Križna krivina. Čista krivina Ravno poprečno savijanje Unutrašnje sile naprezanja

Za konzolnu gredu opterećenu raspoređenim opterećenjem intenziteta kN / m i koncentriranim momentom kN m (slika 3.12), potrebno je: izgraditi dijagrame posmičnih sila i momenata savijanja, odabrati gredu kružnog poprečnog presjeka na dozvoljenom normalnog naprezanja kN/cm2 i provjeriti čvrstoću grede prema posmičnim naprezanjima pri dopuštenom posmičnom naprezanju kN/cm2. Dimenzije grede m; m; m.

Projektna shema za problem direktnog poprečnog savijanja

Rice. 3.12

Rješavanje problema "direktnog poprečnog savijanja"

Određivanje reakcija podrške

Horizontalna reakcija u ugradnji je nula, jer vanjska opterećenja u smjeru z-ose ne djeluju na gredu.

Odabiremo smjerove preostalih reaktivnih sila koje nastaju u ugradnji: usmjerimo vertikalnu reakciju, na primjer, prema dolje, a trenutak - u smjeru kazaljke na satu. Njihove vrijednosti se određuju iz jednačina statike:

Sastavljajući ove jednadžbe, smatramo da je trenutak pozitivan pri rotaciji u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, a projekcija sile je pozitivna ako se njen smjer poklapa s pozitivnim smjerom y ose.

Iz prve jednadžbe nalazimo trenutak završetka:

Iz druge jednadžbe - vertikalna reakcija:

primili smo pozitivne vrijednosti jer trenutak i vertikalna reakcija u prekidu ukazuju da smo pogodili njihov pravac.

U skladu sa prirodom pričvršćivanja i opterećenja grede, njegovu dužinu dijelimo na dva dijela. Duž granica svakog od ovih presjeka ocrtavamo četiri poprečna presjeka (vidi sliku 3.12), u kojima ćemo metodom presjeka (ROZU) izračunati vrijednosti posmičnih sila i momenata savijanja.

Odjeljak 1. Odbacimo mentalno desnu stranu grede. Zamijenimo njegovo djelovanje na preostaloj lijevoj strani sa silom rezanja i momentom savijanja. Radi praktičnosti izračunavanja njihovih vrijednosti, desnu stranu grede koju smo odbacili zatvaramo komadom papira, poravnavajući lijevu ivicu lista s presjekom koji se razmatra.

Podsjetimo da posmična sila koja nastaje u bilo kojem poprečnom presjeku mora uravnotežiti sve vanjske sile (aktivne i reaktivne) koje djeluju na dio grede koji razmatramo (to jest, vidljiv). Prema tome, sila smicanja mora biti jednaka algebarskom zbiru svih sila koje vidimo.

Dajemo i pravilo predznaka za silu smicanja: vanjska sila koja djeluje na razmatrani dio grede i teži da ovaj dio „zarotira” u odnosu na presjek u smjeru kazaljke na satu uzrokuje pozitivnu silu smicanja u presjeku. Takva vanjska sila je uključena u algebarski zbir za definiciju sa znakom plus.

U našem slučaju vidimo samo reakciju oslonca, koji rotira vidljivi dio grede u odnosu na prvi dio (u odnosu na ivicu komada papira) u smjeru suprotnom od kazaljke na satu. Dakle

kN.

Moment savijanja u bilo kojem presjeku mora uravnotežiti moment koji stvaraju vanjske sile koje vidimo u odnosu na presjek koji se razmatra. Dakle, jednak je algebarskom zbiru momenata svih napora koji djeluju na dio grede koji razmatramo, u odnosu na presjek koji se razmatra (drugim riječima, u odnosu na ivicu komada papira). U tom slučaju vanjsko opterećenje koje savija razmatrani dio grede konveksnošću prema dolje uzrokuje pozitivan moment savijanja u presjeku. A trenutak stvoren takvim opterećenjem uključen je u algebarski zbir za definiciju sa znakom plus.

Vidimo dva pokušaja: reakciju i trenutak prekida. Međutim, krak sile u odnosu na dio 1 jednak je nuli. Dakle

kN m

Uzeli smo znak plus jer reaktivni moment savija vidljivi dio snopa konveksnošću prema dolje.

Odjeljak 2. Kao i prije, prekrićemo cijelu desnu stranu grede komadom papira. Sada, za razliku od prvog dijela, sila ima rame: m. Dakle

kN; kN m

Odjeljak 3. Zatvarajući desnu stranu grede, nalazimo

kN;

Odjeljak 4. Zatvorimo lijevu stranu grede listom. Onda

kN m

Na osnovu pronađenih vrijednosti gradimo dijagrame posmičnih sila (sl. 3.12, b) i momenata savijanja (sl. 3.12, c).

Pod neopterećenim presjecima dijagram posmičnih sila ide paralelno s osi grede, a pod raspoređenim opterećenjem q, duž nagnute prave linije prema gore. Ispod reakcije oslonca na dijagramu je skok naniže za vrijednost ove reakcije, odnosno za 40 kN.

Na dijagramu momenata savijanja vidimo lom ispod reakcije oslonca. Ugao loma usmjeren je prema reakciji oslonca. Pod raspoređenim opterećenjem q, dijagram se mijenja duž kvadratne parabole, čija je konveksnost usmjerena prema opterećenju. U odeljku 6 dijagrama nalazi se ekstremum, jer dijagram sile smicanja na ovom mjestu ovdje prolazi kroz nultu vrijednost.

