locale (globale).

Esempio 1. Trova i valori più grande e più piccolo della funzione: sul segmento .
Soluzione.

Il punto critico è uno x 1 = 2 (f'(x)=0). Questo punto appartiene al segmento. (Il punto x=0 non è critico, poiché 0∉).
Calcoliamo i valori della funzione alle estremità del segmento e nel punto critico.
f(1)=9, f(2)= 5 / 2 , f(3)=3 8 / 81
Risposta: f min = 5 / 2 per x=2; f max =9 a x=1

Esempio #2. Usando derivate di ordine superiore, trova l'estremo della funzione y=x-2sin(x) .
Soluzione.
Trova la derivata della funzione: y'=1-2cos(x) . Troviamo i punti critici: 1-cos(x)=2, cos(x)=1, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Troviamo y''=2sin(x), calcoliamo , quindi x= π / 3 +2πk, k∈Z sono i punti minimi della funzione; , quindi x=- π / 3 +2πk, k∈Z sono i punti massimi della funzione.

Esempio #3. Indagare la funzione estrema nell'intorno del punto x=0.
Soluzione. Qui è necessario trovare gli estremi della funzione. Se l'estremo x=0 , scopri il suo tipo (minimo o massimo). Se tra i punti trovati non c'è x = 0, calcola il valore della funzione f(x=0).
Si noti che quando la derivata su ciascun lato di un dato punto non cambia segno, le situazioni possibili non si esauriscono anche per funzioni derivabili: può capitare che per un intorno arbitrariamente piccolo su un lato del punto x 0 oppure su entrambi i lati, la derivata cambia segno. A questi punti, si devono applicare altri metodi per studiare le funzioni di un estremo.

Esempio #4. Dividi il numero 49 in due termini, il cui prodotto sarà il più grande.
Soluzione. Sia x il primo termine. Quindi (49-x) è il secondo termine.
Il prodotto sarà massimo: x (49-x) → max

Da un punto di vista pratico, il più interessante è l'uso della derivata per trovare il valore più grande e più piccolo di una funzione. Con cosa è collegato? Massimizzare i profitti, minimizzare i costi, determinare il carico ottimale delle apparecchiature... In altre parole, in molti ambiti della vita, si deve risolvere il problema dell'ottimizzazione di alcuni parametri. E questo è il problema di trovare i valori più grandi e più piccoli della funzione.

Va notato che il valore più grande e più piccolo di una funzione viene solitamente cercato su un intervallo X , che è l'intero dominio della funzione o parte del dominio. L'intervallo X stesso può essere un segmento di linea, un intervallo aperto , un intervallo infinito .

In questo articolo parleremo di trovare i valori più grande e più piccolo di una funzione data in modo esplicito di una variabile y=f(x) .

Navigazione della pagina.

Il valore più grande e più piccolo di una funzione: definizioni, illustrazioni.

Soffermiamoci brevemente sulle definizioni principali.

Il valore più grande della funzione , che per qualsiasi la disuguaglianza è vera.

Il valore più piccolo della funzione y=f(x) sull'intervallo X è chiamato tale valore , che per qualsiasi la disuguaglianza è vera.

Queste definizioni sono intuitive: il valore più grande (minimo) di una funzione è il valore più grande (minimo) accettato nell'intervallo considerato con l'ascissa.

Punti stazionari sono i valori dell'argomento a cui svanisce la derivata della funzione.

Perché abbiamo bisogno di punti stazionari quando troviamo i valori più grandi e più piccoli? La risposta a questa domanda è data dal teorema di Fermat. Segue da questo teorema che se una funzione derivabile ha un estremo (minimo locale o massimo locale) ad un certo punto, allora questo punto è stazionario. Pertanto, la funzione assume spesso il suo valore massimo (minimo) sull'intervallo X in uno dei punti stazionari di questo intervallo.

Inoltre, una funzione può spesso assumere i valori più grandi e più piccoli nei punti in cui la derivata prima di questa funzione non esiste e la funzione stessa è definita.

Rispondiamo subito a una delle domande più frequenti su questo argomento: "È sempre possibile determinare il valore più grande (minimo) di una funzione"? No non sempre. A volte i confini dell'intervallo X coincidono con i confini del dominio della funzione, oppure l'intervallo X è infinito. E alcune funzioni all'infinito e ai confini del dominio di definizione possono assumere valori sia infinitamente grandi che infinitamente piccoli. In questi casi non si può dire nulla del valore più grande e più piccolo della funzione.

Per chiarezza, diamo un'illustrazione grafica. Guarda le immagini - e molto sarà chiaro.

Sul segmento

Nella prima figura, la funzione assume i valori più grande (max y) e più piccolo (min y) in punti stazionari all'interno del segmento [-6;6] .

