Obrázky nižšie ukazujú, kde môže funkcia dosiahnuť svoju najmenšiu a najväčšiu hodnotu. Na ľavom obrázku sú najmenšie a najväčšie hodnoty fixované v bodoch lokálneho minima a maxima funkcie. Na pravom obrázku - na koncoch segmentu.

Ak je funkcia r = f(X) súvislé na segmente [ a, b], potom dosiahne tento segment najmenej a najvyššie hodnoty . To sa, ako už bolo spomenuté, môže stať buď v extrémne body alebo na koncoch segmentu. Preto nájsť najmenej a najväčšie hodnoty funkcie , súvislé na segmente [ a, b], musíte vypočítať všetky jeho hodnoty kritických bodov a na koncoch segmentu a potom vyberte najmenší a najväčší z nich.

Nech je napríklad potrebné určiť maximálnu hodnotu funkcie f(X) na segmente [ a, b] . Ak to chcete urobiť, nájdite všetky jeho kritické body ležiace na [ a, b] .

kritický bod sa nazýva bod, v ktorom funkcia definovaná, a jej derivát je buď nula, alebo neexistuje. Potom by ste mali vypočítať hodnoty funkcie v kritických bodoch. A nakoniec je potrebné porovnať hodnoty funkcie v kritických bodoch a na koncoch segmentu ( f(a) a f(b)). Najväčšie z týchto čísel bude najväčšia hodnota funkcie na segmente [a, b] .

Problém nájsť najmenšie hodnoty funkcie .

Spoločne hľadáme najmenšie a najväčšie hodnoty funkcie

Príklad 1. Nájdite najmenšiu a najväčšiu hodnotu funkcie na segmente [-1, 2] .

Riešenie. Nájdeme deriváciu tejto funkcie. Prirovnajte deriváciu k nule () a získajte dva kritické body: a . Na nájdenie najmenšej a najväčšej hodnoty funkcie na danom segmente stačí vypočítať jej hodnoty na koncoch segmentu a v bode , keďže bod nepatrí do segmentu [-1, 2]. Tieto funkčné hodnoty sú nasledovné: , , . Z toho vyplýva najmenšia funkčná hodnota(označené červenou farbou na grafe nižšie), rovné -7, sa dosiahne na pravom konci segmentu - v bode , a najväčší(na grafe aj červená), sa rovná 9, - v kritickom bode .

Ak je funkcia spojitá v určitom intervale a tento interval nie je segmentom (ale je napr. intervalom; rozdiel medzi intervalom a segmentom: hraničné body intervalu nie sú zahrnuté v intervale, ale hraničné body segmentu sú zahrnuté v segmente), potom medzi hodnotami funkcie nemusia byť najmenšie a najväčšie. Takže napríklad funkcia zobrazená na obrázku nižšie je spojitá na ]-∞, +∞[ a nemá najväčšiu hodnotu.

Avšak pre akýkoľvek interval (uzavretý, otvorený alebo nekonečný) platí nasledujúca vlastnosť spojitých funkcií.

Na samokontrolu počas výpočtov môžete použiť online kalkulačka derivátov .

Príklad 4. Nájdite najmenšiu a najväčšiu hodnotu funkcie na segmente [-1, 3] .

Riešenie. Deriváciu tejto funkcie nájdeme ako deriváciu kvocientu:

.

Deriváciu prirovnáme k nule, čo nám dáva jeden kritický bod: . Patrí do intervalu [-1, 3] . Aby sme našli najmenšie a najväčšie hodnoty funkcie v danom segmente, nájdeme jej hodnoty na koncoch segmentu a v nájdenom kritickom bode:

Porovnajme tieto hodnoty. Záver: rovný -5/13, v bode a najväčšiu hodnotu rovná 1 v bode .

Pokračujeme v spoločnom hľadaní najmenších a najväčších hodnôt funkcie

Sú učitelia, ktorí pri téme hľadania najmenších a najväčších hodnôt funkcie nedávajú žiakom zložitejšie príklady ako tie, ktoré sú práve uvažované, teda také, v ktorých je funkciou polynóm alebo zlomok, čitateľ. a menovateľom ktorých sú polynómy. Nebudeme sa však obmedzovať na takéto príklady, pretože medzi učiteľmi sú milovníci toho, aby študenti premýšľali v plnom rozsahu (tabuľka derivátov). Preto sa použije logaritmus a goniometrické funkcie.

Príklad 8. Nájdite najmenšiu a najväčšiu hodnotu funkcie na segmente .

Riešenie. Deriváciu tejto funkcie nájdeme ako derivát produktu :

Deriváciu prirovnáme k nule, čo dáva jeden kritický bod: . Patrí do segmentu. Aby sme našli najmenšie a najväčšie hodnoty funkcie v danom segmente, nájdeme jej hodnoty na koncoch segmentu a v nájdenom kritickom bode:

Výsledok všetkých akcií: funkcia dosiahne svoju minimálnu hodnotu, rovný 0, v bode a v bode a najväčšiu hodnotu rovná e² , v bode .

Na samokontrolu počas výpočtov môžete použiť online kalkulačka derivátov .

Príklad 9. Nájdite najmenšiu a najväčšiu hodnotu funkcie na segmente .

Riešenie. Nájdeme deriváciu tejto funkcie:

Prirovnajte deriváciu k nule:

Jediný kritický bod patrí segmentu. Aby sme našli najmenšie a najväčšie hodnoty funkcie v danom segmente, nájdeme jej hodnoty na koncoch segmentu a v nájdenom kritickom bode:

záver: funkcia dosiahne svoju minimálnu hodnotu, rovný , v bode a najväčšiu hodnotu, rovný , v bode .

