Normalni zakon distribucije vjerovatnoće

Bez pretjerivanja, može se nazvati filozofskim zakonom. Promatrajući razne objekte i procese svijeta oko nas, često se susrećemo s činjenicom da nešto nije dovoljno, te da postoji norma:

Evo osnovnog pogleda funkcije gustine normalna raspodjela vjerovatnoće, i želim vam dobrodošlicu u ovu najzanimljiviju lekciju.

Koji se primjeri mogu navesti? Oni su samo tama. To je, na primjer, visina, težina ljudi (i ne samo), njihova fizička snaga, mentalne sposobnosti itd. postoji "masa" (na ovaj ili onaj način) i ima odstupanja u oba smjera.

To su različite karakteristike neživih predmeta (iste dimenzije, težina). Ovo je nasumično trajanje procesa, na primjer, vrijeme trke na sto metara ili transformacije smole u ćilibar. Iz fizike su mi pali na pamet molekuli zraka: među njima ima sporih, ima i brzih, ali većina se kreće „standardnim“ brzinama.

Zatim odstupimo od centra za još jednu standardnu devijaciju i izračunamo visinu:

Označavanje tačaka na crtežu (zelena boja) i vidimo da je to sasvim dovoljno.

U završnoj fazi pažljivo crtamo graf i posebno pažljivo odražavaju to konveksnost / konkavnost! Pa, vjerovatno ste odavno shvatili da je apscisa osa horizontalna asimptota, i apsolutno je nemoguće „popeti se“ za njega!

Sa elektronskim dizajnom rješenja, graf je lako izgraditi u Excelu, a neočekivano za sebe, čak sam snimio i kratak video na ovu temu. Ali prvo, razgovarajmo o tome kako se oblik normalne krive mijenja ovisno o vrijednostima i .

Prilikom povećanja ili smanjenja "a" (sa nepromijenjenom "sigmom") graf zadržava svoj oblik i pomiče se desno/lijevo respektivno. Tako, na primjer, kada funkcija poprimi oblik a naš graf "pomiče" 3 jedinice ulijevo - tačno do početka:

Normalno raspoređena veličina sa nultim matematičkim očekivanjem dobila je potpuno prirodno ime - centriran; njegovu funkciju gustine – čak, a graf je simetričan oko y-ose.

U slučaju promjene "sigme" (sa konstantom "a"), graf "ostaje na mjestu", ali mijenja oblik. Kada se uveća, postaje niži i izdužen, poput hobotnice koja rasteže svoje pipke. I obrnuto, kada se graf smanjuje postaje uži i viši- ispada "iznenađena hobotnica." Da, u smanjiti"sigma" dva puta: prethodni grafikon se dva puta sužava i proteže prema gore:

Sve je u potpunosti u skladu sa geometrijske transformacije grafova.

Normalna distribucija sa jediničnom vrijednošću naziva se "sigma". normalizovano, i ako je također centriran(naš slučaj), onda se takva distribucija zove standard. Ima još jednostavniju funkciju gustoće, koja se već susrela u lokalna Laplaceova teorema: . Standardna distribucija je našla široku primjenu u praksi, a vrlo brzo ćemo konačno shvatiti njenu svrhu.

A sada pogledajmo film:

Da, sasvim tačno – nekako nezasluženo smo ostali u senci funkcija raspodjele vjerovatnoće. Pamtimo je definicija:
- vjerovatnoća da će slučajna varijabla poprimiti vrijednost MANJU od varijable, koja "pokreće" sve realne vrijednosti do "plus" beskonačnosti.

Unutar integrala se obično koristi drugo slovo kako ne bi bilo "preklapanja" s notacijom, jer je ovdje svakoj vrijednosti dodijeljena nepravilan integral , što je jednako nekom broj iz intervala.

Gotovo sve vrijednosti se ne mogu precizno izračunati, ali kao što smo upravo vidjeli, uz modernu računarsku snagu, to nije teško. Dakle, za funkciju standardne distribucije, odgovarajuća excel funkcija općenito sadrži jedan argument:

=NORMSDIST(z)

Jedan, dva - i gotovi ste:

Crtež jasno pokazuje implementaciju svega svojstva funkcije distribucije, a od tehničkih nijansi ovdje treba obratiti pažnju horizontalne asimptote i tačka pregiba.

Sada se prisjetimo jednog od ključnih zadataka teme, naime, saznati kako pronaći - vjerovatnoću da normalna slučajna varijabla će uzeti vrijednost iz intervala. Geometrijski, ova vjerovatnoća je jednaka području između normalne krive i x-ose u odgovarajućem dijelu:

ali svaki put samljeti približnu vrijednost je nerazumno, pa je stoga racionalnije koristiti "laka" formula:
.

! takođe pamti , šta

Ovdje možete ponovo koristiti Excel, ali postoji nekoliko značajnih "ali": prvo, nije uvijek pri ruci, a drugo, "gotove" vrijednosti će najvjerovatnije pokrenuti pitanja od nastavnika. Zašto?

O tome sam već više puta govorio: svojevremeno (i ne tako davno) običan kalkulator je bio luksuz, a „ručni“ način rješavanja problema koji se razmatra još uvijek je sačuvan u obrazovnoj literaturi. Njegova suština je da standardizovati vrijednosti "alfa" i "beta", odnosno reduciraju rješenje na standardnu distribuciju:

Bilješka : funkciju je lako dobiti iz opšteg slučajakoristeći linearnu zamjene. Zatim i:

a od zamjene samo slijedi formula prijelaz sa vrijednosti proizvoljne distribucije na odgovarajuće vrijednosti standardne distribucije.

Zašto je ovo potrebno? Činjenica je da su vrijednosti savjesno izračunali naši preci i sažeti u posebnu tabelu, koja se nalazi u mnogim knjigama o terveru. Ali još češća je tabela vrijednosti, u kojoj smo se već pozabavili Laplaceov integralni teorem:

Ako imamo na raspolaganju tablicu vrijednosti Laplaceove funkcije , onda kroz to rješavamo:

Razlomke se tradicionalno zaokružuju na 4 decimale, kao što se radi u standardnoj tabeli. I za kontrolu Stavka 5 raspored.

Podsećam te na to , i kako bi se izbjegla zabuna uvek pod kontrolom, tabela ŠTA funkcija pred vašim očima.

Odgovori je potrebno dati kao postotak, tako da se izračunata vjerovatnoća mora pomnožiti sa 100 i dati rezultat sa smislenim komentarom:

- sa letom od 5 do 70 m, oko 15,87% granata će pasti

Treniramo samostalno:

Primjer 3

Prečnik ležajeva proizvedenih u fabrici je slučajna varijabla normalno raspoređena sa očekivanjem od 1,5 cm i standardnom devijacijom od 0,04 cm.Nađite verovatnoću da se veličina slučajno uzetog ležaja kreće od 1,4 do 1,6 cm.

U primjeru rješenja i ispod, koristit ću Laplaceovu funkciju kao najčešću opciju. Usput, imajte na umu da, prema formulaciji, ovdje možete uključiti krajeve intervala u razmatranje. Međutim, to nije kritično.

I već u ovom primjeru susreli smo se sa posebnim slučajem - kada je interval simetričan u odnosu na matematičko očekivanje. U takvoj situaciji, može se napisati u obliku i, koristeći neparnost Laplaceove funkcije, pojednostaviti radnu formulu:

Poziva se parametar delta odstupanje iz matematičkog očekivanja, a dvostruka nejednakost se može “upakovati” koristeći modul:

je vjerovatnoća da vrijednost slučajne varijable odstupa od matematičkog očekivanja za manje od .

Pa resenje koje stane u jedan red :)
je vjerovatnoća da se promjer nasumično uzetog ležaja razlikuje od 1,5 cm za najviše 0,1 cm.

Ispostavilo se da je rezultat ovog zadatka blizak jedinici, ali bih želio još više pouzdanosti - naime, otkriti granice u kojima je promjer skoro svi ležajevi. Postoji li neki kriterijum za ovo? Postoji! Na pitanje odgovara tzv

tri sigma pravilo

Njegova suština je u tome praktično pouzdan je činjenica da će normalno raspoređena slučajna varijabla uzeti vrijednost iz intervala .

Zaista, vjerovatnoća odstupanja od očekivanja je manja od:
ili 99,73%

Što se tiče "ležajeva" - radi se o 9973 komada promjera od 1,38 do 1,62 cm i samo 27 "podstandardnih" primjeraka.

U praktičnim istraživanjima, pravilo “tri sigme” se obično primjenjuje u suprotnom smjeru: ako statistički utvrdili da gotovo sve vrijednosti slučajna varijabla koja se proučava uklapaju se u interval od 6 standardnih devijacija, onda postoje dobri razlozi za vjerovanje da je ova vrijednost distribuirana prema normalnom zakonu. Provjera se vrši korištenjem teorije statističke hipoteze.

Nastavljamo da rješavamo teške sovjetske zadatke:

Primjer 4

Slučajna vrijednost greške vaganja distribuira se prema normalnom zakonu sa nultim matematičkim očekivanjem i standardnom devijacijom od 3 grama. Odrediti vjerovatnoću da će sljedeće vaganje biti izvršeno s greškom koja ne prelazi 5 grama u apsolutnoj vrijednosti.

Rješenje veoma jednostavno. Po uslovu, a to odmah konstatujemo pri sledećem vaganju (nešto ili neko) skoro 100% ćemo dobiti rezultat sa tačnošću od 9 grama. Ali u problemu postoji uže odstupanje i po formuli :

- vjerovatnoća da će sljedeće vaganje biti izvršeno s greškom koja ne prelazi 5 grama.

Odgovori:

Rešen problem se suštinski razlikuje od naizgled sličnog. Primjer 3 lekcija o ujednačena distribucija. Došlo je do greške zaokruživanje rezultata mjerenja, ovdje je riječ o slučajnoj grešci samih mjerenja. Takve greške nastaju zbog tehničkih karakteristika samog uređaja. (opseg dozvoljenih grešaka, u pravilu, naveden je u njegovom pasošu), a također i krivnjom eksperimentatora - kada, na primjer, "na oko" uzimamo očitanja sa strelice iste skale.

Između ostalih, postoje i tzv sistematično greške merenja. Već je nonrandom greške koje nastaju zbog neispravnog podešavanja ili rada uređaja. Tako, na primjer, neprilagođena podna vaga može dosljedno "dodavati" kilogram, a prodavač sustavno potencira kupce. Ili ne sistematski, jer možete kvariti. Međutim, u svakom slučaju, takva greška neće biti slučajna, a njeno očekivanje je drugačije od nule.

…Hitno razvijam kurs za obuku prodaje =)

Hajde da sami riješimo problem:

Primjer 5

Prečnik valjka je slučajna normalno raspoređena slučajna varijabla, njena standardna devijacija je mm. Odredite dužinu intervala, simetričnog u odnosu na matematičko očekivanje, u kojem će dužina prečnika perle pasti sa vjerovatnoćom.

Stavka 5* dizajn rasporeda pomoći. Napominjemo da matematičko očekivanje ovdje nije poznato, ali to ni najmanje ne ometa rješavanje problema.

I ispitni zadatak, koji toplo preporučujem za konsolidaciju gradiva:

Primjer 6

Normalno raspoređena slučajna varijabla je data svojim parametrima (matematičko očekivanje) i (standardna devijacija). Obavezno:

a) zapisati gustinu vjerovatnoće i shematski prikazati njen graf;
b) naći vjerovatnoću da će uzeti vrijednost iz intervala ;
c) naći vjerovatnoću da modul ne odstupa od više od ;
d) primjenom pravila "tri sigme" pronađite vrijednosti slučajne varijable.

Takvi problemi se nude posvuda, a tokom godina prakse uspio sam riješiti stotine i stotine njih. Obavezno vježbajte crtanje rukom i korištenje papirnih tabela ;)

Pa, analizirat ću primjer povećane složenosti:

Primjer 7

Gustina raspodjele vjerovatnoće slučajne varijable ima oblik . Find , matematičko očekivanje , varijansa , funkcija distribucije , gustina dijagrama i funkcije distribucije , find .

Rješenje: prije svega, obratimo pažnju da uvjet ne govori ništa o prirodi slučajne varijable. Samo po sebi prisustvo izlagača ne znači ništa: to može biti npr. demonstrativna ili generalno proizvoljno kontinuirana distribucija. I stoga, „normalnost“ distribucije još uvijek treba potkrijepiti:

Od funkcije utvrđeno na bilo koji realna vrijednost , a može se svesti na oblik , tada se slučajna varijabla raspoređuje prema normalnom zakonu.

Predstavljamo. Za ovo odaberite cijeli kvadrat i organizovati trospratni razlomak:

Obavezno izvršite provjeru, vraćajući indikator u izvorni oblik:

što smo hteli da vidimo.

Na ovaj način:
- uključeno pravilo moći"štipanje". I ovdje možete odmah zapisati očigledne numeričke karakteristike:

Sada pronađimo vrijednost parametra. Budući da množitelj normalne distribucije ima oblik i , tada:
, iz koje izražavamo i zamjenjujemo u našu funkciju:
, nakon čega ćemo još jednom očima pregledati zapis i uvjeriti se da rezultirajuća funkcija ima oblik .

Nacrtajmo gustinu:

i dijagram funkcije distribucije :

Ako pri ruci nema Excela, pa čak ni običnog kalkulatora, onda se posljednji grafikon lako gradi ručno! U tom trenutku funkcija distribucije poprima vrijednost i evo

Rečeno je da CB X ima ujednačena distribucija u preseku od a do b, ako je njegova gustina f (x) u ovom preseku konstantna, tj

Na primjer, mjerenje neke količine se vrši pomoću instrumenta sa grubim podjelama; najbliži cijeli broj se uzima kao približna vrijednost mjerene veličine. CV X - greška mjerenja je ravnomjerno raspoređena po presjeku, budući da nijedna od vrijednosti slučajne varijable nije poželjnija od drugih.

eksponencijalno (eksponencijalno) naziva se distribucija vjerovatnoće kontinuirane slučajne varijable, koja se opisuje gustinom

gdje je konstantna pozitivna vrijednost.

Primjer kontinuirane slučajne varijable distribuirane prema eksponencijalnom zakonu je vrijeme između pojave dva uzastopna događaja najjednostavnijeg toka.

Često, trajanje rada elemenata ima eksponencijalnu distribuciju, čija je funkcija distribucije
određuje vjerovatnoću kvara elementa za vremensko trajanje t.

— stopa kvarova (prosječan broj kvarova po jedinici vremena).

normalan zakon distribucija (ponekad se naziva Gaussov zakon) igra izuzetno važnu ulogu u teoriji vjerovatnoće i zauzima poseban položaj među ostalim zakonima distribucije. Gustina distribucije normalnog zakona ima oblik

gdje je m matematičko očekivanje,

— standardna devijacija X.

Vjerovatnoća da će normalno raspoređeni CV X uzeti vrijednost koja pripada intervalu izračunava se po formuli: ,

gdje je F(X) — Laplaceova funkcija. Njegove vrijednosti se određuju iz tablice primjene udžbenika iz teorije vjerojatnosti.

Vjerovatnoća da je odstupanje normalno raspoređene slučajne varijable X od matematičkog očekivanja u apsolutnoj vrijednosti manje od datog pozitivnog broja, izračunava se po formuli

PRIMJERI RJEŠAVANJA PROBLEMA

PRIMJER 13.2.41. Cijena jednog podjela ampermetarske skale je 0,1 A. Očitavanja su zaokružena na najbliži cijeli podeljak. Nađite vjerovatnoću da će tokom očitavanja biti napravljena greška veća od 0,02 A.

Rješenje. Greška zaokruživanja se može smatrati CB X, koja je ravnomjerno raspoređena u intervalu između dva susjedna podjela. Gustoća uniformne raspodjele, gdje je (b-a) dužina intervala koji sadrži moguće vrijednosti X. U problemu koji se razmatra, ova dužina je jednaka 0,1. Zbog toga . dakle, .

Greška čitanja će premašiti 0,02 ako je zatvorena u intervalu (0,02; 0,08). Prema formuli imamo

PRIMJER 13.2.42. Trajanje radnog vremena elementa ima eksponencijalnu distribuciju. Pronađite vjerovatnoću da će u vremenu od sati:

a) element neće uspjeti;

b) element neće otkazati.

Rješenje. a) Funkcija određuje vjerovatnoću otkaza elementa tokom vremena t, dakle, zamjenom , dobijamo vjerovatnoću kvara: .

b) Događaji “element neće otkazati” i “element neće otkazati” su suprotni, pa je vjerovatnoća da element neće otkazati .

PRIMJER 13.2.43. Slučajna varijabla X je normalno raspoređena s parametrima. Nađite vjerovatnoću da RV X odstupi od svog matematičkog očekivanja m za više od .

Ova vjerovatnoća je vrlo mala, odnosno takav događaj se može smatrati gotovo nemogućim (možete pogriješiti u otprilike tri slučaja od 1000). Ovo je "pravilo tri sigme": ako je slučajna varijabla normalno raspoređena, tada apsolutna vrijednost njenog odstupanja od matematičkog očekivanja ne prelazi tri puta standardnu devijaciju.

PRIMJER 13.2.44. Matematičko očekivanje i standardna devijacija normalno raspoređene slučajne varijable su 10, odnosno 2. Odrediti vjerovatnoću da će, kao rezultat testa, X uzeti vrijednost sadržanu u intervalu (12, 14).

Rješenje Za normalno raspoređenu količinu

Zamena, dobijamo

Nalazimo iz tabele.

Željena vjerovatnoća.

Primjeri i zadaci za samostalno rješavanje

Riješite probleme koristeći formule za izračunavanje vjerovatnoće za kontinuirane slučajne varijable i njihove karakteristike

3.2.9.1. Naći matematičko očekivanje, varijansu i standardnu devijaciju slučajne varijable X ravnomjerno raspoređene u intervalu (a,b).

Rep.:

3.2.9.2. Metro vozovi voze redovno sa intervalom od 2 minute. Putnik ulazi na platformu u nasumično vrijeme. Naći gustinu distribucije SW T - vrijeme tokom kojeg će morati čekati na voz; . Pronađite vjerovatnoću da ne morate čekati više od pola minute.

Rep.:

3.2.9.3. Minutna kazaljka električnog sata skače na kraju svake minute. Nađite vjerovatnoću da će u datom trenutku sat pokazati vrijeme koje se razlikuje od pravog vremena za najviše 20 s.

Rep.:2/3

3.2.9.4. Slučajna varijabla X je ravnomjerno raspoređena na segmentu (a,b). Pronađite vjerovatnoću da će, kao rezultat eksperimenta, ona odstupiti od svog matematičkog očekivanja za više od .

Rep.:0

3.2.9.5. Slučajne varijable X i Y su nezavisne i ravnomerno raspoređene: X - u intervalu (a,b), Y - u intervalu (c,d). Pronađite matematičko očekivanje proizvoda XY.

Rep.:

3.2.9.6. Pronađite matematičko očekivanje, varijansu i standardnu devijaciju eksponencijalno raspoređene slučajne varijable.

Rep.:

3.2.9.7. Napišite gustoću i funkciju distribucije eksponencijalnog zakona ako je parametar .

Rep.: ,

3.2.9.8. Slučajna varijabla ima eksponencijalnu distribuciju s parametrom . Nađi .

Rep.:0,233

3.2.9.9. Vrijeme rada elementa je raspoređeno prema eksponencijalnom zakonu, gdje je t vrijeme, h. Odrediti vjerovatnoću da će element raditi bez kvara 100 sati.

Rep.:0,37

3.2.9.10. Ispituju se tri elementa koji rade nezavisno jedan od drugog. Trajanje rada elemenata bez otkaza raspoređuje se prema eksponencijalnom zakonu: za prvi element ; za drugi ; za treći element . Odrediti vjerovatnoću da će u vremenskom intervalu (0; 5) sati otkazati: a) samo jedan element; b) samo dva elementa; c) sva tri elementa.

Rep.: a) 0,292; b) 0,466; c) 0,19

3.2.9.11. Dokažite da ako je kontinuirana slučajna varijabla distribuirana prema eksponencijalnom zakonu, onda vjerovatnoća da X uzme vrijednost manju od matematičkog očekivanja M(X) ne zavisi od vrijednosti parametra ; b) naći vjerovatnoću da je X > M(X).

Rep.:

3.2.9.12. Matematičko očekivanje i standardna devijacija normalno distribuirane slučajne varijable su 20, odnosno 5. Naći vjerovatnoću da će, kao rezultat testa, X uzeti vrijednost sadržanu u intervalu (15; 25).

Rep.: 0,6826

3.2.9.13. Određena supstanca se vaga bez sistematskih grešaka. Slučajne greške vaganja podliježu normalnom zakonu sa standardnom devijacijom r. Naći vjerovatnoću da će a) vaganje biti izvršeno sa greškom koja ne prelazi 10r u apsolutnoj vrijednosti; b) od tri nezavisna vaganja, greška najmanje jednog neće biti veća od 4r u apsolutnoj vrijednosti.

Rep.:

3.2.9.14. Slučajna varijabla X je normalno raspoređena sa srednjom i standardnom devijacijom. Pronađite interval koji je simetričan u odnosu na matematičko očekivanje, u kojem će, sa vjerovatnoćom od 0,9973, vrijednost X pasti kao rezultat testa.

Rep.:(-5,25)

3.2.9.15. Fabrika proizvodi kuglice za ležajeve čiji je nazivni prečnik 10 mm, a stvarni prečnik je nasumičan i raspoređen po normalnom zakonu sa mm i mm. U kontroli se odbijaju sve lopte koje ne prođu kroz okruglu rupu prečnika 10,7 mm i sve koje prolaze kroz okruglu rupu prečnika 9,3 mm. Pronađite postotak loptica koje će biti odbijene.

Rep.:8,02%

3.2.9.16. Mašina pečati detalje. Kontrolira se dužina dijela X, koji je normalno raspoređen sa projektnom dužinom (matematičko očekivanje) od 50 mm. Zapravo, dužina proizvedenih dijelova nije manja od 32 i ne veća od 68 mm. Odrediti vjerovatnoću da je nasumično uzeta dužina: a) veća od 55 mm; b) manje od 40 mm.

Hint: Od jednakosti unapred pronađite.

Rep.:a) 0,0823; b) 0,0027

3.2.9.17. Čokoladne kutije se automatski pakuju; njihova prosječna težina je 1,06 kg. Pronađite disperziju ako 5% kutija ima masu manju od 1 kg. Pretpostavlja se da je masa kutija raspoređena prema normalnom zakonu.

Rep.:0,00133

3.2.9.18. Bombarder koji je leteo duž mosta, koji je dugačak 30 metara i širok 8 metara, bacio je bombe. Slučajne varijable X i Y (udaljenost od vertikalne i horizontalne ose simetrije mosta do mesta gde je bomba pala) su nezavisne i normalno raspoređene sa standardnim devijacijama od 6 i 4 m, a matematička očekivanja jednaka nuli. Pronađite: a) vjerovatnoću da jedna bačena bomba pogodi most; b) vjerovatnoća uništenja mosta ako su bačene dvije bombe, a poznato je da je jedan pogodak dovoljan da se most uništi.

Rep.:

3.2.9.19. U normalno raspoređenoj populaciji, 11% X vrijednosti je manje od 0,5, a 8% X vrijednosti je veće od 5,8. Naći parametre m i datu distribuciju. >
Primjeri rješavanja problema >

> > Distribucije kontinuiranih slučajnih varijabli

Primjer 1 Matematičko očekivanje normalno distribuiranog kontinuiranog SW XM(X) = 6, a standardna devijacija s( X) = 2.

Nađite: 1) vjerovatnoću da ćete pogoditi vrijednosti CB X u intervalu (2; 9);

3) interval simetričan u odnosu na a X sa vjerovatnoćom g = 0,9642.

Rješenje. 1) Nađite vjerovatnoću pogađanja vrijednosti CB X u interval (2; 9).

Vrijednosti Laplaceove funkcije uzeti sa stola. Svojstvo neparnosti funkcije F(– X) = – F( X).

2) Definirajte vjerovatnoću

Jer a = M(X) = 6 i s = s( X) = 2, dakle

3) Pronađite interval simetričan u odnosu na a, koji uključuje vrijednosti SW X sa vjerovatnoćom g = 0,9642.

Iz tablice vrijednosti Laplaceove funkcije nalazimo da je d = 4,2. Tada je interval -4,2< X – 6 < 4,2 и
1,8 < X < 10,2.

Primjer 2 Slučajna vrijednost T(sati) – vrijeme rada uređaja ima eksponencijalnu distribuciju. Odrediti vjerovatnoću da će uređaj raditi bez popravke najmanje 600 sati ako je srednje vrijeme neometanog rada uređaja ovog tipa 400 sati.

Rješenje. M(T) = 400 sati, dakle, prema formuli (1.46) Budući da je za eksponencijalnu raspodjelu onda
0,2233.

Primjer 3 Slučajna vrijednost X ravnomjerno raspoređeni na segmentu [ a, b]. Pronađite vjerovatnoću da ćete pogoditi slučajnu varijablu X za segment
, u potpunosti sadržano unutar segmenta [ a, b].

Rješenje. Koristimo formulu gdje je gustina vjerovatnoće

Na ovaj način

Primjer 4 Električni vozovi voze striktno po redu vožnje sa intervalom
20 minuta. Pronađite vjerovatnoću da će putnik koji se približava peronu čekati na sljedeći električni voz više od 10 minuta, kao i prosječno vrijeme čekanja.

Rješenje. X– vrijeme čekanja (min.) za električni voz, može se smatrati ravnomjerno raspoređenom slučajnom promjenljivom gustinom:

a ovo je prosječno vrijeme čekanja za električni voz.

Primjer 5 Mašina proizvodi čaure. Rukav se smatra dobrim ako je odstupanje X njegov promjer od projektne veličine u apsolutnoj vrijednosti je manji od 1 mm. Pod pretpostavkom da je slučajna varijabla X normalno raspoređeno sa standardnom devijacijom s = 0,5 mm i matematičkim očekivanjem a= 0, odrediti koliko će odgovarajućih čahura biti među 100 proizvedenih, kao i vjerovatnoću da će odstupanje od projektne veličine biti najmanje 0,4 mm, a ne više od 0,8 mm.

Rješenje. Koristimo formulu () pri d = 1, s = 0,5 i a = 0.

Iz toga slijedi da će približno 95 čahura od 100 biti prikladno.

Da bismo pronašli vjerovatnoću da će odstupanje od projektne veličine biti najmanje 0,4 mm i ne više od 0,8 mm, koristimo formulu (1.54)

at a= 0, s = 0,5, a = 0,4, b = 0,8.

Vrijednosti funkcije F( x) se nalazi iz tabele.

Opcije zadatka

OPCIJA 1

X (CB X) je dat nizom distribucije:

x i
pi	0,1	0,2	0,3	0,1	0,3

F(x M(X), disperzija D(XX), moda M 0 (X); 3) vjerovatnoća P(8≤ X < 30). Построить многоугольник распределения и график F(x).

Zadatak 2. Svaki od strijelaca puca u metu jednom. Vjerovatnoća da će prvi, drugi i treći strijelac pogoditi metu jednim hicem jednaka je 0,8; 0,6 i 0,9. Za
CB X- ukupan broj pogodaka na metu pod navedenim uslovima, napravi distribucionu seriju i pronađi F(x), M(X), s( X) i D(X).

Zadatak 3. Vjerovatnoća nastanka nekog događaja ALI u svakom eksperimentu je 0,6. Potrebno je: 1) konstruisati distribucioni niz diskretnog CB X– broj pojavljivanja događaja ALI u četiri nezavisna eksperimenta; 2) procijeniti vjerovatnoću da će se u seriji od 80 nezavisnih eksperimenata ovaj događaj dogoditi najmanje 60 puta.

Problem 4. Diskretno CB X dato nizom distribucija:

x i	–2	–1
pi	0,05	0,10	0,15	?	0,15	0,20	0,10

Pronađite distributivnu seriju CB Y = –2X 2 + 3, M(Y) i D(Y).

Zadatak 5. Kontinuirano CB X

Pronađite: a) gustinu distribucije f(x); b) M(x); u) d) vjerovatnoća da će u tri nezavisna ispitivanja CB X uzima vrijednosti koje pripadaju intervalu tačno dva puta

Zadatak 6. Zadana je funkcija

A CB X. Nađi F(x), M(X) i D(X). Build Graph F(x).

Zadatak 7. Dato M(X) = 14 i s( X SW X. Nađi:

1) verovatnoća ;

2) vjerovatnoća ;

3) simetrično u odnosu na a CB X sa vjerovatnoćom g = 0,8385.

Zadatak 8. Skala štoperice ima vrijednost podjele 0,2 s. Odbrojavanje se vrši na najbliži cijeli dio sa zaokruživanjem na najbližu stranu. Greška čitanja u ovim uslovima može se smatrati ravnomerno raspoređenom slučajnom promenljivom.

Pronađite vjerovatnoću da koristite ovu štopericu za brojanje vremena sa greškom a) manjom od 0,05 s; b) najmanje 0,01 s i ne više od 0,05 s.

OPCIJA 2

Problem 1. Diskretna slučajna varijabla X (CB X) je dat nizom distribucije:

x i	–2	–1
pi	0,2	0,2	0,1	0,3	0,2

Naći: 1) funkciju distribucije F(x); 2) numeričke karakteristike: matematičko očekivanje M(X), disperzija D(X), standardna devijacija s( X), moda M 0 (X); 3) vjerovatnoća P(–2≤ X < 5). Построить многоугольник распределения и график F(x).

Problem 2. U lutriji je 100 listića, od kojih je 10 dobitnih. Neko kupi 4 karte. Za SV X- broj dobitnih tiketa među onima koji će biti kupljeni, napravite distribucijsku seriju i pronađite F(x), M(X), s( X).

Zadatak 3. Izvještaji se sastavljaju nezavisno jedan od drugog. Verovatnoća greške u svakom izveštaju je 0,3. Potrebno: 1) izgraditi distributivnu seriju CBX- broj izvještaja sa greškama među četiri sastavljena; izračunati M(X), D(X) i s( X); 2) procijeniti vjerovatnoću da će 50 izvještaja biti jednako 20 izvještaja sa greškama.

Problem 4. Poznato je da je diskretna CB X može uzeti samo dvije vrijednosti x 1 = -2 i x 2 = 3 i njegovo matematičko očekivanje M(X) = 1,5. Sastavite distributivnu seriju CB X i C.B. Z= Nađi F(z) i s( Z).

Zadatak 5. Kontinuirano CB X dato funkcijom distribucije

f(x); 2) M(x) i D(X);
3) 4) verovatnoća da u tri nezavisna ispitivanja CB Xće poprimiti vrijednost koja pripada intervalu (1; 4) tačno jednom.

Zadatak 6. Zadana je funkcija

Definirajte vrijednost parametra A, pri čemu ova funkcija specificira gustinu distribucije vjerovatnoće nekog kontinuiranog CB X. Nađi F(x), M(X), D(X). Build Graph F(x).

Zadatak 7. Dato M(X) = 12 i s( X SW X. Nađi:

1) verovatnoća ;

2) vjerovatnoća ;

3) simetrično u odnosu na a interval u kojem vrijednosti padaju CB X sa vjerovatnoćom g = 0,4515.

Problem 8. Slučajna greška mjerenja nekog detalja podliježe normalnom zakonu sa parametrom s = 20 mm. Odrediti vjerovatnoću: a) da je dio izmjeren sa greškom koja ne prelazi 22 mm u apsolutnoj vrijednosti; b) ni u jednom od dva izvršena mjerenja, greška neće biti veća od 22 mm u apsolutnoj vrijednosti.

OPCIJA 3

Problem 1. Diskretna slučajna varijabla X (CB X) je dat nizom distribucije:

x i
pi	0,3	0,1	0,1	0,4	0,1

Naći: 1) funkciju distribucije F(x); 2) numeričke karakteristike: matematičko očekivanje M(X), disperzija D(X), standardna devijacija s( X), moda M 0 (X); 3) vjerovatnoća P(1≤ X < 7). Построить многоугольник распределения и график F(x).

Zadatak 2. Od tri sportista uključena u omladinsku reprezentaciju zemlje u takmičenjima u skoku u vis, jedan može proći kvalifikovane startove sa vjerovatnoćom 0,9, drugi sa vjerovatnoćom 0,8 i treći sa vjerovatnoćom 0,6. Za CB X- broj sportista reprezentacije koji će ići u naredni krug takmičenja, napraviti distribucijsku seriju i pronaći M(X), s( X).

Zadatak 3. U metu se ispaljuje serija nezavisnih hitaca. Vjerovatnoća da ćete pogoditi metu svakim udarcem je 0,8. Potrebno: 1) izgraditi distributivnu seriju CBX- broj pogodaka sa tri udarca; 2) procijeniti vjerovatnoću da će sa 100 hitaca biti najmanje 90 pogodaka.

Problem 4. Diskretna slučajna varijabla X (CB X) je dat nizom distribucije:

x i	–3	–2	–1
pi	0,1	0,2	0,3	0,2	?

Pronađite seriju i funkciju distribucije CB Y = 2X + 1, M(Y) i D(Y).

Zadatak 5. Kontinuirano CB X dato funkcijom distribucije

Naći: 1) gustinu distribucije f(x); 2) M(x) i D(X);
3) P(–2,3 < X <1,5);4) вероятность того, что в трех независимых испытаниях CB X tačno dva puta će uzeti vrijednosti koje pripadaju intervalu (–2,3; 1,5).

Zadatak 6. Zadana je funkcija

Definirajte vrijednost parametra A, pri čemu ova funkcija specificira gustinu distribucije vjerovatnoće nekog kontinuiranog CB X. Nađi F(x), i M(X). Build Graph F(x).

Zadatak 7. Dato M(X) = 13 i s( X SW X. Nađi:

1) verovatnoća ;

2) vjerovatnoća ;

3) simetrično u odnosu na a interval u kojem vrijednosti padaju CB X sa vjerovatnoćom g = 0,9973.

Problem 8. Poznato je da je vrijeme popravke TV-a slučajna varijabla X, distribuira se po eksponencijalnom zakonu, dok je prosječno vrijeme popravke TV-a dvije sedmice. Naći vjerovatnoću da će popravka televizora dovezenog u radionicu trajati: a) manje od 10 dana; b) 9 do 12 dana.

OPCIJA 4

Problem 1. Diskretna slučajna varijabla X (CB X) je dat nizom distribucije:

x i	–10	–5
pi	0,1	0,1	0,4	0,1	0,3

Naći: 1) funkciju distribucije F(x); 2) numeričke karakteristike: matematičko očekivanje M(X), disperzija D(X), standardna devijacija s( X), moda M 0 (X); 3) vjerovatnoća P(–10≤ X < 1). Построить многоугольник распределения и график F(x).

Zadatak 2. Poslužitelj ima 5 različitih ključeva iz različitih soba. Nasumično vadeći ključ, pokušava otvoriti vrata jedne od soba. Za diskretno CB X- broj pokušaja otvaranja vrata (provjereni ključ se ne koristi drugi put) napraviti distribucijsku seriju i pronaći F(x) i M(X).

Zadatak 3. Vjerovatnoća izrade dijela sa datim parametrima tačnosti od standardnog obratka za svaki dio je 0,8.

Potrebno: 1) izgraditi distributivnu seriju CB X- broj delova sa zadatim karakteristikama tačnosti koji će biti izrađeni od pet standardnih blankova; 2) procijeniti vjerovatnoću da će od 90 radnih komada biti proizvedeno 70 dijelova sa datim karakteristikama tačnosti.

CB X i Y:

x i
pi	?	0,5	0,2

y i
pi	0,6	?

Sastavite distribucijsku seriju C.B. Z = Y – X. Nađi M(Z) i D(Z).

Zadatak 5. Kontinuirano CB X dato funkcijom distribucije

Naći: 1) gustinu distribucije f(x); 2) M(x); 3) CB X uzima tačno tri puta vrijednosti koje pripadaju intervalu

Zadatak 6. Zadana je funkcija

Definirajte vrijednost parametra A, pri čemu ova funkcija specificira gustinu distribucije vjerovatnoće nekog kontinuiranog CB X. Nađi F(x), M(X) i D(X). Build Graph F(x).

Zadatak 7. Dato M(X) = 16 i s( X) = 2 normalno raspoređena kontinuirana SW X. Nađi:

1) verovatnoća ;

2) vjerovatnoća ;

3) simetrično u odnosu na a interval u kojem vrijednosti padaju CB X sa vjerovatnoćom g = 0,9281.

Problem 8. Visina odraslog muškarca je SV X, distribuiran prema normalnom zakonu s parametrima a\u003d 175 cm i s \u003d 10 cm Nađite vjerovatnoću da će visina slučajno odabranog muškarca biti: a) manja od 180 cm; b) najmanje 170 cm i ne više od 175 cm.

OPCIJA 5

Problem 1. Diskretna slučajna varijabla X (CB X) je dat nizom distribucije:

x i
pi	0,2	0,1	0,4	0,2	0,1

Naći: 1) funkciju distribucije F(x); 2) numeričke karakteristike: matematičko očekivanje M(X), disperzija D(X), standardna devijacija s( X), moda M 0 (X); 3) vjerovatnoća P(40≤ X < 80). Построить многоугольник распределения и график F(x).

Zadatak 2. Meta se sastoji od kruga i dva koncentrična prstena. Udaranje u krug vrijedi 6 bodova, udaranje u prsten 2 vrijedi 4 boda, a udaranje u prsten 3 vrijedi dva boda. Vjerojatnosti udaranja u krug i prstenove 2 i 3 su 0,2; 0,3 i 0,5. Za diskretno SV X- zbroj bodova postignutih kao rezultat tri pogotka, napravite distribucijsku seriju i pronađite F(x), M(X), s( X).

Zadatak 3. Automatska linija se sastoji od n nezavisnih mašina istog tipa. Verovatnoća da će mašina zahtevati podešavanje tokom smene za svaku mašinu je 0,3. Potrebno: 1) izgraditi distributivnu seriju CB X- broj mašina koje će zahtevati podešavanje tokom smene, ako n= 4; 2) procijeniti vjerovatnoću da će 20 mašina zahtijevati podešavanje po smjeni, ako n = 100.

Problem 4. Zajednička distribucija diskretnih CB X i Y dato u tabeli:

Y X
	0,20	0,15	0,10
	0,30	0,20	0,05

Sastavite zakon o raspodjeli C.B. Z = Y + X. Nađi M(Z) i D(Z).

Zadatak 5. Kontinuirano CB X dato funkcijom distribucije

Naći: 1) gustinu distribucije f(x); 2) M(x) i D(X);
3) P(3 < X < 9); 4) вероятность того, что в четырех независимых испытаниях CB X uzima vrijednosti koje pripadaju intervalu (3; 9) tačno dva puta.

Zadatak 6. Zadana je funkcija

Definirajte vrijednost parametra A, pri čemu ova funkcija specificira gustinu distribucije vjerovatnoće nekog kontinuiranog CB X. Nađi F(x), M(X). Build Graph F(x).

Zadatak 7. Dato M(X) = 10 i s( X) = 4 normalno raspoređena kontinuirana SW X. Nađi:

1) verovatnoća ;

2) vjerovatnoća ;

3) simetrično u odnosu na a interval u kojem vrijednosti padaju CB X sa vjerovatnoćom g = 0,5161.

Problem 8. Minutna kazaljka električnog sata skače na kraju svake minute. Slučajna vrijednost X- razlika između vremena prikazanog na semaforu i pravog vremena ima ujednačenu distribuciju. Pronađite vjerovatnoću da će u nekom trenutku sat pokazati vrijeme koje se razlikuje od pravog: a) za najmanje 10 s i ne više od 25 s; b) najmanje 25 s.

OPCIJA 6

Problem 1. Diskretna slučajna varijabla X (CB X) je dat nizom distribucije:

x i	–5	–3	–1
pi	0,2	0,2	0,1	0,4	0,1

Naći: 1) funkciju distribucije F(x); 2) numeričke karakteristike: matematičko očekivanje M(X), disperzija D(X), standardna devijacija s( X), moda M 0 (X); 3) vjerovatnoća P(– 3≤ X < 1). Построить многоугольник распределения и график F(x).

Zadatak 2. U grupi je 12 učenika, od kojih 5 živi u hostelu. 4 učenika su nasumično odabrana sa liste. Za SV X- broj studenata koji žive u hostelu među onima koji će biti odabrani, napraviti distribucijsku seriju i pronaći F(x), M(X) i D(X).

Zadatak 3. U proizvodnji dijelova istog tipa na zastarjeloj opremi svaki dio može biti neispravan sa vjerovatnoćom od 0,1. Serija distribucije parcele CB X< 3);
4) verovatnoća da će u četiri nezavisna ispitivanja CB X uzima vrijednosti koje pripadaju intervalu (1; 3) tačno dva puta.

Zadatak 6. Zadana je funkcija

Definirajte vrijednost parametra A, pri čemu ova funkcija specificira gustinu distribucije vjerovatnoće nekog kontinuiranog CB X. Nađi F(x), M(X) i D(X). Build Graph F(x).

Zadatak 7. Dato M(X) = 11 i s( X) = 3 normalno raspoređena kontinuirana SW X. Nađi:

1) verovatnoća ;

2) vjerovatnoća ;

3) simetrično u odnosu na a interval u kojem vrijednosti padaju CB X sa vjerovatnoćom g = 0,9973.

Zadatak 8. Vrijeme rada TV-a date marke je slučajna varijabla raspoređena prema normalnom zakonu s parametrima a= 12 godina i s = 2 godine. Pronađite vjerovatnoću da će TV raditi bez popravke: a) od 9 do 12 godina;
b) najmanje 10 godina.

OPCIJA 7

Problem 1. Diskretna slučajna varijabla X (CB X) je dat nizom distribucije:

x i
pi	0,2	0,1	0,2	0,3	0,2

Naći: 1) funkciju distribucije F(x); 2) numeričke karakteristike: matematičko očekivanje M(X), disperzija D(X), standardna devijacija s( X), moda M 0 (X); 3) vjerovatnoća P(2≤ X < 10). Построить многоугольник распределения и график F(x).

Zadatak 2. Radnik opslužuje 4 mašine koje samostalno rade. Vjerovatnoća da u roku od sat vremena mašina ne zahtijeva pažnju radnika za prvu mašinu je 0,7; za drugi - 0,75; za treći - 0,8; za četvrti - 0,9. Za diskretno SV X- broj mašina koje neće zahtijevati pažnju radnika sat vremena, napravite distribucijsku seriju i pronađite F(x), M(X) i D(X).

Zadatak 3. Dostupan n mašine koje samostalno rade. Serija distribucije parcele CB X- broj mašina koje rade u datom trenutku, ako n= 6, a vjerovatnoća da mašina radi u datom trenutku je 0,9; izračunati M(X) i D(X). Procijenite vjerovatnoću da kompanija koja ima n= 180 i vjerovatnoća rada za svaku mašinu je 0,98, broj mašina koje trenutno rade biće najmanje 170.

Problem 4. Zakoni distribucije nezavisnih diskretnih CB X i Y:

x i
pi	0,3	?	0,5

y i	–2	–1
pi	?	0,4

Sastavite distribucijsku seriju C.B. Z = XY+ 2. Nađi M(Z) i D(Z).

Kao što je ranije spomenuto, primjeri distribucije vjerovatnoće kontinuirana slučajna varijabla X su:

ujednačena distribucija
eksponencijalna distribucija vjerovatnoće kontinuirane slučajne varijable;
normalna distribucija vjerovatnoće kontinuirane slučajne varijable.

Hajde da damo koncept normalnog zakona distribucije, funkciju raspodele takvog zakona, proceduru za izračunavanje verovatnoće da se slučajna varijabla X pogodi u određenom intervalu.

№	Indeks	Zakon normalne distribucije	Bilješka
	Definicija	*Normalno se zove* raspodjela vjerovatnoće kontinuirane slučajne varijable X, čija gustina ima oblik
	Definicija		gdje je m x matematičko očekivanje slučajne varijable X, σ x je standardna devijacija
2	*funkcija distribucije*
	*Vjerovatnoća* pogoci u intervalu (a; b)		- integralna Laplaceova funkcija
	*Vjerovatnoća* da je apsolutna vrijednost odstupanja manja od pozitivnog broja δ		za m x = 0

Primjer rješavanja zadatka na temu "Normalni zakon distribucije kontinuirane slučajne varijable"

Zadatak.

Dužina X nekog dijela je slučajna varijabla raspoređena prema zakonu normalne distribucije i ima srednju vrijednost od 20 mm i standardnu devijaciju od 0,2 mm.
potrebno:
a) zapišite izraz za gustinu raspodjele;
b) naći vjerovatnoću da će dužina dijela biti između 19,7 i 20,3 mm;
c) naći vjerovatnoću da odstupanje ne prelazi 0,1 mm;
d) odrediti procenat dijelova čije odstupanje od prosječne vrijednosti ne prelazi 0,1 mm;
e) naći kako se odstupanje podesi tako da se procenat delova čije odstupanje od proseka ne prelazi navedeno poveća na 54%;
f) pronaći interval, simetričan u odnosu na srednju vrijednost, u kojem će se X nalaziti sa vjerovatnoćom od 0,95.

Rješenje. a) Gustoću vjerovatnoće slučajne varijable X, raspoređene prema normalnom zakonu, nalazimo:

pod uslovom da je m x =20, σ =0,2.

b) Za normalnu distribuciju slučajne varijable, vjerovatnoća pada u interval (19,7; 20,3) određena je:
F((20,3-20)/0,2) - F((19,7-20)/0,2) = F(0,3/0,2) - F(-0,3/0, 2) \u003d 2F (0,3 / 0,2) = 2F ( 1,5) \u003d 2 * 0,4332 \u003d 0,8664.
Vrijednost F(1.5) = 0.4332 pronašli smo u prilozima, u tabeli vrijednosti integralne Laplaceove funkcije Φ(x) ( tabela 2 )

u) Pronađena je vjerovatnoća da je apsolutna vrijednost odstupanja manja od pozitivnog broja 0,1:
P(|X-20|< 0,1) = 2Ф(0,1/0,2) = 2Ф(0,5) = 2*0,1915 = 0,383.
Vrijednost F(0,5) = 0,1915 pronašli smo u prilozima, u tabeli vrijednosti integralne Laplaceove funkcije Φ(x) ( tabela 2 )

G) Kako je vjerovatnoća odstupanja manjeg od 0,1 mm 0,383, slijedi da će u prosjeku 38,3 dijela od 100 biti sa takvim odstupanjem, tj. 38,3%.

e) Pošto je procenat delova čije odstupanje od proseka ne prelazi navedeno porastao na 54%, onda je P(|X-20|< δ) = 0,54. Отсюда следует, что 2Ф(δ/σ) = 0,54, а значит Ф(δ/σ) = 0,27.

Korištenje aplikacije ( tabela 2 ), nalazimo δ/σ = 0,74. Dakle, δ = 0,74*σ = 0,74*0,2 = 0,148 mm.

e) Pošto je željeni interval simetričan u odnosu na srednju vrijednost m x = 20, može se definirati kao skup X vrijednosti koje zadovoljavaju nejednakost 20 − δ< X < 20 + δ или |x − 20| < δ .

Prema uslovu, verovatnoća da se X nađe u željenom intervalu je 0,95, što znači da je P(|x − 20|< δ)= 0,95. С другой стороны P(|x − 20| < δ) = 2Ф(δ/σ), следовательно 2Ф(δ/σ) = 0,95, а значит Ф(δ/σ) = 0,475.

Korištenje aplikacije ( tabela 2 ), nalazimo δ/σ = 1,96. Dakle, δ = 1,96*σ = 1,96*0,2 = 0,392.
Željeni interval : (20 - 0,392; 20 + 0,392) ili (19,608; 20,392).

Dato je matematičko očekivanje a=3 i standardna devijacija =5 normalno raspoređene slučajne varijable X.

Napišite gustinu distribucije vjerovatnoće i nacrtajte je shematski.

Pronađite vjerovatnoću da x uzme vrijednost iz intervala (2;10).

Pronađite vjerovatnoću da će x biti veći od 10.

Pronađite interval koji je simetričan u odnosu na matematičko očekivanje, u kojem će, sa vjerovatnoćom =0,95, biti zatvorene vrijednosti x.

jedan). Sastavite funkciju gustine distribucije slučajne varijable X sa parametrima a=3, =5 koristeći formulu

. Konstruiramo šematski graf funkcije
. Obratimo pažnju na činjenicu da je normalna kriva simetrična u odnosu na pravu x=3 i da ima max u ovoj tački jednak
, tj.
i dvije prevojne tačke
sa ordinatom

Napravimo graf

2) Koristimo formulu:

Vrijednosti funkcije nalaze se iz tablice aplikacija.

4) Koristimo formulu
. Po uslovu, vjerovatnoća pada u interval simetričan u odnosu na matematičko očekivanje
. Prema tabeli nalazimo t, pri čemu je F (t) = 0,475, t = 2. znači
. Na ovaj način,
. Odgovor je x (-1; 7).

Na zadatke 31-40.

Pronađite interval pouzdanosti za procjenu sa pouzdanošću od 0,95 nepoznatog matematičkog očekivanja a normalno distribuirane karakteristike X opće populacije, ako je opća standardna devijacija =5, srednja vrijednost uzorka
i veličina uzorka n=25.

Potrebno je pronaći interval pouzdanosti
.

Sve količine osim t su poznate. Nađimo t iz omjera F(t)=0,95/2=0,475. Prema tablici primjene nalazimo t=1,96. Zamjenom konačno dobivamo željeni interval povjerenja 12.04

Na zadatke 41-50.

Služba tehničke kontrole je provjerila 200 serija identičnih proizvoda i dobila sljedeću empirijsku distribuciju, učestalost n i je broj serija koje sadrže x i nestandardnih proizvoda. Potrebno je na nivou značajnosti od 0,05 da bi se testirala hipoteza da je broj nestandardnih proizvoda -standardni proizvodi X se distribuiraju prema Poissonovom zakonu.

Pronađimo srednju vrijednost uzorka:

Uzmimo kao procjenu parametra  Poissonove raspodjele srednju vrijednost uzorka =0,6. Dakle, navodni Poissonov zakon
ima oblik
.

Stavljajući i=0,1,2,3,4 nalazimo vjerovatnoće P i pojave i nestandardnih proizvoda u 200 serija:
,
,
,
,
.

Naći teorijske frekvencije po formuli
. Zamjenom vrijednosti vjerovatnoće u ovu formulu dobijamo
,
,
,
,
.

Uporedimo empirijske i teorijske frekvencije koristeći Pearsonov kriterijum. Da bismo to uradili, napravićemo tabelu proračuna. Kombinirajmo nekoliko frekvencija (4+2=6) i njihove odgovarajuće teorijske frekvencije (3,96+0,6=4,56).