Si consideri il caso mostrato nella seconda figura. Cambia il segmento in . In questo esempio, il valore più piccolo della funzione viene ottenuto in un punto stazionario e il più grande in un punto con un'ascissa corrispondente al limite destro dell'intervallo.

Nella figura n. 3, i punti limite del segmento [-3; 2] sono le ascisse dei punti corrispondenti al valore più grande e più piccolo della funzione.

In campo aperto

Nella quarta figura, la funzione assume i valori più grande (max y) e più piccolo (min y) in punti stazionari all'interno dell'intervallo aperto (-6;6).

Sull'intervallo non è possibile trarre conclusioni sul valore più grande.

All'infinito

Nell'esempio mostrato nella settima figura, la funzione assume il valore più grande (max y ) in un punto stazionario con l'ascissa x=1 e il valore più piccolo (min y ) viene raggiunto al limite destro dell'intervallo. A meno infinito, i valori della funzione si avvicinano asintoticamente a y=3 .

Sull'intervallo, la funzione non raggiunge né il valore più piccolo né quello più grande. Poiché x=2 tende a destra, i valori della funzione tendono a meno infinito (la retta x=2 è un asintoto verticale) e poiché l'ascissa tende a più infinito, i valori della funzione si avvicinano asintoticamente a y=3 . Un'illustrazione grafica di questo esempio è mostrata nella Figura 8.

Algoritmo per trovare i valori più grandi e più piccoli di una funzione continua sul segmento.

Scriviamo un algoritmo che ci permette di trovare il valore più grande e più piccolo di una funzione su un segmento.

1. Troviamo il dominio della funzione e controlliamo se contiene l'intero segmento.
2. Troviamo tutti i punti in cui la derivata prima non esiste e che sono contenuti nel segmento (solitamente tali punti si verificano in funzioni con argomento sotto il segno del modulo e in funzioni di potenza con esponente frazionario-razionale). Se non ci sono tali punti, vai al punto successivo.
3. Determiniamo tutti i punti stazionari che cadono nel segmento. Per fare ciò, lo uguagliamo a zero, risolviamo l'equazione risultante e scegliamo le radici appropriate. Se non ci sono punti stazionari o nessuno di essi cade nel segmento, vai al passaggio successivo.
4. Calcoliamo i valori della funzione nei punti stazionari selezionati (se presenti), nei punti in cui la derivata prima non esiste (se presente), e anche a x=a e x=b .
5. Dai valori ottenuti della funzione, selezioniamo il più grande e il più piccolo: saranno rispettivamente i valori massimo e minimo desiderati della funzione.

Analizziamo l'algoritmo quando risolviamo un esempio per trovare i valori più grandi e più piccoli di una funzione su un segmento.

Esempio.

Trova il valore più grande e più piccolo di una funzione

• sul segmento;
• sull'intervallo [-4;-1] .

Soluzione.

Il dominio della funzione è l'intero insieme di numeri reali, ad eccezione di zero, cioè . Entrambi i segmenti rientrano nel dominio di definizione.

Troviamo la derivata della funzione rispetto a:

Ovviamente, la derivata della funzione esiste in tutti i punti dei segmenti e [-4;-1] .

I punti stazionari sono determinati dall'equazione. L'unica vera radice è x=2 . Questo punto stazionario cade nel primo segmento.

Per il primo caso, calcoliamo i valori della funzione alle estremità del segmento e in un punto stazionario, ovvero per x=1 , x=2 e x=4 :

Pertanto, il valore più grande della funzione viene raggiunto a x=1 e il valore più piccolo – a x=2 .

Per il secondo caso, calcoliamo i valori della funzione solo alle estremità del segmento [-4;-1] (poiché non contiene un solo punto stazionario):

Soluzione.

Cominciamo con l'ambito della funzione. Il trinomio quadrato al denominatore di una frazione non deve scomparire:

È facile verificare che tutti gli intervalli dalla condizione del problema appartengano al dominio della funzione.

Differenziamo la funzione:

Ovviamente, la derivata esiste sull'intero dominio della funzione.

Troviamo punti stazionari. Il derivato svanisce a . Questo punto stazionario rientra negli intervalli (-3;1] e (-3;2) .

E ora puoi confrontare i risultati ottenuti in ogni punto con il grafico della funzione. Le linee tratteggiate blu indicano gli asintoti.

Questo può finire con la ricerca del valore più grande e più piccolo della funzione. Gli algoritmi discussi in questo articolo consentono di ottenere risultati con un minimo di azioni. Tuttavia, può essere utile determinare prima gli intervalli di aumento e diminuzione della funzione e solo dopo trarre conclusioni sul valore più grande e più piccolo della funzione su qualsiasi intervallo. Ciò fornisce un quadro più chiaro e una giustificazione rigorosa dei risultati.