1. - ravno. Prema tome, rješenje nejednakosti 
, je poluravnina koja leži ispod ili iznad ove prave.
2. 
- hiperbola, jer odavde 
. Ova hiperbola dijeli ravan na 3 (!!!) područja, tako da se u svakom od njih mora provjeriti znak nejednakosti.
3. 
- "ležeća parabola", tj. parabola rotirana za 90 
u smjeru kazaljke na satu. Deli ravan na 2 dela (unutar parabole i izvan nje.)
4.
- kružnica sa centrom na početku, poluprečnik R (gdje je R>0). Rješenje nejednakosti 
je krug (tj. cijela površina koja leži unutar kruga, zajedno sa granicom), a nejednačine 
- područje izvan kruga. 5. 
- za a > 0 - kvadrat sa vrhovima u tačkama (a; 0), (0; a), (-a; 0), (0; -a). Prema tome, rješenje nejednakosti 
je površina unutar kvadrata i nejednakosti 
- prostor izvan trga.
Transformacije grafa:
1
f(x-a; y-b)=0, prvo morate nacrtati jednačinu f(x; y)=0, a zatim je pomaknuti za a jedinice duž ose Oh, i dalje b jedinice duž ose Oy.
2
. Za crtanje jednačine 
, potrebno je ispuniti simetriju grafa jednadžbe f(x; y) = 0 u odnosu na osu Oy (ne zaboravivši izbrisati dio originalnog grafa koji leži lijevo od ose Oy) .
3
. Za crtanje jednačine 
, potrebno je ispuniti simetriju grafa jednačine f(x; y) = 0 u odnosu na osu Ox (ne zaboravivši izbrisati dio originalnog grafa koji leži ispod ose Ox).
4.
U skladu s tim, nacrtati jednačinu 
, prvo morate nacrtati jednačinu f(x; y)=0 (tj. ukloniti sve module) u prva četvrtina, a zatim izvršite simetriju ovog grafa oko svih osa.
Nejednakosti sa dvije varijable.
Najčešće se za rješavanje koristi “metoda površine”. Odnosno, prvo, u nejednakosti, znak nejednakosti se zamjenjuje znakom “=” i rezultirajući graf se prikazuje na koordinatnoj ravni. Zatim se metodom „probne tačke“ provjerava znak nejednakosti u svakoj od formiranih područja.
Osim toga, mogu se posebno razmotriti nejednakosti oblika 
i 
. Da bismo ih riješili, prvo gradimo graf funkcije 
. Tada će rješenje prve nejednakosti biti tačke koje leže ispod ovog grafikona, a rješenje druge će biti tačke koje leže iznad.
Mogu se izdvojiti i nejednakosti oblika 
. (Znak nejednakosti može biti drugačiji.) Da biste to riješili, morate nacrtati graf sa punom linijom jednačine 
i isprekidana linija - grafikon jednačine 
i provjerite znak nejednakosti u svakoj rezultujućoj regiji (odabirom bilo koje tačke iz svake regije).
Primjer 1
№ 9,20 (g)
Slika Rješenje nejednakosti 
i odrediti sve vrijednosti a za koje data nejednakost ima barem jedno rješenje.
Rješenje.
Ova nejednakost je ekvivalentna sljedećem:
.
Da bismo to učinili, prvo konstruiramo graf jednadžbe
.
a) Zauzvrat, da bismo konstruisali ovaj graf, koristićemo pravilo 4 transformacije grafa. Ovdje je f(x; a) = 5x + 2a. Grafikon ove jednačine je prava linija koja seče koordinatne ose u tačkama (2, 0) i (0, 5). Jer razmatramo slučaj bez modula (tj. x 
i y), tada uzimamo samo dio ove linije koji leži u prvom kvadrantu.
b) da bismo izgradili graf jednačine , vršimo simetriju rezultujućeg segmenta u odnosu na sve koordinatne ose i ishodište. Dobijamo romb sa "centrom" na početku.
b) Sada pomjerimo ovaj grafikon za 3 jedinice udesno i 1 jedinicu naniže.
Dobili smo graf jednačine
Vidimo da je koordinatna ravan podijeljena na 2 područja, unutar romba i izvan njega. Vidimo da, na primjer, tačka (3,-1) pripada unutrašnjoj oblasti. Zamijenite njegove koordinate u nejednakost. Osiguravamo da je nejednakost u ovom trenutku zadovoljena. Dakle, sve tačke ovog regiona zadovoljavaju nejednakost. Da bismo provjerili, također zamjenjujemo tačku iz vanjskog područja u nejednakost. Na primjer, ovo je tačka (0, 8). Za date vrijednosti varijabli, nejednakost se pretvara u netačnu numeričku nejednakost, što znači da nijedna točka iz vanjskog područja ne zadovoljava nejednakost. Konačno, dobijamo da je rješenje nejednačine „unutrašnja strana“ romba. Ovo pokazujemo senčenjem.
odgovor: ova nejednakost ima rješenje za
Primjer 2. Nacrtajte na koordinatnoj ravni skup tačaka koje zadovoljavaju nejednakost 
.
Rješenje
1. Izgradimo linije koje ograničavaju graf nejednakosti. To će biti prave koje su slika skupova onih tačaka u kojima se brojilac i imenilac pretvaraju u 0. Tj. nacrtajte grafikone jednadžbi
(ALI)
i 
(B)
A) Grafikon ove jednačine je kružnica sa centrom u tački (2, -3) i poluprečnikom jednakim 4 - prikazan je kao puna linija, jer nejednakost nije stroga.
B) Grafikon ove jednačine - "ležeća parabola", spuštena za 1 jedinicu naniže - prikazan je isprekidanom linijom zbog domena nejednakosti.
2. Neka ,
. Tada naša nejednakost postaje 
.
Krug i parabola dijele koordinatnu ravan na 4 područja.
Imajte na umu da površina unutar kruga odgovara nejednakosti
, tj. 
. Područje izvan kruga - nejednakost 
, tj. 
.
Slično, površina "unutar" ili desno od parabole odgovara nejednakosti 
ili 
, a područje “izvan”, ili lijevo od parabole, na nejednakost 
ili 
.
I, konačno, u regionu IV i , tj. razlomak nije pozitivan i nejednakost nije zadovoljena.
Dakle, rješenje nejednakosti je unija regija I i III. 
sa jednakim stranama. Romb sa pravim uglovima je kvadrat .
Romb se smatra nekom vrstom paralelograma, sa dve susedne jednake stranice, bilo sa međusobno okomitim dijagonalama, ili sa dijagonalama koje dele ugao na 2 jednaka dela.
Svojstva romba.
1. Rhombus je paralelogram, pa su suprotne strane iste dužine i paralelne u parovima, AB || CD, AD || Ned.
2. Ugao presjeka dijagonala romb je ravan (AC⊥ BD) i tačka preseka su podeljene na dva identična dela. To jest, dijagonale dijele romb na 4 trokuta - pravokutna.
3. Dijagonale romba su simetrale njegovih uglova (∠ DCA=∠ bca,∠ ABD=∠ CBD itd. ).
4. Zbir kvadrata dijagonala jednak je kvadratu stranice pomnoženoj sa četiri (izvedeno iz identiteta paralelograma).
Rombovi znakovi.
Paralelogram A B C D zvaće se romb samo ako je ispunjen barem jedan od sljedećih uslova:
1. 2 njegove susjedne stranice su iste dužine (odnosno, sve strane romba su jednake, AB=BC=CD=AD).
2. Ugao preseka dijagonala prave linije ( AC⊥ BD).
3. 1-on dijagonala prepolovi uglove koji ga sadrže.
Pretpostavimo da ne znamo unaprijed da je četverokut paralelogram, ali je poznato da su mu sve stranice jednake. Dakle, ovaj četvorougao je romb.
Rombova simetrija.
Romb je simetričan U odnosu na sve svoje dijagonale, često se koristi u ukrasima i parketima.
Perimetar romba.
Perimetar geometrijske figure- ukupna dužina granica ravne geometrijske figure. Perimetar ima istu dimenziju kao i dužina.
sažetak ostalih prezentacija"Zadaci za znake sličnosti trouglova" - Sličnost trouglova. Određivanje visine objekta pomoću ogledala. Određivanje visine objekta iz lokve. Rješenje praktičnih problema. Senka štapa. Određivanje visine objekta. Mjerenje visine velikih objekata. Moto lekcije. Rješavanje problema prema gotovim crtežima. Samostalan rad. Gimnastika za oči. Talesova metoda. Individualna kartica. Određivanje visine piramide. Imenujte slične trouglove.
"Svojstva četvorougla" - Nazivi četvorouglova. Svi uglovi su pravi. Svojstva četvorouglova. Trapez. Kvadrat je pravougaonik u kojem su sve strane jednake. Elementi paralelograma. Dijagonale dijele uglove. Četvorougao. Diktat. Dijagonala. suprotnim uglovima. Pomozite Dunnou da popravi dvojku. Istorijski podaci. Četvorouglovi i njihova svojstva. Dijagonale. Rhombus. suprotne strane. Zabave.
"Rombus" - Znakovi. Perimetar. Izgled romba. Rhombus story. Rhombus. Romb sa dijagonalama. Šta je romb. Formula površine. Zanimljivosti. Svojstva romba. Romb u životu.
"Rješenje Pitagorine teoreme" - Dokaz dekompozicijom. Kvadratna površina. Najjednostavniji dokaz. Dokaz Perigala. Pitagorejci. Dijagonala. Dokaz iz 9. veka nove ere sljedbenici. Visina. Prečnik. Potpuni dokaz. Motiv. Hexagons. Dokaz oduzimanjem. Square. Pravougaonik. Mogućnosti primjene teoreme. Gutheilov dokaz. Primjena teoreme. Lotus problem. Istorija teoreme.
"Površina pravokutnika" ocjena 8 "- Površina kvadrata jednaka je kvadratu njegove stranice. Square. Pronađite površinu i obim kvadrata. Jedinice površine. Poligon se sastoji od nekoliko poligona. Pronađite površinu trokuta. Stranice svakog od pravougaonika. Jedinice. Pronađite površinu kvadrata. ABCD i DSMK su kvadrati. Površina romba je polovina proizvoda njegovih dijagonala. Na strani AB nacrtan je paralelogram. Pronađite površinu šesterokuta.
"Trapez" Razred 8 "- Trapezni mišići obje strane leđa zajedno imaju oblik trapeza. Zadaci za usmeni rad. Da li su četvorouglovi trapezi. Svojstva jednakokrakog trapeza. Znakovi jednakokrakog trapeza. Vrste trapeza. Područje trapeza. Trapezni elementi. Definicija. Srednja linija trapeza. Trapez. Geometrijska figura je tako nazvana zbog svoje sličnosti sa malim stolom.
AB \paralelni CD,\;BC \paralelni AD
AB=CD,\;BC=AD
2. Dijagonale romba su okomite.
AC\perp BD
Dokaz
Kako je romb paralelogram, njegove dijagonale su popolovljene.
Dakle, \trougao BOC = \trougao DOC na tri strane (BO = OD, OC je spoj, BC = CD). Dobijamo da je \ugao BOC = \ugao COD , a oni su susjedni.
\Strelica desno \ugao BOC = 90^(\circ) i \ugao COD = 90^(\circ) .
3. Točka presjeka dijagonala ih dijeli na pola.
AC=2\cdot AO=2\cdot CO
BD=2\cdot BO=2\cdot DO
4. Dijagonale romba su simetrale njegovih uglova.
\ugao1 = \ugao2; \; \ugao 5 = \ugao 6;
\ugao 3 = \ugao 4; \; \ugao 7 = \ugao 8.
Dokaz
Zbog činjenice da su dijagonale podijeljene točkom presjeka na pola, a sve strane romba jednake jedna drugoj, cijela figura je podijeljena dijagonalama na 4 jednaka trokuta:
\trokut BOC, \; \trokut BOA, \; \trokut AOD, \; \trokut COD.
To znači da su BD , AC simetrale.
5. Dijagonale formiraju 4 pravougla trougla iz romba.
6. Bilo koji romb može sadržavati krug sa centrom u tački presjeka njegovih dijagonala.
7. Zbir kvadrata dijagonala jednak je kvadratu jedne od stranica romba pomnoženom sa četiri
AC^2 + BD^2 = 4\cdot AB^2
Znakovi romba
1. Paralelogram sa okomitim dijagonalama je romb.
\begin(slučajevi) AC \perp BD \\ ABCD \end(slučajevi)- paralelogram, \Rightarrow ABCD - romb.
Dokaz
ABCD je paralelogram \Rightarrow AO = CO ; BO=OD. Takođe je naznačeno da AC \perp BD \Rightarrow \trokut AOB = \trokut BOC = \trokut COD = \trokut AOD- na 2 noge.
Ispada da je AB = BC = CD = AD.
Dokazan!
2. Kada u paralelogramu barem jedna od dijagonala podijeli oba ugla (kroz koje prolazi) na pola, tada će ova figura biti romb.
Dokaz
napomena: neće svaka figura (četvorokut) sa okomitim dijagonalama biti romb.
Na primjer:
Ovo više nije romb, uprkos okomitosti dijagonala.
Da bismo to razlikovali, vrijedi zapamtiti da u početku četverokut mora biti paralelogram i imati
I opet se postavlja pitanje: da li je romb paralelogram ili nije?
Sa punim desnim - paralelogram, jer ima i (zapamtite naš znak 2).
I opet, pošto je romb paralelogram, onda mora imati sva svojstva paralelograma. To znači da romb ima jednake suprotne uglove, suprotne strane su paralelne, a dijagonale su podijeljene točkom presjeka.
Rhombus Properties
Pogledaj sliku:
Kao iu slučaju pravougaonika, ova svojstva su distinktivna, odnosno za svako od ovih svojstava možemo zaključiti da nemamo samo paralelogram, već romb.
Znakovi romba
I opet obratite pažnju: ne bi trebao postojati samo četverougao s okomitim dijagonalama, već i paralelogram. Budi siguran:
Ne, naravno da ne, iako su njegove dijagonale i okomite, a dijagonala je simetrala uglova u. Ali ... dijagonale se ne dijele, tačka presjeka na pola, dakle - NIJE paralelogram, a time ni romb.
To jest, kvadrat je pravougaonik i romb u isto vrijeme. Da vidimo šta će ispasti iz ovoga.
Je li jasno zašto? - romb - simetrala ugla A, koja je jednaka. Dakle, dijeli se (i također) na dva ugla duž.
Pa, sasvim je jasno: dijagonale pravougaonika su jednake; Dijagonale romba su okomite, a općenito - dijagonale paralelograma podijeljene su točkom presjeka na pola.
PROSJEČAN NIVO
Svojstva četvorouglova. Paralelogram
Svojstva paralelograma
Pažnja! Riječi " svojstva paralelograma» znači da ako imate zadatak tu je paralelogram, onda se može koristiti sve od sljedećeg.
Teorema o svojstvima paralelograma.
U bilo kom paralelogramu:
Da vidimo zašto je to istina, drugim riječima MI ĆEMO DOKAZATI teorema.
Pa zašto je 1) istina?
Pošto je paralelogram, onda:
- kao ležanje popreko
- kao ležeći popreko.
Dakle, (po II osnovi: i - općenito.)
Pa, jednom, onda - to je to! - dokazano.
Ali usput! Dokazali smo i 2)!
Zašto? Ali ipak (pogledajte sliku), odnosno, jer.
Još samo 3).
Da biste to učinili, još uvijek morate nacrtati drugu dijagonalu.
I sada to vidimo - prema II znaku (ugao i stranica "između" njih).
Provjerena svojstva! Pređimo na znakove.
Karakteristike paralelograma
Podsjetimo da znak paralelograma odgovara na pitanje "kako saznati?" Da je figura paralelogram.
U ikonama je ovako:
Zašto? Bilo bi lijepo razumjeti zašto - dosta je. ali pogledaj:
Pa, shvatili smo zašto je znak 1 tačan.
Pa, to je još lakše! Povucimo ponovo dijagonalu.
Što znači:
I je takođe lako. Ali… drugačije!
Znači,. Vau! Ali isto tako - unutrašnje jednostrano na sekanti!
Dakle činjenica da to znači.
A ako pogledate s druge strane, onda su one unutrašnje jednostrane na sekanti! I zbog toga.
Vidite kako je super?!
I opet jednostavno:
Potpuno isto, i.
Obrati pažnju: ako ste našli najmanje jedan znak paralelograma u vašem problemu, onda imate upravo paralelogram i možete koristiti svima svojstva paralelograma.
Za potpunu jasnoću pogledajte dijagram:
Svojstva četvorouglova. Pravougaonik.
Svojstva pravougaonika:
Tačka 1) je sasvim očigledna - na kraju krajeva, znak 3 () je jednostavno ispunjen
I tačka 2) - veoma važno. Pa hajde da dokažemo to
Dakle, na dvije noge (i - generalno).
Pa, pošto su trouglovi jednaki, onda su i njihove hipotenuze jednake.
Dokazao to!
I zamislite, jednakost dijagonala je karakteristično svojstvo pravokutnika među svim paralelogramima. Odnosno, tačna je sljedeća izjava
Da vidimo zašto?
Dakle, (što znači uglove paralelograma). Ali još jednom, zapamtite to - paralelogram, i stoga.
Znači,. I, naravno, iz ovoga proizilazi da svaki od njih Uostalom, u iznosu koji bi trebali dati!
Ovdje smo dokazali da ako paralelogram odjednom (!) će biti jednake dijagonale, onda ovo tačno pravougaonik.
Ali! Obrati pažnju! Ovo je otprilike paralelograma! Ne bilo koječetverougao s jednakim dijagonalama je pravougaonik, i samo paralelogram!
Svojstva četvorougla. Rhombus
I opet se postavlja pitanje: da li je romb paralelogram ili nije?
Sa punim desnim - paralelogram, jer ima i (Zapamtite naš znak 2).
I opet, pošto je romb paralelogram, on mora imati sva svojstva paralelograma. To znači da romb ima jednake suprotne uglove, suprotne strane su paralelne, a dijagonale su podijeljene točkom presjeka.
Ali postoje i posebna svojstva. Mi formulišemo.
Rhombus Properties
Zašto? Pa, pošto je romb paralelogram, onda su njegove dijagonale podijeljene na pola.
Zašto? Da, zato!
Drugim riječima, ispostavilo se da su dijagonale i simetrale uglova romba.
Kao iu slučaju pravougaonika, ova svojstva su prepoznatljiv, svaki od njih je ujedno i znak romba.
Rombovi znakovi.
Žašto je to? I pogledaj
Dakle, i oboje ovi trouglovi su jednakokraki.
Da bi bio romb, četverougao prvo mora "postati" paralelogram, a zatim već pokazati osobinu 1 ili osobinu 2.
Svojstva četvorouglova. Square
To jest, kvadrat je pravougaonik i romb u isto vrijeme. Da vidimo šta će ispasti iz ovoga.
Je li jasno zašto? Kvadrat - romb - simetrala ugla, koja je jednaka. Dakle, dijeli se (i također) na dva ugla duž.
Pa, sasvim je jasno: dijagonale pravougaonika su jednake; Dijagonale romba su okomite, a općenito - dijagonale paralelograma podijeljene su točkom presjeka na pola.
Zašto? Pa, samo primijenite Pitagorinu teoremu na.
SAŽETAK I OSNOVNA FORMULA
Svojstva paralelograma:
- Suprotne strane su jednake: , .
- Suprotni uglovi su: , .
- Uglovi na jednoj strani su: , .
- Dijagonale su podijeljene presječnom točkom na pola: .
Svojstva pravougaonika:
- Dijagonale pravougaonika su: .
- Pravougaonik je paralelogram (za pravougaonik su ispunjena sva svojstva paralelograma).
Svojstva romba:
- Dijagonale romba su okomite: .
- Dijagonale romba su simetrale njegovih uglova: ; ; ; .
- Romb je paralelogram (sva svojstva paralelograma su ispunjena za romb).
Kvadratna svojstva:
Kvadrat je istovremeno i romb i pravougaonik, stoga su za kvadrat ispunjena sva svojstva pravokutnika i romba. Kao i.