Odredite potrebni promjer poprečnog presjeka grede

Uvjet čvrstoće za normalna naprezanja ima oblik:

gdje je moment otpora grede pri savijanju. Za gredu kružnog poprečnog presjeka ona je jednaka:

Moment savijanja sa najvećom apsolutnom vrijednošću javlja se u trećem dijelu grede: kN cm

Tada se traženi promjer grede određuje formulom

cm.

Prihvatamo mm. Onda

kN/cm2 kN/cm2.

"Prenapon" je

šta je dozvoljeno.

Provjeravamo čvrstoću grede za najveća tangencijalna naprezanja

Najveća posmična naprezanja koja se javljaju u poprečnom presjeku kružne grede izračunavaju se po formuli

gdje je površina poprečnog presjeka.

Prema dijagramu, najveća algebarska vrijednost posmične sile je jednaka kN. Onda

kN/cm2 kN/cm2,

odnosno ispunjen je uvjet čvrstoće i posmičnog naprezanja, osim toga, sa velikom marginom.

Primjer rješavanja problema "direktno poprečno savijanje" br.2

Stanje primjera problema za direktno poprečno savijanje

Za zglobnu gredu opterećenu raspoređenim opterećenjem intenziteta kN / m, koncentriranom silom kN i koncentriranim momentom kN m (slika 3.13), potrebno je nacrtati posmične sile i momente savijanja i odabrati poprečni presjek I-grede sa dozvoljeno normalno naprezanje kN/cm2 i dozvoljeno posmično naprezanje kN/cm2. Raspon grede m.

Primjer zadatka za pravi zavoj - shema dizajna

Rice. 3.13

Rješenje primjera problema pravog savijanja

Određivanje reakcija podrške

Za datu osovinu oslonjenu gredu potrebno je pronaći tri reakcije oslonca: , i . Budući da na gredu djeluju samo vertikalna opterećenja, okomita na njenu os, horizontalna reakcija fiksnog zglobnog nosača A jednaka je nuli: .

Smjerovi vertikalnih reakcija i biraju se proizvoljno. Usmjerimo, na primjer, obje vertikalne reakcije prema gore. Da bismo izračunali njihove vrijednosti, sastavljamo dvije jednadžbe statike:

Podsjetimo da je rezultirajuće linearno opterećenje, ravnomjerno raspoređeno na dio dužine l, jednako, odnosno jednako površini dijagrama ovog opterećenja i primijenjeno je na težište ovog dijagrama, odnosno na sredini dužine.

;

kN.

Provjeravamo: .

Podsjetimo da se sile čiji se smjer poklapa s pozitivnim smjerom y-ose projektuju (projiciraju) na ovu os sa znakom plus:

To je tačno.

Gradimo dijagrame posmičnih sila i momenata savijanja

Dužinu grede razbijamo u zasebne dijelove. Granice ovih presjeka su tačke primjene koncentrisanih sila (aktivnih i/ili reaktivnih), kao i tačke koje odgovaraju početku i kraju raspoređenog opterećenja. U našem problemu postoje tri takve oblasti. Duž granica ovih presjeka ocrtavamo šest poprečnih presjeka u kojima ćemo izračunati vrijednosti posmičnih sila i momenata savijanja (slika 3.13, a).

Odjeljak 1. Odbacimo mentalno desnu stranu grede. Radi praktičnosti izračunavanja posmične sile i momenta savijanja koji nastaju u ovom dijelu, dio grede koji smo odbacili zatvaramo komadom papira, poravnavajući lijevu ivicu komada papira sa samim presjekom.

Posmična sila u presjeku grede jednaka je algebarskom zbroju svih vanjskih sila (aktivnih i reaktivnih) koje vidimo. U ovom slučaju vidimo reakciju oslonca i linearnog opterećenja q, raspoređenog na beskonačno malu dužinu. Rezultirajuće linearno opterećenje je nula. Dakle

kN.

Znak plus se uzima jer sila rotira vidljivi dio grede u odnosu na prvi dio (ivicu komada papira) u smjeru kazaljke na satu.

Moment savijanja u presjeku grede jednak je algebarskom zbroju momenata svih sila koje vidimo u odnosu na presjek koji se razmatra (odnosno u odnosu na ivicu komada papira). Vidimo reakciju oslonca i linearnog opterećenja q, raspoređenog na beskonačno malu dužinu. Međutim, poluga sile je nula. Rezultirajuće linearno opterećenje je također jednako nuli. Dakle

Odjeljak 2. Kao i prije, prekrićemo cijelu desnu stranu grede komadom papira. Sada vidimo reakciju i opterećenje q koje djeluju na dio dužine . Rezultirajuće linearno opterećenje je jednako . Pričvršćuje se na sredini dijela dužine . Dakle

Podsjetimo da prilikom određivanja predznaka momenta savijanja, mi mentalno oslobađamo dio grede koji vidimo od svih stvarnih potpornih pričvršćenja i zamišljamo ga kao da je stisnut u razmatranom presjeku (tj. lijevi rub komada papir mi mentalno predstavljamo kao kruti pečat).

Odjeljak 3. Zatvorimo desni dio. Get

Odjeljak 4. Desnu stranu grede zatvaramo listom. Onda

Sada, da bismo kontrolisali ispravnost proračuna, pokrijmo lijevu stranu grede komadom papira. Vidimo koncentriranu silu P, reakciju desnog oslonca i linearno opterećenje q, raspoređenu na beskonačno malu dužinu. Rezultirajuće linearno opterećenje je nula. Dakle

kN m

Odnosno, sve je tačno.