V aplikovaných extrémnych problémoch hľadanie najmenších (najväčších) hodnôt funkcie spravidla vedie k nájdeniu minima (maxima). Väčší praktický význam však nemajú samotné minimá alebo maximá, ale hodnoty argumentu, pri ktorých sa dosahujú. Pri riešení aplikovaných problémov vzniká ďalší problém - zostavovanie funkcií, ktoré popisujú uvažovaný jav alebo proces.

Príklad 10 Nádrž s objemom 4, ktorá má tvar kvádra so štvorcovým dnom a je otvorená hore, musí byť pocínovaná. Aké by mali byť rozmery nádrže, aby bola pokrytá čo najmenším množstvom materiálu?

Riešenie. Nechaj X- základná strana h- výška nádrže, S- jeho povrch bez krytu, V- jeho objem. Plocha nádrže je vyjadrená vzorcom, t.j. je funkciou dvoch premenných. Vyjadriť S ako funkciu jednej premennej používame skutočnosť, že , odkiaľ . Nahradenie nájdeného výrazu h do vzorca pre S:

Preskúmajme túto funkciu pre extrém. Je definovaný a diferencovateľný všade v ]0, +∞[ , a

.

Deriváciu prirovnáme k nule () a nájdeme kritický bod. Okrem toho, keď derivát neexistuje, ale táto hodnota nie je zahrnutá v oblasti definície, a preto nemôže byť extrémnym bodom. Takže, - jediný kritický bod. Skontrolujme to na prítomnosť extrému pomocou druhého dostatočného kritéria. Poďme nájsť druhú deriváciu. Keď je druhá derivácia väčšia ako nula (). To znamená, že keď funkcia dosiahne minimum . Pretože toto minimum - jediný extrém tejto funkcie, je to jej najmenšia hodnota. Takže strana základne nádrže by sa mala rovnať 2 m a jej výška.

Na samokontrolu počas výpočtov môžete použiť

Niekedy sa v problémoch B15 vyskytujú "zlé" funkcie, pre ktoré je ťažké nájsť derivát. Predtým to bolo len na sondách, ale teraz sú tieto úlohy také bežné, že ich už nemožno ignorovať pri príprave na túto skúšku.

V tomto prípade fungujú iné triky, z ktorých jeden je - monotónna.

Funkcia f (x) sa na úsečke nazýva monotónne rastúca, ak pre ľubovoľné body x 1 a x 2 tejto úsečky platí:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) < f (x2).

Funkcia f (x) sa na segmente nazýva monotónne klesajúca, ak pre ľubovoľné body x 1 a x 2 tohto segmentu platí nasledovné:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) > f ( x2).

Inými slovami, pre rastúcu funkciu platí, že čím väčšie x, tým väčšie je f(x). Pre klesajúcu funkciu platí opak: čím viac x, tým menej f(x).

Napríklad logaritmus rastie monotónne, ak základ a > 1 a klesá monotónne, ak je 0< a < 1. Не забывайте про область допустимых значений логарифма: x > 0.

f (x) = log a x (a > 0; a ≠ 1; x > 0)

Aritmetická druhá mocnina (a nielen druhá mocnina) rastie monotónne v celej oblasti definície:

Exponenciálna funkcia sa správa podobne ako logaritmus: zvyšuje sa pre a > 1 a klesá pre 0< a < 1. Но в отличие от логарифма, показательная функция определена для всех чисел, а не только для x > 0:

f (x) = a x (a > 0)

Nakoniec stupne so záporným exponentom. Môžete ich napísať ako zlomok. Majú bod zlomu, kde je narušená monotónnosť.

Všetky tieto funkcie sa nikdy nenachádzajú vo svojej čistej forme. Pridávajú sa k nim polynómy, zlomky a iné nezmysly, kvôli ktorým je ťažké vypočítať deriváciu. Čo sa stane v tomto prípade - teraz budeme analyzovať.

Súradnice vrcholov paraboly

Najčastejšie sa argument funkcie nahrádza výrazom štvorcový trojčlen tvaru y = ax 2 + bx + c . Jeho graf je štandardná parabola, ktorá nás zaujíma:

1. Vetvy paraboly - môžu ísť hore (pre a > 0) alebo dole (a< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
2. Vrchol paraboly je extrémnym bodom kvadratickej funkcie, v ktorom má táto funkcia svoj najmenší (pre a > 0) alebo najväčší (a< 0) значение.

Najväčším záujmom je vrchol paraboly, ktorého úsečka sa vypočíta podľa vzorca:

Takže sme našli extrémny bod kvadratickej funkcie. Ak je však pôvodná funkcia monotónna, bod x 0 bude pre ňu tiež extrémnym bodom. Preto formulujeme kľúčové pravidlo:

Extrémne body štvorcového trinomu a komplexná funkcia, do ktorej vstupuje, sa zhodujú. Preto môžete hľadať x 0 pre štvorcovú trojčlenku a zabudnúť na funkciu.

Z vyššie uvedeného uvažovania zostáva nejasné, aký druh bodu získame: maximum alebo minimum. Úlohy sú však špeciálne navrhnuté tak, aby to nevadilo. Veď posúďte sami:

1. V stave problému nie je žiadny segment. Preto nie je potrebné počítať f(a) a f(b). Zostáva zvážiť iba extrémne body;
2. Ale taký bod je len jeden – ide o vrchol paraboly x 0, ktorej súradnice sú vypočítané doslova slovne a bez akýchkoľvek derivácií.

Riešenie problému je teda značne zjednodušené a zredukované len na dva kroky:

1. Napíšte rovnicu paraboly y = ax 2 + bx + c a nájdite jej vrchol pomocou vzorca: x 0 = −b /2a;
2. Nájdite hodnotu pôvodnej funkcie v tomto bode: f (x 0). Ak neexistujú žiadne ďalšie podmienky, toto bude odpoveď.

Na prvý pohľad sa tento algoritmus a jeho odôvodnenie môže zdať komplikované. Zámerne neuverejňujem schému „holého“ riešenia, pretože nepremyslené uplatňovanie takýchto pravidiel je plné chýb.

Uvažujme o skutočných problémoch z skúšobná skúška v matematike – tu sa táto technika vyskytuje najčastejšie. Zároveň sa postaráme o to, aby sa týmto spôsobom mnohé problémy B15 stali takmer verbálnymi.

Pod koreňom je kvadratická funkcia y \u003d x 2 + 6x + 13. Graf tejto funkcie je parabola s vetvami nahor, pretože koeficient a \u003d 1\u003e 0.

Vrchol paraboly:

x 0 \u003d -b / (2a) \u003d -6 / (2 1) \u003d -6 / 2 \u003d -3

Pretože vetvy paraboly sú nasmerované nahor, v bode x 0 \u003d −3 nadobúda funkcia y \u003d x 2 + 6x + 13 najmenšiu hodnotu.

Odmocnina sa monotónne zvyšuje, takže x 0 je minimálny bod celej funkcie. Máme:

Úloha. Nájdite najmenšiu hodnotu funkcie:

y = log 2 (x 2 + 2x + 9)

Pod logaritmom je opäť kvadratická funkcia: y \u003d x 2 + 2x + 9. Graf je parabola s vetvami nahor, pretože a = 1 > 0.

Vrchol paraboly:

x 0 \u003d -b / (2a) \u003d -2 / (2 1) \u003d -2/2 \u003d -1

Takže v bode x 0 = −1 nadobudne kvadratická funkcia najmenšiu hodnotu. Ale funkcia y = log 2 x je monotónna, takže:

y min = y (−1) = log 2 ((−1) 2 + 2 (−1) + 9) = ... = log 2 8 = 3

Exponent je kvadratická funkcia y = 1 − 4x − x 2 . Prepíšme to do normálneho tvaru: y = −x 2 − 4x + 1.

Je zrejmé, že grafom tejto funkcie je parabola, ktorá sa vetví nadol (a = −1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:

x 0 = −b /(2a ) = −(−4)/(2 (−1)) = 4/(−2) = −2

Pôvodná funkcia je exponenciálna, je monotónna, takže najväčšia hodnota bude v nájdenom bode x 0 = −2:

Pozorný čitateľ si určite všimne, že sme nezapísali oblasť prípustných hodnôt koreňa a logaritmu. Nebolo to však potrebné: vo vnútri sú funkcie, ktorých hodnoty sú vždy pozitívne.

Dôsledky z rozsahu funkcie

Niekedy na vyriešenie problému B15 nestačí len nájsť vrchol paraboly. Požadovaná hodnota môže ležať na konci segmentu, ale nie v extrémnom bode. Ak úloha vôbec nešpecifikuje segment, pozrite sa na rozsah tolerancie pôvodná funkcia. menovite:

Venujte pozornosť znova: nula môže byť pod koreňom, ale nikdy nie v logaritme alebo menovateľovi zlomku. Pozrime sa, ako to funguje na konkrétnych príkladoch:

Úloha. Nájdite najväčšiu hodnotu funkcie:

Pod koreňom je opäť kvadratická funkcia: y \u003d 3 - 2x - x 2. Jeho graf je parabola, ale vetví sa nadol, pretože a = −1< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический Odmocnina zo záporného čísla neexistuje.

Vypíšeme oblasť prípustných hodnôt (ODZ):

3 − 2x − x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x − 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3) (x − 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; jeden]

Teraz nájdite vrchol paraboly:

x 0 = −b /(2a ) = −(−2)/(2 (−1)) = 2/(−2) = −1

Bod x 0 = −1 patrí do segmentu ODZ - a to je dobré. Teraz zvážime hodnotu funkcie v bode x 0, ako aj na koncoch ODZ:

y(-3) = y(1) = 0

Dostali sme teda čísla 2 a 0. Mali by sme nájsť najväčšie - toto je číslo 2.

Úloha. Nájdite najmenšiu hodnotu funkcie:

y = log 0,5 (6x - x 2 - 5)

Vo vnútri logaritmu je kvadratická funkcia y \u003d 6x - x 2 - 5. Toto je parabola s vetvami nadol, ale v logaritme nemôžu byť záporné čísla, takže vypíšeme ODZ:

6x − x 2 − 5 > 0 ⇒ x 2 − 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)

Pozor: nerovnosť je prísna, preto konce nepatria do ODZ. Týmto sa logaritmus líši od koreňa, kde nám konce segmentu celkom vyhovujú.

Hľadá sa vrchol paraboly:

x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 (−1)) = −6/(−2) = 3

Vrch paraboly zapadá pozdĺž ODZ: x 0 = 3 ∈ (1; 5). Ale keďže nás konce segmentu nezaujímajú, uvažujeme hodnotu funkcie iba v bode x 0:

y min = y (3) = log 0,5 (6 3 − 3 2 − 5) = log 0,5 (18 − 9 − 5) = log 0,5 4 = −2

V praxi je celkom bežné používať deriváciu na výpočet najväčšej a najmenšej hodnoty funkcie. Túto akciu vykonávame, keď zisťujeme, ako minimalizovať náklady, zvýšiť zisk, vypočítať optimálne zaťaženie výroby atď., To znamená v prípadoch, keď je potrebné určiť optimálnu hodnotu parametra. Na správne vyriešenie takýchto problémov je potrebné dobre pochopiť, aká je najväčšia a najmenšia hodnota funkcie.

