- broj dječaka među 10 novorođenčadi.
Sasvim je jasno da se taj broj ne zna unaprijed, a u narednih desetoro rođene djece može biti:
Ili momci - jedan i jedini od navedenih opcija.
I, kako biste ostali u formi, malo fizičkog vaspitanja:
- daljina skoka u dalj (u nekim jedinicama).
Ni majstor sporta to ne može predvidjeti :)
Međutim, koje su vaše hipoteze?
2) Kontinuirana slučajna varijabla - uzima sve numeričke vrijednosti iz nekog konačnog ili beskonačnog raspona.
Bilješka : u obrazovnoj literaturi popularne su skraćenice DSV i NSV
Prvo, analizirajmo diskretnu slučajnu varijablu, a zatim - kontinuirano.
Zakon distribucije diskretne slučajne varijable
- Ovo udobnost između mogućih vrijednosti ove veličine i njihovih vjerovatnoća. Zakon je najčešće zapisan u tabeli: 
Termin je prilično uobičajen red
distribucija, ali u nekim situacijama zvuči dvosmisleno i zato ću se pridržavati "zakona".
I sada veoma važna tačka: od slučajne varijable obavezno prihvatiće jedna od vrednosti, zatim se formiraju odgovarajući događaji puna grupa a zbir vjerovatnoća njihovog pojavljivanja jednak je jedan:
ili, ako je napisano presavijeno:
Tako, na primjer, zakon raspodjele vjerovatnoća bodova na kocki ima sljedeći oblik: 
Bez komentara.
Možda ste pod utiskom da diskretna slučajna varijabla može poprimiti samo "dobre" cjelobrojne vrijednosti. Razbijmo iluziju - mogu biti bilo šta:
Primjer 1
Neke igre imaju sljedeći zakon o raspodjeli isplata: 
...vjerovatno dugo sanjate o takvim zadacima :) Da vam otkrijem jednu tajnu - i ja. Pogotovo nakon završetka radova teorija polja.
Odluka: budući da slučajna varijabla može uzeti samo jednu od tri vrijednosti, formiraju se odgovarajući događaji puna grupa, što znači da je zbir njihovih vjerovatnoća jednak jedan: 
Izlažemo "partizan": 
– dakle, vjerovatnoća osvajanja konvencionalnih jedinica je 0,4.
Kontrola: šta treba da budete sigurni.
Odgovori:
Nije neuobičajeno kada zakon o raspodjeli treba samostalno sastaviti. Za ovu upotrebu klasična definicija vjerovatnoće, teoreme množenja/sabiranja za vjerovatnoće događaja i drugi čips tervera:
Primjer 2
U kutiji se nalazi 50 lutrijskih listića, od kojih je 12 dobitnih, a 2 od njih osvajaju po 1000 rubalja, a ostale - po 100 rubalja. Nacrtajte zakon raspodjele slučajne varijable - veličinu dobitka, ako se iz kutije nasumično izvuče jedan listić.
Odluka: kao što ste primijetili, uobičajeno je da se vrijednosti slučajne varijable stavljaju u rastući red. Stoga počinjemo s najmanjim dobicima, odnosno rubljama.
Ukupno ima 50 - 12 = 38 takvih karata, a prema klasična definicija:
je vjerovatnoća da slučajno izvučeni listić neće pobijediti.
Ostali slučajevi su jednostavni. Vjerovatnoća osvajanja rublja je:
Provjera: - a ovo je posebno prijatan trenutak ovakvih zadataka!
Odgovori: zakon o potrebnoj raspodjeli isplata: 
Sljedeći zadatak za samostalnu odluku:
Primjer 3
Vjerovatnoća da će strijelac pogoditi metu je . Napravite zakon raspodjele za slučajnu varijablu - broj pogodaka nakon 2 hica.
... Znao sam da ti nedostaje :) Sjećamo se teoreme množenja i sabiranja. Rješenje i odgovor na kraju lekcije.
