次の図は、関数が最小値と最大値に到達できる場所を示しています。 左の図では、最小値と最大値が関数の極小値と極大値のポイントに固定されています。 右の図では、セグメントの終わりにあります。
関数の場合 y = f(バツ) セグメントで連続[ a, b]、それからこのセグメントに到達します 少しでも と 最高値 。 すでに述べたように、これは次のいずれかで発生する可能性があります 極値点またはセグメントの終わりに。 したがって、見つけるために 少しでも と 関数の最大値 、セグメントで連続[ a, b]、すべての値を計算する必要があります 重要なポイントセグメントの最後で、それらの最小値と最大値を選択します。
たとえば、関数の最大値を決定する必要があるとします f(バツ）セグメント上[ a, b]。 これを行うには、[にあるすべての重要なポイントを見つけます a, b] .
臨界点 と呼ばれるポイント 定義された関数、および彼女 デリバティブゼロであるか、存在しません。 次に、臨界点での関数の値を計算する必要があります。 そして最後に、重要なポイントとセグメントの終わりで関数の値を比較する必要があります（ f(a） と f(b））。 これらの数字の最大のものは 区間での関数の最大値 [a, b] .
見つけることの問題 関数の最小値 .
関数の最小値と最大値を一緒に探しています
例1.関数の最小値と最大値を見つける 
セグメント上 [-1, 2]
.
決断。 この関数の導関数を見つけます。 導関数をゼロ（）に等しくし、2つの臨界点を取得します：と。 特定のセグメント上の関数の最小値と最大値を見つけるには、ポイントがセグメントに属していないため、セグメントの端とポイントでその値を計算するだけで十分です[-1 2]。 これらの関数値は次のとおりです：、、。 その結果 最小の関数値（下のグラフで赤でマークされている）-7に等しい、セグメントの右端で到達します-ポイントで、 最高の（グラフ上でも赤）、9に等しい-臨界点で。
関数が特定の間隔で連続していて、この間隔がセグメントではない場合（たとえば、間隔、間隔とセグメントの違い：間隔の境界点は間隔に含まれませんが、セグメントの境界点はセグメントに含まれています）、関数の値の中に最小と最大がない場合があります。 したがって、たとえば、次の図に示されている関数は、]-∞、+∞[で連続しており、最大値を持ちません。
ただし、任意の区間（閉じた、開いた、または無限）に対して、連続関数の次のプロパティが保持されます。
計算中のセルフチェックには、次を使用できます。 オンライン導関数計算機 .
例4.関数の最小値と最大値を見つける セグメント上 [-1, 3] .
決断。 この関数の導関数は商の導関数として見つかります。
.
導関数をゼロと見なします。これにより、1つの重要なポイントが得られます。 区間[-1、3]に属します。 特定のセグメント上の関数の最小値と最大値を見つけるために、セグメントの終わりと見つかった臨界点でその値を見つけます：
これらの値を比較してみましょう。 結論：その時点で-5/13に等しい 最大の価値ポイントで1に等しい。
関数の最小値と最大値を一緒に検索し続けます
関数の最小値と最大値を見つけるというトピックに関して、今考えたものよりも複雑な例、つまり、関数が多項式または分母である分子の例を生徒に与えない教師がいます分母は多項式です。 しかし、教師の中には生徒に完全に考えさせることを愛する人がいるので、私たちはそのような例に限定しません（派生物の表）。 したがって、対数と三角関数が使用されます。
例8.関数の最小値と最大値を見つける セグメント上 .
決断。 この関数の導関数は次のようになります。 製品の派生物 :
導関数をゼロと見なします。これにより、1つの重要なポイントが得られます。 セグメントに属しています。 特定のセグメント上の関数の最小値と最大値を見つけるために、セグメントの終わりと見つかった臨界点でその値を見つけます：
すべてのアクションの結果： 関数が最小値に達する、0に等しい、ある点とある点と 最大の価値に等しい e²、その時点で。
計算中のセルフチェックには、次を使用できます。 オンライン導関数計算機 .
例9.関数の最小値と最大値を見つける 
セグメント上 .
決断。 この関数の導関数を見つけます。
導関数をゼロに等しくします：
唯一の重要なポイントはセグメントに属します。 特定のセグメント上の関数の最小値と最大値を見つけるために、セグメントの終わりと見つかった臨界点でその値を見つけます：
結論： 関数が最小値に達する、に等しい、その時点で 最大の価値、に等しい、ポイントで。
適用される極値問題では、原則として、最小（最大）関数値を見つけることは最小（最大）を見つけることになります。 しかし、実際に大きな関心があるのは最小値または最大値自体ではなく、それらが達成される議論の価値です。 適用された問題を解決するとき、追加の困難が発生します-検討中の現象またはプロセスを説明する関数のコンパイル。
例10底が正方形で上部が開いた平行六面体の形状をした容量4のタンクは、錫メッキする必要があります。 最小量の材料でタンクを覆うために、タンクの寸法はどのくらいにする必要がありますか？
決断。 なりましょう バツ-ベース側 h-タンクの高さ、 S-カバーなしの表面積、 V-そのボリューム。 タンクの表面積は、次の式で表されます。 2つの変数の関数です。 表現するために S 1つの変数の関数として、、whenceという事実を使用します。 見つかった式を代入する hの式に S:
この関数の極値を調べてみましょう。 ] 0、+∞[、およびのどこでも定義され、微分可能です。
.
導関数をゼロ（）と等しくし、臨界点を見つけます。 さらに、では、導関数は存在しませんが、この値は定義域に含まれていないため、極値点にはなりません。 つまり、-唯一の重要なポイントです。 2番目の十分な基準を使用して、極値の存在を確認しましょう。 二階導関数を見つけましょう。 二階導関数がゼロより大きい場合（）。 これは、関数が最小に達したときを意味します 
。 これは 最小-この関数の唯一の極値であり、最小値です。 したがって、タンクのベースの側面は2 mに等しく、その高さである必要があります。
計算中のセルフチェックには、次を使用できます。
問題B15には、導関数を見つけるのが難しい「悪い」関数がある場合があります。 以前は、これはプローブのみでしたが、現在、これらのタスクは非常に一般的であるため、この試験の準備時に無視することはできません。
この場合、他のトリックが機能します。そのうちの1つは- 単調.
関数f（x）は、このセグメントの任意のポイントx1およびx2について、次のことが当てはまる場合、セグメント上で単調に増加すると呼ばれます。
x 1< x 2 ⇒ f (x 1) < f (x2).
関数f（x）は、このセグメントの任意のポイントx1およびx2について次のことが当てはまる場合、セグメント上で単調に減少すると呼ばれます。
x 1< x 2 ⇒ f (x 1）> f（ x2).
言い換えると、増加する関数の場合、xが大きいほど、f（x）は大きくなります。 減少関数の場合、反対のことが当てはまります。xが多いほど、 小さい f（x）。
たとえば、対数は、底がa> 1の場合は単調に増加し、0の場合は単調に減少します。< a < 1. Не забывайте про область допустимых значений логарифма: x > 0.
f（x）= log a x（a>0;a≠1;x>0）
算術平方根（および平方根だけでなく）は、定義域全体にわたって単調に増加します。
指数関数は対数と同様に動作します。>1の場合は増加し、0の場合は減少します。< a < 1. Но в отличие от логарифма, показательная функция определена для всех чисел, а не только для x > 0:
f（x）= a x（a> 0）
最後に、負の指数を持つ度。 あなたはそれらを分数として書くことができます。 単調さが崩れるブレークポイントがあります。
これらの関数はすべて、純粋な形で見つかることはありません。 多項式、分数、その他のナンセンスが追加されるため、導関数の計算が困難になります。 この場合に何が起こるか-次に分析します。
放物線の頂点座標
ほとんどの場合、関数の引数は次のように置き換えられます 二乗三項式 y = ax 2 + bx+cの形式の。 そのグラフは標準的な放物線であり、次のことに関心があります。
- 放物線の枝-上に行く（> 0の場合）または下に行く（a< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
- 放物線の頂点は、2次関数の極値点であり、この関数が最小（> 0の場合）または最大（> 0の場合）または最大（< 0) значение.
最も興味深いのは 放物線の上部、横軸は次の式で計算されます。
したがって、2次関数の極値点を見つけました。 ただし、元の関数が単調である場合、そのため、点x0も極値点になります。 したがって、キールールを定式化します。
二乗三項式の極値点とそれが入る複素関数は一致します。 したがって、二項三項式のx 0を探して、関数を忘れることができます。
上記の理由から、最大または最小のどのようなポイントが得られるかは不明です。 ただし、タスクは問題にならないように特別に設計されています。 自分で判断する：
- 問題の状態にあるセグメントはありません。 したがって、f（a）とf（b）を計算する必要はありません。 極値点のみを考慮することは残っています。
- しかし、そのような点は1つだけです。これは放物線x 0の頂点であり、その座標は文字通り口頭で計算され、導関数はありません。
したがって、問題の解決は大幅に簡素化され、2つのステップに削減されます。
- 放物線方程式y=ax 2 + bx + cを書き、次の式を使用してその頂点を見つけます。x 0 = −b / 2a;
- この時点で元の関数の値を見つけます：f（x0）。 追加の条件がない場合は、これが答えになります。
一見すると、このアルゴリズムとその正当化は複雑に見えるかもしれません。 そのようなルールの軽率な適用にはエラーが伴うため、私は意図的に「裸の」ソリューションスキームを投稿しません。
からの本当の問題を考えてみましょう トライアル試験数学では、これがこの手法が最も頻繁に発生する場所です。 同時に、このようにして、B15の多くの問題がほとんど口頭になるようにします。
ルートの下には、2次関数y \ u003d x 2 + 6x + 13があります。この関数のグラフは、係数a \ u003d 1 \ u003e 0であるため、上に分岐した放物線です。
放物線の上部：
x 0 \ u003d -b /（2a）\ u003d -6 /（2 1）\ u003d -6/2 \ u003d -3
放物線の分岐は上向きであるため、点x 0 \ u003d -3で、関数y \ u003d x 2 + 6x+13が最小値を取ります。
ルートは単調に増加しているため、x0は関数全体の最小点です。 我々は持っています：
タスク。 関数の最小値を見つけます。
y = log 2（x 2 + 2x + 9）
対数の下には、再び2次関数があります。y\ u003d x 2 + 2x +9。グラフは、枝が上にある放物線です。 a =1>0。
放物線の上部：
x 0 \ u003d -b /（2a）\ u003d -2 /（2 1）\ u003d -2/2 \ u003d -1
したがって、点x 0 = -1で、2次関数は最小値を取ります。 ただし、関数y = log 2 xは単調なので、次のようになります。
y min = y（-1）= log 2（（-1）2 + 2（-1）+ 9）= ... = log 2 8 = 3
指数は2次関数y=1 − 4x −x2です。 通常の形式で書き直してみましょう：y = −x 2 − 4x+1。
明らかに、この関数のグラフは放物線であり、分岐します（a = -1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:
x 0 = −b /（2a）= −（− 4）/（2（−1））= 4 /（− 2）= −2
元の関数は指数関数であり、単調であるため、最大値は見つかった点x 0 = −2になります。
注意深い読者は、私たちが根と対数の\ u200b\u200b許容値の領域を書き出していないことに確かに気付くでしょう。 しかし、これは必須ではありませんでした：内部には、値が常に正である関数があります。
関数のスコープからの結果
問題B15を解決するには、放物線の頂点を見つけるだけでは不十分な場合があります。 望ましい値はあるかもしれません セグメントの終わりに、ただし極値ではありません。 タスクでセグメントがまったく指定されていない場合は、次を参照してください。 許容範囲元の機能。 すなわち：
もう一度注意してください。ゼロはルートの下にある可能性がありますが、分数の対数または分母には決してありません。 特定の例でどのように機能するかを見てみましょう。
タスク。 関数の最大値を見つけます。
ルートの下には、再び2次関数があります：y \ u003d 3-2x--x2。 そのグラフは放物線ですが、a=-1であるため分岐します< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический 平方根負の数からは存在しません。
許容値（ODZ）の領域を書き出します：
3 − 2x −x2≥0⇒x2+ 2x −3≤0⇒（x + 3）（x − 1）≤0⇒x∈[−3; 1]
次に、放物線の頂点を見つけます。
x 0 = −b /（2a）= −（− 2）/（2（−1））= 2 /（− 2）= −1
点x0=-1はODZセグメントに属します-これは良いことです。 ここで、ポイントx 0と、ODZの終わりでの関数の値を検討します。
y（−3）= y（1）= 0
したがって、2と0の数字を取得しました。最大のものを見つけるように求められます。これが2の数字です。
タスク。 関数の最小値を見つけます。
y = log 0.5（6x-x 2-5）
対数の中には二次関数y\u003d 6x --x 2-5があります。これは枝が下にある放物線ですが、対数に負の数を含めることはできないため、ODZを書き出します。
6x − x 2 −5>0⇒x2− 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)
注意：不等式は厳密であるため、両端はODZに属していません。 このように、対数は、セグメントの端が非常によく合うルートとは異なります。
放物線の頂点を探す：
x 0 = −b /（2a）= −6 /（2（−1））= −6 /（− 2）= 3
放物線の上部はODZに沿ってフィットします：x 0 =3∈（1; 5）。 しかし、セグメントの終わりは私たちに興味がないので、点x0でのみ関数の値を考慮します。
y min = y（3）= log 0.5（6 3 − 3 2 − 5）= log 0.5（18 − 9 − 5）= log 0.5 4 = −2
実際には、関数の最大値と最小値を計算するために導関数を使用することは非常に一般的です。 このアクションは、コストの最小化、利益の増加、生産の最適負荷の計算など、つまり、パラメーターの最適値を決定する必要がある場合に実行します。 このような問題を正しく解決するには、関数の最大値と最小値をよく理解する必要があります。
通常、これらの値をある間隔x内で定義します。これは、関数のスコープ全体または関数の一部に対応する可能性があります。 セグメント[a; b]、および開区間（a; b）、（a; b]、[a; b）、無限区間（a; b）、（a; b]、[a; b）または無限区間-∞; a、（-∞; a]、[a; +∞）、（-∞; +∞）。
この記事では、最大値と最小値が明示的に計算される方法について説明します。 与えられた機能 1つの変数y=f（x）y = f（x）を使用します。
基本的な定義
いつものように、主な定義の定式化から始めます。
定義1
ある区間xでの関数y=f（x）の最大値は、値m a x y = f（x 0）x∈Xであり、任意の値x x∈X、x≠x 0に対して、不等式f（x ）≤f（x 0）。
定義2
ある区間xでの関数y=f（x）の最小値は、値minx∈Xy=f（x 0）であり、任意の値x∈Xに対して、x≠x 0であり、不等式f（X f（x）≥f（x0）。
これらの定義はかなり明白です。 これはさらに簡単に言うことができます。関数の最大値は、横軸x 0の既知の区間での最大値であり、最小値は、x0での同じ区間で受け入れられる最小値です。
定義3
停留点は、その導関数が0になる関数の引数の値です。
停留点が何であるかを知る必要があるのはなぜですか？ この質問に答えるには、フェルマーの定理を覚えておく必要があります。 したがって、停留点は、微分可能関数の極値（つまり、その極小値または極大値）が配置される点です。 その結果、関数は、停留点の1つで正確に特定の間隔で最小値または最大値を取ります。
別の関数は、関数自体が明確であり、その1次導関数が存在しないポイントで、最大値または最小値を取ることができます。
このトピックを研究するときに生じる最初の質問は、すべての場合において、与えられた間隔で関数の最大値または最小値を決定できるかどうかです。 いいえ、指定された間隔の境界が定義域の境界と一致する場合、または無限の間隔を処理している場合、これを行うことはできません。 また、指定された間隔または無限大の関数が、無限に小さい値または無限に大きい値をとることもあります。 これらの場合、最大値および/または最小値を決定することはできません。
これらの瞬間は、グラフ上の画像の後でより理解しやすくなります。
最初の図は、最大の関数と 最小値（m axyおよびmin y）セグメント上にある停留点で[-6; 6]。
2番目のグラフに示されているケースを詳しく調べてみましょう。 セグメントの値を[1;に変更してみましょう。 6]そして、関数の最大値は、区間の右側の境界に横軸がある点で達成され、最小値は停留点で達成されることがわかります。
3番目の図では、点の横軸はセグメントの境界点を表しています[-3; 2]。 これらは、指定された関数の最大値と最小値に対応します。
それでは、4番目の写真を見てみましょう。 その中で、関数は、オープン間隔（-6; 6）の停留点でm a x y（最大値）とm i n y（最小値）を取ります。
間隔を取る場合[1; 6）、そして、その上の関数の最小値は停留点で到達すると言うことができます。 最大値はわかりません。 x = 6が区間に属している場合、関数は6に等しいxで最大値を取ることができます。 図5に示されているのはこの場合です。
グラフ6では、この関数は区間の右端（-3; 2]で最小値を取得し、最大値について明確な結論を出すことはできません。
図7では、関数の停留点にm a x yがあり、横軸は1に等しいことがわかります。 関数は、右側の区間境界で最小値に達します。 マイナス無限大では、関数の値は漸近的にy=3に近づきます。
区間x∈2を取る場合; +∞の場合、与えられた関数が最小値または最大値をとらないことがわかります。 xが2になる傾向がある場合、直線x = 2は垂直方向の漸近線であるため、関数の値はマイナス無限大になる傾向があります。 横軸が無限大をプラスする傾向がある場合、関数の値は漸近的にy=3に近づきます。 これは、図8に示すケースです。
この段落では、特定の間隔で関数の最大値または最小値を見つけるために実行する必要のある一連のアクションを示します。
- まず、関数の定義域を見つけましょう。 条件で指定したセグメントが含まれているか確認してみましょう。
- 次に、このセグメントに含まれる、一次導関数が存在しないポイントを計算してみましょう。 ほとんどの場合、それらは、引数がモジュラス記号の下に記述されている関数、または指数が分数有理数であるべき乗関数で見つけることができます。
- 次に、どの停留点が特定のセグメントに分類されるかを調べます。 これを行うには、関数の導関数を計算し、それを0に等しくして、結果の方程式を解き、適切な根を選択する必要があります。 停留点が1つもない場合、または特定のセグメントに分類されない場合は、次の手順に進みます。
- 与えられた停留点（存在する場合）、または一次導関数が存在しない点（存在する場合）で関数が取る値を決定するか、x=aおよびxの値を計算します=b。
- 5.一連の関数値があり、そこから最大値と最小値を選択する必要があります。 これは、見つける必要のある関数の最大値と最小値になります。
問題を解決するときにこのアルゴリズムを正しく適用する方法を見てみましょう。
例1
調子：関数y=x 3 + 4x2が与えられます。 セグメントの最大値と最小値を決定します[1; 4]および[-4; - 1 ] 。
決断：
この関数の定義域を見つけることから始めましょう。 この場合、0を除くすべての実数のセットになります。 言い換えれば、D（y）：x∈（-∞; 0）∪0; +∞。 条件で指定された両方のセグメントは、定義領域内にあります。
ここで、分数の微分法則に従って関数の導関数を計算します。
y "= x 3 + 4 x 2" = x 3 + 4 "x 2-x 3 + 4 x 2" x 4 = = 3 x 2 x 2-（x 3-4）2 x x 4 = x 3-8 x 3
関数の導関数がセグメントのすべてのポイントに存在することを学びました[1; 4]および[-4; - 1 ] 。
次に、関数の停留点を決定する必要があります。 方程式x3-8x 3=0でこれを行いましょう。 実際のルートは2つだけです。 これは関数の停留点になり、最初のセグメントに分類されます[1; 4]。
最初のセグメントの終わりと指定されたポイントでの関数の値を計算してみましょう。 x = 1、x=2およびx=4の場合：
y（1）= 1 3 + 4 1 2 = 5 y（2）= 2 3 + 4 2 2 = 3 y（4）= 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4
関数maxyx∈[1;の最大値が得られました。 4] = y（2）=3はx= 1で達成され、最小のm inyx∈[1; 4] = y（2）= 3 – x=2で。
2番目のセグメントには停留点が含まれていないため、指定されたセグメントの終わりでのみ関数値を計算する必要があります：
y（-1）=（-1）3 + 4（-1）2 = 3
したがって、m axyx∈[-4; --1] = y（-1）= 3、m inyx∈[-4; -1] = y（-4）=-334。
答え：セグメントの場合[1; 4] --m axyx∈[1; 4] = y（2）= 3、m inyx∈[1; 4] = y（2）= 3、セグメント[-4; --1] --m axyx∈[-4; --1] = y（-1）= 3、m inyx∈[-4; -1] = y（-4）=-334。
写真を参照してください：
この方法を学ぶ前に、片側極限と無限区間の限界を正しく計算する方法を確認し、それらを見つけるための基本的な方法を学ぶことをお勧めします。 開区間または無限区間で関数の最大値および/または最小値を見つけるには、次の手順を順番に実行します。
- 最初に、指定された間隔が指定された関数の定義域のサブセットになるかどうかを確認する必要があります。
- 必要な間隔に含まれ、一次導関数が存在しないすべてのポイントを決定しましょう。 通常、これらは、引数がモジュールの符号で囲まれている関数、および分数有理指数のべき乗関数で発生します。 これらのポイントが欠落している場合は、次の手順に進むことができます。
- ここで、どの停留点が特定の間隔に該当するかを判別します。 まず、導関数を0に等しくし、方程式を解いて適切な根を見つけます。 停留点が1つもない場合、または指定された間隔内にない場合は、すぐに次のアクションに進みます。 それらは間隔のタイプによって決定されます。
- 間隔が[a;のように見える場合 b）、次に、点x=aおよび片側極限limx→b-0f（x）での関数の値を計算する必要があります。
- 区間の形式が（a; b]の場合、点x=bおよび片側極限limx→a+0 f（x）での関数の値を計算する必要があります。
- 区間の形式が（a; b）の場合、片側極限limx→b-0f（x）、limx→a+ 0 f（x）を計算する必要があります。
- 間隔が[a;のように見える場合 +∞）、次に、点x = aでの値と、プラス無限大lim x→+∞f（x）の極限を計算する必要があります。
- 区間が（-∞; b]のように見える場合、点x = bでの値と、マイナス無限大での極限lim x→--∞f（x）を計算します。
- -∞の場合; bの場合、片側極限limx→b-0 f（x）と、マイナス無限大の極限lim x→--∞f（x）を考慮します。
- -∞の場合; +∞、次に、マイナスとプラスの無限大の限界を考慮しますlim x→+∞f（x）、lim x→--∞f（x）。
- 最後に、関数と制限の取得値に基づいて結論を出す必要があります。 ここには多くのオプションがあります。 したがって、片側極限がマイナス無限大またはプラス無限大に等しい場合、関数の最小値と最大値については何も言えないことがすぐにわかります。 以下では、1つの典型的な例を検討します。 詳細な説明何が何であるかを理解するのに役立ちます。 必要に応じて、資料の最初の部分の図4〜8に戻ることができます。
条件：関数y = 3 e 1 x 2 +x-6-4が与えられます。 間隔内の最大値と最小値を計算します-∞; --4、-∞; --3、（-3; 1]、（-3; 2）、[1; 2）、2; +∞、[4; +∞）。
決断
まず、関数の定義域を見つけます。 分数の分母は二乗三項式であり、0にしないでください。
x 2 + x-6 = 0 D = 1 2-4 1（-6）= 25 x 1 = --1-5 2 =-3 x 2 = --1 + 5 2 =2⇒D（y）：x∈ （-∞;-3）∪（-3; 2）∪（2; +∞）
条件で指定されたすべての間隔が属する関数のスコープを取得しました。
次に、関数を区別して、次のようにします。
y "= 3 e 1 x 2 + x-6-4" = 3 e 1 x 2 + x-6 "= 3 e 1 x 2 + x-6 1 x 2 + x-6" == 3 e 1 x 2 + x-6 1 "x 2 + x-6-1 x 2 + x-6"（x 2 + x-6）2 =-3（2 x + 1）e 1 x 2 + x-6 x 2 + x-6 2
したがって、関数の導関数は、その定義域全体に存在します。
停留点の検索に移りましょう。 関数の導関数は、x =--12で0になります。 これは、間隔（-3; 1]と（-3; 2）にある停留点です。
区間（-∞;--4]のx=-4での関数の値と、マイナス無限大での極限を計算してみましょう。
y（-4）\ u003d 3 e 1（-4）2 +（-4）-6-4 \ u003d 3 e16-4≈-0。 456limx→--∞3e1x 2 + x-6 = 3 e 0-4 =-1
3 e 1 6-4> --1なので、m a x yx∈（-∞; -4] = y（-4）= 3 e 1 6-4。これでは、関数の最小値を一意に決定することはできません。関数がマイナスの無限大で漸近的に近づくのはこの値であるため、-1未満の制限があると結論付けることしかできません。
2番目の間隔の特徴は、停留点が1つもなく、厳密な境界も1つもないことです。 したがって、関数の最大値または最小値を計算することはできません。 マイナス無限大で制限を定義し、引数が左側で-3になる傾向があるため、値の範囲のみを取得します。
limx→-3-03 e 1 x 2 + x-6-4 =limx→-3-03 e 1（x + 3）（x-3）-4 = 3 e 1（-3-0 + 3）（-3 --0 --2）-4 = = 3 e 1（+ 0）-4 = 3e+∞-4=+∞limx→--∞3e1x 2 + x-6-4 = 3 e 0-4 =-1
これは、関数値が-1の間隔に配置されることを意味します。 +∞
3番目の区間で関数の最大値を見つけるために、x = 1の場合、停留点x =--12での関数の値を決定します。 また、引数が右側で-3になる傾向がある場合の片側極限を知る必要があります。
y --1 2 = 3 e 1 --1 2 2 + --1 2 -6 -4 = 3 e425-4≈-1。 444 y（1）= 3 e 1 1 2+1-6-4≈-1。 644limx→-3+0 3 e 1 x 2 + x-6-4 =limx→-3+0 3 e 1（x + 3）（x-2）-4 = 3 e 1-3 + 0 + 3（-3 + 0-2）-4 = = 3 e 1（-0）-4 =3e-∞-4=30-4 =-4
関数は停留点max yx∈（3; 1] = y --1 2 = 3 e-4 25-4で最大値をとることが判明しました。最小値については、決定できません。知っている、-4への下限の存在です。
区間（-3; 2）について、前の計算の結果を取得し、左側から2に傾向がある場合の片側極限が等しいものをもう一度計算してみましょう。
y --1 2 = 3 e 1 --1 2 2 + --1 2 -6 -4 = 3 e -425-4≈-1。 444limx→-3+0 3 e 1 x 2 + x-6-4 =-4limx→2-03e 1 x 2 + x-6-4 =limx→-3+0 3 e 1 （x + 3）（x --2）-4 = 3 e 1（2-0 + 3）（2-0-2）-4 = = 3 e 1-0-4=3e--∞-4=3 0-4 =-4
したがって、m a x yx∈（-3; 2）= y --1 2 = 3 e-4 25-4であり、最小値を決定することはできず、関数の値は下から数-4によって制限されます。
前の2つの計算で行ったことに基づいて、区間[1; 2）関数はx = 1で最大値を取り、最小値を見つけることは不可能です。
区間（2; +∞）では、関数は最大値にも最小値にも到達しません。 間隔-1から値を取ります; +∞。
limx→2+0 3 e 1 x 2 + x-6-4 =limx→-3+0 3 e 1（x + 3）（x-2）-4 = 3 e 1（2 + 0 + 3 ）（2 + 0-2）-4 = = 3 e 1（+ 0）-4 = 3e+∞-4=+∞limx→+∞3e1x 2 + x-6-4 = 3 e 0-4 =-1
x = 4で関数の値がどのようになるかを計算すると、m axyx∈[4; +∞）= y（4）= 3 e 1 14-4であり、プラス無限大で与えられた関数は漸近的に直線y=-1に近づきます。
各計算で得られたものを、与えられた関数のグラフと比較してみましょう。 この図では、漸近線が点線で示されています。
関数の最大値と最小値を見つけることについて話したかったのはこれだけです。 私たちが提供した一連のアクションは、必要な計算を可能な限り迅速かつ簡単に行うのに役立ちます。 ただし、関数が減少する間隔と増加する間隔を最初に確認してから、さらに結論を導き出すことができると便利な場合が多いことを覚えておいてください。 したがって、関数の最大値と最小値をより正確に決定し、結果を正当化することができます。
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このサービスで、あなたはすることができます 関数の最大値と最小値を見つける Wordのソリューションの設計を含む1つの変数f（x）。 したがって、関数f（x、y）が与えられた場合、2つの変数の関数の極値を見つける必要があります。 関数の増減の間隔もわかります。
関数エントリルール:
1つの変数の関数の極値に必要な条件
方程式f"0（x *）\ u003d 0は、1つの変数の関数の極値に必要な条件です。つまり、点x *で、関数の1次導関数が消える必要があります。関数が静止点xcを選択します。増加せず、減少しません。1つの変数の関数の極値のための十分な条件
f 0（x）が集合Dに属するxに関して2回微分可能であるとします。 ポイントx*で条件が満たされた場合：F "0（x *）= 0
f "" 0（x *）> 0
その場合、点x *は、関数のローカル（グローバル）最小値の点です。
ポイントx*で条件が満たされた場合：
F "0（x *）= 0
f "" 0（x *）< 0
そのポイントx*は、ローカル（グローバル）の最大値です。
例1。 関数の最大値と最小値を見つけます：セグメント上で。
決断。 
臨界点は1x1 = 2（f'（x）= 0）です。 この点はセグメントに属します。 （0∉なので、点x = 0は重要ではありません）。
セグメントの終わりと臨界点で関数の値を計算します。
f（1）= 9、f（2）= 5/2、f（3）= 3 8/81
回答：x=2の場合fmin= 5/2; x=1でfmax= 9
例2。 高階導関数を使用して、関数y = x-2sin（x）の極値を見つけます。
決断。
関数の導関数を見つけます：y’= 1-2cos（x）。 臨界点を見つけましょう：1-cos（x）= 2、cos（x）= 1、x=±π/3 +2πk、k∈Z。 y'' = 2sin（x）を見つけて計算するので、x=π/3 +2πk、k∈Zは関数の最小点です。 
、したがって、x=-π/3 +2πk、k∈Zは関数の最大点です。
例3。 点x=0の近傍の極値関数を調べます。
決断。 ここでは、関数の極値を見つける必要があります。 極値x=0の場合、そのタイプ（最小または最大）を調べます。 見つかった点の中にx=0がない場合は、関数f（x = 0）の値を計算します。
与えられた点の両側の導関数がその符号を変えないとき、微分可能な関数でさえ可能な状況が尽きないことに注意する必要があります：点x0の片側の任意の小さな近傍に対してまたは両側で、導関数は符号を変更します。 これらの時点で、極値への機能を研究するために他の方法を適用する必要があります。
例4。 数値49を2つの項に分割し、その積が最大になります。
決断。 xを最初の項とします。 次に、（49-x）は第2項です。
製品は最大になります：x（49-x）→max
実用的な観点から、最も興味深いのは、関数の最大値と最小値を見つけるために導関数を使用することです。 それは何と関係がありますか？ 利益の最大化、コストの最小化、機器の最適な負荷の決定...言い換えれば、生活の多くの分野で、いくつかのパラメータを最適化するという問題を解決する必要があります。 そして、これは関数の最大値と最小値を見つける問題です。
関数の最大値と最小値は通常、関数の定義域全体または定義域の一部である区間Xで求められることに注意してください。 区間X自体は、線分、開区間にすることができます 
、無限の間隔。
この記事では、1つの変数y = f（x）の明示的に指定された関数の最大値と最小値を見つけることについて説明します。
ページナビゲーション。
関数の最大値と最小値-定義、図。
主な定義について簡単に説明します。
関数の最大値 
、これは 
不等式は真実です。
関数の最小値区間Xのy=f（x）はそのような値と呼ばれます 
、これは 不等式は真実です。
これらの定義は直感的です。関数の最大（最小）値は、横軸で検討中の区間で受け入れられる最大（最小）値です。
停留点関数の導関数が消える引数の値です。
最大値と最小値を見つけるときに停留点が必要なのはなぜですか？ この質問に対する答えは、フェルマーの定理によって与えられます。 この定理から、微分可能関数がある点で極値（極小値または極大値）を持っている場合、この点は静止しているということになります。 したがって、関数は多くの場合、この区間の停留点の1つで区間Xの最大（最小）値を取ります。
また、関数は、この関数の一次導関数が存在せず、関数自体が定義されているポイントで、最大値と最小値をとることがよくあります。
このトピックに関する最も一般的な質問の1つにすぐに答えましょう：「関数の最大（最小）値を決定することは常に可能ですか？」 常にではありません。 区間Xの境界が関数の定義域の境界と一致する場合や、区間Xが無限大である場合があります。 また、無限大および定義域の境界にある一部の関数は、無限大と無限大の両方の値を取ることができます。 このような場合、関数の最大値と最小値については何も言えません。
わかりやすくするために、図を示します。 写真を見てください-そして多くが明らかになるでしょう。
セグメント上
最初の図では、関数はセグメント[-6; 6]内の停留点で最大（max y）と最小（min y）の値を取ります。
2番目の図に示されているケースを考えてみます。 セグメントをに変更します。 この例では、関数の最小値は停留点で達成され、最大値は区間の右境界に対応する横座標を持つ点で達成されます。
図3では、セグメント[-3; 2]の境界点は、関数の最大値と最小値に対応する点の横座標です。
オープンレンジで
4番目の図では、関数は、オープン間隔（-6; 6）内の停留点で最大（max y）と最小（min y）の値を取ります。
間隔では、最大値について結論を出すことはできません。
無限大で
7番目の図に示す例では、関数は横軸x = 1の停留点で最大値（max y）を取り、間隔の右側の境界で最小値（min y）に到達します。 マイナス無限大では、関数の値は漸近的にy=3に近づきます。
間隔では、関数は最小値にも最大値にも到達しません。 x = 2は右に向かう傾向があるため、関数値はマイナス無限大になりがちであり（直線x = 2は垂直方向の漸近線です）、横軸はプラス無限大になる傾向があるため、関数値は漸近的にy=3に近づきます。 。 この例の図解を図8に示します。
セグメント上の連続関数の最大値と最小値を見つけるためのアルゴリズム。
セグメント上の関数の最大値と最小値を見つけることができるアルゴリズムを作成します。
- 関数の定義域を見つけて、セグメント全体が含まれているかどうかを確認します。
- 一次導関数が存在せず、セグメントに含まれるすべてのポイントを見つけます（通常、このようなポイントは、モジュール記号の下に引数がある関数と、分数有理指数を持つべき乗関数で発生します）。 そのようなポイントがない場合は、次のポイントに進みます。
- セグメントに分類されるすべての停留点を決定します。 これを行うには、それをゼロに等しくし、結果の方程式を解いて、適切な根を選択します。 停留点がないか、いずれもセグメントに分類されない場合は、次の手順に進みます。
- 選択した停留点（存在する場合）、一次導関数が存在しない点（存在する場合）、およびx=aとx=bで、関数の値を計算します。
- 得られた関数の値から、最大値と最小値を選択します。これらは、それぞれ関数の目的の最大値と最小値になります。
例を解くときにアルゴリズムを分析して、セグメント上の関数の最大値と最小値を見つけましょう。
例。
関数の最大値と最小値を見つける
- セグメント上;
- 間隔[-4;-1]で。
決断。
関数の定義域は、ゼロ、つまり。を除いて、実数のセット全体です。 両方のセグメントは、定義のドメインに含まれます。
次の点に関する関数の導関数を見つけます。 
明らかに、関数の導関数はセグメントと[-4;-1]のすべてのポイントに存在します。
停留点は方程式から決定されます。 唯一の実際のルートはx=2です。 この停留点は最初のセグメントに分類されます。
最初のケースでは、セグメントの端と停留点での関数の値を計算します。つまり、x = 1、x = 2、x=4の場合です。 
したがって、関数の最大値 
x = 1で到達し、最小値 
– x=2で。
2番目のケースでは、セグメント[-4; -1]の端でのみ関数の値を計算します（停留点が含まれていないため）： 
決断。
関数のスコープから始めましょう。 分数の分母の二乗三項式は消えてはなりません。 
問題の状態からのすべての間隔が関数の定義域に属していることを確認するのは簡単です。
関数を区別してみましょう： 
明らかに、導関数は関数の定義域全体に存在します。
停留点を見つけましょう。 導関数はで消えます。 この停留点は、間隔（-3; 1]と（-3; 2）の範囲内にあります。
これで、各ポイントで得られた結果を関数のグラフと比較できます。 青い点線は漸近線を示します。
これは、関数の最大値と最小値を見つけることで終了する可能性があります。 この記事で説明するアルゴリズムを使用すると、最小限のアクションで結果を得ることができます。 ただし、最初に関数の増加と減少の間隔を決定し、その後でのみ、任意の間隔での関数の最大値と最小値について結論を出すことが役立つ場合があります。 これにより、結果がより明確になり、厳密に正当化されます。