Odjeljak 5. I dalje zatvorite lijevu stranu grede. Imat će

kN;

kN m

Odjeljak 6. Ponovo zatvorimo lijevu stranu grede. Get

kN;

Na osnovu pronađenih vrijednosti gradimo dijagrame posmičnih sila (sl. 3.13, b) i momenata savijanja (sl. 3.13, c).

Uvjereni smo da pod neopterećenim presjekom dijagram posmične sile ide paralelno s osi grede, a pod raspoređenim opterećenjem q - duž prave linije sa nagibom prema dolje. Na dijagramu su tri skoka: ispod reakcije - gore za 37,5 kN, ispod reakcije - gore za 132,5 kN i pod silom P - dolje za 50 kN.

Na dijagramu momenata savijanja vidimo lomove pod koncentrisanom silom P i pod reakcijama oslonca. Uglovi loma usmjereni su prema ovim silama. Pod raspoređenim opterećenjem intenziteta q, dijagram se mijenja duž kvadratne parabole, čija je konveksnost usmjerena prema opterećenju. Ispod koncentrisanog momenta dolazi do skoka od 60 kN m, odnosno po veličini samog momenta. U sekciji 7 na dijagramu nalazi se ekstrem, jer dijagram posmične sile za ovaj presjek prolazi kroz nultu vrijednost (). Odredimo udaljenost od presjeka 7 do lijevog oslonca.

Zavoj je vrsta deformacije u kojoj je uzdužna os grede savijena. Ravne grede koje rade na savijanju nazivaju se grede. Prava krivina je zavoj u kojem vanjske sile koje djeluju na gredu leže u istoj ravnini (ravnini sile) koja prolazi kroz uzdužnu os grede i glavnu središnju os inercije poprečnog presjeka.

Zavoj se naziva čistim, ako se u bilo kojem poprečnom presjeku grede javlja samo jedan moment savijanja.

Savijanje, u kojem moment savijanja i poprečna sila istovremeno djeluju u poprečnom presjeku grede, naziva se poprečno. Linija presjeka ravnine sile i ravnine poprečnog presjeka naziva se linija sile.

Faktori unutrašnje sile pri savijanju grede.

Kada je ravno poprečna krivina U presjecima grede nastaju dva interna faktora sile: poprečna sila Q i moment savijanja M. Za njihovo određivanje koristi se metoda presjeka (vidi predavanje 1). Poprečna sila Q u presjeku grede jednaka je algebarskom zbiru projekcija na ravninu presjeka svih vanjskih sila koje djeluju na jednoj strani razmatranog presjeka.

Pravilo znaka za posmične sile Q:

Moment savijanja M u presjeku grede jednak je algebarskom zbroju momenata oko centra gravitacije ovog presjeka svih vanjskih sila koje djeluju na jednoj strani razmatranog presjeka.

Pravilo znaka za momente savijanja M:

Diferencijalne zavisnosti Žuravskog.

Između intenziteta q raspoređenog opterećenja, izraza za poprečnu silu Q i momenta savijanja M, uspostavljaju se diferencijalne zavisnosti:

Na osnovu ovih zavisnosti, mogu se razlikovati sledeći opšti obrasci dijagrama poprečnih sila Q i momenata savijanja M:

Osobenosti dijagrama faktora unutrašnjih sila pri savijanju.

1. Na presjeku grede gdje nema raspoređenog opterećenja prikazana je grafika Q duž , paralelna sa osnovom dijagrama, a dijagram M je nagnuta prava linija (slika a).

2. U dijelu gdje se primjenjuje koncentrisana sila, na Q dijagramu bi trebala biti skok , jednaka vrijednosti ove sile, a na dijagramu M - tačka preloma (Sl. a).

3. U dijelu gdje se primjenjuje koncentrirani moment vrijednost Q se ne mijenja, a dijagram M ima skok , jednak vrijednosti ovog momenta, (slika 26, b).

4. U presjeku grede sa raspoređenim opterećenjem intenziteta q, dijagram Q se mijenja po linearnom zakonu, a dijagram M - po paraboličnom, a konveksnost parabole je usmjerena prema smjeru raspoređenog opterećenja (sl. c, d).

5. Ako unutar karakterističnog presjeka dijagrama Q siječe bazu dijagrama, tada u presjeku gdje je Q = 0, moment savijanja ima ekstremnu vrijednost M max ili M min (slika d).

Normalna naprezanja savijanja.

Određeno formulom:

Moment otpora presjeka na savijanje je vrijednost:

Opasan dio pri savijanju naziva se poprečni presjek grede u kojem se javlja maksimalno normalno naprezanje.

Tangencijalna naprezanja pri direktnom savijanju.

Određeno od strane Formula Žuravskog za posmične napone pri direktnom savijanju grede:

gdje je S ots - statički moment poprečno područje odsječeni sloj uzdužnih vlakana u odnosu na neutralnu liniju.

Proračun čvrstoće na savijanje.

1. At verifikacioni proračun određuje se maksimalno projektno naprezanje koje se uspoređuje s dopuštenim naprezanjem:

2. At proračun dizajna izbor preseka grede vrši se iz uslova:

3. Prilikom određivanja dopuštenog opterećenja, dopušteni moment savijanja određuje se iz uvjeta:

Pokreti savijanja.

Pod djelovanjem opterećenja savijanjem, os grede se savija. U ovom slučaju dolazi do rastezanja vlakana na konveksnim i kompresije - na konkavnim dijelovima grede. Osim toga, postoji vertikalno pomicanje težišta poprečnih presjeka i njihova rotacija u odnosu na neutralnu os. Za karakterizaciju deformacije tijekom savijanja koriste se sljedeći koncepti:

Otklon snopa Y- pomicanje težišta poprečnog presjeka grede u smjeru okomitom na njegovu osu.

Otklon se smatra pozitivnim ako se težište pomiče prema gore. Količina otklona varira duž dužine grede, tj. y=y(z)

Ugao rotacije preseka- ugao θ za koji je svaka sekcija rotirana u odnosu na svoju prvobitnu poziciju. Ugao rotacije se smatra pozitivnim kada se sekcija rotira suprotno od kazaljke na satu. Vrijednost ugla rotacije varira duž dužine grede, budući da je funkcija θ = θ (z).

Najčešći način određivanja pomaka je metoda mora i Vereščaginovo pravilo.

Mohrova metoda.

Postupak za određivanje pomaka prema Mohr metodi:

1. „Pomoćni sistem“ se gradi i opterećuje jednim opterećenjem na mestu gde treba da se odredi pomak. Ako se odredi linearni pomak, tada se u njegovom smjeru primjenjuje jedinična sila, a pri određivanju kutnih pomaka primjenjuje se jedinični moment.

2. Za svaku sekciju sistema evidentiraju se izrazi momenata savijanja M f od primijenjenog opterećenja i M 1 - od pojedinačnog opterećenja.

3. Mohrovi integrali se izračunavaju i zbrajaju po svim dijelovima sistema, što rezultira željenim pomakom:

4. Ako izračunati pomak ima pozitivan predznak, to znači da se njegov smjer poklapa sa smjerom jedinične sile. Negativan predznak pokazuje da je stvarni pomak suprotan smjeru jedinične sile.

Vereščaginovo pravilo.

Za slučaj kada dijagram momenata savijanja od danog opterećenja ima proizvoljan, a od jednog opterećenja - pravolinijski obris, prikladno je koristiti grafičko-analitičku metodu ili Vereshchaginovo pravilo.

gdje je A f površina dijagrama momenta savijanja M f od datog opterećenja; y c je ordinata dijagrama od jednog opterećenja ispod težišta dijagrama M f ; EI x - krutost presjeka grede. Proračuni prema ovoj formuli se vrše u odsjecima, na svakom od kojih pravolinijski dijagram mora biti bez lomova. Vrijednost (A f *y c) smatra se pozitivnom ako se oba dijagrama nalaze na istoj strani grede, negativnom ako se nalaze na suprotnim stranama. Pozitivan rezultat množenja dijagrama znači da se smjer kretanja poklapa sa smjerom jedinične sile (ili momenta). Složeni dijagram M f mora se podijeliti na jednostavne figure (koristi se tzv. "čisto slojevitost"), za svaku od kojih je lako odrediti ordinatu centra gravitacije. U ovom slučaju, površina svake figure se množi sa ordinatom ispod njenog težišta.

Kod direktnog čistog savijanja u poprečnom presjeku šipke postoji samo jedan faktor sile - moment savijanja M x(Sl. 1). As Q y \u003d dM x / dz \u003d 0, onda M x=const i čisto direktno savijanje može se ostvariti kada je šipka opterećena parovima sila koje se primjenjuju na krajnjim dijelovima šipke. Od momenta savijanja M x po definiciji je jednak zbiru momenata unutrašnjih sila oko ose Oh ona je povezana s normalnim naprezanjima jednadžbom statike koja slijedi iz ove definicije

Formulirajmo premise teorije čistog direktnog savijanja prizmatičnog štapa. Da bismo to učinili, analiziramo deformacije modela šipke od niskomodulnog materijala, na čijoj je bočnoj površini nanesena mreža uzdužnih i poprečnih ogrebotina (sl. 2). Budući da poprečni rizici, kada se štap savija parovima sila primijenjenih na krajnjim dijelovima, ostaju ravni i okomiti na zakrivljene uzdužne rizike, to nam omogućava da zaključimo da hipoteze ravnog presjeka, koja, kako pokazuje rješenje ovog problema metodama teorije elastičnosti, prestaje biti hipoteza, postajući egzaktna činjenica - zakon ravnih presjeka. Mjerenjem promjene razmaka između uzdužnih rizika dolazimo do zaključka o valjanosti hipoteze o nepritisku uzdužnih vlakana.

Ortogonalnost uzdužnih i poprečnih ogrebotina prije i nakon deformacije (kao odraz djelovanja zakona ravnih presjeka) također ukazuje na odsustvo pomaka, posmičnih naprezanja u poprečnim i uzdužnim presjecima štapa.

Fig.1. Odnos između unutrašnjeg napora i stresa

Fig.2. Model čistog savijanja

Tako se čisto direktno savijanje prizmatične šipke svodi na jednoosnu napetost ili kompresiju uzdužnih vlakana naprezanjima (indeks. G kasnije izostavljen). U ovom slučaju, dio vlakana je u zoni zatezanja (na slici 2. to su donja vlakna), a drugi dio je u zoni kompresije (gornja vlakna). Ove zone su odvojene neutralnim slojem (p-p), ne mijenjajući svoju dužinu, naponi u kojima su jednaki nuli. Uzimajući u obzir prethodno formulirane preduslove i pretpostavivši da je materijal štapa linearno elastičan, tj. Hookeov zakon u ovom slučaju ima oblik: , izvodimo formule za zakrivljenost neutralnog sloja (-radijus zakrivljenosti) i normalne napone. Preliminarno napomenimo da je konstantnost poprečnog presjeka prizmatične šipke i momenta savijanja (M x = konst), osigurava konstantnost radijusa zakrivljenosti neutralnog sloja duž dužine štapa (slika 3, a), neutralni sloj (n—n) opisana lukom kružnice.

Razmotrimo prizmatičnu šipku u uslovima direktnog čistog savijanja (slika 3, a) sa poprečnim presekom simetričnim oko vertikalne ose OU. Ovaj uslov neće uticati na konačni rezultat (da bi pravo savijanje bilo moguće, os mora da se poklapa Oh sa glavna osa inercije poprečnog preseka, koja je osa simetrije). Osa Ox stavite neutralni sloj, položaj koga nije poznato unapred.

a) proračunska šema, b) naprezanja i naprezanja

Fig.3. Ulomak čistog zavoja grede

Razmislite o elementu izrezanom od šipke s dužinom dz, koji je prikazan na skali s proporcijama iskrivljenim u interesu jasnoće na Sl. 3, b. Budući da su deformacije elementa određene relativnim pomakom njegovih tačaka od interesa, jedan od krajnjih presjeka elementa može se smatrati fiksnim. S obzirom na malenost, pretpostavljamo da se tačke poprečnog presjeka, kada se rotiraju kroz ovaj kut, kreću ne duž lukova, već duž odgovarajućih tangenta.

Izračunajmo relativnu deformaciju uzdužnog vlakna AB, odvojen od neutralnog sloja u:

Iz sličnosti trouglova C00 1 i 0 1 BB 1 sledi to

Pokazalo se da je uzdužna deformacija linearna funkcija udaljenosti od neutralnog sloja, što je direktna posljedica zakona ravnih presjeka

Ova formula nije prikladna za praktičnu upotrebu, jer sadrži dvije nepoznanice: zakrivljenost neutralnog sloja i položaj neutralne ose Oh, od kojeg se računaju koordinate y. Da bismo odredili ove nepoznanice, koristimo jednadžbe ravnoteže statike. Prvi izražava zahtjev da uzdužna sila bude jednaka nuli

Zamjena izraza (2) u ovu jednačinu

i uzimajući to u obzir, dobijamo to

Integral na lijevoj strani ove jednadžbe je statički moment poprečnog presjeka štapa oko neutralne ose Oh, koji može biti jednak nuli samo u odnosu na centralnu osu. Dakle, neutralna os Oh prolazi kroz težište poprečnog presjeka.

Druga jednadžba statičke ravnoteže je ona koja povezuje normalne napone sa momentom savijanja (koji se lako može izraziti u terminima vanjskih sila i stoga se smatra datom vrijednošću). Zamjena izraza za u jednadžbu snopa. napona, dobijamo:

i s obzirom na to gdje J x je glavni centralni moment inercije oko ose Oh, za zakrivljenost neutralnog sloja dobijamo formulu

Fig.4. Normalna distribucija stresa

koji je prvi dobio S. Coulomb 1773. godine. Da odgovara znakovima momenta savijanja M x i normalnih napona, znak minus se stavlja na desnu stranu formule (5), budući da je at M x >0 normalna naprezanja kod y>0 ispada kontraktivno. Međutim, u praktičnim proračunima, prikladnije je, bez pridržavanja formalnog pravila znakova, odrediti naprezanja po modulu i staviti znak prema značenju. Normalni naponi pri čistom savijanju prizmatične šipke su linearna funkcija koordinata at i dosegnuti najviše vrijednosti u vlaknima najudaljenijim od neutralne ose (slika 4), tj.

Ovdje se uvodi geometrijska karakteristika koja ima dimenziju m 3 i naziva se moment otpora pri savijanju. Pošto za dato M x voltaža max?što manje to više Š x , moment otpora je geometrijska karakteristika čvrstoće poprečnog presjeka na savijanje. Navedimo primjere izračunavanja momenata otpora za najjednostavnije oblike poprečnih presjeka. Za pravougaoni poprečni presek (sl. 5, a) imamo J x \u003d bh 3 / 12, y max = h/2 i W x = J x /y max = bh 2 /6. Slično za krug (sl. 5 ,a J x =d4 /64, ymax=d/2) dobijamo Š x =d3/32, za kružni prstenasti presjek (sl. 5, u), koji

bend naziva se deformacija, u kojoj se osovina štapa i sva njegova vlakna, tj. uzdužne linije paralelne s osi štapa, savijaju pod djelovanjem vanjskih sila. Najjednostavniji slučaj savijanja se dobiva kada vanjske sile leže u ravnini koja prolazi kroz središnju os štapa i ne projicira se na ovu os. Takav slučaj savijanja naziva se poprečno savijanje. Razlikovati ravni zavoj i kosi.

ravna krivina- takav slučaj kada se savijena os štapa nalazi u istoj ravni u kojoj djeluju vanjske sile.

Kosi (složeni) zavoj- takav slučaj savijanja, kada savijena os štapa ne leži u ravni djelovanja vanjskih sila.

Šipka za savijanje se obično naziva greda.

Kod ravnog poprečnog savijanja greda u presjeku s koordinatnim sistemom y0x mogu nastati dvije unutrašnje sile - poprečna sila Q y i moment savijanja M x; u nastavku uvodimo notaciju Q i M. Ako u presjeku ili presjeku grede nema poprečne sile (Q = 0), a moment savijanja nije jednak nuli ili je M konstantan, tada se takvo savijanje obično naziva cisto.