Zakon distribucije u potpunosti opisuje slučajnu varijablu, ali u praksi je korisno (a ponekad i korisnije) znati samo dio nje. numeričke karakteristike .
Matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable
Jednostavno rečeno, ovo prosječna očekivana vrijednost sa ponovljenim testiranjem. Neka slučajna varijabla uzima vrijednosti sa vjerovatnoćama 
respektivno. Tada je matematičko očekivanje ove slučajne varijable jednako zbroj proizvoda sve njegove vrijednosti prema odgovarajućim vjerovatnoćama:
ili u presavijenom obliku: 
Izračunajmo, na primjer, matematičko očekivanje slučajne varijable - broj bodova ispuštenih na kocki:
Sada se prisjetimo naše hipotetičke igre: 
Postavlja se pitanje da li je uopšte isplativo igrati ovu igru? ...ko ima kakve utiske? Dakle, ne možete reći "nasumično"! Ali na ovo se pitanje može lako odgovoriti izračunavanjem matematičkog očekivanja, u suštini - prosjećna težina vjerovatnoce pobjede:
Dakle, matematičko očekivanje ove igre gubljenje.
Ne vjerujte utiscima - vjerujte brojevima!
Da, ovdje možete pobijediti 10 ili čak 20-30 puta uzastopno, ali dugoročno ćemo neminovno biti uništeni. I ne bih ti savjetovao da igraš takve igrice :) Pa, možda samo za zabavu.
Iz svega navedenog proizilazi da matematičko očekivanje NIJE SLUČAJNA vrijednost.
Kreativni zadatak za samostalno istraživanje:
Primjer 4
G. X igra evropski rulet po sledećem sistemu: stalno kladi 100 rubalja na crveno. Sastavite zakon raspodjele slučajne varijable - njenu isplatu. Izračunajte matematičko očekivanje dobitaka i zaokružite ga na kopejke. Koliko prosjek gubi li igrač za svakih sto opklada?
Referenca : Evropski rulet sadrži 18 crvenih, 18 crnih i 1 zeleni sektor ("nula"). U slučaju ispadanja "crvenog" igraču se plaća dupla opklada, u suprotnom ide u prihod kasina
Postoje mnogi drugi sistemi ruleta za koje možete kreirati sopstvene tabele verovatnoće. Ali to je slučaj kada nam nisu potrebni nikakvi zakoni distribucije i tabele, jer je sigurno utvrđeno da će matematička očekivanja igrača biti potpuno ista. Samo promjene od sistema do sistema
Karakteristike DSW-a i njihova svojstva. Matematičko očekivanje, varijansa, standardna devijacija
Zakon raspodjele u potpunosti karakterizira slučajnu varijablu. Međutim, kada je nemoguće pronaći zakon raspodjele, ili to nije potrebno, može se ograničiti na pronalaženje vrijednosti, koje se nazivaju numeričke karakteristike slučajne varijable. Ove vrijednosti određuju neku prosječnu vrijednost oko koje se grupišu vrijednosti slučajne varijable i stepen njihove disperzije oko ove prosječne vrijednosti.
matematičko očekivanje Diskretna slučajna varijabla je zbir proizvoda svih mogućih vrijednosti slučajne varijable i njihovih vjerovatnoća.
Matematičko očekivanje postoji ako se niz na desnoj strani jednakosti apsolutno konvergira.
Sa stanovišta vjerovatnoće, možemo reći da je matematičko očekivanje približno jednako aritmetičkoj sredini posmatranih vrijednosti slučajne varijable.
Primjer. Poznat je zakon raspodjele diskretne slučajne varijable. Pronađite matematičko očekivanje.
| X | ||||
| str | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.4 |
Odluka:
9.2 Svojstva očekivanja
1. Matematičko očekivanje konstantne vrijednosti jednako je samoj konstanti.
2. Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka očekivanja. 
3. Matematičko očekivanje proizvoda dvije nezavisne slučajne varijable jednako je proizvodu njihovih matematičkih očekivanja.
Ovo svojstvo vrijedi za proizvoljan broj slučajnih varijabli.
