Ako tačke A, B i C leže na istoj pravoj liniji, tada je veći segment AB, BC i AC jednak zbiru druga dva. Po uslovu, veći od ovih isječaka (odsječak AC) je 5 cm, a zbir druga dva (AB + BC) je 7 cm. Dakle, tačke A, B i C ne leže na jednoj pravoj liniji.

Ako tačke A, B, C leže na istoj pravoj liniji, tada je veći segment AB, BC i AC jednak zbiru druga dva. Po uvjetu, najveći od ovih segmenata (AC = 5 cm), a AB + BC = 7 cm, stoga tačke A, B, C ne leže na jednoj pravoj liniji.

Povezani zadaci:

1. Površina romba je S. Nađite površinu četverokuta čiji su vrhovi sredine stranica romba.

2. Dvije kružnice sa centrom u tačkama O1 i O2 seku se u tačkama A i A1, a segmenti AB i AC su njihovi prečnici. Pronađite uglove AA1B i AA1C i dokažite da tačke B, A1 i C leže na istoj pravoj liniji.

3. Medijane trougla sa stranicama 5 cm, 6 cm i 7 cm seku se u tački O. Pronađite rastojanje od tačke O do linija koje sadrže stranice trougla.

4. Četvorougao ABCD je upisan u krug. Poznato je da je ugao ABD=30*, ugao ACB=30*, ugao BDC=20*. Nađi uglove četvorougla ABCD.

1) Katete pravouglog trougla su 15cm i 20cm. Pronađite obim kruga čiji je prečnik visina povučena do hipotenuze.

2) Površina kvadrata je S. Nađite:

a) dužina upisane kružnice

b) dužina luka zatvorenog između dve susedne dodirne tačke.

c) površina dijela kvadrata koji leži izvan upisane kružnice.

1. Dva kruga sa centrima O i K imaju poluprečnike 4, odnosno 8 cm. Pronađite poluprečnike krugova koji dodiruju dva podatka u isto vrijeme ako im centri leže na pravoj OK, a odsječak OK je 6 cm.

2. Visine trougla, koji se seku u tački H, formiraju šest uglova sa vrhom u tački H. Odredite ove uglove ako su uglovi ovog trougla jednaki: 50, 60, 70 stepeni.

Ako vam se daju dva bodova, onda možete hrabro izjaviti da leže na istom ravno, jer nakon bilo koje dvije bodova dozvoljeno da povuče pravu liniju. Ali kako znaš da li svi lažu bodova na ravno, ako postoje tri, četiri ili više bodova? Potvrdite da tačke pripadaju jednoj ravno dozvoljeno na nekoliko načina.

Trebaće ti

• Tačke date koordinatama.

Uputstvo

1. Ako vam je dato bodova sa koordinatama (x1, y1, z1), (x2, y2, z2), (x3, y3, z3), pronađite jednačinu ravno, primjenjujući koordinate bilo koje 2 tačke, recimo, prve i druge. Da biste to učinili, zamijenite odgovarajuće vrijednosti u jednadžbi ravno: (x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1)=(z-z1)/(z2-z1). Ako je jedan od nazivnika nula, primitivno postavite brojilac na nulu.

2. Detect Equation ravno znajući dva bodova sa koordinatama (x1, y1), (x2, y2), još lakše. Da biste to učinili, zamijenite vrijednosti u formuli (x-x1) / (x2-x1) \u003d (y-y1) / (y2-y1).

3. Dobivši jednačinu ravno prolazeći kroz dva bodova, zamijenite vrijednosti koordinata trećeg bodova u njega umjesto varijabli x i y. Ako se ispostavi da je jednakost tačna, onda sve tri bodova lezi na jednom ravno. Istina, možete provjeriti i vlasništvo nad ovim ravno druge tačke.

4. Provjerite članstvo svih bodova ravno, provjeravajući jednakost tangenta uglova nagiba segmenata koji ih povezuju. Da biste to učinili, provjerite da li je jednakost (x2-x1)/(x3-x1)=(y2-y1)/(y3-y1)=(z2-z1)/(z3-z1) tačna. Ako je jedan od nazivnika jednak nuli, tada sve tačke pripadaju jedinici ravno mora biti ispunjen uslov x2-x1=x3-x1, y2-y1=y3-y1, z2-z1=z3-z1.

5. Drugi način da provjerite pripadaju li 3 boda ravno- izračunajte površinu trougla, onog koji formiraju. Ako sve bodova lezi na ravno, tada će njegova površina biti nula. Zamijenite vrijednosti koordinata u formulu: S=1/2((x1-x3)(y2-y3)-(x2-x3)(y1-y3)). Ako ste nakon svih proračuna dobili nulu, onda tri bodova lezi na jednom ravno .

6. Da biste grafičkom metodom pronašli rješenje problema, izgradite koordinatne ravni i pronađite bodova na navedenim koordinatama. Nakon toga povucite ravnu liniju kroz dva od njih i nastavite do treće bodova vidi da li će proći kroz to. Imajte na umu da je ova metoda prikladna samo za tačke navedene na ravni sa koordinatama (x, y), ali ako je tačka navedena u prostoru i ima koordinate (x, y, z), onda ova metoda nije primjenjiva.

Savjet 2: Kako provjeriti da tačke ne leže na istoj pravoj

Na osnovu aksioma koji opisuje svojstva ravno: šta god da je linija, postoji bodova pripadajući i ne pripadajući tome. Stoga je sasvim razumno da ne svi bodovaće ležati na jednom ravno linije.

Trebaće ti

• - olovka;
• - vladar;
• - olovka;
• - sveska;
• - kalkulator.

Uputstvo

1. Provjerite pribor bodova jedno ili drugo ravno dovoljno lako. Za ovo koristite jednačinu ravno. Ispada da zamišljamo da linija prolazi bodova A(x1,y1) i B(x2,y2). Zadata je tačka K(x,y): potrebno je provjeriti da li joj pripada ravno. Jednačina u dvije tačke ima sljedeći oblik: (x - x1) * (y2 - y1) - (x2 - x1) * (y - y1) = 0.

2. Zamijenite vrijednost koordinata bodova na jednačinu. Ako je (x - x1) * (y2 - y1) - (x2 - x1) * (y - y1) veće od nule, tada se tačka K nalazi desno ili ispod ravno povučen kroz tačke A i B.

3. U slučaju da je (x - x1) * (y2 - y1) - (x2 - x1) * (y - y1) manje od nule, tačka K se nalazi iznad ili lijevo od prave. Drugim riječima, samo ako je jednadžba oblika (x - x1) * (y2 - y1) - (x2 - x1) * (y - y1) = 0 objektivna, bodova A, B i K će se nalaziti na istom ravno .

4. U drugim slučajevima samo dva bodova(A i B), na kojima, prema zadatku, leže ravno, će joj pripadati: prava neće prolaziti kroz treću tačku (tačka K).

5. Razmotrite drugu opciju za utvrđivanje pripadnosti bodova Napomena: ovog puta je potrebno provjeriti da li tačka C(x,y) pripada segmentu sa krajnjim tačkama B(x1,y1) i A(x2,y2), koji je dio ravno z.

6. Opišite tačke segmenta koji se razmatra jednadžbom pOB + (1-p) OA = z, pod uslovom da je 0?p?1. OB i OA su vektori. Ako postoji broj p koji je veći ili jednak 0, ali manji ili jednak 1, tada pOB + (1-p) OA \u003d C, što znači da će tačka C ležati na segmentu AB. U suprotnom, data tačka neće pripadati ovom segmentu.

7. Zapišite jednakost pOB+(1-p)OA=S po koordinatama: px1+(1-p)x2=x i py1+(1-p)y2=y.

8. Nađite broj p iz prve jednačine i zamijenite njegovu vrijednost u drugu jednačinu. Ako će jednakost odgovarati uslovima 0?p?1, tada tačka C pripada segmentu AB.

9. Build bodova date koordinate i povucite liniju kroz njih. Ovo će vam omogućiti da vidite bodova ležeći na jednom ravno, i one bodova koji joj ne pripadaju.

Bilješka!
Provjerite jesu li vaši proračuni tačni!

Koristan savjet
Da biste pronašli k - ugaoni eksponent prave linije, trebate (y2 - y1) / (x2 - x1).

Izgradnja pravih linija je osnova tehničkog crtanja. Sada se to sve više radi uz podršku grafičkih uređivača, koji dizajneru daju velike vjerovatnoće. Međutim, neke konstrukcijske teze ostaju iste kao u klasičnom crtanju - uz pomoć olovke i ravnala.

Trebaće ti

• - papir;
• - olovka;
• - vladar;
• - Računar sa AutoCAD softverom.

Uputstvo

1. Počnite s klasičnom konstrukcijom. Odredite ravan u kojoj ćete povući liniju. Neka to bude ravan lista papira. Rasporedite tačke u zavisnosti od uslova problema. Mogu biti proizvoljni, ali je moguće da je zadan neki koordinatni sistem. Stavite proizvoljne tačke tamo gdje vam se najviše sviđa. Označite ih A i B. Kombinirajte ih uz podršku ravnala. Prema aksiomu, uvijek je dozvoljeno povući pravu liniju kroz dvije tačke, i to samo jednu.

2. Nacrtajte koordinatni sistem. Neka vam budu date koordinate tačke A (x1; y1). Da biste ih otkrili, potrebno je odvojiti traženi broj duž x-ose i kroz označenu tačku povući pravu liniju paralelnu sa y-osi. Nakon toga odvojite vrijednost jednaku y1 duž odgovarajuće ose. Nacrtajte okomicu od označene tačke dok se ne ukrsti s prvom. Mjesto njihovog sjecišta bit će tačka A. Na isti način pronaći tačku B čije koordinate možemo označiti kao (x2; y2). Spojite obje tačke ravnom linijom.

3. U programu AutoCAD, prava linija se može postaviti na nekoliko načina. Funkcija "dvije tačke" je obično postavljena prema zadanim postavkama. Pronađite karticu "Osnovno" u gornjem meniju. Videćete tablu za crtanje ispred sebe. Pronađite dugme ravne linije i kliknite na njega.

4. Pravu liniju na dvije tačke u ovom programu je dozvoljeno postaviti na dva načina. Postavite kursor na željenu tačku na ekranu i kliknite lijevu tipku miša. Nakon toga, definirajte drugu tačku, prevucite liniju tamo i također kliknite mišem.

5. AutoCAD vam takođe omogućava da postavite koordinate obe tačke. Upišite naredbenu liniju ispod (_xline). Pritisnite Enter. Unesite koordinate prve tačke i pritisnite enter. Pravilno odredite i drugu tačku. Može se odrediti i klikom miša, postavljanjem kursora na željenu tačku na ekranu.

6. U AutoCAD-u je dozvoljeno graditi pravu liniju ne samo po dvije tačke, već i po kutu nagiba. U kontekstualnom meniju "Nacrtaj" odaberite ravnu liniju, a zatim opciju "Ugao". Početna tačka se može postaviti klikom miša ili koordinatama, kao u prethodnoj metodi. Nakon toga postavite veličinu ugla i pritisnite enter. Podrazumevano, linija će biti postavljena pod potrebnim uglom u odnosu na horizontalu.

Povezani video zapisi

Savjet 4: Kako potvrditi da tačka ne leži u ravni trougla

Moguće je potvrditi da tačka ne leži u ravni trougla lakom provjerom svih dopuštenih postavki, pogotovo jer ih nema mnogo. Ne treba samo zaboraviti da je moguće doći i do suprotnog događaja, odnosno do slučaja kada je tačka unutrašnja za dati trokut.

Uputstvo

1. Prije nego što potraži rješenje problema, čitatelj bi trebao sam odlučiti o pripadnosti stranica trougla. Razmotrite njihove tačke van trougla ili ne. U ovoj fazi smatramo da je ovo područje zatvoreno, pa samim tim uključuje i svoje granice. Radi jednostavnosti, razmotrite "ravni slučaj", ali ne zaboravite na prostornu generalizaciju. Shodno tome, tipične jednadžbe za prave ravnine oblika y=kx+b ne treba koristiti, barem na početku rješenja.

2. Odaberite metodu definicije za stranice trokuta. Sudeći po formulaciji problema, ovo nema čvrsto značenje. Stoga smatramo da su koordinate njegovih vrhova A(xa, ya), B(xb, yb), C(xc, yc) date (vidi sliku 1.). Pronađite vektore smjera stranica trokuta AB=(xb-xa, yb-ya), BC=(xc-xb, yc-yb), AC=(xc-xa, yc-ya) i zapišite kanonski jednadžbe linija koje sadrže ove stranice. Za AB - (x-xa)/(xb-xa)=(y-ya)/(yb-ya). Za BC - (x-xb) / (xc-xb) \u003d (y-yb) / (yc-ya). Za AC - (x-xa) / (xc-xa) \u003d (y-ya) / (yc-ya). U skladu sa slikom nacrtajte horizontalne i vertikalne linije koje se mogu napisati kao x=xc, x= xa, x=xb, y=yc, y=ya, y=yb. Ovo će smanjiti broj proračuna na minimum. Zatim slijedite predloženi algoritam. Na slici je data tačka M(xo, yo) postavljena na „najnepovoljnije“ mesto.

3. Prateći osu 0x, provjerite nejednakost xc?xo?xb. Ako nije ispunjeno, onda tačka leži bliže granicama trougla, jer "ne unutra" - ovo je "spolja". Ako je nejednakost zadovoljena, onda provjerite poštenost xc

4. Provjerite ispunjenost nejednakosti yc?uo?ua. Ako nije objektivna, onda tačka ne leži unutar trougla. Inače, pronađite ordinatu prave koja sadrži AB. y1=y(xo)=[(yb-ya)(xo-xa)]/(xb-xa)+ya. Uradite isto sa ordinatom linije za BC. y2=y(xo)=[(yc-yb)(xo-xb)]/(xc-xb)+yc. Napišite nejednačinu y2?yo?y1. Njegovo izvođenje omogućava zaključak da je data tačka unutar trougla. Ako je ova nejednakost pogrešna, onda se nalazi izvan svojih granica, posebno u skladu sa slikom.

Ako vam se daju dva bodova, onda možete sa sigurnošću reći da leže na istom ravno, pošto nakon bilo koja dva bodova možete nacrtati pravu liniju. Ali kako saznati da li svi lažu bodova na ravno, ako postoje tri, četiri ili više bodova? Dokažite da tačke pripadaju jednoj ravno moguće na nekoliko načina.

Trebaće ti

• Tačke date koordinatama.

Uputstvo

Ako vam je dato bodova sa koordinatama (x1, y1, z1), (x2, y2, z2), (x3, y3, z3), pronađite jednačinu ravno, koristeći koordinate bilo koje dvije točke, na primjer, prve i druge. Da biste to učinili, zamijenite odgovarajuće vrijednosti u jednadžbi ravno: (x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1)=(z-z1)/(z2-z1). Ako je jedan od nazivnika jednak nuli, samo namjestite brojilac na nulu.

Pronađite jednačinu ravno znajući dva bodova sa koordinatama (x1, y1), (x2, y2), još lakše. Da biste to učinili, zamijenite vrijednosti u formuli (x-x1) / (x2-x1) \u003d (y-y1) / (y2-y1).

Dobivši jednačinu ravno prolazeći kroz dva bodova, zamijenite vrijednosti koordinata trećeg bodova u njega umjesto varijabli x i y. Ako se ispostavi da je jednakost tačna, onda sve tri bodova lezi na jednom ravno. Na isti način možete provjeriti vlasništvo nad ovim ravno druge tačke.

Provjerite članstvo svih bodova ravno, provjeravajući jednakost tangenta uglova nagiba segmenata koji ih povezuju. Da biste to učinili, provjerite da li je jednakost (x2-x1)/(x3-x1)=(y2-y1)/(y3-y1)=(z2-z1)/(z3-z1) tačna. Ako je jedan od nazivnika jednak nuli, tada sve tačke pripadaju jedinici ravno mora biti ispunjen uslov x2-x1=x3-x1, y2-y1=y3-y1, z2-z1=z3-z1.

Drugi način da provjerite pripadaju li tri boda ravno Izračunajte površinu trokuta koji formiraju. Ako sve bodova lezi na ravno, tada će njegova površina biti nula. Zamijenite vrijednosti koordinata u formulu: S=1/2((x1-x3)(y2-y3)-(x2-x3)(y1-y3)). Ako nakon svih izračuna dobijete nulu, onda tri bodova lezi na jednom ravno.

Da biste grafički pronašli rješenje problema, izgradite koordinatne ravni i pronađite bodova na navedenim koordinatama. Zatim povucite ravnu liniju kroz dva od njih i nastavite do trećeg bodova vidi da li će proći kroz to. Imajte na umu da je ova metoda prikladna samo za tačke navedene na ravni sa koordinatama (x, y), ali ako je tačka navedena u prostoru i ima koordinate (x, y, z), onda ova metoda nije primjenjiva.

Savjet 2: Kako provjeriti da tačke ne leže na istoj pravoj

Na osnovu aksioma koji opisuje svojstva ravno: šta god da je linija, postoji bodova pripadajući i ne pripadajući tome. Stoga je sasvim logično da ne svi bodovaće ležati na jednom ravno linije.

Trebaće ti

• - olovka;
• - vladar;
• - olovka;
• - sveska;
• - kalkulator.

Uputstvo

Provjerite pribor bodova jedno ili drugo ravno prilično jednostavno. Za ovo koristite jednačinu ravno. Recimo da linija prolazi bodova A(x1,y1) i B(x2,y2). Za tačku K(x,y): potrebno je provjeriti njeno članstvo ravno. Jednačina u dvije tačke je: (x - x1) * (y2 - y1) - (x2 - x1) * (y - y1) = 0.

Zamijenite vrijednost koordinata bodova na jednačinu. Ako je (x - x1) * (y2 - y1) - (x2 - x1) * (y - y1) veće od nule, tada se tačka K nalazi desno ili ispod ravno povučen kroz tačke A i B.

U slučaju da je (x - x1) * (y2 - y1) - (x2 - x1) * (y - y1) manje od nule, tačka K se nalazi iznad ili lijevo od prave. Drugim riječima, samo ako je jednadžba poput (x - x1) * (y2 - y1) - (x2 - x1) * (y - y1) = 0 tačna, bodova A, B i K će se nalaziti na istom ravno.

Vrlo često se prilikom rješavanja domaće zadaće postavlja pitanje: kada 3 tačke leže na istoj pravoj, odgovor je vrlo jednostavan i leži u osnovi geometrije.

Moguće je provjeriti da tri tačke leže na jednoj pravoj liniji sastavljanjem jednačine, pravca koja se razmatra, koja prolazi kroz dvije nasumično odabrane tačke od ove tri. I provjeriti da li je ova jednačina zadovoljena koordinatama preostale od ove tri tačke.

Postoje različite vrste pravih linija. Hajde da koristimo jednu od najjednostavnijih metoda i razmotrimo je za konkretno date tačke.

To ćemo učiniti samo da ne bismo uopšteno rešili problem, već da bismo odgovorili na pitanje da li tačno ove tačke sa ovim koordinatama leže na istoj pravoj liniji. Hajde da formulišemo problem: Potrebno je proveriti da li tačke A(-2;1), B(0;3), B (5;-7) leže na jednoj pravoj liniji.

Hajde da rešimo problem

Kao što znate, kroz bilo koje dvije tačke možete povući pravu liniju, i to samo jednu. Pa hajde da mentalno povučemo ovu liniju. Recimo prava AB. To znači da je rješenje našeg problema svedeno na činjenicu da treba provjeriti da li tačka B pripada pravoj AB. Ako se ispostavi da tačka B pripada pravoj AB, tada će sve tačke iz uslova ležati na jednoj pravoj. Ako saznamo da tačka C ne pripada pravoj AB, tada će biti moguće tvrditi da tačke A, B i C ne leže na istoj pravoj. Jednačinu prave AB sastavljamo kao jednačinu prave koja prolazi kroz dvije tačke:

(x+2)/(0+2)=(y-1)/(3-1)

Nakon transformacije dobijamo:

x-y=-3 je jednačina prave AB

Provjerimo da li koordinate tačke B zadovoljavaju ovu jednačinu, za to je dovoljno izvršiti zamjenu koordinata tačke B umjesto varijabli u jednačini prave AB. Ako dobijemo tačnu brojčanu jednakost, tada je tačka B tačka prave AB. U suprotnom, netačna brojčana jednakost će pokazati da tačka B ne pripada pravoj liniji AB.

Kao što vidite, nismo dobili tačnu brojčanu jednakost. Dakle, u ovom slučaju tačke A, B, C ne leže na jednoj pravoj liniji.

Za ovaj zadatak može se lako odabrati primjer kada 3 tačke leže na jednoj pravoj liniji. Samo tačka B treba da ima koordinate (0; 3) ili (-7; -4)