Poprečna sila u bilo kojem dijelu grede je numerički jednak algebarskom zbiru projekcija na os svih sila (uključujući reakcije potpore) koje se nalaze na jednoj strani (bilo koje) presjeka.

Moment savijanja u presjeku grede je brojčano jednak algebarskom zbroju momenata svih sila (uključujući reakcije potpore) koje se nalaze na jednoj strani (bilo koje) presjeka povučene u odnosu na težište ovog presjeka, tačnije, u odnosu na os prolazeći okomito na ravan crteža kroz težište nacrtanog presjeka.

Q-sila je rezultantno raspoređena po poprečnom presjeku unutrašnjeg naponi smicanja, a momenat M– zbir trenutaka oko centralne ose unutrašnjeg preseka X normalna naprezanja.

Postoji razlika između unutrašnjih sila

koji se koristi u konstrukciji i verifikaciji dijagrama Q i M.

Budući da su neka vlakna grede rastegnuta, a neka sabijena, a prijelaz iz napetosti u kompresiju odvija se glatko, bez skokova, u srednjem dijelu grede nalazi se sloj čija se vlakna samo savijaju, ali ne doživljavaju ni jedno ni drugo. napetost ili kompresiju. Takav sloj se zove neutralni sloj. Linija duž koje se neutralni sloj siječe s poprečnim presjekom grede naziva se neutralna linija th or neutralna osa sekcije. Na osi grede nanizane su neutralne linije.

Linije povučene na bočnoj površini grede okomito na os ostaju ravne kada se savijaju. Ovi eksperimentalni podaci omogućuju zasnivanje zaključaka formula na hipotezi ravnih presjeka. Prema ovoj hipotezi, presjeci grede su ravni i okomiti na svoju os prije savijanja, ostaju ravni i postaju okomiti na savijenu os grede kada se ona savija. Poprečni presjek grede je izobličen tokom savijanja. Zbog poprečne deformacije povećavaju se dimenzije poprečnog presjeka u sabijenoj zoni grede, au zoni zatezanja se sabijaju.

Pretpostavke za izvođenje formula. Normalni naponi

1) Ispunjena je hipoteza ravnih presjeka.

2) Uzdužna vlakna ne pritišću jedno na drugo i stoga pod djelovanjem normalnih naprezanja djeluju linearne napetosti ili kompresije.

3) Deformacije vlakana ne zavise od njihovog položaja duž širine presjeka. Posljedično, normalni naponi, koji se mijenjaju po visini presjeka, ostaju isti po širini.

4) Greda ima barem jednu ravan simetrije i sve vanjske sile leže u ovoj ravni.

5) Materijal grede podliježe Hookeovom zakonu, a modul elastičnosti pri zatezanju i kompresiji je isti.

6) Odnosi između dimenzija grede su takvi da radi u uslovima ravnog savijanja bez savijanja ili uvrtanja.

Samo sa čistim savijanjem grede na platformama u svom presjeku normalna naprezanja, određena formulom:

gde je y koordinata proizvoljne tačke preseka, mereno od neutralne linije - glavne centralne ose x.

Normalna naprezanja savijanja po visini presjeka su raspoređena linearni zakon. Na ekstremnim vlaknima normalna naprezanja dostižu svoju maksimalnu vrijednost, a u centru gravitacije poprečni presjeci su jednaki nuli.

Priroda dijagrama normalnog naprezanja za simetrične presjeke u odnosu na neutralnu liniju

Priroda dijagrama normalnog naprezanja za presjeke koji nemaju simetriju u odnosu na neutralnu liniju

Opasne tačke su one koje su najudaljenije od neutralne linije.

Hajde da izaberemo neki odeljak

Za bilo koju tačku sekcije, nazovimo je tačkom To, uvjet čvrstoće grede za normalna naprezanja ima oblik:

, gdje je i.d. - Ovo neutralna osa

Ovo modul aksijalnog presjeka oko neutralne ose. Njegova dimenzija je cm 3, m 3. Moment otpora karakterizira utjecaj oblika i dimenzija poprečnog presjeka na veličinu napona.

Stanje snage za normalna naprezanja:

Normalno naprezanje je jednako omjeru maksimalnog momenta savijanja i modula aksijalnog presjeka u odnosu na neutralnu os.

Ako je materijal nejednako otporan na istezanje i kompresiju, tada se moraju koristiti dva uvjeta čvrstoće: za zonu rastezanja s dopuštenim vlačnim naprezanjem; za zonu kompresije sa dozvoljenim tlačnim naprezanjem.

Uz poprečno savijanje, grede na platformama u svom presjeku djeluju kao normalno, i tangente voltaža.

Zadatak. Napravite dijagrame Q i M za statički neodređenu gredu. Grede izračunavamo prema formuli:

n= Σ R- W— 3 = 4 — 0 — 3 = 1

Beam jednom je statički neodređen, što znači jedan reakcija je "ekstra" nepoznato. Za "ekstra" nepoznanicu uzet ćemo reakciju podrške AT — R B.

Statički određen snop, koji se iz date dobija uklanjanjem "dodatne" veze naziva se glavni sistem (b).

Sada treba predstaviti ovaj sistem ekvivalentan dato. Da biste to učinili, učitajte glavni sistem dato opterećenje i na tački AT primijeniti "ekstra" reakcija R B(pirinač. in).

Međutim, za ekvivalencija ovo nije dovoljno, budući da je u takvom snopu tačka AT možda kretati okomito, i u datom snopu (sl. a ) ovo se ne može dogoditi. Stoga, dodajemo stanje, šta otklon t. AT u glavnom sistemu mora biti jednak 0. Deflection t. AT sastoji se od otklon od djelujućeg opterećenja Δ F i od otklon od "ekstra" reakcije Δ R.

Onda komponujemo uslov kompatibilnosti pomaka:

Δ F + Δ R=0 (1)

Sada ostaje da se ovo izračuna pokreti (progibi).

Učitavanje osnovni sistem dato opterećenje(pirinač .G) i izgraditi kargo dijagramM F (pirinač. d ).

AT t. AT primijeniti i izgraditi ep. (pirinač. jež ).

Simpsonovom formulom koju definiramo otklon opterećenja.

Hajde sada da definišemo otklon od djelovanja "ekstra" reakcije R B , za ovo učitavamo glavni sistem R B (pirinač. h ) i nacrtajte trenutke iz njegove radnje GOSPODIN (pirinač. i ).

Sastavite i odlučite jednadžba (1):

Hajde da gradimo ep. Q i M (pirinač. do, l ).

Izrada dijagrama Q.

Hajde da napravimo parcelu M metoda karakteristične tačke. Postavljamo tačke na gredi - to su tačke početka i kraja grede ( D,A ), koncentrirani trenutak ( B ), a kao karakterističnu tačku zabilježite sredinu ravnomjerno raspoređenog opterećenja ( K ) je dodatna tačka za konstruisanje paraboličke krive.

Odredite momente savijanja u tačkama. Pravilo znakova cm. - .

Trenutak unutra AT biće definisan na sledeći način. Prvo da definišemo:

tačka To hajde da uđemo srednji područje sa ravnomjerno raspoređenim opterećenjem.

Izrada dijagrama M . Parcela AB – parabolična kriva(pravilo "kišobrana"), zaplet BD – ravna kosa linija.

Za gredu, odredite reakcije oslonca i nacrtajte dijagrame momenta savijanja ( M) i posmične sile ( Q).

Mi odredimo podržava pisma ALI i AT i usmjeravaju reakcije podrške R A i R B .

Kompajliranje jednačine ravnoteže.

Ispitivanje

Zapišite vrijednosti R A i R B na shema proračuna.

2. Ucrtavanje poprečne sile metoda sekcije. Postavljamo sekcije karakteristična područja(između izmjena). Prema dimenzijskom navoju - 4 sekcije, 4 sekcije.

sec. 1-1 pokret lijevo.

Sekcija prolazi kroz sekciju sa ravnomerno raspoređeno opterećenje, obratite pažnju na veličinu z 1 lijevo od sekcije prije početka dionice. Dužina parcele 2 m. Pravilo znakova za Q - cm.

Gradimo na pronađenoj vrijednosti dijagramQ.

sec. 2-2 potez desno.

Odsjek opet prolazi kroz područje s ravnomjerno raspoređenim opterećenjem, obratite pažnju na veličinu z 2 desno od sekcije do početka sekcije. Dužina parcele 6 m.

Izrada dijagrama Q.

sec. 3-3 potez desno.

sec. 4-4 pomaknite se udesno.

Mi gradimo dijagramQ.

3. Izgradnja dijagrami M metoda karakteristične tačke.

karakteristična tačka- tačka, bilo koja primetna na gredi. Ovo su tačke ALI, AT, With, D , kao i poenta To , pri čemu Q=0 i moment savijanja ima ekstrem. takođe u srednji konzola stavlja dodatnu tačku E, budući da je u ovoj oblasti pod ravnomjerno raspoređenim opterećenjem dijagram M opisano krivo liniju, a izgrađena je, barem, prema 3 bodova.

Dakle, tačke su postavljene, nastavljamo da određujemo vrednosti u njima momenti savijanja. Pravilo znakova - vidi..

Parcele NA, AD – parabolična kriva(pravilo „kišobran“ za mašinske specijalitete ili „pravilo jedra“ za građevinarstvo), sekcije DC, SW – ravne kose linije.

Trenutak u trenutku D treba utvrditi i lijevo i desno sa tačke D . Sam trenutak u ovim izrazima Isključeno. U tački D dobijamo dva vrijednosti iz razlika po iznosu m – skok na svoju veličinu.

Sada treba da odredimo trenutak u toj tački To (Q=0). Međutim, prvo definišemo pozicija tačke To , označavajući udaljenost od njega do početka sekcije nepoznatom X .

T. To pripada sekunda karakteristično područje, jednadžba sile smicanja(vidi gore)

Ali poprečna sila u t. To je jednako 0 , a z 2 jednako nepoznato X .

Dobijamo jednačinu:

Sada znam X, odrediti trenutak u tački To na desnoj strani.

Izrada dijagrama M . Izgradnja je izvodljiva za mehanički specijalnosti, odgađajući pozitivne vrijednosti gore od nulte linije i koristeći "kišobran" pravilo.

Za datu shemu konzolne grede potrebno je konstruirati dijagrame poprečne sile Q i momenta savijanja M, izvršiti proračunski proračun odabirom kružnog presjeka.

Materijal - drvo, projektna otpornost materijala R=10MPa, M=14kN m, q=8kN/m

Postoje dva načina za izgradnju dijagrama u konzolnoj gredi s krutim završetkom - uobičajeni, nakon što su prethodno određene reakcije oslonca, i bez određivanja reakcija oslonca, ako uzmemo u obzir presjeke, koji idu od slobodnog kraja grede i odbacuju lijeva strana sa završetkom. Napravimo dijagrame običan način.