4. Matematičko očekivanje zbira dvije slučajne varijable jednako je zbiru matematičkih očekivanja pojmova.
Ovo svojstvo vrijedi i za proizvoljan broj slučajnih varijabli.
Neka se izvede n nezavisnih pokušaja, vjerovatnoća pojave događaja A u kojem je jednaka p.
Teorema. Matematičko očekivanje M(X) broja pojavljivanja događaja A u n nezavisnih pokušaja jednako je proizvodu broja pokušaja i vjerovatnoće pojave događaja u svakom pokušaju.
Primjer. Pronađite matematičko očekivanje slučajne varijable Z ako su poznata matematička očekivanja za X i Y: M(X)=3, M(Y)=2, Z=2X+3Y.
Odluka:
9.3 Disperzija diskretne slučajne varijable
Međutim, matematičko očekivanje ne može u potpunosti okarakterizirati slučajni proces. Pored matematičkog očekivanja, potrebno je uvesti vrijednost koja karakterizira odstupanje vrijednosti slučajne varijable od matematičkog očekivanja.
Ovo odstupanje je jednako razlici između slučajne varijable i njenog matematičkog očekivanja. U ovom slučaju, matematičko očekivanje odstupanja je nula. To se objašnjava činjenicom da su neka moguća odstupanja pozitivna, druga negativna, a kao rezultat njihovog međusobnog poništavanja dobija se nula.
disperzija (raspršenje) Diskretna slučajna varijabla naziva se matematičko očekivanje kvadratnog odstupanja slučajne varijable od njenog matematičkog očekivanja.
U praksi je ovaj način izračunavanja varijanse nezgodan, jer dovodi do glomaznih proračuna za veliki broj vrijednosti slučajne varijable.
Stoga se koristi druga metoda.
Teorema. Varijanca je jednaka razlici između matematičkog očekivanja kvadrata slučajne varijable X i kvadrata njenog matematičkog očekivanja.
Dokaz. Uzimajući u obzir činjenicu da su matematičko očekivanje M (X) i kvadrat matematičkog očekivanja M 2 (X) konstantne vrijednosti, možemo napisati:
Primjer. Pronađite varijansu diskretne slučajne varijable date zakonom raspodjele.
| X | ||||
| X 2 | ||||
| R | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.4 |
Odluka: .
9.4 Svojstva disperzije
1. Disperzija konstantne vrijednosti je nula. .
2. Konstantni faktor se može izvaditi iz znaka disperzije kvadriranjem. 
.
3. Varijanca zbira dvije nezavisne slučajne varijable jednaka je zbiru varijansi ovih varijabli. .
4. Varijanca razlike dvije nezavisne slučajne varijable jednaka je zbiru varijansi ovih varijabli. .
Teorema. Varijanca broja pojavljivanja događaja A u n nezavisnih pokušaja, u svakom od kojih je vjerovatnoća p da će se događaj dogoditi konstantna, jednaka je umnošku broja pokušaja i vjerovatnoće pojave i nepojave događaja u svakom suđenju.
9.5 Standardna devijacija diskretne slučajne varijable
Standardna devijacija slučajna varijabla X naziva se kvadratni korijen varijanse.
Teorema. Standardna devijacija sume konačnog broja međusobno nezavisnih slučajnih varijabli jednaka je kvadratnom korijenu sume kvadrata standardnih devijacija ovih varijabli.
Tu će biti i zadaci za samostalno rješenje na koje možete vidjeti odgovore.
Matematičko očekivanje i varijansa su najčešće korištene numeričke karakteristike slučajne varijable. Oni karakterišu najvažnije karakteristike distribucije: njen položaj i stepen disperzije. Matematičko očekivanje se često naziva jednostavno srednja vrijednost. slučajna varijabla. Disperzija slučajne varijable - karakteristika disperzije, disperzija slučajne varijable oko svog matematičkog očekivanja.
U mnogim problemima prakse, potpun, iscrpan opis slučajne varijable - zakona raspodjele - ili se ne može dobiti, ili uopće nije potreban. U ovim slučajevima, oni su ograničeni na približan opis slučajne varijable koristeći numeričke karakteristike.
Matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable
Hajdemo do koncepta matematičkog očekivanja. Neka je masa neke supstance raspoređena između tačaka x-ose x1 , x 2 , ..., x n. Štaviše, svaka materijalna tačka ima masu koja joj odgovara sa verovatnoćom od str1 , str 2 , ..., str n. Potrebno je izabrati jednu tačku na x-osi, koja karakteriše položaj čitavog sistema materijalnih tačaka, uzimajući u obzir njihove mase. Prirodno je kao takvu tačku uzeti centar mase sistema materijalnih tačaka. Ovo je ponderisani prosjek slučajne varijable X, u kojoj je apscisa svake tačke xi ulazi sa "težinom" jednakom odgovarajućoj vjerovatnoći. Srednja vrijednost tako dobijene slučajne varijable X naziva se njeno matematičko očekivanje.
Matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable je zbir proizvoda svih mogućih vrijednosti i vjerovatnoća ovih vrijednosti:
Primjer 1 Organizirana je dobitna lutrija. Ima 1000 dobitaka, od kojih je 400 po 10 rubalja. 300 - 20 rubalja svaki 200 - 100 rubalja svaki. i po 100 - 200 rubalja. Koliki je prosječan dobitak za osobu koja kupi jednu kartu?
Odluka. Prosječan dobitak ćemo pronaći ako se ukupan iznos dobitka, koji je jednak 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50.000 rubalja, podijeli sa 1000 (ukupan iznos dobitka). Tada dobijamo 50000/1000 = 50 rubalja. Ali izraz za izračunavanje prosječnog dobitka također se može predstaviti u sljedećem obliku:
S druge strane, pod ovim uvjetima, iznos dobitka je slučajna varijabla koja može poprimiti vrijednosti od 10, 20, 100 i 200 rubalja. sa vjerovatnoćama jednakim 0,4, respektivno; 0,3; 0,2; 0.1. Stoga je očekivana prosječna isplata jednaka zbiru proizvoda veličine isplata i vjerovatnoće njihovog primanja.
Primjer 2 Izdavač je odlučio da objavi novu knjigu. Knjigu će prodati za 280 rubalja, od čega će 200 dobiti njemu, 50 knjižari, a 30 autoru. Tabela daje informacije o cijeni izdavanja knjige i vjerovatnoći prodaje određenog broja primjeraka knjige.
Pronađite očekivani profit izdavača.
Odluka. Slučajna varijabla "profit" jednaka je razlici između prihoda od prodaje i troška troškova. Na primjer, ako se proda 500 primjeraka knjige, tada je prihod od prodaje 200 * 500 = 100 000, a trošak izdavanja 225 000 rubalja. Tako se izdavač suočava sa gubitkom od 125.000 rubalja. Sljedeća tabela sumira očekivane vrijednosti slučajne varijable - profit:
| Broj | Profit xi | Vjerovatnoća stri | xi str i |
| 500 | -125000 | 0,20 | -25000 |
| 1000 | -50000 | 0,40 | -20000 |
| 2000 | 100000 | 0,25 | 25000 |
| 3000 | 250000 | 0,10 | 25000 |
| 4000 | 400000 | 0,05 | 20000 |
| Ukupno: | 1,00 | 25000 |
Tako dobijamo matematičko očekivanje profita izdavača:
.
Primjer 3Šansa za pogodak jednim udarcem str= 0,2. Odredite potrošnju školjki koje daju matematičko očekivanje broja pogodaka jednakog 5.
Odluka. Iz iste formule očekivanja koju smo do sada koristili izražavamo x- potrošnja školjki:
.
Primjer 4 Odredite matematičko očekivanje slučajne varijable x broj pogodaka sa tri hica, ako je vjerovatnoća pogađanja sa svakim udarcem str = 0,4 .
Savjet: pronađite vjerovatnoću vrijednosti slučajne varijable po Bernulijeva formula .
Expectation Properties
Razmotrite svojstva matematičkog očekivanja.
Nekretnina 1. Matematičko očekivanje konstantne vrijednosti jednako je ovoj konstanti:
Nekretnina 2. Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka očekivanja:
Nekretnina 3. Matematičko očekivanje sume (razlike) slučajnih varijabli jednako je zbiru (razlici) njihovih matematičkih očekivanja:
Nekretnina 4. Matematičko očekivanje proizvoda slučajnih varijabli jednako je proizvodu njihovih matematičkih očekivanja:
Svojstvo 5. Ako su sve vrijednosti slučajne varijable X smanjiti (povećati) za isti broj With, tada će se njegovo matematičko očekivanje smanjiti (povećati) za isti broj:
Kada ne možete biti ograničeni samo na matematička očekivanja
U većini slučajeva, samo matematičko očekivanje ne može adekvatno okarakterizirati slučajnu varijablu.
Neka slučajne varijable X i Y dati su sljedećim zakonima o distribuciji:
| Značenje X | Vjerovatnoća |
| -0,1 | 0,1 |
| -0,01 | 0,2 |
| 0 | 0,4 |
| 0,01 | 0,2 |
| 0,1 | 0,1 |
| Značenje Y | Vjerovatnoća |
| -20 | 0,3 |
| -10 | 0,1 |
| 0 | 0,2 |
| 10 | 0,1 |
| 20 | 0,3 |
Matematička očekivanja ovih veličina su ista - jednaka nuli:
Međutim, njihova distribucija je drugačija. Slučajna vrijednost X može uzeti samo vrijednosti koje se malo razlikuju od matematičkog očekivanja i slučajne varijable Y može uzeti vrijednosti koje značajno odstupaju od matematičkog očekivanja. Sličan primjer: prosječna plata ne omogućava procjenu omjera visoko i nisko plaćenih radnika. Drugim riječima, prema matematičkom očekivanju ne može se suditi kakva su odstupanja od njega, barem u prosjeku, moguća. Da biste to učinili, morate pronaći varijansu slučajne varijable.
Disperzija diskretne slučajne varijable
disperzija diskretna slučajna varijabla X naziva se matematičko očekivanje kvadrata njegovog odstupanja od matematičkog očekivanja:
Standardna devijacija slučajne varijable X je aritmetička vrijednost kvadratnog korijena njegove varijanse:
.
Primjer 5 Izračunajte varijanse i standardne devijacije slučajnih varijabli X i Y, čiji su zakoni distribucije dati u gornjim tabelama.
Odluka. Matematička očekivanja slučajnih varijabli X i Y, kao što je gore utvrđeno, jednaki su nuli. Prema formuli disperzije za E(X)=E(y)=0 dobijamo:
Zatim standardne devijacije slučajnih varijabli X i Y konstituisati
.
Dakle, sa istim matematičkim očekivanjima, varijansa slučajne varijable X veoma mali i nasumični Y- značajno. To je posljedica razlike u njihovoj distribuciji.
Primjer 6 Investitor ima 4 alternativna investiciona projekta. U tabeli su sumirani podaci o očekivanoj dobiti u ovim projektima sa odgovarajućom vjerovatnoćom.
| Projekat 1 | Projekat 2 | Projekat 3 | Projekat 4 |
| 500, P=1 | 1000, P=0,5 | 500, P=0,5 | 500, P=0,5 |
| 0, P=0,5 | 1000, P=0,25 | 10500, P=0,25 | |
| 0, P=0,25 | 9500, P=0,25 |
Pronađite za svaku alternativu matematičko očekivanje, varijansu i standardnu devijaciju.
Odluka. Hajde da pokažemo kako se ove količine izračunavaju za 3. alternativu:
Tabela sažima pronađene vrijednosti za sve alternative.