Zvyčajne tieto hodnoty definujeme v rámci nejakého intervalu x, ktorý zase môže zodpovedať celému rozsahu funkcie alebo jej časti. Môže to byť buď segment [ a ; b ] a otvorený interval (a ; b) , (a ; b ] , [ a ; b) , nekonečný interval (a ; b), (a ; b ] , [ a ; b) alebo nekonečný interval - ∞ ; a , (- ∞ ; a ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; + ∞) .

V tomto článku vysvetlíme, ako sa explicitne vypočítavajú najväčšie a najmenšie hodnoty. danú funkciu s jednou premennou y=f(x) y = f (x) .

Základné definície

Začneme, ako vždy, formuláciou hlavných definícií.

Definícia 1

Najväčšia hodnota funkcie y = f (x) na nejakom intervale x je hodnota m a x y = f (x 0) x ∈ X , ktorá pre ľubovoľnú hodnotu x x ∈ X, x ≠ x 0 vytvára nerovnosť f (x ) ≤ f (x 0) .

Definícia 2

Najmenšia hodnota funkcie y = f (x) na nejakom intervale x je hodnota m i n x ∈ X y = f (x 0) , ktorá pre ľubovoľnú hodnotu x ∈ X , x ≠ x 0 vytvára nerovnosť f(X). f (x) ≥ f(x0) .

Tieto definície sú celkom zrejmé. Dá sa to povedať ešte jednoduchšie: najväčšia hodnota funkcie je jej najväčšia hodnota v známom intervale na osi x 0 a najmenšia je najmenšia akceptovaná hodnota v rovnakom intervale na x 0.

Definícia 3

Stacionárne body sú také hodnoty argumentu funkcie, pri ktorých sa jeho derivácia stáva 0.

Prečo potrebujeme vedieť, čo sú stacionárne body? Na zodpovedanie tejto otázky si musíme zapamätať Fermatovu vetu. Z neho vyplýva, že stacionárny bod je bod, v ktorom sa nachádza extrém diferencovateľnej funkcie (t. j. jej lokálne minimum alebo maximum). V dôsledku toho funkcia nadobudne najmenšiu alebo najväčšiu hodnotu na určitom intervale presne v jednom zo stacionárnych bodov.

Iná funkcia môže nadobudnúť najväčšiu alebo najmenšiu hodnotu v tých bodoch, v ktorých je samotná funkcia určitá a jej prvá derivácia neexistuje.

Prvá otázka, ktorá vyvstáva pri štúdiu tejto témy, je: môžeme vo všetkých prípadoch určiť maximálnu alebo minimálnu hodnotu funkcie na danom intervale? Nie, nemôžeme to urobiť, keď sa hranice daného intervalu budú zhodovať s hranicami definičného oboru, alebo ak máme do činenia s nekonečným intervalom. Stáva sa tiež, že funkcia v danom intervale alebo v nekonečne nadobudne nekonečne malé alebo nekonečne veľké hodnoty. V týchto prípadoch nie je možné určiť najväčšiu a/alebo najmenšiu hodnotu.

Tieto momenty budú zrozumiteľnejšie po obrázku na grafoch:

Prvý obrázok nám ukazuje funkciu, ktorá zaberá najväčšie a najmenšia hodnota(m a x y a m i n y) v stacionárnych bodoch umiestnených na segmente [ - 6 ; 6].

Pozrime sa podrobne na prípad uvedený v druhom grafe. Zmeňme hodnotu segmentu na [ 1 ; 6] a dostaneme, že najväčšiu hodnotu funkcie dosiahneme v bode s úsečkou na pravej hranici intervalu a najmenšiu v stacionárnom bode.

Na treťom obrázku úsečky bodov predstavujú hraničné body segmentu [ - 3 ; 2]. Zodpovedajú najväčšej a najmenšej hodnote danej funkcie.

Teraz sa pozrime na štvrtý obrázok. V ňom funkcia naberá m a x y (najväčšiu hodnotu) a m i n y (najmenšiu hodnotu) v stacionárnych bodoch v otvorenom intervale (- 6 ; 6) .

Ak vezmeme interval [ 1 ; 6) , potom môžeme povedať, že najmenšiu hodnotu funkcie na ňom dosiahneme v stacionárnom bode. Maximálnu hodnotu sa nedozvieme. Funkcia môže nadobudnúť najväčšiu hodnotu pri x rovnú 6, ak x = 6 patrí do intervalu. Práve tento prípad je znázornený na obrázku 5.

Na grafe 6 táto funkcia nadobúda najmenšiu hodnotu na pravej hranici intervalu (- 3 ; 2 ] a o najväčšej hodnote nemôžeme vyvodiť jednoznačné závery.

Na obrázku 7 vidíme, že funkcia bude mať ma x y v stacionárnom bode s osou rovnajúcou sa 1 . Funkcia dosiahne svoju minimálnu hodnotu na hranici intervalu na pravej strane. V mínus nekonečne sa hodnoty funkcie asymptoticky priblížia k y = 3.

Ak vezmeme interval x ∈ 2 ; + ∞ , potom uvidíme, že daná funkcia nenadobudne ani najmenšiu, ani najväčšiu hodnotu. Ak má x tendenciu k 2, potom hodnoty funkcie budú mať tendenciu k mínus nekonečnu, pretože priamka x = 2 je vertikálna asymptota. Ak má abscisa tendenciu k plus nekonečnu, potom sa hodnoty funkcie asymptoticky priblížia k y = 3. Toto je prípad znázornený na obrázku 8.

V tomto odseku uvedieme postupnosť akcií, ktoré je potrebné vykonať, aby sme našli najväčšiu alebo najmenšiu hodnotu funkcie v určitom intervale.

1. Najprv nájdime doménu funkcie. Skontrolujeme, či je v nej zahrnutý segment uvedený v podmienke.
2. Teraz vypočítajme body obsiahnuté v tomto segmente, v ktorých prvá derivácia neexistuje. Najčastejšie ich nájdeme vo funkciách, ktorých argument je zapísaný pod znamienkom modulu, alebo v mocninných funkciách, ktorých exponentom je zlomkové racionálne číslo.
3. Ďalej zistíme, ktoré stacionárne body spadajú do daného segmentu. Aby ste to dosiahli, musíte vypočítať deriváciu funkcie, potom ju prirovnať k 0 a vyriešiť výslednú rovnicu a potom vybrať príslušné korene. Ak nedostaneme ani jeden stacionárny bod alebo nespadajú do daného segmentu, tak prejdeme k ďalšiemu kroku.
4. Určme, aké hodnoty bude mať funkcia v daných stacionárnych bodoch (ak existujú), alebo v tých bodoch, kde prvá derivácia neexistuje (ak existuje), alebo vypočítame hodnoty pre x = a a x = b.
5. 5. Máme sériu funkčných hodnôt, z ktorých teraz musíme vybrať najväčšiu a najmenšiu. Toto bude najväčšia a najmenšia hodnota funkcie, ktorú musíme nájsť.

Pozrime sa, ako správne aplikovať tento algoritmus pri riešení problémov.

Príklad 1

podmienka: je daná funkcia y = x 3 + 4 x 2. Určte jeho najväčšiu a najmenšiu hodnotu na segmentoch [1; 4] a [-4; - jeden].

Riešenie:

Začnime hľadaním domény tejto funkcie. V tomto prípade to bude množina všetkých reálnych čísel okrem 0 . Inými slovami, D (y): x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; +∞ . Obidva segmenty špecifikované v podmienke budú vo vnútri oblasti definície.

Teraz vypočítame deriváciu funkcie podľa pravidla o derivácii zlomku:

y "= x 3 + 4 x 2" = x 3 + 4 " x 2 - x 3 + 4 x 2" x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 x x 4 = x 3 - 8 x 3

Dozvedeli sme sa, že derivácia funkcie bude existovať vo všetkých bodoch segmentov [1; 4] a [-4; - jeden].

Teraz musíme určiť stacionárne body funkcie. Urobme to s rovnicou x 3 - 8 x 3 = 0. Má iba jeden skutočný koreň, ktorým je 2. Bude to stacionárny bod funkcie a bude spadať do prvého segmentu [1; štyri].

Vypočítajme hodnoty funkcie na koncoch prvého segmentu a v danom bode, t.j. pre x = 1 , x = 2 a x = 4:

y(1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y(2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y(4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

Dosiahli sme, že najväčšia hodnota funkcie m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 dosiahneme pri x = 1 a najmenšie m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 – pri x = 2 .

Druhý segment neobsahuje žiadne stacionárne body, takže musíme vypočítať funkčné hodnoty iba na koncoch daného segmentu:

y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3

Preto m a x y x ∈ [ - 4; -1] = y (-1) = 3, m i n y x ∈ [ - 4; -1] = y (-4) = -334.

odpoveď: Pre segment [1; 4] - ma x y x ∈ [1; 4] = y (2) = 3, m n y x ∈ [ 1; 4 ] = y (2) = 3, pre segment [ - 4 ; -1] - ma x y x ∈ [ - 4; -1] = y (-1) = 3, m i n y x ∈ [ - 4; -1] = y (-4) = -334.

Pozri obrázok:

Skôr ako sa naučíte túto metódu, odporúčame vám, aby ste si preštudovali, ako správne vypočítať jednostrannú hranicu a hranicu v nekonečne, ako aj naučiť sa základné metódy na ich nájdenie. Aby sme našli najväčšiu a/alebo najmenšiu hodnotu funkcie na otvorenom alebo nekonečnom intervale, vykonáme nasledujúce kroky v poradí.

1. Najprv je potrebné skontrolovať, či daný interval bude podmnožinou domény danej funkcie.
2. Určme všetky body, ktoré sú obsiahnuté v požadovanom intervale a v ktorých prvá derivácia neexistuje. Zvyčajne sa vyskytujú vo funkciách, kde je argument uzavretý v znamienku modulu, a v mocninných funkciách s čiastočne racionálnym exponentom. Ak tieto body chýbajú, môžete prejsť na ďalší krok.
3. Teraz určíme, ktoré stacionárne body spadajú do daného intervalu. Najprv vyrovnáme deriváciu s 0, vyriešime rovnicu a nájdeme vhodné korene. Ak nemáme ani jeden stacionárny bod alebo nespadajú do určeného intervalu, tak okamžite pristúpime k ďalším úkonom. Sú určené typom intervalu.

• Ak interval vyzerá ako [ a ; b) , potom potrebujeme vypočítať hodnotu funkcie v bode x = a a jednostrannú limitu lim x → b - 0 f (x) .
• Ak má interval tvar (a ; b ] , tak musíme vypočítať hodnotu funkcie v bode x = b a jednostrannú limitu lim x → a + 0 f (x) .
• Ak má interval tvar (a ; b) , tak musíme vypočítať jednostranné limity lim x → b - 0 f (x) , lim x → a + 0 f (x) .
• Ak interval vyzerá ako [ a ; + ∞) , potom je potrebné vypočítať hodnotu v bode x = a a limitu do plus nekonečna lim x → + ∞ f (x) .
• Ak interval vyzerá takto (- ∞ ; b ] , vypočítame hodnotu v bode x = b a limitu v mínus nekonečne lim x → - ∞ f (x) .
• Ak - ∞ ; b , potom uvažujeme jednostrannú limitu lim x → b - 0 f (x) a limitu v mínus nekonečne lim x → - ∞ f (x)
• Ak - ∞ ; + ∞ , potom uvažujeme limity do mínus a plus nekonečna lim x → + ∞ f (x) , lim x → - ∞ f (x) .

1. Nakoniec musíte vyvodiť záver na základe získaných hodnôt funkcie a limitov. Možností je tu veľa. Ak sa teda jednostranná limita rovná mínus nekonečnu alebo plus nekonečnu, potom je hneď jasné, že o najmenšej a najväčšej hodnote funkcie sa nedá nič povedať. Nižšie sa pozrieme na jeden typický príklad. Podrobné popisy pomôže vám pochopiť, čo je čo. V prípade potreby sa môžete vrátiť k obrázkom 4 - 8 v prvej časti materiálu.

Príklad 2

Podmienka: je daná funkcia y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 . Vypočítajte jeho najväčšiu a najmenšiu hodnotu v intervaloch - ∞ ; - 4, - ∞; -3, (-3; 1], (-3; 2), [1; 2), 2; + ∞, [4; +∞).

Riešenie

Najprv nájdeme doménu funkcie. Menovateľ zlomku je štvorcová trojčlenka, ktorá by nemala smerovať k 0:

x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y) : x ∈ (- ∞ ; - 3) ∪ (- 3 ; 2) ∪ (2 ; + ∞)

Získali sme rozsah funkcie, do ktorej patria všetky intervaly uvedené v podmienke.

Teraz rozlíšime funkciu a získame:

y "= 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4" = 3 e 1 x 2 + x - 6 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6 " == 3 e 1 x 2 + x - 6 1 "x 2 + x - 6 - 1 x 2 + x - 6" (x 2 + x - 6) 2 = - 3 (2 x + 1) e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2

V dôsledku toho existujú derivácie funkcie v celej oblasti jej definície.

Prejdime k hľadaniu stacionárnych bodov. Derivácia funkcie sa stane 0 v x = -1 2 . Ide o stacionárny bod, ktorý je v intervaloch (- 3 ; 1 ] a (- 3 ; 2) .

Vypočítajme hodnotu funkcie v x = - 4 pre interval (- ∞ ; - 4 ] , ako aj limitu v mínus nekonečne:

y (- 4) \u003d 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 \u003d 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0. 456 lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 = 3 e 0 - 4 = - 1

Keďže 3 e 1 6 - 4 > - 1, potom m a x y x ∈ (- ∞ ; - 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4. To nám neumožňuje jednoznačne určiť najmenšiu hodnotu funkcie. Môžeme len dospieť k záveru, že existuje limit pod -1, pretože práve k tejto hodnote sa funkcia približuje asymptoticky v mínus nekonečne.

Charakteristickým znakom druhého intervalu je, že nemá jediný stacionárny bod a ani jednu prísnu hranicu. Preto nemôžeme vypočítať ani najväčšiu, ani najmenšiu hodnotu funkcie. Definovaním limitu v mínus nekonečne a ako má argument tendenciu - 3 na ľavej strane, dostaneme iba rozsah hodnôt:

lim x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

To znamená, že hodnoty funkcie sa budú nachádzať v intervale - 1 ; +∞

Aby sme našli maximálnu hodnotu funkcie v treťom intervale, určíme jej hodnotu v stacionárnom bode x = - 1 2 ak x = 1 . Potrebujeme tiež poznať jednostrannú hranicu pre prípad, keď má argument tendenciu - 3 na pravej strane:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 y (1) = 3 e 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1 . 644 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (- 0) - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

Ukázalo sa, že funkcia nadobudne najväčšiu hodnotu v stacionárnom bode m a x y x ∈ (3 ; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4. Čo sa týka najmenšej hodnoty, nevieme ju určiť. viem, je prítomnosť dolnej hranice do -4.

Pre interval (- 3 ; 2) vezmime výsledky predchádzajúceho výpočtu a ešte raz vypočítame, čomu sa rovná jednostranná hranica pri sklone k 2 z ľavej strany:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e - 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 lim x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

Preto m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4 a najmenšiu hodnotu nemožno určiť a hodnoty funkcie sú zdola ohraničené číslom - 4 .

Na základe toho, čo sme urobili v predchádzajúcich dvoch výpočtoch, môžeme tvrdiť, že na intervale [ 1 ; 2) funkcia nadobudne najväčšiu hodnotu pri x = 1 a nie je možné nájsť najmenšiu.

Na intervale (2 ; + ∞) funkcia nedosiahne ani najväčšiu, ani najmenšiu hodnotu, t.j. bude nadobúdať hodnoty z intervalu - 1 ; +∞ .

lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Keď vypočítame, aká bude hodnota funkcie pri x = 4, zistíme, že m a x y x ∈ [ 4 ; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 a daná funkcia v plus nekonečne sa bude asymptoticky blížiť k priamke y = - 1 .

Porovnajme to, čo sme dostali pri každom výpočte, s grafom danej funkcie. Na obrázku sú asymptoty znázornené bodkovanými čiarami.

To je všetko, čo sme chceli hovoriť o hľadaní najväčšej a najmenšej hodnoty funkcie. Postupnosti akcií, ktoré sme uviedli, vám pomôžu urobiť potrebné výpočty čo najrýchlejšie a najjednoduchšie. Pamätajte však, že často je užitočné najprv zistiť, v akých intervaloch bude funkcia klesať a v akých intervaloch sa bude zvyšovať, a potom je možné vyvodiť ďalšie závery. Môžete tak presnejšie určiť najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie a zdôvodniť výsledky.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

S touto službou môžete nájsť najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie jedna premenná f(x) s návrhom riešenia vo Worde. Ak je teda daná funkcia f(x,y), je potrebné nájsť extrém funkcie dvoch premenných . Môžete tiež nájsť intervaly nárastu a poklesu funkcie.

Pravidlá zadávania funkcií:

Nevyhnutná podmienka pre extrém funkcie jednej premennej

Rovnica f "0 (x *) \u003d 0 je nevyhnutnou podmienkou pre extrém funkcie jednej premennej, t.j. v bode x * musí prvá derivácia funkcie zaniknúť. Vyberá stacionárne body x c, v ktorých funkcia nezvyšuje a neznižuje sa .

Postačujúca podmienka pre extrém funkcie jednej premennej

Nech f 0 (x) je dvakrát diferencovateľné vzhľadom na x patriace do množiny D . Ak je v bode x * splnená podmienka:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

Potom bod x * je bodom lokálneho (globálneho) minima funkcie.

Ak je v bode x * splnená podmienka:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0

Ten bod x * je lokálne (globálne) maximum.

Príklad č. 1. Nájdite najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie: na segmente .
Riešenie.

Kritický bod je jeden x 1 = 2 (f'(x)=0). Tento bod patrí do segmentu . (Bod x=0 nie je kritický, pretože 0∉).
Vypočítame hodnoty funkcie na koncoch segmentu a v kritickom bode.
f(1)=9, f(2)= 5/2, f(3)=3 8/81
Odpoveď: f min = 5 / 2 pre x = 2; f max = 9 pri x = 1

Príklad č. 2. Pomocou derivácií vyššieho rádu nájdite extrém funkcie y=x-2sin(x) .
Riešenie.
Nájdite deriváciu funkcie: y’=1-2cos(x) . Nájdite kritické body: 1-cos(x)=2, cos(x)=1, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Nájdeme y''=2sin(x), vypočítame, takže x= π / 3 +2πk, k∈Z sú minimálne body funkcie; , takže x=- π / 3 +2πk, k∈Z sú maximálne body funkcie.

Príklad č. 3. Preskúmajte extrémnu funkciu v okolí bodu x=0.
Riešenie. Tu je potrebné nájsť extrémy funkcie. Ak extrém x=0 , zistite jeho typ (minimum alebo maximum). Ak medzi nájdenými bodmi nie je x = 0, vypočítajte hodnotu funkcie f(x=0).
Treba si uvedomiť, že keď derivácia na každej strane daného bodu nemení svoje znamienko, nie sú možné situácie vyčerpané ani pre diferencovateľné funkcie: môže sa stať, že pre ľubovoľne malé okolie na jednej strane bodu x 0 resp. na oboch stranách derivácia mení znamienko. V týchto bodoch je potrebné použiť iné metódy na štúdium funkcií do extrému.

Príklad č. 4. Rozdeľte číslo 49 na dva členy, ktorých súčin bude najväčší.
Riešenie. Nech x je prvý člen. Potom (49-x) je druhý člen.
Produkt bude maximálny: x (49-x) → max

Z praktického hľadiska je najzaujímavejšie použitie derivácie na nájdenie najväčšej a najmenšej hodnoty funkcie. S čím to súvisí? Maximalizácia zisku, minimalizácia nákladov, určenie optimálneho zaťaženia zariadení... Inými slovami, v mnohých oblastiach života treba riešiť problém optimalizácie niektorých parametrov. A to je problém nájsť najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie.

Treba si uvedomiť, že najväčšia a najmenšia hodnota funkcie sa zvyčajne hľadá na nejakom intervale X , čo je buď celý definičný obor funkcie alebo časť definičného oboru. Samotný interval X môže byť úsečka, otvorený interval , nekonečný interval .

V tomto článku budeme hovoriť o hľadaní najväčších a najmenších hodnôt explicitne danej funkcie jednej premennej y=f(x) .

Navigácia na stránke.

Najväčšia a najmenšia hodnota funkcie - definície, ilustrácie.

Zastavme sa krátko pri hlavných definíciách.

Najväčšia hodnota funkcie , ktorý pre hociktorý nerovnosť je pravdivá.

Najmenšia hodnota funkcie y=f(x) na intervale X sa nazýva takáto hodnota , ktorý pre hociktorý nerovnosť je pravdivá.

Tieto definície sú intuitívne: najväčšia (najmenšia) hodnota funkcie je najväčšia (najmenšia) hodnota prijatá na uvažovanom intervale s osou x.

Stacionárne body sú hodnoty argumentu, pri ktorom derivácia funkcie zaniká.

Prečo potrebujeme stacionárne body pri hľadaní najväčších a najmenších hodnôt? Odpoveď na túto otázku dáva Fermatova veta. Z tejto vety vyplýva, že ak má diferencovateľná funkcia v určitom bode extrém (lokálne minimum alebo lokálne maximum), potom je tento bod stacionárny. Funkcia teda často nadobúda svoju maximálnu (najmenšiu) hodnotu na intervale X v jednom zo stacionárnych bodov z tohto intervalu.

Funkcia môže tiež často nadobúdať najväčšie a najmenšie hodnoty v bodoch, kde prvá derivácia tejto funkcie neexistuje a je definovaná samotná funkcia.

Hneď si odpovedzme na jednu z najčastejších otázok na túto tému: „Je vždy možné určiť najväčšiu (najmenšiu) hodnotu funkcie“? Nie vždy. Niekedy sa hranice intervalu X zhodujú s hranicami definičného oboru funkcie alebo je interval X nekonečný. A niektoré funkcie v nekonečne a na hraniciach oblasti definície môžu nadobúdať nekonečne veľké aj nekonečne malé hodnoty. V týchto prípadoch nemožno nič povedať o najväčšej a najmenšej hodnote funkcie.

Pre prehľadnosť uvádzame grafické znázornenie. Pozrite sa na obrázky - a veľa bude jasné.

Na segmente

Na prvom obrázku funkcia naberá najväčšie (max y) a najmenšie (min y) hodnoty v stacionárnych bodoch vo vnútri segmentu [-6;6].

Zvážte prípad zobrazený na druhom obrázku. Zmeňte segment na . V tomto príklade sa najmenšia hodnota funkcie dosiahne v stacionárnom bode a najväčšia - v bode s osou zodpovedajúcou pravej hranici intervalu.

Na obrázku č. 3 sú hraničné body úsečky [-3; 2] úsečkami bodov zodpovedajúcich najväčšej a najmenšej hodnote funkcie.

Vo voľnom výbehu

Na štvrtom obrázku funkcia naberá najväčšie (max y) a najmenšie (min y) hodnoty v stacionárnych bodoch v rámci otvoreného intervalu (-6;6).

Pri intervale nemožno vyvodiť závery o najväčšej hodnote.

V nekonečne

V príklade znázornenom na siedmom obrázku má funkcia najväčšiu hodnotu (max y ) v stacionárnom bode s os x=1 a najmenšiu hodnotu (min y ) dosiahne na pravej hranici intervalu. V mínus nekonečne sa hodnoty funkcie asymptoticky blížia k y=3.

Na intervale funkcia nedosahuje ani najmenšiu, ani najväčšiu hodnotu. Keďže x=2 smeruje doprava, funkčné hodnoty majú tendenciu k mínus nekonečnu (priama čiara x=2 je vertikálna asymptota) a keďže úsečka smeruje k plus nekonečnu, funkčné hodnoty sa asymptoticky približujú k y=3 . Grafické znázornenie tohto príkladu je znázornené na obrázku 8.

Algoritmus na nájdenie najväčších a najmenších hodnôt spojitej funkcie na segmente.

Napíšeme algoritmus, ktorý nám umožní nájsť najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie na segmente.

1. Nájdeme doménu funkcie a skontrolujeme, či obsahuje celý segment.
2. Nájdeme všetky body, v ktorých prvá derivácia neexistuje a ktoré sú obsiahnuté v segmente (zvyčajne sa takéto body vyskytujú vo funkciách s argumentom pod znamienkom modulu a v mocninných funkciách s zlomkovo-racionálnym exponentom). Ak takéto body neexistujú, prejdite na ďalší bod.
3. Určujeme všetky stacionárne body, ktoré spadajú do segmentu. Aby sme to urobili, vyrovnáme sa nule, vyriešime výslednú rovnicu a vyberieme vhodné korene. Ak neexistujú žiadne stacionárne body alebo žiadny z nich nespadá do segmentu, prejdite na ďalší krok.
4. Hodnoty funkcie vypočítame vo vybraných stacionárnych bodoch (ak existujú), v bodoch, kde prvá derivácia neexistuje (ak existuje), a tiež v x=a a x=b.
5. Zo získaných hodnôt funkcie vyberieme najväčšiu a najmenšiu - budú to požadované maximálne a najmenšie hodnoty funkcie.

Poďme analyzovať algoritmus pri riešení príkladu na nájdenie najväčších a najmenších hodnôt funkcie na segmente.

Príklad.

Nájdite najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie

• na segmente;
• na intervale [-4;-1] .

Riešenie.

Definičný obor funkcie je celá množina reálnych čísel okrem nuly, teda . Oba segmenty spadajú do oblasti definície.

Nájdeme deriváciu funkcie vzhľadom na:

Je zrejmé, že derivácia funkcie existuje vo všetkých bodoch segmentov a [-4;-1] .

Stacionárne body sa určia z rovnice . Jediný skutočný koreň je x=2 . Tento stacionárny bod spadá do prvého segmentu.

V prvom prípade vypočítame hodnoty funkcie na koncoch segmentu a v stacionárnom bode, teda pre x=1, x=2 a x=4:

Preto najväčšia hodnota funkcie sa dosiahne pri x=1 a najmenšia hodnota – pri x=2.

V druhom prípade vypočítame hodnoty funkcie iba na koncoch segmentu [-4;-1] (keďže neobsahuje jediný stacionárny bod):

Riešenie.

Začnime rozsahom funkcie. Štvorcová trojčlenka v menovateli zlomku nesmie zaniknúť:

Je ľahké skontrolovať, či všetky intervaly z podmienky problému patria do domény funkcie.

Rozlišujme funkciu:

Je zrejmé, že derivácia existuje v celej doméne funkcie.

Nájdite stacionárne body. Derivát zmizne o . Tento stacionárny bod spadá do intervalov (-3;1] a (-3;2) .

A teraz môžete porovnať výsledky získané v každom bode s grafom funkcie. Modré bodkované čiary označujú asymptoty.

Môže to skončiť nájdením najväčšej a najmenšej hodnoty funkcie. Algoritmy opísané v tomto článku vám umožňujú dosiahnuť výsledky s minimom akcií. Môže však byť užitočné najskôr určiť intervaly nárastu a poklesu funkcie a až potom vyvodiť závery o najväčšej a najmenšej hodnote funkcie na ľubovoľnom intervale. To poskytuje jasnejší obraz a presné zdôvodnenie výsledkov.