1. Definirajte reakcije podrške.

Ravnomjerno raspoređeno opterećenje q zamijeniti uslovnu silu Q= q 0,84=6,72 kN

U krutom ugradnji postoje tri reakcije potpore - vertikalna, horizontalna i momentna, u našem slučaju horizontalna reakcija je 0.

Hajde da nađemo vertikalno reakcija podrške R A i referentni trenutak M A iz jednadžbi ravnoteže.

U prva dva dijela na desnoj strani nema poprečne sile. Na početku dionice sa ravnomjerno raspoređenim opterećenjem (desno) Q=0, pozadi - veličina reakcije R.A.
3. Za izgradnju, sastavit ćemo izraze za njihovu definiciju na sekcijama. Dijagram momenta crtamo na vlaknima, tj. dolje.

(zaplet pojedinačnih trenutaka je već izgrađen ranije)

Rješavamo jednačinu (1), smanjujemo za EI

Otkrivena statička neodređenost, nalazi se vrijednost "ekstra" reakcije. Možete početi crtati Q i M dijagrame za statički neodređenu gredu... Skiciramo datu shemu grede i naznačimo vrijednost reakcije Rb. U ovom snopu, reakcije u prekidu se ne mogu odrediti ako se ide udesno.

Zgrada parcele Q za statički neodređeni snop

Plot Q.

Ucrtavanje M

Definiramo M u tački ekstrema - u tački To. Prvo, hajde da definišemo njegovu poziciju. Označavamo udaljenost do njega kao nepoznatu " X". Onda

Planiramo M.

Određivanje posmičnih napona u I-presjeku. Razmotrite odeljak I-beam. S x \u003d 96,9 cm 3; Yx=2030 cm 4; Q=200 kN

Za određivanje posmičnog naprezanja koristi se formula, gdje je Q poprečna sila u presjeku, S x 0 je statički moment dijela poprečnog presjeka koji se nalazi na jednoj strani sloja u kojem se određuju posmični naponi, I x je moment inercije cijelog križa presjek, b je širina presjeka na mjestu gdje se određuje posmično naprezanje

Izračunaj maksimum napon smicanja:

Izračunajmo statički moment za gornja polica:

Sada izračunajmo posmična naprezanja:

Mi gradimo dijagram posmičnog naprezanja:

Projektovanje i verifikacioni proračuni. Za gredu sa izgrađenim dijagramima unutrašnjih sila odaberite presjek u obliku dva kanala iz uvjeta čvrstoće u smislu normalnih napona. Provjerite čvrstoću grede koristeći uvjet posmične čvrstoće i kriterij energetske čvrstoće. Dato:

Pokažimo gredu sa konstruisanim parcele Q i M

Prema dijagramu momenata savijanja, opasno je odjeljak C, pri čemu M C \u003d M max = 48,3 kNm.

Stanje snage za normalna naprezanja jer ova greda ima oblik σ max \u003d M C / W X ≤σ adm. Potrebno je odabrati dio sa dva kanala.

Odredite potrebnu izračunatu vrijednost modul aksijalnog presjeka:

Za dio u obliku dva kanala, prema prihvatiti dva kanala №20a, moment inercije svakog kanala I x =1670 cm 4, onda aksijalni moment otpora cijelog presjeka:

Prenapon (podnapon) na opasnim tačkama računamo po formuli: Onda dobijemo podnapon:

Sada provjerimo snagu zraka, na osnovu uslovi čvrstoće za posmična naprezanja. Prema dijagram posmičnih sila opasno su sekcije u sekciji BC i sekciji D. Kao što se vidi iz dijagrama, Q max \u003d 48,9 kN.

Uvjet čvrstoće za posmična naprezanja izgleda kao:

Za kanal br. 20 a: statički moment površine S x 1 = 95,9 cm 3, moment inercije presjeka I x 1 = 1670 cm 4, debljina zida d 1 = 5,2 mm, prosječna debljina police t 1 \u003d 9,7 mm, visina kanala h 1 = 20 cm, širina police b 1 = 8 cm.

Za poprečno sekcije dva kanala:

S x = 2S x 1 = 2 95,9 = 191,8 cm 3,

I x \u003d 2I x 1 = 2 1670 = 3340 cm 4,

b \u003d 2d 1 \u003d 2 0,52 = 1,04 cm.

Određivanje vrijednosti maksimalno naprezanje smicanja:

τ max \u003d 48,9 10 3 191,8 10 -6 / 3340 10 -8 1,04 10 -2 = 27 MPa.

kao što se vidi, τ max<τ adm (27MPa<75МПа).

dakle, uslov čvrstoće je ispunjen.

Čvrstoću snopa provjeravamo prema energetskom kriteriju.

Van obzira dijagrami Q i M sledi to dio C je opasan, u kojem M C =M max =48,3 kNm i Q C =Q max =48,9 kN.

Hajde da potrošimo analiza naponskog stanja u tačkama preseka S

Hajde da definišemo normalna i posmična naprezanja na nekoliko nivoa (označeno na dijagramu presjeka)

Nivo 1-1: y 1-1 =h 1 /2=20/2=10cm.

Normalno i tangentno voltaža:

Main voltaža:

Nivo 2-2: y 2-2 = h 1 / 2-t 1 = 20 / 2-0,97 = 9,03 cm.

Glavni naponi:

Nivo 3-3: y 3-3 \u003d h 1 / 2-t 1 = 20 / 2-0,97 = 9,03 cm.

Normalna i posmična naprezanja: