Teorema 1. Da bi vektorsko polje zadato u području T bilo solenoidno, potrebno je i dovoljno da ovo polje bude polje zavoja nekog vektora, tj. tako da postoji vektor koji zadovoljava uslov u svim tačkama regiona T
Dokaz.
Adekvatnost. Imamo
Need. Neka bude
Nađimo funkciju takvu da
U nastavku ćemo pokazati da je funkcija definirana dvosmisleno, tako da se ovoj funkciji mogu nametnuti dodatni uvjeti. Neka bude
Odaberimo funkcije
Pokažimo da ove funkcije zadovoljavaju sistem jednačina (1). Zaista imamo
Zaista, konstruirana funkcija zadovoljava uvjet
Funkcija se naziva vektorski potencijal.
U dokazivanju teoreme, predložili smo metodu koja nam omogućava da odredimo vektorski potencijal polja.
Napomena 1. Ako je funkcija vektorski potencijal polja, onda je funkcija
gdje je proizvoljna skalarna funkcija, također je vektorski potencijal polja.
Dokaz.
Stoga je vektorski potencijal dvosmisleno definiran.
Primjer 1: Prikaži to polje
Odluka. Imamo.
Izračunaj
Pronađena funkcija je željeni vektorski potencijal. Potvrdimo ovu tvrdnju, tj. pronađite rotor:
Uslov je ispunjen. Lako je provjeriti da vektorski potencijal ovog polja može biti simetričnija funkcija
Primjer 2: Prikaži to polje
solenoidalni i pronađite vektorski potencijal ovog polja.
Odluka. Imamo.
Izračunaj
hajde da proverimo:
Uslov je ispunjen. Lako je provjeriti da vektorski potencijal ovog polja može biti više simetrične funkcije
Iz gornjih primjera se može vidjeti da se izrazi za vektorski potencijal za isto polje mogu značajno razlikovati. To je zbog činjenice da se gradijent bilo koje skalarne funkcije može dodati pronađenom vektorskom potencijalu.
Definicija vektorskog polja. Gradijentno polje. Potencijalna polja, uslovi potencijalnosti.
Vektorsko polje. Ako svaki poen M neko područje V prostor odgovara vrijednosti neke vektorske veličine ( M ), onda to kažemo u regionu V dato vektorsko polje ( M ). Primjeri vektorskih polja su gravitacijsko polje, električna i magnetna polja i polje brzina čestica u fluidu koji se kreće.
Ako je u nekom Dekartovom koordinatnom sistemu vektor ( M ) ima koordinate R (M ), Q (M ), R (M ), zatim . Dakle, postavljanje vektorskog polja ( M ) je ekvivalentno specificiranju tri skalarna polja R (M ), Q (M ), R (M ). Nazvat ćemo vektorsko polje glatko, ako su njegove koordinatne funkcije glatka skalarna polja.
Gradijent
diferencibilno skalarno polje u(M)=u(x,y,z) naziva se vektor 
. One. zbir parcijalnih izvoda pomnožen odgovarajućim jediničnim vektorima.
U opštem slučaju, gradijent se uvodi kao vektorska karakteristika skalarnog polja - odnosno površine, čija svaka tačka odgovara vrednosti određenog skalara. Gradijent karakterizira koliko se brzo skalarna vrijednost mijenja na jednom ili drugom mjestu u ovom polju.
Potencijalna vektorska polja.
Vektorsko polje A = (Ax, Ay, Az) naziva se potencijalnim ako je vektor A gradijent neke skalarne funkcije u = u(x, y, z): A = grad u = 
(16.7).
Ovdje se funkcija u naziva potencijalom datog vektorskog polja.
Hajde da saznamo kada pod kojim uslovima je potencijal vektorskog polja
. Pošto iz (16.7) slijedi da je 
, To 
,=,=. budući da mješoviti izvod drugog reda ne zavisi od reda diferencijacije. Iz ovih jednakosti lako dobijamo da je rot A = 0 - uslov potencijalnosti vektorskog polja.
Rotor vektorskog polja ( M
) u tački naziva se vektorska veličina (vektorsko polje):. Izraženo u terminima Hamiltonovog operatora, nabla je jednaka unakrsnom proizvodu. stvarno, 
.
Protok vektorskog polja kroz površinu. Definicija divergencije vektorskog polja i njena svojstva. Proračun divergencije u kartezijanskim koordinatama.
Protok vektorskog polja kroz površinu
.
Neka je zadato kontinuirano vektorsko polje u domeni D 
,. Uzmimo neku površinu S u ovom vektorskom polju i izaberimo njenu definitivnu stranu. Neka je polje jediničnih normala na površinu koja odgovara odabranoj strani. Zatim površinski integral druge vrste 
(od) se zove vektorski tokAkroz površinuS na naznačenu stranu.
Neka bude . Gauss-Ostrogradsky formula:
Lijeva strana se može napisati ovako: 
,
,
. Stoga: jer. Ovo je tok vektora kroz zatvorenu površinu. Desna strana se može napisati kao divergenciju
(divergenciju):
.
Divergencija
vektorsko polje A u tački MnV naziva se derivacija funkcije 
po zapremini u ovom trenutku: 
. Divergencija se takođe može napisati pomoću Nabla operator:
.Divergencija u kartezijanskim koordinatama
:
.
Svojstva divergencije:
Ostale nekretnine (predavanje nije analizirano, po nahođenju dilera):
Vektorska polja solenoida, uslovi solenoidalnosti.
Neka je zadato kontinuirano vektorsko polje (M)=(x,y,z) u nekom domenu D. Vektorski tok polja kroz orijentisanu komadno glatku površinu S koja se nalazi u domeni D naziva se integral , gdje - vektor jedinične normale na površinu S, koji ukazuje na njenu orijentaciju, i – element površine S.
Vektorsko polje se zove solenoidalni u zoni D, ako tok ovog polja kroz bilo koju komadno glatku površinu koja se ne siječe nalazi se u D i predstavlja granicu neke ograničene poddomena od D, jednako nuli.
Ako je divergencija nula, tj., tada se poziva vektor polja solenoidalni .
, tako da je protok isti svuda, na svakom dijelu cijevi.
Da bi bilo kontinualno diferencibilno vektorsko polje solenoidalni
u volumetrijski jednostavno povezanoj domeni D, neophodno i dovoljno, tako da jednakost vrijedi u svim tačkama D. Gdje je divergencija (“divergencija”) vektorskog polja skalarna funkcija 
| " |
Teorijski materijal na ovu temu predstavljen je na str. 228-236 ovog izdanja.
Primjer 30. Provjerite je li vektorsko polje
a) potencijal; b) solenoidni. Ako je polje potencijalno, pronađite njegov potencijal.
Odluka. A) Pronađite rotor polja
Dakle, polje je potencijalno.
B) Pronađite divergenciju polja
Dakle, polje nije solenoidno.
C) Budući da , tada se potencijal polja može izračunati po formuli
Krivolinijski integral ukupnog diferencijala ne zavisi od puta integracije. Ovdje je zgodno uzeti početak koordinata kao početnu tačku. Kao put integracije uzimamo izlomljenu liniju OAWM(Sl. 17).
|
1. Na segmentu dakle 
2. Na segmentu odavde
3. Na segmentu odavde
Dakle, gdje je proizvoljna konstanta.
konačno, 
Zadaci za kontrolni rad br. 5-8
Brojevi zadataka biraju se prema tabeli u skladu sa zadnje dvije cifre šifre i prvim slovom prezimena. Na primjer, učenik Ivanov, šifra 1-45-5815, rješava zadatke 5, 15, 21.31 u testnom radu 5, zadatke 45, 51, 61, 71 u testu 6, zadatke 85, 91, u testnom radu 7, 101, 111, u kontrolnom radu 8 - zadaci 125,135,141,151.
| Zadnja cifra šifre | |||||||||||
| Broj kontrolnog posla | |||||||||||
| Pretposljednja cifra šifre | |||||||||||
| Broj kontrolnog posla | |||||||||||
| Prvo slovo prezimena | A, I T | B, OC | B,HX | G, FYa | D,ZL | E,MR | W, MF | K E | P W | U, SHU | |
| Broj kontrolnog posla | |||||||||||
Ispit br. 5
U zadacima 1-10 pronađite opće rješenje diferencijalne jednadžbe prvog reda
U zadacima 11-20 pronađite opće rješenje ili opći integral diferencijalne jednadžbe drugog reda
U zadacima 21-30 naći opće rješenje linearnih jednačina drugog reda
U zadacima 31-40 pronađite područje konvergencije stepena reda
Test br. 6
U zadacima 41-50 proširite funkciju u Maclaurinov red, odredite područje konvergencije reda
U zadacima 51-60 konstruisati domen integracije i promeniti redosled integracije
61. Izračunaj površinu dijela kugle 
, izrezan cilindrom 
i avion 
.
62. Izračunaj površinu ravne ploče ograničene linijama: i (izvan parabole).
63. Izračunajte površinu cilindra odsečenu ravninama.
64. Nađi zapreminu tijela ograničenog površinama 
, , , , .
65. Nađi zapreminu tijela ograničenog površinama: i 
, leži u I oktantu u .
66. Nađi površinu ravne ploče ograničene linijama, 
.
67. Odredi površinu dijela kruga izvan kruga 
(koristite polarne koordinate).
68. Izračunajte masu homogene ravne ploče (),
ograničen krug i prave linije i .
69. Pronađite masu ploče sa gustinom 
, ograničen linijama , , .
70. Nađite masu ploče sa gustinom 
dato nejednačinama: 
.
U zadacima 71-80 izračunajte krivolinijske integrale duž krive:
Test rad br.7
U zadacima 81-86 proširite funkcije u Fourierov red; izgraditi graf zadate funkcije
81. 
82. 
83. 
84. 
85. 
86. 
U zadacima 87, 88 proširiti funkciju u Fourierov red u smislu sinusa; nacrtajte datu funkciju.
87. 
88. 
U zadacima 89,90 proširiti funkciju u Fourierov red u smislu kosinusa; nacrtajte datu funkciju.
89. 
90. 
U zadacima 91-95 riješite talasnu jednačinu na datom segmentu sa graničnim uslovima koristeći Fourierovu metodu 
i date početne uslove.
91. 
93. 
95. 
U zadacima 96-100, riješiti jednadžbu topline na datom segmentu koristeći Fourierovu metodu za dati početni uvjet i granične uslove .
96. 
97. 
98. 
99. 
100. 
U zadacima 101-106 izračunajte trostruki integral po površini T dato nejednakostima. Napravite crtež.
103. 
(prilikom izračunavanja integrala idite na cilindrične koordinate).
105. (pri izračunavanju integrala idi na cilindrične koordinate).
U zadacima 107-110 pronađite masu tijela datu nejednačinama i datu gustinu. Napravite crtež.
108. 
(kada računate trostruki integral, prijeđite na cilindrične koordinate).
110. (pri izračunavanju trostrukog integrala prijeđite na cilindrične koordinate).
U zadacima 111-120 izračunajte površinski integral. Napravite crtež površine.
111. 
gdje je dio aviona 
omeđen koordinatnim ravnima.
112. 
- gornja strana dijela paraboličnog cilindra omeđena kružnim cilindrom i avion. Prilikom izračunavanja integrala preko, prebacite se na polarne koordinate.
113. 
- dio površine cilindra, omeđen ravnima
114. 
, gdje je dio površine konusa 
, ograničen ravninama i (prilikom izračunavanja dvostrukog integrala, prebacite se na polarne koordinate).
115. 
, - dio kružnog cilindra, omeđen ravnima
116. 
- gornja strana konusa 
, omeđen ravnima 
. Kada računate integral preko, prijeđite na polarne koordinate.
117. 
, gdje je gornja strana dijela sfere 
. Prilikom izračunavanja dvostrukog integrala, prebacite se na polarne koordinate.
118. 
, gdje je gornja strana dijela ravni 
omeđen koordinatnim ravnima.
119. 
, - dio paraboličnog cilindra omeđen koordinatnim ravnima i ravninom .
120. 
; - gornja strana dijela kružnog cilindra, omeđena kružnim cilindrom i ravan Promjena u polarne koordinate.
Test br. 8
U zadacima 121-130 pronađite gradijent skalarnog polja i provjerite da li je skalarno polje harmonično.
U zadacima 131-135 pronađite tok vektorskog polja kroz dio površine koji leži u prvom oktantu u smjeru normale formirajući oštar ugao sa osom. Napravite crtež.
U zadacima 136-140 koristite teoremu Ostrogradskog da izračunate tok vektorskog polja prema vanjskoj normali kroz površinu tijela koje leži u prvom oktantu i omeđen datom površinom i koordinatnim ravnima. Napravite crtež.
U zadacima 141-150 izračunajte cirkulaciju vektorskog polja duž putanje sjecišta s koordinatnim ravninama onog dijela površine koji leži u prvom oktantu . su tačke preseka površine sa osama, respektivno. Napravite crtež.
U zadacima 141-145, izračunajte cirkulacije koristeći Stokesovu teoremu.
U zadacima 146-150 izračunajte cirkulaciju koristeći njegovu definiciju.
U zadacima 151-160 provjerite da li je vektorsko polje: a) potencijalno, b) solenoidno. Ako je polje potencijalno, pronađite njegov potencijal.
152. 
155. 
kontrola struje
Test zadaci
1. Odredite koja jednačina ima sljedeće rješenje 
.
a) 
b) 
u) 
2. Odrediti karakterističnu jednačinu za diferencijalnu jednačinu 
a) b) 
u)
3. Odredite na osnovu d'Alembertove vrijednosti pri kojoj će se potencijski red konvergirati 
.
4. Formulirajte geometrijsku interpretaciju dvostrukog integrala.
5. Formulirajte geometrijsku interpretaciju trostrukog integrala.
6. Odredite predznak potencijalnosti vektorskog polja:
a B C)
Konačna kontrola
Pitanja za pripremu za ispit iz matematike
(III semestar)
Diferencijalne jednadžbe
1. Definicija obične diferencijalne jednadžbe, njen red i rješenje. Diferencijalna jednadžba prvog reda, polje smjera, izokline.
2. Cauchyjev problem za diferencijalnu jednačinu prvog reda. Teorema postojanja i jedinstvenosti za rješenje Cauchyjevog problema.
3. Određivanje opštih i partikularnih rješenja (integrala) diferencijalne jednadžbe prvog reda.
4. Jednačina sa odvojivim varijablama, njena integracija.
5. Linearna jednačina prvog reda, njena integracija.
6. Homogena diferencijalna jednadžba prvog reda, njena integracija.
7. Diferencijalna jednadžba n-th red. Cauchyjev problem za diferencijalnu jednačinu n-th red. Teorema postojanja i jedinstvenosti za rješenje Cauchyjevog problema za jednadžbu n-th red.
8. Definicija opšteg i partikularnog rješenja diferencijalne jednadžbe n-th red. Integracija jednadžbe oblika .
9. Jednačine koje dopuštaju redukciju reda. Metoda integracije jednadžbe oblika , gdje je k< n.
10. Metoda za integraciju jednačine oblika 
.
11. Definicija linearne diferencijalne jednadžbe n-th red. Homogena linearna jednadžba. Svojstva rješenja homogene linearne jednadžbe.
12. Definicija linearno zavisnih i linearno nezavisnih funkcija. Primjeri.
13. Definicija osnovnog sistema rješenja linearne homogene jednačine. Teorema o strukturi općeg rješenja linearne homogene jednadžbe n-th red.
14. TEOREMA O STRUKTURI OPŠTEG RJEŠENJA LINEARNE NEHOMOGENE JEDNAČINE n-th red.
15. Linearna homogena jednadžba sa konstantnim koeficijentima. Ojlerova metoda, karakteristična jednačina.
16. Konstrukcija osnovnog sistema rješenja i opšteg rješenja linearne homogene jednačine n reda u slučaju realnih različitih korijena karakteristične jednadžbe. Primjer.
17. Konstrukcija osnovnog sistema rješenja i opšteg rješenja linearne homogene jednačine n reda u slučaju kompleksnih konjugiranih korijena karakteristične jednadžbe. Primjer.
18. Konstrukcija osnovnog sistema rješenja i opšteg rješenja linearne homogene jednačine n reda u slučaju realnih jednakih korijena karakteristične jednadžbe. Primjer.
19. Pravilo za pronalaženje određenog rješenja linearne nehomogene jednadžbe sa konstantnim koeficijentima, ako desna strana ima oblik 
, gdje je polinom stepena .
20. Pravilo za pronalaženje određenog rješenja linearne nehomogene jednadžbe sa konstantnim koeficijentima, ako desna strana ima oblik , gdje je 
.
21. Metoda rješavanja linearne nehomogene diferencijalne jednadžbe oblika (princip superpozicije).
22. Sistem linearnih diferencijalnih jednadžbi u normalnom obliku. Cauchy problem. Teorema postojanja i jedinstvenosti za rješenje Cauchyjevog problema. Određivanje općih i posebnih rješenja sistema. Metoda eliminacije za normalne sisteme diferencijalnih jednačina.
23. Sistemi linearnih diferencijalnih jednadžbi. Svojstva rješenja. Rješavanje sistema linearnih diferencijalnih jednadžbi sa konstantnim koeficijentima.
činovi
24. Brojne serije. Definicija n-ti delimični zbir serije. Koncepti konvergencije i divergencije niza brojeva. Zbir konvergentnog niza. Geometrijske serije.
25. Osobine konvergentnih redova: množenje niza brojem, zbrajanje nizova po terminima.
26. Ostatak reda. Teorema o istovremenoj konvergenciji niza i njegovog ostatka.
27. Neophodan kriterij za konvergenciju niza. Ilustracija njegove nedovoljnosti na primjeru.
28. Pozitivna serija. Neophodan i dovoljan uslov za konvergenciju pozitivnog niza.
29. Prvi i drugi znak poređenja pozitivnih serija.
30. Znak d'Alamberta.
31. Integralni znak Cauchyja.
32. Generalizovani harmonijski red , gdje str je bilo koji realan broj. Ponašanje serije na str<1, str=1, str>1.
33. Naizmjenične serije. Apsolutna i neapsolutna konvergencija. Teorema o konvergenciji apsolutno konvergentnog niza.
34. Leibnizov test za konvergenciju naizmjeničnog niza. Procjena apsolutne greške kada se zbir konvergentnog niza zamijeni sumom prvog n
42. Binomni redovi za funkciju.
Teorija polja
Također poznat kao vektorska analiza. A za neke, vektorska analiza, poznata kao teorija polja =) Konačno smo došli do ove najzanimljivije teme!Ovaj dio više matematike se ne može nazvati jednostavnim, ali u budućim člancima pokušat ću postići dva cilja:
a) tako da svi razumiju o čemu se radi;
b) i da "dumci" nauče rješavati barem jednostavne stvari - barem na nivou zadataka koji se nude dopisnim studentima.
Sav materijal će biti predstavljen popularnim stilom, a ako su vam potrebne rigoroznije i potpunije informacije, onda možete uzeti, na primjer, 3. tom Fichtenholtza ili pogledati Wiki.
Hajde da odmah razložimo naslov. S teorijom je, mislim, sve jasno - u najboljoj tradiciji stranice, analizirat ćemo njene osnove i fokusirati se na praksu. Pa, na šta povezujete riječ "polje"?
Travni teren, fudbalski teren…. Više? Područje djelovanja, polje eksperimenata. Pozdrav humanitarci! ...Sa školskog kursa? Električno polje, magnetno, elektromagnetno... pa, u redu. Gravitaciono polje Zemlje u kojoj se nalazimo. Fino! Pa ko je to rekao za teren validan i kompleksni brojevi? …neka čudovišta su se okupila ovdje! =) Dobro, algebra već prošlo.
U sljedećoj lekciji ćemo se upoznati sa konkretnim konceptom polja, konkretnim primjerima iz života, te naučiti kako riješiti tematske probleme vektorske analize. Teoriju polja najbolje je proučavati, kao što tačno pretpostavljate, na terenu - prirodi, gdje je šuma, rijeka, jezero, seoska kuća, i pozivam sve da se urone, ako ne u toplu ljetnu stvarnost, onda u prijatnim uspomenama:
Polja u smislu koji se danas razmatra jesu skalar i vektor, a mi ćemo krenuti s njihovim "ciglama".
Kao prvo, skalar. Vrlo često se s ovim terminom pogrešno poistovjećuje broj. Ne, stvari su malo drugačije: skalar je veličina čija se svaka vrijednost može izraziti samo jedan broj. U fizici, primjeri su masa: dužina, širina, površina, zapremina, gustina, temperatura itd. Sve su to skalarne veličine. I usput, masa je također primjer.
drugo, vektor. Dotaknuo sam se algebarske definicije vektora u lekciji o linearne transformacije i jedna od njegovih privatnih inkarnacija nemoguće je ne znati=) Tipično vektor izraženo dva ili više brojevi(sa njihovim koordinatama). Čak i za jednodimenzionalni vektor samo jedan broj nije dovoljno- iz razloga što vektor ima drugi pravac. I tačka aplikacije, ako je vektor nije samac. Vektori karakterišu fizička polja sile, brzinu i mnoge druge veličine.
Pa, sada možete početi sa berbom aluminijumskih krastavaca:
Skalarno polje
Ako a svaki poenta nekih oblasti prostora dodijeljen određeni broj (često validan), onda to kažemo u ovoj domeni skalarno polje.
Razmotrite, na primjer, okomicu zraka. Zabodite lopatu radi jasnoće =) Šta skalarna polja može se postaviti na ovu gredu? Prva stvar koja se pojavi je polje visine- kada je svakoj tački grede određena visina iznad nivoa tla. Ili, na primjer, polje atmosferskog pritiska- ovdje svaka tačka snopa odgovara numeričkoj vrijednosti atmosferskog pritiska u datoj tački.
Sada priđimo jezeru i mentalno nacrtamo avion preko njegove površine. Ako je svakoj tački "vodenog" fragmenta ravni dodeljena dubina jezera, onda je, molim, postavljeno skalarno polje. Na istim tačkama mogu se uzeti u obzir i druge skalarne veličine, na primjer, temperatura vodene površine.
Najvažnije svojstvo skalarnog polja je njegov invarijantnost u odnosu na koordinatni sistem. Ako se prevede na ljudski jezik, onda s koje god strane pogledamo lopatu / jezero - skalarno polje (visina, dubina, temperatura, itd.) ovo se neće promijeniti. Štaviše, skalarno polje, recimo, dubina, može se dati na drugoj površini, na primjer, na odgovarajućoj hemisfera, ili direktno na samoj površini vode. Zašto ne? Zar nije moguće dodijeliti broj svakoj tački hemisfere koja se nalazi iznad jezera? Predložio sam avion isključivo radi pogodnosti.
Dodajmo još jednu koordinatu. Uzmi kamen u ruke. Svaka tačka ovog kamena može se povezati sa svojom fizička gustina. I opet - u kojem god koordinatnom sistemu ga smatrali, ma kako ga uvijali u ruci - skalarno polje gustine će ostati nepromijenjeno. Međutim, neki ljudi mogu osporiti ovu činjenicu =) Takav je kamen filozofa.
Sa čisto matematičke tačke gledišta (izvan fizičkog ili drugog privatnog smisla) skalarna polja su tradicionalno definirana našim "uobičajenim" funkcijama jedan , dva , tri i više varijabli. Istovremeno, u teoriji polja, tradicionalni atributi ovih funkcija, kao što su, domena, linije i ravne površine.
S trodimenzionalnim prostorom sve je slično:
- ovdje je svaka dopuštena tačka u prostoru povezana sa vektorom sa početkom u datoj tački. "Prihvatljivost" je određena domenima definicija funkcija, a ako je svaka od njih definirana za sve "x", "y", "z", tada će vektorsko polje biti dato u cijelom prostoru.
! Notacija : vektorska polja su takođe označena slovom ili , a njihove komponente sa ili respektivno.
Iz onoga što je već dugo i očito rečeno proizlazi da se, barem matematički, skalarna i vektorska polja mogu definirati u cijelom prostoru. Međutim, ipak sam bio oprezan s odgovarajućim fizičkim primjerima, budući da su takvi koncepti kao što su temperaturu, gravitacija(ili drugi) negde možda uopšte ne postoji. Ali ovo više nije horor, već naučna fantastika =) I ne samo naučna fantastika. Jer unutar kamenja vjetar po pravilu ne duva.
Treba napomenuti da neka vektorska polja (ista polja brzine) brzo se mijenjaju tokom vremena i stoga se u mnogim fizičkim modelima uzima u obzir dodatna nezavisna varijabla. Usput, isto se odnosi i na skalarna polja - temperatura se, zapravo, također nije "zamrznula" na vrijeme.
Međutim, u okviru matematike, ograničićemo se na trojstvo, a kada se takva polja „susreću” podrazumevaćemo neku fiksnu tačku u vremenu ili vreme tokom kojeg polje nije imalo vremena da se promeni.
vektorske linije
Ako su opisana skalarna polja linije i ravne površine, tada se može okarakterisati “oblik” vektorskog polja vektorske linije. Vjerovatno se mnogi sjećaju ovog školskog iskustva: magnet se stavlja ispod komada papira, a na vrhu (pogledaj!) gvozdena strugotina se izlije, koji se samo "ređaju" po linijama terena.
Pokušat ću to formulirati na jednostavniji način: svaka tačka vektorske linije je početak vektori polja, koji leži na tangenti u datoj tački: 
Naravno, vektori linija u opštem slučaju imaju različite dužine, tako da na gornjoj slici, kada se kreću s lijeva na desno, njihova dužina raste - ovdje možemo pretpostaviti da se približavamo, na primjer, magnetu. U fizičkim poljima sile vektorske linije nazivaju se tzv. linije sile. Drugi, jednostavniji primjer je Zemljino gravitacijsko polje: njegove linije sile su zraci sa ishodištem u centru planete i vektorima gravitacija koji se nalaze direktno na samim gredama.
Vektorske linije polja brzine se nazivaju trenutne linije. Još jednom zamislite oluju prašine - čestice prašine zajedno s molekulima zraka samo se kreću duž ovih linija. Slično s rijekom: putanje duž kojih se kreću molekuli tekućine (i ne samo) - u doslovnom smislu, su strujne linije. Općenito, mnogi koncepti teorije polja proizašli su iz hidrodinamike, s kojom ćemo se susresti više puta.
Ako je "ravno" vektorsko polje zadano funkcijom različitom od nule, tada se njegove linije sile mogu pronaći iz diferencijalna jednadžba. Rješenje ove jednačine postavlja porodica vektorske linije na ravni. Ponekad je u zadacima potrebno nacrtati nekoliko takvih linija, što obično ne uzrokuje poteškoće - odabrali su nekoliko zgodnih vrijednosti "ce", nacrtali neke hiperbola, i red.
Sa prostornim vektorskim poljem situacija je zanimljivija. Njegove linije sile određene su odnosima. Ovdje morate odlučiti sistem dvije diferencijalne jednadžbe i dobiti dvije porodice prostorne površine. Presječne linije ovih porodica će biti prostorne vektorske linije. Ako su sve komponente (“pe”, “ku”, “er”) različite od nule, postoji nekoliko tehničkih rješenja. Neću razmatrati sve ove načine (jer će članak narasti do nepristojnih veličina), ali ću se fokusirati na uobičajeni poseban slučaj kada je jedna od komponenti vektorskog polja jednaka nuli. Zapišimo odmah sve opcije:
ako , onda je potrebno riješiti sistem ;
ako , onda sistem ;
i ako , onda .
I nešto nedopustivo dugo nismo imali praksu:
Primjer 1
Pronađite linije polja vektorskog polja
Odluka: u ovom problemu , tako da rješavamo sistem:
Značenje je vrlo jednostavno. Dakle, ako funkcija definira skalarno polje dubine jezera, tada odgovarajuća vektorska funkcija definira skup nije besplatno vektora, od kojih svaki ukazuje na pravac ustani što pre dno u jednoj ili drugoj tački i brzinu ovog porasta.
Ako funkcija definira skalarno temperaturno polje nekog područja prostora, tada odgovarajuće vektorsko polje karakterizira smjer i brzinu najbrže zagrevanje prostor na svakoj tački u ovoj oblasti.
Hajde da analiziramo opšti matematički problem:
Primjer 3
Dato je skalarno polje i tačka. Obavezno:
1) sastaviti funkciju gradijenta skalarnog polja;
Koji je potencijalna razlika .
Drugim riječima, u potencijalnom polju bitne su samo početna i krajnja točka rute. A ako se ove točke poklapaju, tada će ukupan rad sila u zatvorenoj petlji biti jednak nuli:
Pokupimo pero sa zemlje i odnesimo ga na početnu tačku. U ovom slučaju, putanja našeg kretanja je opet proizvoljna; možete čak ispustiti olovku, ponovo je podići itd.
Zašto je konačni rezultat nula?
Da li je olovka pala sa tačke "a" na tačku "be"? Pao. Sila gravitacije je obavila posao.
Da li je olovka udarila u tačku "a"? Užasno. A to znači da je urađen potpuno isti posao protiv gravitacije, i nije bitno sa kojim "avanturama" i sa kojim silama - ali bar je vetar oduvao.
Bilješka : u fizici, znak minus simbolizira suprotan smjer.
Dakle, ukupan rad sila je nula: 
Kao što sam već napomenuo, fizički i filistarski koncept rada se razlikuju. A ova razlika će vam pomoći da dobro shvatite ne pero ili čak ciglu, već, na primjer, klavir :)
Zajedno podignite klavir i spustite ga niz stepenice. Vuci ulicom. Koliko hoćeš i gde hoćeš. I ako niko nije nazvao budalu, vratite instrument. jesi li radio? Svakako. Do sedmog znoja. Ali sa stanovišta fizike, nikakav posao nije obavljen.
Izraz "razlika potencijala" primamljiv je da kaže nešto više o potencijalnom elektrostatičkom polju, ali šokirati čitaoce nekako nije nimalo humano =) Štaviše, primjerima nema kraja, jer potencijal je bilo koje gradijentno polje, kojih ima desetak novčića.
Ali lako je reći "desetak novčića": evo vektorskog polja koje nam je dato - kako odrediti da li je potencijalno ili ne?
Vektorski rotor polja
Ili njega vortex komponenta, koja je takođe izražena vektorima.
Opet, uzmimo pero u ruke i pažljivo ga pošaljemo da pluta rijekom. Radi čistoće eksperimenta, pretpostavićemo da je homogen i simetričan u odnosu na centar. Osovina viri.
Razmislite vektorsko polje trenutna brzina, i neka tačka na površini vode, iznad koje se nalazi središte pera.
Ako u dati poen olovka se okreće u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, a zatim je stavljamo u liniju sa odlaznom nije besplatno vektor gore. Istovremeno, što se olovka brže okreće, to je ovaj vektor duži, ... iz nekog razloga mi se čini tako crno-crnim na jarkim zracima sunca .... Ako je rotacija u smjeru kazaljke na satu, tada vektor "gleda" prema dolje. Ako se olovka uopće ne rotira, tada je vektor nula.
Upoznajte - ovo je vektor rotora vektorsko polje brzine, karakterizira smjer "vrtloga" tečnosti u dati poen i ugaona brzina rotacije olovke (ali ne pravac i ne brzina same struje!).
Sasvim je jasno da sve tačke reke (uključujući i one koje su "pod vodom") imaju rotacioni vektor, tako da za vektorsko polje trenutne brzine definisali smo novo vektorsko polje!
Ako je vektorsko polje zadano funkcijom, tada je njegovo rotacijsko polje zadano sljedećim vektorska funkcija:
U ovom slučaju, ako su vektori rotaciono polje rijeke su velike po modulu i imaju tendenciju da mijenjaju smjer, to uopće ne znači da je riječ o vijugavoj i nemirnoj rijeci (vraćajući se na primjer). Takva situacija se može uočiti i u ravnom kanalu - kada je, na primjer, brzina veća u sredini, a niža blizu obale. To jest, generira se rotacija olovke različite brzine protoka in susjedni trenutne linije.
S druge strane, ako su vektori rotora kratki, onda to može biti "zavojita" planinska rijeka! Važno je da u susjedne strujne linije brzina struje (brzo ili sporo) neznatno razlikovali.
I na kraju, odgovor na gornje pitanje: u bilo kojoj tački potencijalnog polja, njegov zavoj je nula:
Tačnije, nulti vektor.
Potencijalno polje se također naziva irrotacijski polje.
“Idealnog” toka, naravno, nema, ali se to često može primijetiti polje brzine rijeke su blizu potencijala - razni objekti mirno plutaju uza se i ne vrte se, ... jeste li i vi predstavili ovu sliku? Međutim, oni mogu plivati vrlo brzo, i duž krivine, pa usporiti, pa ubrzati - važno je da brzina struje u susjedne strujne linije zadržao konstantan.
I, naravno, naše smrtno gravitaciono polje. Za sljedeći eksperiment dobro je prikladan bilo koji dovoljno težak i homogen predmet, na primjer, zatvorena knjiga, neotvorena limenka piva ili, usput rečeno, cigla koja je čekala na krilima =) Držite njene krajeve rukama , podignite ga i lagano pustite u slobodan pad. Neće se okretati. A ako jeste, onda su to vaši "lični napori" ili je cigla pogrešna. Ne budite lijeni i provjerite ovu činjenicu! Samo nemojte ništa bacati kroz prozor, to više nije olovka
Nakon toga, mirne savjesti i pojačanog tona, možete se vratiti praktičnim zadacima:
Primjer 5
Pokažite da je vektorsko polje potencijalno i pronađite njegov potencijal
Odluka: uslov direktno potvrđuje potencijalnost polja, a naš zadatak je da tu činjenicu dokažemo. Nađimo rotirajuću funkciju ili, kako često kažu, rotor datog polja:
Radi praktičnosti, ispisujemo komponente polja:
i počnite ih pronaći parcijalni derivati- zgodno ih je "sortirati" po "rotacionom" redoslijedu, s lijeva na desno:
- i odmah proveravamo to 
(kako ne biste radili dodatni posao u slučaju ne-nultinog rezultata). idemo dalje:
ovako:
, dakle, polje je potencijalno i prema tome je funkcija gradijenta 
neko skalarno polje dato potencijalom .
