U geometriji se često razmatra koncept kao što je "vrh trougla". Ovo je tačka preseka dve strane ove figure. Ovaj koncept se susreće u gotovo svakom zadatku, pa ga ima smisla razmotriti detaljnije.

Određivanje temena trougla

U trouglu postoje tri tačke preseka stranica koje formiraju tri ugla. Zovu se vrhovi, a stranice na kojima počivaju nazivaju se stranice trougla.

Rice. 1. Vertex u trouglu.

Vrhovi u trouglovima su označeni velikim latiničnim slovima. Stoga se najčešće u matematici stranice označavaju sa dva velika latinična slova, prema nazivu vrhova koji su uključeni u stranice. Na primjer, stranica AB je stranica trokuta koja spaja vrhove A i B.

Rice. 2. Označavanje vrhova u trokutu.

Karakteristike koncepta

Ako uzmemo trokut proizvoljno orijentiran u ravni, onda je u praksi vrlo zgodno izraziti njegove geometrijske karakteristike u terminima koordinata vrhova ove figure. Dakle, vrh A trougla se može izraziti kao tačka sa određenim numeričkim parametrima A(x; y).

Poznavajući koordinate vrhova trokuta, možete pronaći točke presjeka medijana, dužinu visine spuštene na jednu od strana figure i površinu trokuta.

Za to se koriste svojstva vektora prikazanih u Dekartovom koordinatnom sistemu, jer se dužina stranice trougla određuje kroz dužinu vektora sa tačkama u kojima se nalaze odgovarajući vrhovi ove figure.

Korištenje vrha trougla

U bilo kojem vrhu trokuta možete pronaći ugao koji će biti susedan unutrašnjem uglu dotične figure. Da biste to učinili, morat ćete produžiti jednu od stranica trokuta. Pošto postoje dvije stranice na svakom vrhu, postoje dva vanjska ugla na svakom vrhu. Vanjski ugao jednak je zbiru dva unutrašnja ugla trougla koji mu nisu susjedni.

Rice. 3. Svojstvo vanjskog ugla trougla.

Ako izgradite dva vanjska ugla na jednom vrhu, onda će oni biti jednaki, poput vertikalnih.

Šta smo naučili?

Jedan od važnih koncepata geometrije kada se razmatraju različite vrste trouglova je vrh. Ovo je tačka u kojoj se seku dve strane ugla date geometrijske figure. Označava se jednim od velikih slova latinice. Vrh trougla se može izraziti u terminima x i y koordinata, što pomaže da se definiše dužina stranice trougla kao dužina vektora.

Tematski kviz

Ocjena članka

Prosječna ocjena: 4.2. Ukupno primljenih ocjena: 153.

PoglavljeV. ANALITIČKA GEOMETRIJA NA RAVNI

I U SVEMIRU

Dio obuhvata zadatke koji se razmatraju u temi "Analitička geometrija na ravni i u prostoru": sastavljanje različitih jednačina pravih na ravni i u prostoru; određivanje relativnog položaja pravih linija na ravni, pravih linija, prave i ravni, ravni u prostoru; slika krivulja drugog reda. Treba napomenuti da su u ovom dijelu predstavljeni problemi ekonomskog sadržaja, u čijem rješavanju se koriste informacije iz analitičke geometrije na ravni.

Prilikom rješavanja zadataka analitičke geometrije preporučljivo je koristiti udžbenike sljedećih autora: D.V. Kletenika, N. Sh. Kremera, D.T. Napisano V.I. Malykhin, jer ova literatura pokriva širi spektar zadataka koji se mogu koristiti za samostalno učenje o ovoj temi. Primjena analitičke geometrije u rješavanju ekonomskih problema opisana je u obrazovnim publikacijama M.S. Crass i V.I. Ermakov.

Problem 5.1. Date koordinate vrhova trouglaABC . Neophodno

a) napišite jednačine stranica trougla;

b) napišite jednačinu za visinu trougla izvučenog iz vrhaWith na stranuAB i pronađite njegovu dužinu;

c) napišite jednačinu medijane trougla izvučenog iz vrhaAT na stranuAC ;

d) pronaći uglove trougla i odrediti njegovu vrstu (pravougaoni, oštrougli, tupougli);

e) pronaći dužine stranica trougla i odrediti njegovu vrstu (skalena, jednakokračna, jednakostranična);

f) naći koordinate centra gravitacije (tačka presjeka medijana) trouglaABC ;

g) pronađite koordinate ortocentra (tačka presjeka visina) trokutaABC .

Za svaku od tačaka a) - c) odluke napravite crteže u koordinatnom sistemu. Na slikama označite linije i tačke koje odgovaraju tačkama problema.

Primjer 5.1

Date koordinate vrhova trouglaABC : . Potrebno je a) napisati jednačine stranica trougla; b) napišite jednačinu za visinu trougla izvučenog iz vrha With na stranuAB i pronađite njegovu dužinu; c) napišite jednačinu medijane trougla izvučenog iz vrhaAT na stranuAC ; d) nađite dužine stranica trougla i odredite njegovu vrstu (skalena, jednakokračna, jednakostranična); e) pronaći uglove trougla i odrediti njegovu vrstu (pravougaoni, oštrougli, tupougli); f) naći koordinate centra gravitacije (tačka presjeka medijana) trougla ABC ; g) pronađite koordinate ortocentra (tačka presjeka visina) trokutaABC .

Odluka

a) Za svaku stranu trokuta poznate su koordinate dviju tačaka koje leže na željenim pravima, što znači da su jednadžbe stranica trokuta jednačine pravih koje prolaze kroz dvije date tačke

gdje
i
odgovarajuće koordinate tačke.

Dakle, zamjenom u formulu (5.1) koordinate odgovarajućih pravih tačaka, dobijamo

,
,
,

odakle, nakon transformacija, zapisujemo jednadžbe stranica

Na sl. 7 prikazuju odgovarajuće stranice trougla
ravno.

odgovor:

b) Neka bude
- visina povučena odozgo na stranu
. Ukoliko
prolazi kroz tačku okomito na vektor
, onda sastavljamo jednadžbu prave linije prema sljedećoj formuli

gdje
su koordinate vektora okomite na željenu liniju,
su koordinate tačke koja pripada ovoj pravoj. Pronađite koordinate vektora okomitog na pravu liniju
, i zamijeniti u formulu (5.2)

,
,

Pronađite dužinu visine CH kao udaljenost od tačke na ravno

gdje
- jednačina prave linije
,
- koordinate tačke .

U prethodnom paragrafu je pronađeno

Zamjenom podataka u formulu (5.3) dobijamo

Na sl. 8 nacrtajte trokut i pronađenu visinu CH.

odgovor: .

R je. osam

u) medijana
trougao
deli stranu
na dva jednaka dijela, tj. dot je sredina segmenta
. Na osnovu toga možete pronaći koordinate
bodova

,
,

gdje
i
i , zamjenom koje u formule (5.4), dobijamo

;
.

Medijanska jednačina
trougao
sastaviti kao jednačinu prave linije koja prolazi kroz tačke
i
po formuli (5.1)

odgovor:(Sl. 9).

R je. devet

G) Dužine stranica trougla nalazimo kao dužine odgovarajućih vektora, tj.

,
,
.

Zabave
i
trougao
jednak, pa je trougao jednakokraki sa osnovom
.

odgovor: trougao
jednakokraki sa bazom
;

,
.

e) Uglovi trougla
nalazimo kao uglove između vektora koji izlaze iz odgovarajućih vrhova datog trougla, tj.

,
,
.

Pošto je trougao jednakokračan sa osnovom
, onda

Uglove između vektora izračunavamo po formuli (4.4), za koju su potrebni skalarni produkti vektora
,
.

Pronađite koordinate i module vektora potrebnih za izračunavanje uglova

,
;

,
,
.

Zamjenom pronađenih podataka u formulu (4.4) dobijamo

Pošto su vrijednosti kosinusa svih pronađenih uglova pozitivne, onda je trokut
je akutna.

odgovor: trougao
akutni ugao;

,
,
.

e) Neka bude

, zatim koordinate
bodova
može se naći, po formulama (5.5)

,
,

gdje
,
i
su koordinate tačaka respektivno , i , dakle,

,
.

odgovor:
- težište trougla
.

g) Neka bude je ortocentar trougla
. Pronađite koordinate tačke kao koordinate tačke preseka visina trougla. Height Equation
je pronađena na tački b). Nađimo jednačinu visine
:

,
,

Ukoliko
, zatim rješenje sistema

je koordinate tačke odakle nalazimo
.

odgovor:
je ortocentar trougla
.

Problem 5.2. Fiksni troškovi u preduzeću za puštanje nekih proizvoda suF V 0 rub. po jedinici proizvodnje, dok je prihodR 0 rub. po jedinici proizvedenog proizvoda. Sastavite funkciju profitaP (q ) (q

Podaci za stanje zadatka koji odgovaraju opcijama:

Primjer 5.2

Fiksni troškovi u preduzeću za puštanje nekih proizvoda su
rub. mjesečno, varijabilni troškovi -
rub. po jedinici proizvodnje, dok je prihod
rub. po jedinici proizvedenog proizvoda. Sastavite funkciju profitaP (q ) (q - broj proizvedenih proizvoda); izgradi njegov graf i odredi tačku rentabilnosti.

Odluka

Izračunajmo ukupne troškove proizvodnje za izdavanje q jedinice nekog proizvoda

Ako se proda q jedinica proizvodnje, tada će ukupan prihod biti

Na osnovu dobijenih funkcija ukupnog prihoda i ukupnih troškova nalazimo funkciju dobiti

Tačka preloma – tačka u kojoj je profit nula ili tačka u kojoj je ukupni trošak jednak ukupnom prihodu

gde da nađemo

- tačka rentabilnosti.

Da bismo napravili graf (slika 10) funkcije profita, naći ćemo još jednu tačku

odgovor: profitna funkcija
, tačka rentabilnosti
.

Problem 5.3. Zakoni ponude i potražnje za određenom robom određeni su jednadžbamastr = str D (q ), str = str S (q ), gdjestr - cijenu robe,q - količina robe. Pretpostavlja se da je potražnja određena samo cijenom robe na tržištu.str With , a ponuda - samo po cijenistr S primljeni od strane dobavljača. Neophodno

a) odrediti tačku tržišne ravnoteže;

b) tačka ravnoteže nakon uvođenja poreza jednakat . Utvrditi povećanje cijene i smanjenje ravnotežnog obima prodaje;

c) naći podrškus , što će dovesti do povećanja prodaje zaq 0 jedinice u odnosu na original (definisano u stavu a));

d) pronaći novu ravnotežnu tačku i državni prihod kada se uvede porez proporcionalan cijeni i jednakN %;

e) odrediti koliko novca će država potrošiti na otkup viškova, uz postavljanje minimalne cijene jednake str 0 .

Za svaku tačku odlučivanja nacrtajte crtež u koordinatnom sistemu. Na slici označite linije i tačke koje odgovaraju predmetu zadatka.

Podaci za stanje zadatka koji odgovaraju opcijama:

Kako naučiti rješavati probleme u analitičkoj geometriji?
Tipičan problem sa trouglom na ravni

Ova lekcija je kreirana o pristupu ekvatoru između geometrije ravni i geometrije prostora. Trenutno postoji potreba da se sistematiziraju akumulirane informacije i odgovori na vrlo važno pitanje: kako naučiti rješavati probleme u analitičkoj geometriji? Poteškoća je u tome što u geometriji postoji beskonačan broj zadataka, a nijedan udžbenik ne može sadržavati sve brojne i raznovrsne primjere. Nije derivat funkcije sa pet pravila diferencijacije, tablicom i nekoliko tehnika...

Postoji rješenje! Neću reći glasne riječi da sam razvio nekakvu grandioznu tehniku, međutim, po mom mišljenju, postoji efikasan pristup problemu koji se razmatra, koji čak i punom čajniku omogućava postizanje dobrih i odličnih rezultata. Barem se opšti algoritam za rješavanje geometrijskih problema vrlo jasno uobličio u mojoj glavi.

ŠTA TREBA ZNATI I MOĆI
uspješno rješavati probleme iz geometrije?

Od ovoga se ne može pobjeći - da ne biste nasumično pickali dugmad nosom, morate savladati osnove analitičke geometrije. Stoga, ako ste tek počeli učiti geometriju ili ste je potpuno zaboravili, počnite s lekcijom Vektori za lutke . Pored vektora i radnji s njima, morate znati osnovne koncepte geometrije ravnine, posebno, jednačina prave linije u ravni i . Geometrija prostora predstavljena je člancima Jednačina u ravnini , Jednačine prave u prostoru , Osnovni zadaci na pravoj liniji i ravni i neke druge lekcije. Zakrivljene linije i prostorne plohe drugog reda stoje donekle odvojeno i s njima nema toliko specifičnih problema.

Pretpostavimo da učenik već ima elementarna znanja i vještine u rješavanju najjednostavnijih problema analitičke geometrije. Ali to se dešava ovako: pročitate stanje problema i ... želite da zatvorite celu stvar u potpunosti, bacite je u dalji ugao i zaboravite, kao noćnu moru. Štaviše, to suštinski ne zavisi od nivoa vaših kvalifikacija, s vremena na vreme i sam se susrećem sa zadacima za koje rešenje nije očigledno. Kako postupiti u takvim slučajevima? Nema potrebe da se plašite zadatka koji ne razumete!

Kao prvo, treba postaviti na da li je to "planarni" ili prostorni problem? Na primjer, ako se u uvjetu pojavljuju vektori s dvije koordinate, onda je to, naravno, geometrija ravnine. A ako je učitelj natovario zahvalnog slušaoca piramidom, onda je jasno da postoji geometrija prostora. Rezultati prvog koraka su već prilično dobri, jer smo uspjeli odrezati ogromnu količinu informacija nepotrebnih za ovaj zadatak!

Sekunda. Uslov će vas po pravilu ticati neke geometrijske figure. Zaista, prošetajte hodnicima svog matičnog univerziteta i vidjet ćete mnoga zabrinuta lica.

U "ravnim" problemima, da ne spominjemo očigledne tačke i linije, najpopularnija figura je trougao. Analiziraćemo ga vrlo detaljno. Slijedi paralelogram, a pravougaonik, kvadrat, romb, krug i druge figure su mnogo rjeđe.

U prostornim zadacima mogu letjeti iste ravne figure + same ravnine i uobičajene trokutaste piramide s paralelepipedima.

Drugo pitanje - Znate li sve o ovoj figuri? Pretpostavimo da je uslov oko jednakokračnog trougla, a vi se vrlo nejasno sjećate o kakvoj se vrsti trougla radi. Otvaramo školski udžbenik i čitamo o jednakokračnom trouglu. Šta da se radi... doktor je rekao romb, pa romb. Analitička geometrija je analitička geometrija, ali problem će pomoći u rješavanju geometrijskih svojstava samih figura poznato nam iz školskog programa. Ako ne znate koliki je zbir uglova trougla, onda možete dugo patiti.

Treće. UVIJEK pokušajte slijediti plan(na propuhu / čisto / mentalno), čak i ako to ne zahtijeva uvjet. U "ravnim" zadacima, sam Euklid je naredio da uzme ravnalo s olovkom u ruci - i to ne samo da bi razumio stanje, već i u svrhu samotestiranja. U ovom slučaju, najpogodnija skala je 1 jedinica = 1 cm (2 tetradne ćelije). Da ne pričamo o nemarnim studentima i matematičarima koji se vrte u grobovima - gotovo je nemoguće pogriješiti u ovakvim problemima. Za prostorne zadatke izvodimo šematski crtež, koji će također pomoći u analizi stanja.

Crtež ili šematski crtež vam često odmah omogućava da vidite način rješavanja problema. Naravno, za ovo morate znati osnove geometrije i rezati u svojstvima geometrijskih oblika (vidi prethodni pasus).

četvrto. Razvoj algoritma rješenja. Mnogi geometrijski problemi su višeprolazni, tako da je vrlo zgodno razbiti rješenje i njegov dizajn na tačke. Često vam algoritam pada na pamet odmah nakon što pročitate uslov ili završite crtež. U slučaju poteškoća počinjemo sa PITANJEM problema. Na primjer, prema uvjetu "potrebno je izgraditi pravu liniju ...". Ovdje je najlogičnije pitanje: “Šta je dovoljno znati da se izgradi ova linija?”. Pretpostavimo, "znamo tačku, moramo znati vektor smjera." Postavljamo sljedeće pitanje: „Kako pronaći ovaj vektor smjera? Gdje?" itd.

Ponekad postoji "čep" - zadatak nije riješen i to je to. Razlozi za zaustavljanje mogu biti sljedeći:

- Ozbiljan jaz u elementarnom znanju. Drugim riječima, ne znate ili (i) ne vidite neku vrlo jednostavnu stvar.

- Nepoznavanje svojstava geometrijskih oblika.

- Zadatak je bio težak. Da, dešava se. Nema smisla pariti se satima i skupljati suze u maramicu. Pitajte svog nastavnika, kolege studente ili postavite pitanje na forumu za savjet. Štaviše, bolje je konkretizirati njenu izjavu - o onom dijelu rješenja koji ne razumijete. Krik u obliku "Kako riješiti problem?" ne izgleda dobro... i iznad svega, zbog vlastite reputacije.

Peta faza. Mi rješavamo-provjeravamo, rješavamo-provjeravamo, rješavamo-provjeravamo-dajemo odgovor. Korisno je provjeriti svaku stavku zadatka odmah po završetku. Ovo će vam pomoći da odmah pronađete grešku. Naravno, niko ne zabranjuje brzo rješavanje cijelog problema, ali postoji rizik da se sve ponovo prepiše (često nekoliko stranica).

Evo, možda, svih glavnih razmatranja kojima je preporučljivo voditi se pri rješavanju problema.

Praktični dio časa predstavlja geometrija na ravni. Biće samo dva primera, ali neće se činiti dovoljno =)

Prođimo kroz nit algoritma koji sam upravo pregledao u svom malom naučnom radu:

Primjer 1

Zadata su tri vrha paralelograma. Find top.

Hajde da počnemo da shvatamo:

Prvi korak: Očigledno je da je riječ o "ravnom" problemu.

korak dva: Problem je oko paralelograma. Svi se sjećaju takve figure paralelograma? Nema potrebe da se smiješite, dosta ljudi se obrazuje sa 30-40-50 ili više godina, tako da se i jednostavne činjenice mogu izbrisati iz sjećanja. Definicija paralelograma nalazi se u primjeru br. 3 lekcije Linearna (ne)ovisnost vektora. Vektorska osnova .

Treći korak: Napravimo crtež na kojem ćemo označiti tri poznata vrha. Smiješno je da je lako odmah izgraditi željenu tačku:

Konstrukcija je, naravno, dobra, ali rješenje mora biti formalizirano analitički.

Četvrti korak: Razvoj algoritma rješenja. Prva stvar koja pada na pamet je da se tačka može naći kao presek linija. Njihove jednačine su nam nepoznate, pa se moramo pozabaviti ovim pitanjem:

1) Suprotne strane su paralelne. Po bodovima pronađite vektor smjera ovih stranica. Ovo je najjednostavniji zadatak koji je razmatran u lekciji. Vektori za lutke .

Bilješka: ispravnije je reći "jednačina prave linije koja sadrži stranu", ali ću u nastavku, radi sažetosti, koristiti izraze "jednačina stranice", "usmjeravajući vektor stranice" itd.

3) Suprotne strane su paralelne. Iz tačaka nalazimo vektor smjera ovih stranica.

4) Sastaviti jednačinu prave linije po tački i vektoru pravca

U paragrafima 1-2 i 3-4 zapravo smo dva puta riješili isti problem, usput rečeno, analiziran je u primjeru br. 3 lekcije Najjednostavniji problemi sa pravom linijom na ravni . Moglo se ići dužim putem - prvo pronaći jednadžbe linija i tek onda iz njih "izvući" vektore smjera.

5) Sada su jednačine pravih poznate. Ostaje sastaviti i riješiti odgovarajući sistem linearnih jednačina (vidi primjere br. 4, 5 iste lekcije Najjednostavniji problemi sa pravom linijom na ravni ).

Tačka pronađena.

Zadatak je prilično jednostavan i njegovo rješenje je očigledno, ali postoji kraći put!

Drugi način rješavanja:

Dijagonale paralelograma se popolavljaju točkom preseka. Označio sam tačku, ali da ne bih zatrpao crtež, nisam sam crtao dijagonale.

Napravimo jednačinu strane po tačkama:

Da biste provjerili, mentalno ili na nacrtu, zamijenite koordinate svake tačke u rezultirajućoj jednadžbi. Sada pronađimo nagib. Da bismo to učinili, prepisujemo opću jednadžbu u obliku jednadžbe s nagibom:

Dakle, faktor nagiba je:

Slično, nalazimo jednačine stranica. Ne vidim puno smisla slikati istu stvar, pa ću odmah dati gotov rezultat:

2) Pronađite dužinu stranice. Ovo je najjednostavniji zadatak o kojem se govori u lekciji. Vektori za lutke . Za bodove koristimo formulu:

Koristeći istu formulu, lako je pronaći dužine drugih strana. Provjera se vrlo brzo obavlja običnim ravnalom.

Koristimo formulu .

Nađimo vektore:

ovako:

Usput, usput smo pronašli dužine stranica.

Kao rezultat:

Pa, čini se da je istina, radi uvjerljivosti, možete pričvrstiti kutomjer na ugao.

Pažnja! Nemojte brkati ugao trougla sa uglom između pravih linija. Ugao trokuta može biti tup, ali ugao između pravih nije (vidi poslednji pasus članka Najjednostavniji problemi sa pravom linijom na ravni ). Međutim, da biste pronašli ugao trokuta, možete koristiti i formule iz gornje lekcije, ali grubost je u tome što te formule uvijek daju oštar ugao. Uz njihovu pomoć riješio sam ovaj problem na nacrtu i dobio rezultat. A na čistoj kopiji, morali biste zapisati dodatne izgovore za to.

4) Napišite jednačinu prave koja prolazi kroz tačku paralelnu pravoj liniji.

Standardni zadatak, detaljno razmotren u primjeru br. 2 lekcije Najjednostavniji problemi sa pravom linijom na ravni . Iz opšte jednačine prave linije izvucite vektor smjera. Sastavimo jednačinu prave linije sa tačkom i usmjeravajućim vektorom:

Kako pronaći visinu trougla?

5) Napravimo jednačinu visine i naći ćemo njenu dužinu.

Od strogih definicija se ne može pobjeći, pa morate krasti iz školskog udžbenika:

visina trougla naziva se okomica povučena iz vrha trougla na pravu koja sadrži suprotnu stranu.

Odnosno, potrebno je sastaviti jednadžbu okomice povučene iz vrha u stranu. Ovaj zadatak se razmatra u primjerima br. 6, 7 lekcije Najjednostavniji problemi sa pravom linijom na ravni . Iz jednadžbe ukloniti normalni vektor. Sastavit ćemo jednadžbu visine za tačku i vektor smjera:

Napominjemo da ne znamo koordinate tačke.

Ponekad se jednadžba visine nalazi iz omjera nagiba okomitih linija: . U ovom slučaju, tada: . Sastavit ćemo visinsku jednačinu za tačku i nagib (pogledajte početak lekcije Jednačina prave linije na ravni ):

Dužina visine se može naći na dva načina.

Postoji kružni tok:

a) nađi - tačku preseka visine i stranice;
b) pronaći dužinu segmenta po dvije poznate tačke.

Ali na času Najjednostavniji problemi sa pravom linijom na ravni razmatrana je pogodna formula za udaljenost od tačke do prave. Tačka je poznata: , poznata je i jednačina prave: , Dakle:

6) Izračunajte površinu trougla. U prostoru se površina trokuta tradicionalno izračunava pomoću unakrsni proizvod vektora , ali ovdje je u ravni dat trokut. Koristimo školsku formulu:
Površina trokuta je polovina umnožaka njegove osnove puta njegove visine.

U ovom slučaju:

Kako pronaći medijanu trougla?

7) Sastavite jednačinu medijana.

Medijan trougla Segment prave koji spaja vrh trougla sa središtem suprotne strane naziva se.

a) Pronađite tačku - sredinu stranice. Koristimo koordinatne formule srednje tačke . Poznate su koordinate krajeva segmenta: , zatim koordinate sredine: