Vaša privatnost nam je važna. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Molimo pročitajte našu politiku privatnosti i javite nam ako imate pitanja.
Prikupljanje i korištenje ličnih podataka
Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.
Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.
U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.
Koje lične podatke prikupljamo:
- Kada podnesete prijavu na web stranici, možemo prikupljati različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.
Kako koristimo vaše lične podatke:
- Lični podaci koje prikupljamo omogućavaju nam da vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
- S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke kako bismo vam poslali važna obavještenja i poruke.
- Lične podatke možemo koristiti i za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
- Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnom poticaju, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.
Otkrivanje trećim licima
Podatke primljene od vas ne otkrivamo trećim licima.
Izuzeci:
- U slučaju da je to potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim nalogom, u sudskom postupku, i/ili na osnovu javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih organa na teritoriji Ruske Federacije - otkriti svoje lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno iz razloga sigurnosti, provođenja zakona ili drugih razloga javnog interesa.
- U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo relevantnom trećem licu nasljedniku.
Zaštita ličnih podataka
Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i od neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.
Održavanje vaše privatnosti na nivou kompanije
Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima prenosimo prakse privatnosti i sigurnosti i striktno provodimo praksu privatnosti.
Teorema. Iz tačke koja ne leži na pravoj, može se povući okomita na tu pravu.
Dokaz. Neka je A tačka koja ne leži na datoj pravoj a (slika 56, a). Dokažimo da je iz tačke A moguće povući okomicu na pravu a. Mentalno presavijmo ravan duž prave a (Sl. 56, b) tako da se poluravnina sa granicom a, koja sadrži tačku A, superponira na drugu poluravninu. U ovom slučaju, tačka A će biti postavljena na neku tačku. Označimo ga slovom B. Ispravimo ravan i povučemo pravu liniju kroz tačke A i B.
Neka je H tačka preseka pravih AB i a (slika 56, c). Kada se ravan ponovo savije duž prave linije, tačka H će ostati na svom mestu. Prema tome, zrak HA će biti superponiran na zrak HB, pa će se ugao 1 poklapati sa uglom 2. Dakle, ∠1 = ∠2. Pošto su uglovi 1 i 2 susedni, njihov zbir je 180°, pa je svaki od njih pravi ugao. Stoga je segment AH okomit na pravu a. Teorema je dokazana.
26. Dokazati teoremu o jedinstvenosti okomice na pravu. (Sl.57 u udžbeniku)
Teorema. Iz tačke koja nije na pravoj, dvije okomice se ne mogu povući na tu pravu.
Dokaz. Neka je A tačka koja ne leži na datoj pravoj a (vidi sliku 56, a). Dokažimo da je nemoguće povući dvije okomice iz tačke A na pravu a. Pretpostavimo da se iz tačke A mogu povući dve okomite AH i AK na pravu a (slika 57). Mentalno presavijmo ravan duž prave a tako da se poluravnina sa granicom a, koja sadrži tačku A, superponira na drugu poluravninu. Kada se savijaju, tačke H i K ostaju na svom mestu, tačka A se postavlja na neku tačku. Označimo ga slovom B. U ovom slučaju, segmenti AH i AK su superponirani na segmente BH i BK.
Uglovi AHB i AKB su pravi uglovi, jer je svaki od njih jednak zbiru dva prava ugla. Dakle, tačke A, H i B leže na istoj pravoj, a takođe tačke A, K i B leže na istoj pravoj.
Tako smo dobili da dvije prave AH i AK prolaze kroz tačke A i B. Ali to ne može biti. Dakle, naša pretpostavka je pogrešna, što znači da je iz tačke A nemoguće povući dve okomice na pravu a. Teorema je dokazana.
http://mthm.ru/geometry7/perpendicular
Članak se bavi pitanjem okomitih linija u ravni i trodimenzionalnom prostoru. Detaljno ćemo analizirati definiciju okomitih linija i njihove oznake na navedenim primjerima. Razmotrimo uslove za primjenu potrebnog i dovoljnog uvjeta za okomitost dvije prave i razmotrimo ih detaljno na primjeru.
Ugao između linija koje se seku u prostoru može biti pravi. Tada se za date prave kaže da su okomite. Kada je ugao između kosih linija prava linija, tada su i linije okomite. Iz ovoga slijedi da se okomite prave na ravni sijeku, a okomite prave prostora mogu se sijeku i kositi.
Odnosno, pojmovi "prave a i b su okomite" i "prave b i a su okomite" smatraju se jednakima. Odatle dolazi koncept međusobno okomitih linija. Sumirajući gore navedeno, razmotrite definiciju.
Definicija 1
Dvije prave se nazivaju okomiti ako je ugao na njihovom presjeku 90 stepeni.
Perpendikularnost se označava sa "⊥", a oznaka postaje a ⊥ b, što znači da je prava a okomita na pravu b.
Na primjer, okomite linije u ravni mogu biti stranice kvadrata sa zajedničkim vrhom. U trodimenzionalnom prostoru, prave O x , O z , O y su okomite u parovima: O x i O z , O x i O y , O y i O z .
Okomitost linija - uslovi okomitosti
Morate znati svojstva okomitosti, jer se većina problema svodi na provjeru za kasnije rješenje. Postoje slučajevi kada se o okomitosti već govori u uslovu zadatka ili kada je potrebno koristiti dokaz. Da bi se dokazala okomitost, dovoljno je da ugao između pravih bude pravi.
Da bi se poznatim jednačinama pravougaonog koordinatnog sistema odredila njihova okomitost, potrebno je primeniti neophodan i dovoljan uslov za okomitost pravih. Pogledajmo formulaciju.
Teorema 1
Da bi prave a i b bile okomite, potrebno je i dovoljno da vektor pravca prave ima okomit u odnosu na vektor pravca date prave b.
Sam dokaz se zasniva na definiciji usmjeravajućeg vektora prave i na definiciji okomitosti pravih.
Dokaz 1
Neka se uvede pravougaoni Dekartov koordinatni sistem O x y sa datim jednačinama prave linije na ravni koja definiše prave a i b. Vektore smjera pravih a i b označavamo kao a → i b → . Iz jednačine pravih a i b, neophodan i dovoljan uslov je okomitost vektora a → i b → . Ovo je moguće samo kada je skalarni proizvod vektora a → = (a x , a y) i b → = (b x , b y) jednak nuli, a oznaka je a → , b → = a x b x + a y b y = 0 . Dobijamo da je neophodan i dovoljan uslov za okomitost pravih a i lociranih u pravougaonom koordinatnom sistemu O x y na ravni a → , b → = a x b x + a y b y = 0, gde je a → = (a x, a y) i b → = b x , b y su vektori pravca a i b .
Uslov je primenljiv kada je potrebno pronaći koordinate vektora pravca ili u prisustvu kanonskih ili parametarskih jednačina linija na ravni datih pravih a i b.
Primjer 1
Tri tačke A (8, 6), B (6, 3), C (2, 10) date su u pravougaonom koordinatnom sistemu O x y. Odredite da li su prave A B i A C okomite ili ne.
Rješenje
Prave A B i A C imaju vektore pravca A B → i A C → respektivno. Prvo, izračunajmo A B → = (- 2 , - 3) , A C → = (- 6 , 4) . Dobijamo da su vektori A B → i A C → okomiti iz svojstva skalarnog proizvoda vektora jednakog nuli.
A B → , A C → = (- 2) (- 6) + (- 3) 4 = 0
Očigledno je da je nužan i dovoljan uslov zadovoljen, što znači da su A B i A C okomite.
odgovor: linije su okomite.
Primjer 2
Odredite da li su date prave x - 1 2 = y - 7 3 i x = 1 + λ y = 2 - 2 · λ okomite ili ne.
Rješenje
a → = (2 , 3) je vektor smjera date prave x - 1 2 = y - 7 3 ,
b → = (1 , - 2) je vektor pravca x = 1 + λ y = 2 - 2 · λ .
Pređimo na proračun skalarnog proizvoda vektora a → i b → . Izraz će biti napisan:
a → , b → = 2 1 + 3 - 2 = 2 - 6 ≠ 0
Rezultat proizvoda nije jednak nuli, možemo zaključiti da vektori nisu okomiti, što znači da ni prave nisu okomite.
odgovor: linije nisu okomite.
Neophodan i dovoljan uslov za okomitost pravih a i b primenjuje se za trodimenzionalni prostor, zapisan kao a → , b → = a x b x + a y b y + a z b z = 0 , gde je a → = (a x , a y , a z) i b → = (b x , b y , b z) su vektori pravca a i b .
Primjer 3
Provjerite okomitost linija u pravokutnom koordinatnom sistemu trodimenzionalnog prostora, datog jednadžbama x 2 = y - 1 = z + 1 0 i x = λ y = 1 + 2 λ z = 4 λ
Rješenje
Imenioci iz kanonskih jednadžbi pravih linija smatraju se koordinatama usmjeravajućeg vektora prave linije. Koordinate vektora smjera iz parametarske jednadžbe su koeficijenti. Iz toga slijedi da su a → = (2 , - 1 , 0) i b → = (1 , 2 , 4) vektori smjera datih linija. Da bismo identificirali njihovu okomitost, nalazimo skalarni proizvod vektora.
Izraz postaje a → , b → = 2 1 + (- 1) 2 + 0 4 = 0 .
Vektori su okomiti jer je proizvod nula. Neophodan i dovoljan uslov je zadovoljen, što znači da su i prave okomite.
odgovor: linije su okomite.
Provjera okomitosti može se izvršiti na osnovu drugih potrebnih i dovoljnih uslova za okomitost.
Teorema 2
Prave a i b na ravni smatraju se okomiti kada je vektor normale prave a okomit na vektor b, to je neophodan i dovoljan uslov.
Dokaz 2
Ovaj uslov je primenljiv kada jednačine linija daju brzo pronalaženje koordinata vektora normale datih linija. To jest, ako postoji opća jednadžba ravne linije oblika A x + B y + C = 0, jednadžba ravne linije u segmentima oblika x a + y b = 1, jednačina ravne linija sa nagibom oblika y = k x + b, mogu se pronaći koordinate vektora.
Primjer 4
Saznajte da li su prave 3 x - y + 2 = 0 i x 3 2 + y 1 2 = 1 okomite.
Rješenje
Na osnovu njihovih jednačina potrebno je pronaći koordinate vektora normale pravih linija. Dobijamo da je n α → = (3 , - 1) normalan vektor za pravu 3 x - y + 2 = 0 .
Pojednostavimo jednačinu x 3 2 + y 1 2 = 1 na oblik 2 3 x + 2 y - 1 = 0 . Sada su jasno vidljive koordinate vektora normale koje zapisujemo u ovom obliku n b → = 2 3 , 2 .
Vektori n a → = (3 , - 1) i n b → = 2 3 , 2 će biti okomiti, jer će njihov skalarni proizvod na kraju dati vrijednost jednaku 0 . Dobijamo n a → , n b → = 3 2 3 + (- 1) 2 = 0 .
Neophodan i dovoljan uslov je ispunjen.
odgovor: linije su okomite.
Kada je prava a na ravni definisana pomoću jednačine nagiba y = k 1 x + b 1 , a prava b - y = k 2 x + b 2 , slijedi da će normalni vektori imati koordinate (k 1 , - 1) i (k 2 , - 1) . Sam uslov okomitosti svodi se na k 1 · k 2 + (- 1) · (- 1) = 0 ⇔ k 1 · k 2 = - 1 .
Primjer 5
Saznajte jesu li prave y = - 3 7 x i y = 7 3 x - 1 2 okomite.
Rješenje
Prava linija y = - 3 7 x ima nagib jednak - 3 7 , a prava linija y = 7 3 x - 1 2 - 7 3 .
Proizvod koeficijenata nagiba daje vrijednost - 1, - 3 7 · 7 3 = - 1, odnosno, linije su okomite.
odgovor: date prave su okomite.
Postoji još jedan uslov koji se koristi za određivanje okomitosti linija u ravni.
Teorema 3
Da bi prave a i b bile okomite u ravni, neophodan i dovoljan uslov je kolinearnost vektora pravca jedne od pravih sa vektorom normale druge prave.
Dokaz 3
Uvjet je primjenjiv kada je moguće pronaći vektor smjera jedne linije i koordinate vektora normale druge. Drugim riječima, jedna prava je data kanonskom ili parametarskom jednačinom, a druga opštom jednačinom prave, jednadžbom u segmentima ili jednadžbom prave linije sa nagibom.
Primjer 6
Odredi da li su date prave x - y - 1 = 0 i x 0 = y - 4 2 okomite.
Rješenje
Dobijamo da vektor normale prave x - y - 1 = 0 ima koordinate n a → = (1 , - 1) , a b → = (0 , 2) je vektor pravca x 0 = y - 4 2 .
Ovo pokazuje da vektori n a → = (1, - 1) i b → = (0, 2) nisu kolinearni, jer uslov kolinearnosti nije zadovoljen. Ne postoji takav broj t da jednakost n a → = t · b → vrijedi. Otuda zaključak da prave nisu okomite.
odgovor: linije nisu okomite.
Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter
Pravu liniju (odsječak) označavaju dva velika slova latinice ili jedno malo slovo. Tačka je označena samo velikim latiničnim slovom.
Prave se ne smiju ukrštati, ukrštati ili podudarati. Prave koje se seku imaju samo jednu zajedničku tačku, prave koje se ne seku nemaju zajedničku tačku, a prave koje se poklapaju imaju sve zajedničke tačke.
Definicija. Dvije prave koje se sijeku pod pravim uglom nazivaju se okomiti. Okomitost pravih linija (ili njihovih segmenata) označava se znakom okomitosti "⊥".
Na primjer:
Tvoje AB i CD(slika 1) seku u tački O i ∠ AOC = ∠WOS = ∠AOD = ∠BOD= 90°, onda AB ⊥ CD.
Ako a AB ⊥ CD(slika 2) i seku u tački AT, zatim ∠ ABC = ∠ABD= 90°
Svojstva okomitih linija
1. Kroz tačku ALI(Sl. 3) može se povući samo jedna okomita linija AB na pravu liniju CD; druge linije koje prolaze kroz tačku ALI i prelaz CD, nazivaju se kosim linijama (slika 3, prave linije AE i AF).
2. Iz tačke A možete ispustiti okomicu na pravu liniju CD; dužina okomice (dužina segmenta AB) izvučeno iz tačke ALI direktno CD, je najkraća udaljenost od A prije CD(Sl. 3).
U ovoj lekciji ćemo detaljno razmotriti koncept okomice na pravu i dokazati važnu teoremu.
Prisjetimo se prvo definicije okomitih linija. Zatim formuliramo i dokazujemo teorem o dvije prave okomite na treću. Zatim dajemo definiciju okomice na pravu, formulišemo i dokazujemo važnu teoremu da je iz bilo koje proizvoljne tačke moguće povući jedinstvenu okomicu na datu pravu.
Na kraju ćemo riješiti nekoliko problema na obrađenu temu.
Prvo, prisjetimo se jedne važne činjenice: dvije prave koje se sijeku nazivaju se okomiti ako tvore četiri prava ugla.
Rice. 1. Okomite linije
AC⊥BD jer četiri ugla od 90°. Podsjetimo također da kada se bilo koja prava linija siječe, formiraju se četiri ugla: 2 vertikalna ugla koja su jednaka jedan drugom i par jednakih vertikalnih uglova. a i b su susjedni uglovi. I prema teoremi susjednog ugla, a + b = 180°.
Rice. 2. Presjek linija
U jedinom slučaju a = b = 90°. U ovom slučaju, prave AC i BD nazivaju se okomiti.
Teorema 1: Dvije prave okomite na treću se ne sijeku.
Rice. 3. Crtež za teoremu 1
Iz toga slijedi da AA 1 i BB 1 nemaju zajedničkih tačaka. Prave AA 1 i BB 1 mogu se produžiti beskonačno, ali se ne sijeku. Ovo je suština teoreme.
Definicija: Neka su prave AH i a okomite. Znamo da da bi sva četiri ugla kod ovih pravih bila 90°, neophodno je da jedan od njih bude pravi. Segment linije AH se naziva okomica povučena iz tačke A na pravu a ako su prave AH i a okomito. U ovom slučaju, tačka H naziva se baza okomice.
Rice. 4. Crtež za određivanje okomice
U ovom slučaju, okomica je segment. Dakle, okomita na pravu je segment prave.
Teorema 2: Iz tačke koja ne leži na pravoj, može se povući okomita na ovu pravu, i štaviše, samo jednu.
Rice. 5. Crtež za teoremu 2
Postoji mnogo tačaka koje ne leže na pravoj a. Iz bilo koje tačke A koja nije na datoj pravoj, može se povući okomita na pravu. Osim toga, ova okomica je jedina.
Dato je: tačka A ne pripada pravoj a.
Dokazati: postoji jedan segment AN gdje je AN.
dokaz:
1. Nacrtajte 2 jednaka ugla. ∠ABC = ∠MBC ili ∠1 = ∠2.
2. Jednaki uglovi mogu biti superponirani. U ovom slučaju, tačka A ide u tačku A 1 . VA \u003d VA 1 (savijanje duž prave linije BC).
3. Povežite tačke A i A 1 . Dobijamo tačku H. Uglovi ∠BHA = ∠3, ∠BHA 1 = ∠4.
4.
Dakle, trokuti BHA = BHA 1 prema prvom kriteriju za jednakost trokuta, odnosno prema kutu i dvije susjedne strane. Iz jednakosti trouglova slijedi jednakost svih elemenata. Dakle, ∠3 = ∠4. Ovi uglovi leže nasuprot jednakih strana. Dva susjedna su jednaka samo ako je svaki od njih jednak 90°. Dakle, AH^BC. Dokazali smo da je iz tačke A moguće povući okomitu na pravu a.
Rice. 6. Crtež za dokaz teoreme 2(1)
Jedinstvenost okomice povučene iz tačke A na pravu, dokazaćemo metodom "protivurečno".
5. Pretpostavimo da je iz tačke A moguće povući dvije različite okomice na pravu a.
AH ⊥ a, AH 1 ⊥ a.
Rice. 7. Crtež za dokaz jedinstvenosti okomice
To je nemoguće, jer su iz različitih tačaka prave a povučene 2 okomice, koje imaju zajedničku tačku A. Dobili smo kontradikciju, što znači da je naša pretpostavka pogrešna. Iz tačke A može se povući samo jedna okomita na pravu a.
Primjer 1: Tačke A i C leže na istoj strani prave a. Okomite AB i CD na pravu a su jednake.
1. Dokazati da je ABD = ∠CDB.
2. Pronađite ∠ABC ako je ∠ADB = 44°.
Dato je: A) AB⊥ a, CD ⊥ a.
Dokazati: ∠ADB = ∠CDB.
dokaz:
Rice. 8. Crtež na primjer 1(a)
Dokaz se zasniva na konceptu okomice iz tačke na pravu. Odavde proizilazi da je ADB = CDB, što je i trebalo dokazati.
Dato je: B) AB⊥ a, CD⊥ a. AB = CD, ∠ADB = 44°. Pronađite ∠ABC.
dokaz:
Napravimo crtež s objašnjenjem:
Rice. 9. Crtež na primjer 1 (b)
1. ∆ABD = ∆CDB. (AB = CD, BD - zajednički, ∠ABD = ∠CDB). Iz jednakosti trouglova slijedi jednakost njihovih odgovarajućih elemenata. AD=CB.
2. ∠ADB = ∠CBD = 44°. Pošto ovi uglovi leže nasuprot jednakih stranica AB i CD, respektivno.
3. ∠ABC = 90° - 44° = 46°
Odgovor: 46°.
U današnjoj lekciji razmatrali smo pojam okomice na pravu i dokazali teoremu o ovoj okomici. U sledećoj lekciji ćemo se upoznati sa medijanom, simetralom, visinom trougla.
1. Aleksandrov A.D., Verner A.L., Ryzhik V.I. itd. Geometrija 7. - M.: Prosvetljenje.
2. Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B. et al., Geometrija 7. 5. izd. - M.: Prosvetljenje.
3. Butuzov V.F., Kadomcev S.B., Prasolova V.V. Geometrija 7 / V.F. Butuzov, S.B. Kadomcev, V.V. Prasolova, ur. Sadovnichy V.A. - M.: Obrazovanje, 2010.
- Opšti čas iz geometrije u 7. razredu ().
- Prava linija, segment ().
1. br. 13(b). Butuzov V.F., Kadomcev S.B., Prasolova V.V. Geometrija 7 / V.F. Butuzov, S.B. Kadomcev, V.V. Prasolova, ur. Sadovnichy V.A. - M.: Obrazovanje, 2010.
2. Jedan od susjednih uglova je 3 puta veći od drugog. Nađi te uglove.
3. Prave BH i AH su međusobno okomite i ∠BHM = ∠AHC. Dokažite da je HM⊥HC.
4. br. 14(g). Butuzov V.F., Kadomcev S.B., Prasolova V.V. Geometrija 7 / V.F. Butuzov, S.B. Kadomcev, V.V. Prasolova, ur. Sadovnichy V.A. - M.: Obrazovanje, 2010.