Sve alternative imaju ista matematička očekivanja. To znači da na duge staze svi imaju ista primanja. Standardna devijacija se može tumačiti kao mjera rizika – što je veća, veći je rizik ulaganja. Investitor koji ne želi mnogo rizika će izabrati projekat 1 jer ima najmanju standardnu devijaciju (0). Ako investitor preferira rizik i visoke prinose u kratkom periodu, onda će izabrati projekat sa najvećom standardnom devijacijom - projekat 4.
Svojstva disperzije
Predstavimo svojstva disperzije.
Nekretnina 1. Disperzija konstantne vrijednosti je nula:
Nekretnina 2. Konstantni faktor se može izvaditi iz znaka disperzije kvadriranjem:
.
Nekretnina 3. Varijanca slučajne varijable jednaka je matematičkom očekivanju kvadrata ove vrijednosti, od čega se oduzima kvadrat matematičkog očekivanja same vrijednosti:
,
gdje 
.
Nekretnina 4. Varijanca sume (razlike) slučajnih varijabli jednaka je zbiru (razlici) njihovih varijansi:
Primjer 7 Poznato je da je diskretna slučajna varijabla X uzima samo dvije vrijednosti: −3 i 7. Osim toga, poznato je matematičko očekivanje: E(X) = 4 . Pronađite varijansu diskretne slučajne varijable.
Odluka. Označiti sa str vjerovatnoća sa kojom slučajna varijabla poprima vrijednost x1 = −3 . Zatim vjerovatnoća vrijednosti x2 = 7 bit će 1 − str. Izvedemo jednačinu za matematičko očekivanje:
E(X) = x 1 str + x 2 (1 − str) = −3str + 7(1 − str) = 4 ,
odakle dobijamo vjerovatnoce: str= 0,3 i 1 − str = 0,7 .
Zakon distribucije slučajne varijable:
| X | −3 | 7 |
| str | 0,3 | 0,7 |
Izračunavamo varijansu ove slučajne varijable koristeći formulu iz svojstva 3 varijanse:
D(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .
Pronađite sami matematičko očekivanje slučajne varijable, a zatim pogledajte rješenje
Primjer 8 Diskretna slučajna varijabla X uzima samo dvije vrijednosti. Uzima veću vrijednost od 3 sa vjerovatnoćom od 0,4. Osim toga, poznata je varijansa slučajne varijable D(X) = 6 . Pronađite matematičko očekivanje slučajne varijable.
Primjer 9 Urna sadrži 6 bijelih i 4 crne kuglice. Iz urne se uzimaju 3 kuglice. Broj bijelih loptica među izvučenim kuglicama je diskretna slučajna varijabla X. Pronađite matematičko očekivanje i varijansu ove slučajne varijable.
Odluka. Slučajna vrijednost X može uzeti vrijednosti 0, 1, 2, 3. Odgovarajuće vjerovatnoće se mogu izračunati iz pravilo množenja vjerovatnoća. Zakon distribucije slučajne varijable:
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| str | 1/30 | 3/10 | 1/2 | 1/6 |
Otuda matematičko očekivanje ove slučajne varijable:
M(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .
Varijanca date slučajne varijable je:
D(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .
Matematičko očekivanje i disperzija kontinuirane slučajne varijable
Za kontinuiranu slučajnu varijablu, mehanička interpretacija matematičkog očekivanja zadržat će isto značenje: centar mase za jediničnu masu raspoređenu kontinuirano na x-osu s gustinom f(x). Za razliku od diskretne slučajne varijable, za koju je argument funkcije xi mijenja se naglo, za kontinuiranu slučajnu varijablu, argument se kontinuirano mijenja. Ali matematičko očekivanje kontinuirane slučajne varijable također je povezano s njenom srednjom vrijednošću.
Da biste pronašli matematičko očekivanje i varijansu kontinuirane slučajne varijable, morate pronaći određene integrale . Ako je data funkcija gustoće kontinuirane slučajne varijable, ona ulazi direktno u integrand. Ako je data funkcija distribucije vjerovatnoće, onda je diferenciranjem potrebno pronaći funkciju gustoće.
Aritmetički prosjek svih mogućih vrijednosti kontinuirane slučajne varijable naziva se njegova matematičko očekivanje, označeno sa ili .
Slučajne varijable, pored zakona distribucije, takođe se mogu opisati numeričke karakteristike .
matematičko očekivanje M (x) slučajne varijable naziva se njena prosječna vrijednost.
Matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable izračunava se po formuli
gdje – vrijednosti slučajne varijable, str ja- njihove vjerovatnoće.
Razmotrite svojstva matematičkog očekivanja:
1. Matematičko očekivanje konstante jednako je samoj konstanti
2. Ako se slučajna varijabla pomnoži sa određenim brojem k, tada će se matematičko očekivanje pomnožiti s istim brojem
M (kx) = kM (x)
3. Matematičko očekivanje zbira slučajnih varijabli jednako je zbiru njihovih matematičkih očekivanja
M (x 1 + x 2 + ... + x n) \u003d M (x 1) + M (x 2) + ... + M (x n)
4. M (x 1 - x 2) \u003d M (x 1) - M (x 2)
5. Za nezavisne slučajne varijable x 1 , x 2 , … x n matematičko očekivanje proizvoda jednako je proizvodu njihovih matematičkih očekivanja
M (x 1, x 2, ... x n) \u003d M (x 1) M (x 2) ... M (x n)
6. M (x - M (x)) = M (x) - M (M (x)) = M (x) - M (x) \u003d 0
Izračunajmo matematičko očekivanje za slučajnu varijablu iz primjera 11.
M(x) == 
.
Primjer 12. Neka su slučajne varijable x 1 , x 2 date zakonima distribucije, redom:
x 1 Tabela 2
x 2 Tabela 3
Izračunajte M (x 1) i M (x 2)
M (x 1) = (- 0,1) 0,1 + (- 0,01) 0,2 + 0 0,4 + 0,01 0,2 + 0,1 0,1 \u003d 0
M (x 2) = (- 20) 0,3 + (- 10) 0,1 + 0 0,2 + 10 0,1 + 20 0,3 \u003d 0
Matematička očekivanja obje slučajne varijable su ista – jednaka su nuli. Međutim, njihova distribucija je drugačija. Ako se vrijednosti x 1 malo razlikuju od njihovog matematičkog očekivanja, onda se vrijednosti x 2 u velikoj mjeri razlikuju od njihovog matematičkog očekivanja, a vjerovatnoće takvih odstupanja nisu male. Ovi primjeri pokazuju da je iz prosječne vrijednosti nemoguće odrediti kakva se odstupanja od nje dešavaju i gore i dolje. Dakle, uz iste prosječne godišnje količine padavina na dva lokaliteta, ne može se reći da su ovi lokaliteti podjednako povoljni za poljoprivredne radove. Slično, po pokazatelju prosječne plate nije moguće suditi o odnosu visoko i nisko plaćenih radnika. Stoga se uvodi numerička karakteristika - disperzija D(x) , koji karakteriše stepen odstupanja slučajne varijable od njene srednje vrednosti:
D (x) = M (x - M (x)) 2 . (2)
Disperzija je matematičko očekivanje kvadrata odstupanja slučajne varijable od matematičkog očekivanja. Za diskretnu slučajnu varijablu, varijansa se izračunava po formuli:
D(x)= 
= 
(3)
Iz definicije varijanse slijedi da je D (x) 0.
Svojstva disperzije:
1. Disperzija konstante je nula
2. Ako se slučajna varijabla pomnoži sa nekim brojem k, tada se varijansa pomnoži s kvadratom ovog broja
D (kx) = k 2 D (x)
3. D (x) \u003d M (x 2) - M 2 (x)
4. Za parno nezavisne slučajne varijable x 1 , x 2 , … x n varijansa sume je jednaka zbiru varijansi.
D (x 1 + x 2 + ... + x n) = D (x 1) + D (x 2) + ... + D (x n)
Izračunajmo varijansu za slučajnu varijablu iz primjera 11.
Matematičko očekivanje M (x) = 1. Dakle, prema formuli (3) imamo:
D (x) = (0 – 1) 2 1/4 + (1 – 1) 2 1/2 + (2 – 1) 2 1/4 =1 1/4 +1 1/4= 1/2
Imajte na umu da je lakše izračunati varijansu ako koristimo svojstvo 3:
D (x) \u003d M (x 2) - M 2 (x).
Izračunajmo varijanse za slučajne varijable x 1 , x 2 iz primjera 12 koristeći ovu formulu. Matematička očekivanja obje slučajne varijable jednaka su nuli.
D (x 1) \u003d 0,01 0,1 + 0,0001 0,2 + 0,0001 0,2 + 0,01 0,1 \u003d 0,001 + 0,00002 + 0,00002 + 0,001 0,002 \u004
D (x 2) = (-20) 2 0,3 + (-10) 2 0,1 + 10 2 0,1 + 20 2 0,3 = 240 +20 \u003d 260
Što je vrijednost disperzije bliža nuli, manji je širenje slučajne varijable u odnosu na srednju vrijednost.
Vrijednost se poziva standardna devijacija. Slučajna moda x diskretni tip Md je vrijednost slučajne varijable, koja odgovara najvećoj vjerovatnoći.
Slučajna moda x kontinuirani tip Md, je realan broj definisan kao maksimalna tačka gustine distribucije verovatnoće f(x).
Medijan slučajne varijable x kontinuirani tip Mn je realan broj koji zadovoljava jednačinu
U teoriji vjerovatnoće iu mnogim njenim primjenama, različite numeričke karakteristike slučajnih varijabli su od velike važnosti. Glavni su matematičko očekivanje i varijansa.
1. Matematičko očekivanje slučajne varijable i njena svojstva.
Razmotrite prvo sljedeći primjer. Neka fabrika dobije seriju koja se sastoji od N ležajevi. pri čemu:
m 1 x 1,
m2- broj ležajeva sa spoljnim prečnikom x 2,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
m n- broj ležajeva sa spoljnim prečnikom x n,
Evo m 1 +m 2 +...+m n =N. Pronađite aritmetičku sredinu x cf vanjski prečnik ležaja. Očigledno,
Vanjski prečnik ležaja koji se nasumično vadi može se smatrati slučajnom varijablom koja uzima vrijednosti x 1, x 2, ..., x n, sa odgovarajućim vjerovatnoćama p 1 \u003d m 1 / N, p 2 \u003d m 2 /N, ..., p n =m n /N, jer je vjerovatnoća pi izgled ležaja sa spoljnim prečnikom x i je jednako sa m i /N. Dakle, aritmetička sredina x cf vanjski prečnik ležaja može se odrediti pomoću odnosa 
Neka je diskretna slučajna varijabla sa datim zakonom raspodjele vjerovatnoće
Vrijednosti
x 1
x 2
. . .
x n
Vjerovatnoće
p1
p2
. . .
p n
matematičko očekivanje diskretna slučajna varijabla je zbir parnih proizvoda svih mogućih vrijednosti slučajne varijable i njihovih odgovarajućih vjerovatnoća, tj. *
Pretpostavlja se da nepravilan integral na desnoj strani jednakosti (40) postoji.
Razmotrite svojstva matematičkog očekivanja. Pritom se ograničavamo na dokazivanje samo prva dva svojstva, koje ćemo provesti za diskretne slučajne varijable.
1°. Matematičko očekivanje konstante C je jednako ovoj konstanti.
Dokaz. trajno C može se posmatrati kao slučajna varijabla koja može poprimiti samo jednu vrijednost C sa vjerovatnoćom jednakom jedan. Dakle 
2°. Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka očekivanja, tj. 
Dokaz. Koristeći relaciju (39), imamo 
3°. Matematičko očekivanje sume nekoliko slučajnih varijabli jednako je zbiru matematičkih očekivanja ovih varijabli:
