В математике бесконечное множество функций. И у каждой - свой характер.) Для работы с самыми разнообразными функциями нужен единый подход. Иначе, какая же это математика?!) И такой подход есть!

При работе с любой функцией мы предъявляем ей стандартный набор вопросов. И первый, самый важный вопрос - это область определения функции. Иногда эту область называют множеством допустимых значений аргумента, областью задания функции и т.п.

Что такое область определения функции? Как её находить? Эти вопросы частенько представляются сложными и непонятными... Хотя, на самом деле, всё чрезвычайно просто. В чём вы сможете убедиться лично, прочитав эту страничку. Поехали?)

Ну, что тут сказать... Только респект.) Да! Естественная область определения функции (о которой здесь идёт речь) совпадает с ОДЗ выражений, входящих в функцию. Соответственно, и ищутся они по одним и тем же правилам.

А сейчас рассмотрим не совсем естественную область определения.)

Дополнительные ограничения на область определения функции.

Здесь речь пойдёт об ограничениях, которые накладываются заданием. Т.е. в задании присутствуют какие-то дополнительные условия, которые придумал составитель. Или ограничения выплывают из самого способа задания функции.

Что касается ограничений в задании - тут всё просто. Обычно, и искать-то ничего не надо, всё в задании уже сказано. Напомню, что ограничения, написанные автором задания, никак не отменяют принципиальные ограничения математики. Нужно просто не забыть учесть условия задания.

Например, такое задание:

Найти область определения функции:

на множестве положительных чисел.

Естественную область определения этой функции мы нашли выше. Эта область:

D(f)=(-∞ ; -1) ∪ (-1; 2] ∪ ∪

В словесном способе задания функции нужно внимательно читать условие и находить там ограничения на иксы. Иногда глаза ищут формулы, а слова свистят мимо сознания да...) Пример из предыдущего урока:

Функция задана условием: каждому значению натурального аргумента х ставится в соответствие сумма цифр, из которых состоит значение х.

Здесь надо заметить, что речь идёт только о натуральных значениях икса. Тогда и D(f) мгновенно записывается:

D(f): х ∈ N

Как видите, область определения функции - не такое уж сложное понятие. Нахождение этой области сводится к осмотру функции, записи системы неравенств и решению этой системы. Конечно, системы бывают всякие, простые и сложные. Но...

Открою маленький секрет. Иногда функция, для которой надо найти область определения, выглядит просто устрашающе. Хочется побледнеть и заплакать.) Но стоит записать систему неравенств... И, вдруг, системка оказывается элементарной! Причём, частенько, чем ужаснее функция, тем проще система...

Мораль: глаза боятся, голова решает!)

Чтобы находить области определения распространённых функций, на этом уроке порешаем уравнения и неравенства с одной переменной.

Будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно посмотреть ответы.

А что же такое область определения функции? Взглянем на график функции на рисунке. Каждой точке графика функции соответствует определённое значение "икса" - аргумента функции и определённое значение "игрека" - самой функции. От аргумента - "икса" - вычисляется "игрек" - значения функции. Область определения функции - это множества всех значений "икса", для которых существует, то есть может быть вычислен "игрек" - значение функции. Иначе говоря, множество значений аргумента, на котором "функция работает". Большая часть функций задаётся формулами. Поэтому область определения функции - это также наибольшее множество, на котором формула имеет смысл.

На рисунке изображён график функции . Знаменатель дроби не может быть равен нулю, так как на нуль делить нельзя. Поэтому, приравнивая знаменатель нулю, получаем значение, не входящее в область определения функции: 1. А область определения функции - это все значения "икса" от минус бесконечности до единицы и от единицы до плюс бесконечности. Это хорошо видно на графике

Пример 0. Как найти область определения функции игрек равен квадратному корню из икса минус пять (подкоренное выражение икс минус пять) ()? Нужно всего лишь решить неравенство

x - 5 ≥ 0 ,

так как для того, чтобы мы получили действительное значение игрека, подкоренное выражение должно быть больше или равно нулю. Получаем решение: область определения функции - все значения икса больше или равно пяти (или икс принадлежит промежутку от пяти включительно до плюс бесконечности).

На чертеже сверху - фрагмент числовой оси. На ней область опредения рассмотренной функции заштрихована, при этом в "плюсовом" направлении штриховка продолжается бесконечно вместе с самой осью.

Область определения постоянной

Постоянная (константа) определена при любых действительных значениях x R действительных чисел. Это можно записать и так: областью определения данной функции является вся числовая прямая ]- ∞; + ∞[ .

Пример 1. Найти область определения функции y = 2 .

Решение. Область определения функции не указана, значит, в силу выше приведённого определения имеется в виду естественная область определения. Выражение f (x ) = 2 определено при любых действительных значениях x , следовательно, данная функция определена на всём множестве R действительных чисел.

Поэтому на чертеже сверху числовая прямая заштрихована на всём протяжении от минус бесконечности до плюс бесконечности.

Область определения корня n -й степени

В случае, когда функция задана формулой и n - натуральное число:

Пример 2. Найти область определения функции .

Решение. Как следует из определения, корень чётной степени имеет смысл, если подкоренное выражение неотрицательно, то есть, если - 1 ≤ x ≤ 1 . Следовательно, область определения данной функции - [- 1; 1] .

Заштрихованная область числовой прямой на чертеже сверху - это область определения данной функции.

Область определения степенной функции

Область определения степенной функции с целым показателем степени

если a - положительное, то областью определения функции является множество всех действительных чисел, то есть ]- ∞; + ∞[ ;

если a - отрицательное, то областью определения функции является множество ]- ∞; 0[ ∪ ]0 ;+ ∞[ , то есть вся числовая прямая за исключением нуля.

На соответствующем чертеже сверху вся числовая прямая заштрихована, а точка, соответствующая нулю, выколота (она не входит в область определения функции).

Пример 3. Найти область определения функции .

Решение. Первое слагаемое целой степенью икса, равной 3, а степень икса во втором слагаемом можно представить в виде единицы - так же целого числа. Следовательно, область определения данной функции - вся числовая прямая, то есть ]- ∞; + ∞[ .

Область определения степенной функции с дробным показателем степени

В случае, когда функция задана формулой :

если - положительное, то областью определения функции является множество 0; + ∞[ .

Пример 4. Найти область определения функции .

Решение. Оба слагаемых в выражении функции - степенные функции с положительными дробными показателями степеней. Следовательно, область определения данной функции - множество - ∞; + ∞[ .

Область определения показательной и логарифмической функции

Область определения показательной функции

В случае, когда функция задана формулой , областью определения функции является вся числовая прямая, то есть ]- ∞; + ∞[ .

Область определения логарифмической функции

Логарифмическая функция определена при условии, если её аргумент положителен, то есть, областью её определения является множество ]0; + ∞[ .

Найти область определения функции самостоятельно, а затем посмотреть решение

Область определения тригонометрических функций

Область определения функции y = cos(x ) - так же множество R действительных чисел.

Область определения функции y = tg(x ) - множество R действительных чисел, кроме чисел .

Область определения функции y = ctg(x ) - множество R действительных чисел, кроме чисел .

Пример 8. Найти область определения функции .

Решение. Внешняя функция - десятичный логарифм и на область её определения распространяются условия области определения логарифмической функции вообще. То есть, её аргумент должен быть положительным. Аргумент здесь - синус "икса". Поворачивая воображаемый циркуль по окружности, видим, что условие sin x > 0 нарушается при "иксе" равным нулю, "пи", два, умноженном на "пи" и вообще равным произведению числа "пи" и любого чётного или нечётного целого числа.

Таким образом, область определения данной функции задаётся выражением

,

где k - целое число.

Область определения обратных тригонометрических функций

Область определения функции y = arcsin(x ) - множество [-1; 1] .

Область определения функции y = arccos(x ) - так же множество [-1; 1] .

Область определения функции y = arctg(x ) - множество R действительных чисел.

Область определения функции y = arcctg(x ) - так же множество R действительных чисел.

Пример 9. Найти область определения функции .

Решение. Решим неравенство:

Таким образом, получаем область определения данной функции - отрезок [- 4; 4] .

Пример 10. Найти область определения функции .

Решение. Решим два неравенства:

Решение первого неравенства:

Решение второго неравенства:

Таким образом, получаем область определения данной функции - отрезок .

Область определения дроби

Если функция задана дробным выражением, в котором переменная находится в знаменателе дроби, то областью определения функции является множество R действительных чисел, кроме таких x , при которых знаменатель дроби обращается в нуль.

Пример 11. Найти область определения функции .

Решение. Решая равенство нулю знаменателя дроби, находим область определения данной функции - множество ]- ∞; - 2[ ∪ ]- 2 ;+ ∞[ .

Пример 12. Найти область определения функции .

Решение. Решим уравнение:

Таким образом, получаем область определения данной функции - ]- ∞; - 1[ ∪ ]- 1 ; 1[ ∪ ]1 ;+ ∞[ .

Научный руководитель:

1. Введение 3

2. Исторический очерк 4

3. «Место» ОДЗ при решении уравнений и неравенств 5-6

4. Особенности и опасность ОДЗ 7

5. ОДЗ – есть решение 8-9

6. Нахождение ОДЗ – лишняя работа. Равносильность переходов 10-14

7. ОДЗ в ЕГЭ 15-16

8. Заключение 17

9. Литература 18

1. Введение

Проблема: уравнения и неравенства, в которых нужно находить ОДЗ, не нашли места в курсе алгебры систематического изложения, возможно поэтому я и мои сверстники часто делаем ошибки при решении таких примеров, уделив много времени их решению, забыв при этом об ОДЗ.

Цель: уметь анализировать ситуацию и делать логически корректные выводы в примерах, где нужно учесть ОДЗ.

Задачи:

1. Изучить теоретический материал;

2. Прорешать множество уравнений, неравенств: а) дробно-рациональных; б) иррациональных; в) логарифмических; г) содержащих обратные тригонометрические функции;

3. Применить изученные материалы в ситуации, которая отличается от стандартной;

4. Создать работу по теме «Область допустимых значений: теория и практика»

Работа над проектом: работу над проектом я начала с повторения известных мне функций. Область определения многих из них имеет ограничения.

ОДЗ встречается:

1. При решении дробно-рациональных уравнений и неравенств

2. При решении иррациональных уравнений и неравенств

3. При решении логарифмических уравнений и неравенств

4. При решении уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции

Прорешав множество примеров из различных источников (пособий по ЕГЭ, учебников, справочников), я систематизировала решение примеров по следующим принципам:

· можно решить пример и учесть ОДЗ (самый распространённый способ)

· можно решить пример, не учитывая ОДЗ

· можно только учитывая ОДЗ прийти к правильному решению.

Методы, использованные в работе: 1) анализ; 2) статистический анализ; 3) дедукция; 4) классификация; 5) прогнозирование.

Изучила анализ результатов ЕГЭ за прошедшие годы. Много ошибок было допущено в примерах, в которых нужно учитывать ОДЗ. Это ещё раз подчёркивает актуальность моей темы.

2. Исторический очерк

Как и остальные понятия математики, понятие функции сложилось не сразу, а прошло долгий путь развития. В работе П. Ферма «Введение и изучение плоских и телесных мест» (1636, опубл. 1679) говорится: «Всякий раз, когда в заключительном уравнении имеются две неизвестные величины, налицо имеется место». По существу здесь идёт речь о функциональной зависимости и её графическом изображении («место» у Ферма означает линию). Изучение линий по их уравнениям в «Геометрии» Р. Декарта (1637) также указывает на ясное представление о взаимной зависимости двух переменных величин. У И. Барроу («Лекции по геометрии», 1670) в геометрической форме устанавливается взаимная обратность действий дифференцирования и интегрирования (разумеется, без употребления самих этих терминов). Это свидетельствует уже о совершенно отчётливом владении понятием функции. В геометрическом и механическом виде это понятие мы находим и у И. Ньютона. Однако термин «функция» впервые появляется лишь в 1692 у Г. Лейбница и притом не совсем в современном его понимании. Г. Лейбниц называет функцией различные отрезки, связанные с какой-либо кривой (например, абсциссы её точек). В первом печатном курсе «Анализа бесконечно малых для познания кривых линий» Лопиталя (1696) термин «функция» не употребляется.

Первое определение функции в смысле, близком к современному, встречается у И. Бернулли (1718): «Функция - это величина, составленная из переменной и постоянной». В основе этого не вполне отчётливого определения лежит идея задания функции аналитической формулой. Та же идея выступает и в определении Л. Эйлера, данном им во «Введении в анализ бесконечных» (1748): «Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого переменного количества и чисел или постоянных количеств». Впрочем, уже Л. Эйлеру не чуждо и современное понимание функции, которое не связывает понятие функции с каким-либо аналитическим её выражением. В его «Дифференциальном исчислении» (1755) говорится: «Когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называют функциями вторых».

С начала XIX века уже всё чаще и чаще определяют понятие функции без упоминания об её аналитическом изображении. В «Трактате по дифференциальному и интегральному исчислению» (1797-1802) С. Лакруа говорится: «Всякая величина, значение которой зависит от одной или многих других величин, называется функцией этих последних». В «Аналитической теории тепла» Ж. Фурье (1822) имеется фраза: «Функция f(x) обозначает функцию совершенно произвольную, то есть последовательность данных значений, подчинённых или нет общему закону и соответствующих всем значениям x , содержащимся между 0 и какой-либо величиной x ». Близко к современному и определение Н. И. Лобачевского: «…Общее понятие функции требует, чтобы функцией от x называть число, которое даётся для каждого x и вместе с x постепенно изменяется. Значение функции может быть дано или аналитическим выражением, или условием, которое подаёт средство испытывать все числа и выбирать одно из них, или, наконец, зависимость может существовать и оставаться неизвестной». Там же немного ниже сказано: «Обширный взгляд теории допускает существование зависимости только в том смысле, чтобы числа одни с другими в связи понимать как бы данными вместе». Таким образом, современное определение функции, свободное от упоминаний об аналитическом задании, обычно приписываемое П. Дирихле (1837), неоднократно предлагалось и до него.

Областью определения (допустимых значений) функции у называется совокупность значений независимой переменной х, при которых эта функция определена, т. е. область изменения независимой переменной (аргумента).

3. «Место» области допустимых значений при решении уравнений и неравенств

1. При решении дробно-рациональных уравнений и неравенств знаменатель не должен равняться нулю.

2. Решение иррациональных уравнений и неравенств.

2.1..gif" width="212" height="51"> .

В данном случае нет необходимости находить ОДЗ: из первого уравнения следует, что при полученных значения х выполняется неравенство: https://pandia.ru/text/78/083/images/image004_33.gif" width="107" height="27 src="> является система:

Поскольку в уравнение и входят равноправно, то вместо неравенства , можно включить неравенство https://pandia.ru/text/78/083/images/image009_18.gif" width="220" height="49">

https://pandia.ru/text/78/083/images/image014_11.gif" width="239" height="51">

3. Решение логарифмических уравнений и неравенств.

3.1. Схема решения логарифмического уравнения

Но проверить достаточно только одно условие ОДЗ.

3.2..gif" width="115" height="48 src=">.gif" width="115" height="48 src=">

4. Тригонометрические уравнения вида равносильны системе (вместо неравенства в систему можно включить неравенство https://pandia.ru/text/78/083/images/image024_5.gif" width="377" height="23"> равносильны уравнению

4. Особенности и опасность области допустимых значений

На уроках математики от нас требуют нахождения ОДЗ в каждом примере. В то же время по математической сути дела нахождение ОДЗ вовсе не является обязательным, часто не нужно, а иногда и невозможно - и все это без какого бы то ни бы­ло ущерба для решения примера. С другой стороны, часто случается такое, что решив пример, школьники забывают учесть ОДЗ, записывают её как конечный ответ, учитывают лишь некоторые условия. Обстоятельство это хорошо из­вестно, но «война» продолжается каждый год и, похоже, будет идти еще долго.

Рассмотрим, к примеру, такое неравенство:

Здесь ищется ОДЗ, и неравенство решается. Однако при реше­нии этого неравенства школьники иногда считают, что вполне можно обойтись без поиска ОДЗ, точнее, можно обойтись и без условия

В самом деле, для получения верного ответа необходимо учесть и неравенство , и .

А вот, например, решение уравнения: https://pandia.ru/text/78/083/images/image032_4.gif" width="79 height=75" height="75">

что равносильно работе с ОДЗ. Однако и в этом примере такая работа излишняя - достаточно проверить выполнение только двух из этих неравенств, причем любых двух.

Напомню, что всякое уравнение (неравенство) может быть сведено к виду . ОДЗ - это просто область определения функции в левой части. То, что за этой об­ластью надо следить, вытекает уже из определения корня как числа из области определения данной функции, тем самым - из ОДЗ. Вот забавный пример на эту тему..gif" width="20" height="21 src="> имеет областью опреде­ления множество положительных чисел (это, конечно, договоренность - рассматривать функцию при, , но разум­ная), а тогда -1 не является корнем.

5. Область допустимых значений – есть решение

И наконец, в массе примеров нахождение ОДЗ позволяет получить ответ без громоздких выкладок, а то и вовсе устно.

1. ОД3 представляет собой пустое множество, а значит, исход­ный пример не имеет решений.

1) 2) 3)

2. В ОДЗ находится одно или несколько чисел, и несложная подстановка быстро определяет корни.

1) , х=3

2) Здесь в ОДЗ находится только число 1, и после подстановки видно, что оно не является корнем.

3) В ОДЗ находятся два числа: 2 и 3, и оба подходят.

4) > В ОДЗ находятся два числа 0 и 1, и подходит только 1.

Эффективно может использоваться ОДЗ в сочетании с анали­зом самого выражения.

5) < ОДЗ: Но в правой части неравенства могут быть только положительные числа, поэтому оставляем х=2. Тогда в неравенство подставим 2.

6) Из ОДЗ следует, что, откуда имеем ..gif" width="143" height="24"> Из ОДЗ имеем: . Но тогда и . Так как, то решений нет.

Из ОДЗ имеем:https://pandia.ru/text/78/083/images/image060_0.gif" width="48" height="24">>, а значит, . Решая по­следнее неравенство, получим х<- 4, что не входит в ОДЗ. По­этому решения нет.

3) ОДЗ: . Так как, то

С другой стороны,https://pandia.ru/text/78/083/images/image068_0.gif" width="160" height="24">

ОДЗ:. Рассмотрим уравнение на промежутке [-1; 0).

На нем выполняются такие неравенства https://pandia.ru/text/78/083/images/image071_0.gif" width="68" height="24 src=">.gif" width="123" height="24 src="> и решений нет. При функции и https://pandia.ru/text/78/083/images/image076_0.gif" width="179" height="25">. ОДЗ: х>2..gif" width="233" height="45 src="> Найдём ОДЗ:

Целочисленное решение возможно лишь при х=3 и х=5. Проверкой находим, что корень х=3 не подходит, а значит ответ: х=5.

6. Нахождение области допустимых значений – лишняя работа. Равносильность переходов.

Можно привести примеры, где ситуация ясна и без нахож­дения ОДЗ.

1.

Равенство невозможно, ибо при вычитании из меньшего выраже­ния большее должно получатся отрицательное число.

2. .

Сумма двух неотрицательных функций не может быть отрицатель­ной.

Приведу также примеры, где нахождение ОДЗ затруднено, а иногда просто невозможно.

И, наконец, поиски ОДЗ являются очень часто просто лишней работой, без которой прекрасно можно обойтись, доказав тем са­мым понимание происходящего. Тут можно привести громадное число примеров, поэтому я выберу только наиболее типичные. Главным приемом решения являются в этом случае равносиль­ные преобразования при переходе от одного уравнения (нера­венства, системы) к другому.

1.. ОДЗ не нужна, ибо, найдя те значения х, при которых х2=1, мы не можем получить х=0.

2. . ОДЗ не нужна, ибо мы выясняем, когда выполняется равенство подкоренного выражения положи­тельному числу.

3. . ОДЗ не нужна по тем же сооб­ражениям, что и в предыдущем примере.

4.

ОДЗ не нуж­на, ибо подкоренное выражение равно квадрату некоторой функ­ции, а потому не может быть отрицательным.

5.

6. ..gif" width="271" height="51"> Для решения до­статочно только одного ограничения для подкоренного выражения. В самом деле, из записанной смешанной системы следует, что и другое подкоренное выражение неотрицательно.

8. ОДЗ не нужна по тем же соображениям, что и в предыдущем примере.

9. ОДЗ не нужна, так как достаточно, чтобы были положительны два из трех выражений под знаками логарифма, чтобы обеспечить положительность третьего.

10. .gif" width="357" height="51"> ОДЗ не нужна по тем же соображениям, что и в предыдущем примере.

Стоит, однако, заметить, что при решении способом равно­сильных преобразований помогает знание ОДЗ (и свойств функ­ций).

Вот несколько примеров.

1. . ОД3 , откуда следует положительность выражения в правой части, и возможно записать уравнение, рав­носильное данному, в таком виде https://pandia.ru/text/78/083/images/image101_0.gif" width="112" height="27"> ОДЗ: . Но тогда , и при решении этого неравенства не надо рассматривать случай, когда правая часть меньше 0.

3. . Из ОДЗ следует, что , а потому случай, когда https://pandia.ru/text/78/083/images/image106_0.gif" width="303" height="48"> Переход в общем виде выглядит так:

https://pandia.ru/text/78/083/images/image108_0.gif" width="303" height="24">

Возможны два случая: 0>1.

Значит, исходное неравенство равносильно следующей совокупности систем неравенств:

Первая система не имеет решений, а из второй получаем: x<-1 – решение неравенства.

Понимание условий равносильности требует знания некоторых тонкостей. Например, почему равносильны такие уравнения:

Или

И наконец, возможно, самое существенное. Дело в том, что равносильность гарантирует правильность ответа, если совер­шаются какие-то преобразования самого уравнения, но не исполь­зуется при преобразованиях только в одной из частей. Сокращение, использование различных формул в одной из частей не попадают под действие теорем о равносильности. Некоторые примеры такого вида я уже приводила. Рассмотрим еще примеры.

1. Такое решение естественно. В ле­вой части по свойству логарифмической функции перейдём к выражению ..gif" width="111" height="48">

Решив эту систему, мы получим результат (-2 и 2), который, однако, не является ответом, так как число -2 не входит в ОДЗ. Так что же, нам необходимо установить ОДЗ? Нет, конечно. Но раз мы в решении использовали некое свойство логарифмической функции, то мы обязаны обеспечить те условия, при кото­рых оно выполняется. Таким условием является положительность выражений под знаком логарифма..gif" width="65" height="48">.

2. ..gif" width="143" height="27 src="> таким способом подстановке подлежат числа . Кому охота делать такие нудные выкладки?.gif" width="12" height="23 src="> добавить условие , и сразу видно, что этому условию отвечает только число https://pandia.ru/text/78/083/images/image128_0.gif" width="117" height="27 src=">) продемонстрировали 52% сдающих. Одной из причин таких низких показателей является тот факт, что многие выпускники не произвели отбор корней, полученных из уравнения после его возведения в квадрат.

3) Рассмотрим, например, решение одной из задач С1: "Найдите все значения x, для которых точки графика функции лежат выше соответствующих точек графика функции ". Задание сводится к решению дробного неравенства, содержащего логарифмическое выражение. Приемы решения таких неравенств нам известны. Самым распространенным из них является метод интервалов. Однако при его применении сдающие допускают разнообразные ошибки. Рассмотрим наиболее распространенные ошибки на примере неравенства:

X < 10. Они отмечают, что в первом случае решений нет, а во втором – корнями являются числа –1 и . При этом выпускники не учитывают условие x < 10.

8. Заключение

Подводя некоторый итог, можно сказать, что уни­версального метода решения уравнения и неравенств нет. Каждый раз, если хочешь понять, что делаешь, а не действовать механически, возникает дилемма: а какой способ решения выбрать, в частности искать ОДЗ или не надо? Я думаю, что полученный мною опыт поможет мне решить эту дилемму. Я перестану делать ошибки, научившись правильно использовать ОДЗ. Получится ли у меня это, покажет время, точнее ЕГЭ.

9. Литература

И др. «Алгебра и начала анализа 10-11» задачник и учебник, М.: «Просвещение», 2002. «Справочник по элементарной математике». М.: «Наука», 1966. Газета «Математика» №46,Газета «Математика» №Газета «Математика» № «История математики в школе VII-VIII классы». М.: «Просвещение», 1982. и др. «Самое полное издание вариантов реальных заданий ЕГЭ: 2009/ФИПИ» - М.: «Астрель», 2009. и др. «ЕГЭ. Математика. Универсальные материалы для подготовки учащихся/ФИПИ» - М.: «Интеллект-центр», 2009. и др. «Алгебра и начала анализа 10-11». М.: «Просвещение», 2007. , «Практикум по решению задач школьной математики (практикум по алгебре)». М.: Просвещение, 1976. «25000 уроков математики». М.: «Просвещение», 1993. «Готовимся к олимпиадам по математике». М.: «Экзамен», 2006. «Энциклопедия для детей «МАТЕМАТИКА»» том 11, М.: Аванта +; 2002. Материалы сайтов www. *****, www. *****.

В математике имеется достаточно небольшое количество элементарных функций, область определения которых ограничена. Все остальные "сложные" функции - это всего лишь их сочетания и комбинации.

1. Дробная функция - ограничение на знаменатель.

2. Корень четной степени - ограничение на подкоренное выражение.

3. Логарифмы - ограничение на основание логарифма и подлогарифмическое выражение.

3. Тригонометрические tg(x) и ctg(x) - ограничение на аргумент.

Для тангенса:

4. Обратные тригонометрические функции.

Арксинус	Арккосинус	Арктангенс, Арккотангенс

Далее решаются следующие примеры на тему "Область определения функций".

Пример 1

Пример 2

Пример 3

Пример 4

Пример 5

Пример 6

Пример 7

Пример 8

Пример 9

Пример 10

Пример 11

Пример 12

Пример 13

Пример 14

Пример 15

Пример 16

Пример нахождения области определения функции №1

Нахождение области определения любой линейной функции, т.е. функции первой степени:

y = 2x + 3 - уравнение задает прямую на плоскости.

Посмотрим внимательно на функцию и подумаем, какие же числовые значения мы сможем подставить в уравнение вместо переменной х?

Попробуем подставить значение х=0

Так как y = 2·0 + 3 = 3 - получили числовое значение, следовательно функция существует при взятом значении переменной х=0.

Попробуем подставить значение х=10

так как y = 2·10 + 3 = 23 - функция существует при взятом значении переменной х=10 .

Попробуем подставить значение х=-10

так как y = 2·(-10) + 3 = -17 - функция существует при взятом значении переменной х=-10 .

Уравнение задает прямую линию на плоcкости, а прямая не имеет ни начала ни конца, следовательно она существует для любых значений х.

Заметим, что какие бы числовые значения мы не подставляли в заданную функцию вместо х, всегда получим числовое значение переменной y.

Следовательно, функция существует для любого значения x ∈ R или запишем так: D(f) = R

Формы записи ответа: D(f)=R или D(f)=(-∞:+∞)или x∈R или x∈(-∞:+∞)

Сделаем вывод:

Для любой функции вида y = ax + b областью определения является множество действительных чисел.

Пример нахождения области определения функции №2

Задана функция вида:

y = 10/(x + 5) - уравнение гиперболы

Имея дело с дробной функцией, вспомним, что на ноль делить нельзя. Следовательно функция будет существовать для всех значений х, которые не

обращают знаменатель в ноль. Попробуем подставить какие-либо произвольные значения х.

При х = 0 имеем y = 10/(0 + 5) = 2 - функция существует.

При х = 10 имеем y = 10/(10 + 5) = 10/15 = 2/ 3 - функция существует.

При х = -5 имеем y = 10/(-5 + 5) = 10/0 - функция в этой точке не существует.

Т.е. если заданная функция дробная, то необходимо знаменатель приравнять нулю и найти такую точку, в которой функция не существует.

В нашем случае:

x + 5 = 0 → x = -5 - в этой точке заданная функция не существует.

x + 5 ≠ 0 → x ≠ -5

Для наглядности изобразим графически:

На графике также видим, что гипербола максимально близко приближается к прямой х = -5 , но самого значения -5 не достигает.

Видим, что заданная функция существует во всех точках действительной оси, кроме точки x = -5

Формы записи ответа: D(f)=R\{-5} илиD(f)=(-∞;-5) ∪ (-5;+∞) или x∈ R\{-5} илиx∈ (-∞;-5) ∪ (-5;+∞)

Если заданная функция дробная, то наличие знаменателя накладывает условие неравенства нулю знаменателя.

Пример нахождения области определения функции №3

Рассмотрим пример нахождения области определения функции с корнем четной степени:

Так как квадратный корень мы можем извлечь только из неотрицательного числа, следовательно, функция под корнем - неотрицательна.

2х - 8 ≥ 0

Решим простое неравенство:

2х - 8 ≥ 0 → 2х ≥ 8 → х ≥ 4

Заданная функция существует только при найденных значениях х ≥ 4 или D(f)= ∪ [ 3 , + ∞) .

При подготовке ЕГЭ и ОГЭ можно встретить множество комбинированных заданий для функций, где необходимо в первую очередь обращать внимание на ОДЗ. Только после его определения можно приступать к дальнейшему решению.

Область определения суммы, разности и произведения функций

Перед началом решения необходимо научиться правильно определять область определения суммы функций. Для этого нужно, чтобы имело место следующее утверждение:

Когда функция f f считается суммой n функций f 1 , f 2 , … , f n , иначе говоря, эта функция задается при помощи формулы y = f 1 (x) + f 2 (x) + … + f n (x) , тогда ее область определения считается пересечением областей определения функций f 1 , f 2 , … , f n . Данное утверждение можно записать как:

D (f) = D (f 1) D (f 2) . . . D (f n)

Пример 1

Найти область определения функции вида y = x 7 + x + 5 + t g x .

Решение

Заданная функция представляется как сумма четырех: степенной с показателем 7 ,степенной с показателем 1 , постоянной, функции тангенса.

По таблице определения видим, что D (f 1) = (− ∞ , + ∞) , D (f 2) = (− ∞ , + ∞) , D (f 3) = (− ∞ , + ∞) , причем область определения тангенса включает в себя все действительные числа, кроме π 2 + π · k , k ∈ Z .

Областью определения заданной функции f является пересечение областей определения f 1 , f 2 , f 3 и f 4 . То есть для функции существует такое количество действительных чисел, куда не входит π 2 + π · k , k ∈ Z .

Ответ: все действительные числа кроме π 2 + π · k , k ∈ Z .

Для нахождения области определения произведения функций необходимо применять правило:

Определение 2

Когда функция f считается произведением n функций f 1 , f 2 , f 3 и f n , тогда существует такая функция f , которую можно задать при помощи формулы y = f 1 (x) · f 2 (x) · … · f n (x) , тогда ее область определения считается областью определения для всех функций.

Запишется D (f) = D (f 1) D (f 2) . . . D (f n)

Пример 2

Найти область определения функции y = 3 · a r c t g x · ln x .

Решение

Правая часть формулы рассматривается как f 1 (x) · f 2 (x) · f 3 (x) , где за f 1 является постоянной функцией, f 2 является арктангенсом, f 3 – логарифмической функцией с основанием e . По условию имеем, что D (f 1) = (− ∞ , + ∞) , D (f 2) = (− ∞ , + ∞) и D (f 3) = (0 , + ∞) . Мы получаем, что

D (f) = D (f 1) D (f 2) D (f n) = (- ∞ , + ∞) (- ∞ , + ∞) D (0 , + ∞) = (0 , + ∞)

Ответ : область определения y = 3 · a r c t g x · ln x – множество всех действительных чисел.

Необходимо остановиться на нахождении области определения y = C · f (x) , где С является действительным числом. Отсюда видно, что ее областью определения и областью определения f совпадающими.

Функция y = C · f (x) – произведение постоянной функции и f . Область определения – это все действительные числа области определения D (f) . Отсюда видим, что область определения функции y = C · f (x) является - ∞ , + ∞ D (f) = D (f) .

Получили, что область определения y = f (x) и y = C · f (x) , где C является некоторое действительное число, совпадают. Это видно на примере определения корня y = x считается [ 0 , + ∞) , потому как область определения функции y = - 5 · x - [ 0 , + ∞) .

Области определения y = f (x) и y = − f (x) совпадают, что говорит о том, что его область определения разности функции такая же, как и область определения их суммы.

Пример 3

Найти область определения функции y = log 3 x − 3 · 2 x .

Решение

Необходимо рассмотреть как разность двух функций f 1 и f 2 .

f 1 (x) = log 3 x и f 2 (x) = 3 · 2 x . Тогда получим, что D (f) = D (f 1) D (f 2) .

Область определения записывается как D (f 1) = (0 , + ∞) . Приступим к области определения f 2 . в данном случае она совпадает с областью определения показательной, тогда получаем, что D (f 2) = (− ∞ , + ∞) .

Для нахождения области определения функции y = log 3 x − 3 · 2 x получим, что

D (f) = D (f 1) D (f 2) = (0 , + ∞) - ∞ , + ∞

Ответ : (0 , + ∞) .

Необходимо озвучить утверждение о том, что областью определения y = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 является множество действительных чисел.

Рассмотрим y = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , где в правой части имеется многочлен с одной переменной стандартного вида в виде степени n с действительными коэффициентами. Допускается рассматривать ее в качестве суммы (n + 1) -ой функции. Область определения для каждой из таких функций включается множество действительных чисел, которое называется R .

Пример 4

Найти область определения f 1 (x) = x 5 + 7 x 3 - 2 x 2 + 1 2 .

Решение

Примем обозначение f за разность двух функций, тогда получим, что f 1 (x) = x 5 + 7 x 3 - 2 x 2 + 1 2 и f 2 (x) = 3 · x - ln 5 . Выше было показано, что D (f 1) = R . Область определения для f 2 является совпадающей со степенной при показателе – ln 5 , иначе говоря, что D (f 2) = (0 , + ∞) .

Получаем, что D (f) = D (f 1) D (f 2) = - ∞ , + ∞ (0 , + ∞) = (0 , + ∞) .

Ответ : (0 , + ∞) .

Область определения сложной функции

Для решения данного вопроса необходимо рассмотреть сложную функцию вида y = f 1 (f 2 (x)) . Известно, что D (f) является множеством всех x из определения функции f 2 , где область определения f 2 (x) принадлежит области определения f 1 .

Видно, что область определения сложной функции вида y = f 1 (f 2 (x)) находится на пересечении двух множеств таких, где x ∈ D (f 2) и f 2 (x) ∈ D (f 1) . В стандартном обозначении это примет вид

x ∈ D (f 2) f 2 (x) ∈ D (f 1)

Рассмотрим решение нескольких примеров.

Пример 5

Найти область определения y = ln x 2 .

Решение

Данную функцию представляем в виде y = f 1 (f 2 (x)) , где имеем, что f 1 является логарифмом с основанием e , а f 2 – степенная функция с показателем 2 .

Для решения необходимо использовать известные области определения D (f 1) = (0 , + ∞) и D (f 2) = (− ∞ , + ∞) .

Тогда получим систему неравенств вида

x ∈ D (f 2) f 2 (x) ∈ D (f 1) ⇔ x ∈ - ∞ , + ∞ x 2 ∈ (0 , + ∞) ⇔ ⇔ x ∈ (- ∞ , + ∞) x 2 > 0 ⇔ x ∈ (- ∞ , + ∞) x ∈ (- ∞ , 0) ∪ (0 , + ∞) ⇔ ⇔ x ∈ (- ∞ , 0) ∪ (0 , + ∞)

Искомая область определения найдена. Вся ось действительных чисел кроме нуля является областью определения.

Ответ : (− ∞ , 0) ∪ (0 , + ∞) .

Пример 6

Найти область определения функции y = (a r c sin x) - 1 2 .

Решение

Так как дана сложная функция, необходимо рассматривать ее как y = f 1 (f 2 (x)) , где f 1 является степенной функцией с показателем - 1 2 , а f 2 функция арксинуса, теперь необходимо искать ее область определения. Необходимо рассмотреть D (f 1) = (0 , + ∞) и D (f 2) = [ − 1 , 1 ] . Теперь найдем все множества значений x , где x ∈ D (f 2) и f 2 (x) ∈ D (f 1) . Получаем систему неравенств вида

x ∈ D (f 2) f 2 (x) ∈ D (f 1) ⇔ x ∈ - 1 , 1 a r c sin x ∈ (0 , + ∞) ⇔ ⇔ x ∈ - 1 , 1 a r c sin x > 0

Для решения a r c sin x > 0 необходимо прибегнуть к свойствам функции арксинуса. Его возрастание происходит на области определения [ − 1 , 1 ] , причем обращается в ноль при х = 0 , значит, что a r c sin x > 0 из определения x принадлежит промежутку (0 , 1 ] .

Преобразуем систему вида

x ∈ - 1 , 1 a r c sin x > 0 ⇔ x ∈ - 1 , 1 x ∈ (0 , 1 ] ⇔ x ∈ (0 , 1 ]

Область определения искомой функции имеет интервал равный (0 , 1 ] .

Ответ: (0 , 1 ] .

Постепенно подошли к тому, что будем работать со сложными функциями общего вида y = f 1 (f 2 (… f n (x)))) . Область определения такой функции ищется из x ∈ D (f n) f n (x) ∈ D (f n - 1) f n - 1 (f n (x)) ∈ D (f n - 2) . . . f 2 (f 3 (. . . (f n (x))) ∈ D (f 1) .

Пример 7

Найти область определения y = sin (l g x 4) .

Решение

Заданная функция может быть расписана, как y = f 1 (f 2 (f 3 (x))) , где имеем f 1 – функция синуса, f 2 – функция с корнем 4 степени, f 3 – логарифмическая функция.

Имеем, что по условию D (f 1) = (− ∞ , + ∞) , D (f 2) = [ 0 , + ∞) , D (f 3) = (0 , + ∞) . Тогда областью определения функции – это пересечение множеств таких значений, где x ∈ D (f 3) , f 3 (x) ∈ D (f 2) , f 2 (f 3 (x)) ∈ D (f 1) . Получаем, что

x ∈ D (f 3) f 3 (x) ∈ D (f 2) f 2 (f 3 (x)) ∈ D (f 1) ⇔ x ∈ (0 , + ∞) lg x ∈ [ 0 , + ∞) lg x 4 ∈ - ∞ , + ∞

Условие lg x 4 ∈ - ∞ , + ∞ аналогично условию l g x ∈ [ 0 , + ∞) , значит

x ∈ (0 , + ∞) lg x ∈ [ 0 , + ∞) lg x 4 ∈ - ∞ , + ∞ ⇔ x ∈ (0 , + ∞) lg x ∈ [ 0 , + ∞) lg x ∈ [ 0 , + ∞) ⇔ ⇔ x ∈ (0 , + ∞) lg x ∈ [ 0 , + ∞) ⇔ x ∈ (0 , + ∞) lg x ≥ 0 ⇔ ⇔ x ∈ (0 , + ∞) lg x ≥ lg 1 ⇔ x ∈ (0 , + ∞) x ≥ 1 ⇔ ⇔ x ∈ [ 1 , + ∞)

Ответ : [ 1 , + ∞) .

При решении примеров были взяты функции, которые были составлены при помощи элементарных функций, чтобы детально рассмотреть область определения.

Область определения дроби

Рассмотрим функцию вида f 1 (x) f 2 (x) . Стоит обратить внимание на то, что данная дробь определяется из множества обеих функций, причем f 2 (х) не должна обращаться в ноль. Тогда получаем, что область определения f для всех x записывается в виде x ∈ D (f 1) x ∈ D (f 2) f 2 (x) ≠ 0 .

Запишем функцию y = f 1 (x) f 2 (x) в виде y = f 1 (x) · (f 2 (x)) - 1 . Тогда получим произведение функций вида y = f 1 (x) с y = (f 2 (x)) - 1 . Областью определения функции y = f 1 (x) является множество D (f 1) , а для сложной y = (f 2 (x)) - 1 определим из системы вида x ∈ D (f 2) f 2 (x) ∈ (- ∞ , 0) ∪ (0 , + ∞) ⇔ x ∈ D (f 2) f 2 (x) ≠ 0 .

Значит, x ∈ D (f 1) x ∈ D (f 2) f 2 (x) ∈ (- ∞ , 0) ∪ (0 , + ∞) ⇔ x ∈ D (f 1) x ∈ D (f 2) f 2 (x) ≠ 0 .

Пример 8

Найти область определения y = t g (2 · x + 1) x 2 - x - 6 .

Решение

Заданная функция дробная, поэтому f 1 – сложная функция, где y = t g (2 · x + 1) и f 2 – целая рациональная функция, где y = x 2 − x − 6 , а область определения считается множеством всех чисел. Можно записать это в виде

x ∈ D (f 1) x ∈ D (f 2) f 2 (x) ≠ 0

Представление сложной функции y = f 3 (f 4 (x)) , где f 3 –это функция тангенс, где в область определения включены все числа, кроме π 2 + π · k , k ∈ Z , а f 4 – это целая рациональная функция y = 2 · x + 1 с областью определения D (f 4) = (− ∞ , + ∞) . После чего приступаем к нахождению области определения f 1:

x ∈ D (f 4) 2 · x + 1 ∈ D (f 3) ⇔ x ∈ (- ∞ , + ∞) 2 x + 1 ≠ π 2 + π · k , k ∈ Z ⇔ x ≠ π 4 - 1 2 + π 2 · k , k ∈ Z

Еще необходимо рассмотреть нижнюю область определения y = t g (2 · x + 1) x 2 - x - 6 . Тогда получаем, что

x ∈ D (f 1) x ∈ D (f 2) f 2 (x) ≠ 0 ⇔ x ≠ π 4 - 1 2 + π 2 · k , k ∈ Z x ∈ - ∞ , + ∞ x 2 - x - 6 ≠ 0 ⇔ ⇔ x ≠ π 4 - 1 2 + π 2 · k , k ∈ Z x ≠ - 2 x ≠ 3

Ответ: множество действительных чисел, кроме - 2 , 3 и π 4 - 1 2 + π 2 · k , k ∈ Z .

Область определения логарифма с переменной в основании

Определение 3

Определение логарифма существует для положительных оснований не равных 1 . Отсюда видно, что функция y = log f 2 (x) f 1 (x) имеет область определения, которая выглядит так:

x ∈ D (f 1) f 1 (x) > 0 x ∈ D (f 2) f 2 (x) > 0 f 2 (x) ≠ 1

А аналогичному заключению можно прийти, когда функцию можно изобразить в таком виде:

y = log a f 1 (x) log a f 2 (x) , a > 0 , a ≠ 1 . После чего можно приступать к области определения дробной функции.

Область определения логарифмической функции – это множество действительных положительных чисел, тогда области определения сложных функций типа y = log a f 1 (x) и y = log a f 2 (x) можно определить из получившейся системы вида x ∈ D (f 1) f 1 (x) > 0 и x ∈ D (f 2) f 2 (x) > 0 . Иначе эту область можно записать в виде y = log a f 1 (x) log a f 2 (x) , a > 0 , a ≠ 1 , что означает нахождение y = log f 2 (x) f 1 (x) из самой системы вида

x ∈ D (f 1) f 1 (x) > 0 x ∈ D (f 2) f 2 (x) > 0 log a f 2 (x) ≠ 0 = x ∈ D (f 1) f 1 (x) > 0 x ∈ D (f 2) f 2 (x) > 0 f 2 (x) ≠ 1

Пример 9

Обозначить область определения функции y = log 2 · x (x 2 - 6 x + 5) .

Решение

Следует принять обозначения f 1 (x) = x 2 − 6 · x + 5 и f 2 (x) = 2 · x , отсюда D (f 1) = (− ∞ , + ∞) и D (f 2) = (− ∞ , + ∞) . Необходимо приступить к поиску множества x , где выполняется условие x ∈ D (f 1) , f 1 (x) > 0 , x ∈ D (f 2) , f 2 (x) > 0 , f 2 (x) ≠ 1 . Тогда получаем систему вида

x ∈ (- ∞ , + ∞) x 2 - 6 x + 5 > 0 x ∈ (- ∞ , + ∞) 2 · x > 0 2 · x ≠ 1 ⇔ x ∈ (- ∞ , + ∞) x ∈ (- ∞ , 1) ∪ (5 , + ∞) x ∈ (- ∞ , + ∞) x > 0 x ≠ 1 2 ⇔ ⇔ x ∈ 0 , 1 2 ∪ 1 2 , 1 ∪ (5 , + ∞)

Отсюда видим, что искомой областью функции y = log 2 · x (x 2 - 6 x + 5) считается множнство, удовлетворяющее условию 0 , 1 2 ∪ 1 2 , 1 ∪ (5 , + ∞) .

Ответ: 0 , 1 2 ∪ 1 2 , 1 ∪ (5 , + ∞) .

Область определения показательно-степенной функции

Показательно-степенная функция задается формулой вида y = (f 1 (x)) f 2 (x) . Ее область определениявключает в себя такие значения x , которые удовлетворяют системе x ∈ D (f 1) x ∈ D (f 2) f 1 (x) > 0 .

Эта область позволяет переходить от показательно-степенной к сложной вида y = a log a (f 1 (x)) f 2 (x) = a f 2 (x) · log a f 1 (x) , где где a > 0 , a ≠ 1 .

Пример 10

Найти область определения показательно-степенной функции y = (x 2 - 1) x 3 - 9 · x .

Решение

Примем за обозначение f 1 (x) = x 2 − 1 и f 2 (x) = x 3 - 9 · x .

Функция f 1 определена на множестве действительных чисел, тогда получаем область определения вида D (f 1) = (− ∞ , + ∞) . Функция f 2 является сложной, поэтому ее представление примет вид y = f 3 (f 4 (x)) , а f 3 – квадратным корнем с областью определения D (f 3) = [ 0 , + ∞) , а функция f 4 – целой рациональной, D (f 4) = (− ∞ , + ∞) . Получаем систему вида

x ∈ D (f 4) f 4 (x) ∈ D (f 3) ⇔ x ∈ (- ∞ , + ∞) x 3 - 9 · x ≥ 0 ⇔ ⇔ x ∈ (- ∞ , + ∞) x ∈ - 3 , 0 ∪ [ 3 , + ∞) ⇔ x ∈ - 3 , 0 ∪ [ 3 , + ∞)

Значит, область определения для функции f 2 имеет вид D (f 2) = [ − 3 , 0 ] ∪ [ 3 , + ∞) . После чего необходимо найти область определения показательно-степенной функции по условию x ∈ D (f 1) x ∈ D (f 2) f 1 (x) > 0 .

Получаем систему вида x ∈ - ∞ , + ∞ x ∈ - 3 , 0 ∪ [ 3 , + ∞) x 2 - 1 > 0 ⇔ x ∈ - ∞ , + ∞ x ∈ - 3 , 0 ∪ [ 3 , + ∞) x ∈ (- ∞ , - 1) ∪ (1 , + ∞) ⇔ ⇔ x ∈ - 3 , - 1 ∪ [ 3 , + ∞)

Ответ: [ − 3 , − 1) ∪ [ 3 , + ∞)

В общем случае

Для решения обязательным образом необходимо искать область определения, которая может быть представлена в виде суммы или разности функций, их произведений. Области определения сложных и дробных функций нередко вызывают сложность. Благодаря выше указанным правилам можно правильно определять ОДЗ и быстро решать задание на области определения.

Таблицы основных результатов

Весь изученный материал поместим для удобства в таблицу для удобного расположения и быстрого запоминания.Ф

Расположим функции и их области определения.

Функция	Ее область определения
Прямая пропорциональность y = k · x	R
Линейная y = k · x + b	R
Обратная пропорциональность y = k x	- ∞ , 0 ∪ 0 , + ∞
Квадратичная y = a · x 2 + b · x + c	R
y = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0	R
Целая рациональная	R
y = C · f (x) , где C - число	D (f)
Дробная y = f 1 (x) f 2 (x) В частности, если f 1 (x) , f 2 (x) - многочлены	Множество всех x , которые одновременно удовлетворяют условиям x ∈ D (f 1) , x ∈ D (f 2) , f 2 (x) ≠ 0
y = f (x) n , где n - четное	x ∈ D (f 1) , f (x) ≥ 0
y = log f 2 (x) f 1 (x) В частности, y = log a f 1 (x) В частности, y = log f 2 (x) a	x ∈ D (f 1) , f 1 (x) > 0 , x ∈ D (f 2) , f 2 (x) > 0 , f 2 (x) ≠ 1 x ∈ D (f 1) , f 1 (x) > 0 x ∈ D (f 2) , f 2 > 0 , f 2 (x) ≠ 1
Показательно-степенная y = (f 1 (x)) f 2 (x)	x ∈ D (f 1) , x ∈ D (f 2) , f 1 (x) > 0

Отметим, что преобразования можно выполнять, начиная с правой части выражения. Отсюда видно, что допускаются тождественные преобразования, которые на область определения не влияют. Например, y = x 2 - 4 x - 2 и y = x + 2 являются разными функциями, так как первая определяется на (− ∞ , 2) ∪ (2 , + ∞) , а вторая из множества действительных чисел. Из преобразования y = x 2 - 4 x - 2 = x - 2 x + 2 x - 2 = x + 2 видно, что функция имеет смысл при x ≠ 2 .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter