Обычно в такой задаче дана окружность и точка. Требуется построить касательную к окружности, при этом касательная должна проходить через заданную точку.

Если местонахождение точки не оговаривается, то следует отдельно оговорить три возможных случая расположения точки.

1. Если точка лежит внутри круга, ограниченного данной окружностью, то касательную через нее построить нельзя.
2. Если точка лежит на окружности, то касательная строится путем построения перпендикулярной прямой к радиусу, проведенному к данной точке.
3. Если точка лежит за пределами круга, ограниченного окружностью, то перед построением касательной ищется точка на окружности, через которую она должна пройти.

Для решения второго случая на прямой, на которой лежит радиус, строится отрезок, равный радиусу и лежащий по другую строну от точки на окружности. Таким образом точка на окружности получается серединой отрезка, равному удвоенному радиусу. Далее строятся две окружности, чьи радиусы равны удвоенному радиусу исходной окружности, с центрами в концах отрезка, равному удвоенному радиусу. Через любую точку пересечения этих окружностей и заданную по условию задачи точку проводится прямая. Она будет срединным перпендикуляром к радиусу исходной окружности, то есть перпендикулярна ей, а значит, являться касательной к окружности.

Решить третий случай, когда точка лежит за пределами круга, ограниченного окружностью, можно так. Следует построить отрезок, соединяющий центр данной окружности и данную точку. Далее найти его середину, построив срединный перпендикуляр (описано в предыдущем абзаце). После этого начертить окружность (или ее часть). Точка пересечения построенной окружности и заданной по условию задачи есть точка, через которую проходит касательная, проходящая также через заданную по условию задачи точку. Через две известные точки проводится прямая-касательная.

Чтобы доказать, что построенная прямая - это касательная, следует рассмотреть угол, образованный радиусом данной по условию задачи окружности и отрезком, соединяющим точку пересечения окружностей с точкой, данной по условию задачи. Этот угол опирается на полуокружность (диаметр построенной окружности), а значит он прямой. То есть радиус перпендикулярен построенной прямой. Следовательно, построенная прямая является касательной.

Министерство образования и науки Российской Федерации

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

города Новосибирска «Гимназия №4»

Секция: математика

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА

по теме:

СВОЙСТВА ДВУХ КАСАЮЩИХСЯ ОКРУЖНОСТЕЙ

Учеников 10 класса:

Хазиахметова Радика Ильдаровича

Зубарева Евгения Владимировича

Руководитель:

Л.Л. Баринова

Учитель математики

Высшей квалификационной категории

§ 1.Введение………..………………………….…………………………………………………3

§ 1.1 Взаимное расположение двух окружностей………………………...…………...………3

§ 2 Свойства и их доказательства………………………………………..…………….....….…4

§ 2.1 Свойство 1………………...……………………………………..…………………...….…4

§ 2.2 Свойство 2……………………………………………………..…………………...………5

§ 2.3 Свойство 3……………………………………………………..…………………...………6

§ 2.4 Свойство 4……………………………………………………..…………………...………6

§ 2.5 Свойство 5…………………………………..……………………………………...………8

§ 2.6 Свойство 6………………………………………………..………………………...………9

§ 3 Задачи…………………………………………………..…………………...…...………..…11

Список литературы………………………………………………………………….………….13

§ 1.Введение

Многие задачи, включающие в себя две касающиеся окружности, можно решить более коротко и просто, зная некоторые свойства, которые будут представлены дальше.

Взаимное расположение двух окружностей

Для начала оговорим возможное взаимное расположение двух окружностей. Может быть 4 различных случая.

1.Окружности могут не пересекаться.

2.Пересекаться.

3. Касаться в одной точке снаружи.

4.Касаться в одной точке внутри.

§ 2. Свойства и их доказательства

Перейдем непосредственно к доказательству свойств.

§ 2.1 Свойство 1

Отрезки между точками пересечения касательных с окружностями равны между собой и равны двум средним геометрическим радиусов данных окружностей.

Доказательство 1. О 1 А 1 и О 2 В 1 – радиусы, проведённые в точки касания.

2. О 1 А 1 ┴ А 1 В 1 , О2В1 ┴ А 1 В 1 → О 1 А 1 ║ О 2 В 1 .(по пункту 1)

1. ▲О 1 О 2 D – прямоугольный, т.к. О 2 D ┴ О 2 В 1
2. О 1 О 2 = R + r, О 2 D = R – r

1. По теореме Пифагора А 1 В 1 = 2√Rr

(O 1 D 2 =(R+r) 2 -(R-r) 2 =R 2 +2Rr+r2-R 2 +2Rr-r 2 =√4Rr=2√Rr)

А 2 В 2 = 2√Rr (доказывается аналогично)

1)Проведем радиусы в точки пересечения касательных с окружностями.

2)Эти радиусы будут перпендикулярны касательным и параллельны друг другу.

3)Опустим перпендикуляр из центра меньшей окружности к радиусу большей окружности.

4)Гипотенуза полученного прямоугольного треугольника равна сумме радиусов окружностей. Катет равен их разности.

5)По теореме Пифагора получаем искомое соотношение.

§ 2.2 Свойство 2

Точки пересечения прямой, пересекающей точку касания окружностей и не лежащей ни в одной из них, с касательными делят пополам отрезки внешних касательных, ограниченные точками касания, на части, каждая из которых равна среднему геометрическому радиусов данных окружностей.

Доказательство 1.МС = МА 1 (как отрезки касательных)

2.МС = МВ 1 (как отрезки касательных)

3.А 1 М = МВ 1 = √Rr , А 2 N = NB 2 = √Rr (по пункту 1 и 2)

Утверждения, используемые в доказательстве Отрезки касательных, проведенных из одной точки к некоторой окружности равны. Используем это свойство для обеих данных окружностей.

§ 2.3 Свойство 3

Длина отрезка внутренней касательной, заключенного между внешними касательными, равна длине отрезка внешней касательной между точками касания и равна двум средним геометрическим радиусов данных окружностей.

Доказательство Этот вывод следует из предыдущего свойства.

MN = MC + CN = 2MC = 2A 1 M = A 1 B 1 = 2√Rr

§ 2.4 Свойство 4

Треугольник, образованный центрами касающихся окружностей и серединой отрезка касательной между радиусами, проведенными в точки касания, прямоугольный. Отношение его катетов равно частному корней радиусов этих окружностей.

Доказательство 1.МО 1 – биссектриса угла А 1 МС, МО 2 – биссектриса угла В 1 МС, т.к. центр окружности, вписанной в угол лежит на биссектрисе этого угла.

2.По пункту 1 ÐО 1 МС + ÐСМО 2 = 0,5(ÐА1МС + ÐСМВ 1) = 0,5p = p/2

3.ÐО 1 МО 2 – прямой. МС – высота треугольника O 1 МО 2 , т.к. касательная МN перпендикулярна радиусам, проведённым в точки касания → треугольники О 1 МС и МО 2 С – подобны.

4.О 1 М / МО 2 = О 1 С / МС = r / √Rr = √r / R (по подобию)

Утверждения, используемые в доказательстве 1)Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла. Катеты треугольника являются биссектрисами углов.

2)Пользуясь тем, что образованные таким образом углы равны, получаем, что искомый рассматриваемый нами угол прямой. Делаем вывод о том, что данный треугольник действительно прямоугольный.

3)Доказываем подобие треугольников, на которые высота (так как касательная перпендикулярна радиусам, проведенным в точки касания) делит прямоугольный треугольник, и по подобию получаем искомое отношение.

§ 2.5 Свойство 5

Треугольник, образованный точкой касания окружностей друг с другом и точками пересечения окружностей с касательной, прямоугольный. Отношение его катетов равно частному корней радиусов этих окружностей.

Доказательство

1. ▲А 1 МС и ▲СМВ 1 – равнобедренные → ÐМА 1 С = ÐМСА 1 = α, ÐМВ 1 С = ÐМСВ 1 = β.

1. 2α + 2β + ÐА 1 МС + ÐСМВ 1 = 2p → 2α + 2β = 2p - (ÐА 1 МС + ÐСМВ 1) = 2p - p = p, α + β = p/2

1. Но ÐА 1 СВ 1 = α + β → ÐА 1 СВ 1 – прямой → ÐВ 1 СО 2 = ÐСВ 1 О 2 = p/2 – β = α

1. ▲А 1 МС и ▲СО 2 В 1 – подобны → А 1 С / СВ 1 = МС / О 2 В 1 = √Rr / R = √r / R

Утверждения, используемые в доказательстве 1)Расписываем сумму углов треугольников, пользуясь тем, что они равнобедренные. Равнобедренность треугольников доказывается при помощи свойства о равенстве отрезков касательных.

2)Расписав сумму углов таким образом, получаем, что в рассматриваемом треугольнике есть прямой угол, следовательно он прямоугольный. Первая часть утверждения доказана.

3)По подобию треугольников(при его обосновании пользуемся признаком подобия по двум углам) находим отношение катетов прямоугольного треугольника.

§ 2.6 Свойство 6

Четырехугольник, образованный точками пересечения окружностей с касательной, является трапецией, в которую можно вписать окружность.

Доказательство 1.▲А 1 РА 2 и ▲В 1 РВ 2 – равнобедренные т.к. А 1 Р = РА 2 и В 1 Р = РВ 2 как отрезки касательных → ▲А 1 РА 2 и ▲В 1 РВ 2 – подобные.

2.А 1 А 2 ║ В 1 В 2 , т.к. равны соответственные углы, образованные при пересечении секущей А 1 В 1.

1. MN – средняя линия по свойству 2 → А 1 А 2 + В 1 В 2 = 2MN = 4√Rr

1. А 1 В 1 + А 2 В 2 = 2√Rr + 2√Rr = 4√Rr = А 1 А 2 + В 1 В 2 → в трапеции А 2 А 1 В 1 В 2 сумма оснований равна сумме боковых сторон, а это является необходимым и достаточным условием существования вписанной окружности.

Утверждения, используемые в доказательстве 1)Вновь воспользуемся свойством отрезков касательных. С его помощью докажем равнобедренность треугольников, образованных точкой пересечения касательных и точками касания.

2)Из этого будет следовать подобие данных треугольников и параллельность их оснований. На этом основании делаем вывод о том, что этот четырехугольник является трапецией.

3)По доказанному нами ранее свойству(2) находим среднюю линию трапеции. Она равна двум средним геометрическим радиусов окружностей. В полученной трапеции сумма оснований равна сумме боковых сторон, а это является необходимым и достаточным условием для существования вписанной окружности.

§ 3.Задачи

Рассмотрим на практическом примере, как можно упростить решение задачи, используя изложенные выше свойства.

Задача 1

В треугольнике АВС сторона АС=15 см. В треугольник вписана окружность. Вторая окружность касается первой и сторон АВ и ВС. На стороне АВ выбрана точка F, а на стороне ВС - точка М так, что отрезок FM является общей касательной к окружностям. Найдите отношение площадей треугольника BFM и четырехугольника АFМС, если FM - 4 см, а точка М отстоит от центра одной окружности на расстояние в два раза большее, чем от центра другой.

Дано: FM-общая касательная AC=15см FM=4см O 2 M=2О 1 M

Найти S BFM /S AFMC

Решение:

1)FM=2√Rr,O 1 M/O 2 M=√r/R

2)2√Rr=4, √r/R=0,5 →r=1,R=4; PQ=FM=4

3)▲BO 1 P и ▲BO 2 Q подобны → BP/BQ=O 1 P/O 2 Q, BP/(BP+PQ)=r/R,BP/(BP+4)=0,25;BP=4/3

4)FM+BP=16/3, S FBM =r*Р FBM =1*(16/3)=16/3; AC+BQ=15+4/3+4=61/3

5)S ABC =R*Р ABC =4*(61/3)=244/3 → S BFM /S AFMC =(16/3):(244/3)=4/61

Задача 2

В равнобедренный треугольник АВС вписаны две касающиеся окружности с их общей точкой Д и проходящей через эту точку общей касательной FK. Найти расстояние между центрами этих окружностей, если основание треугольника АС = 9 см, а отрезок боковой стороны треугольника заключенный между точками касания окружностей равен 4 см.

Дано: ABC – равнобедренный треугольник; FK – общая касательная вписанных окружностей. АС = 9 см; NE = 4 см

Решение:

Пусть прямые AB и CD пересекаются в точке О. Тогда ОА = ОD, ОВ = ОС, поэтому CD = = AB = 2√Rr

Точки О 1 и О 2 лежат на биссектрисе угла AOD. Биссектриса равнобедренного треугольника AOD является его высотой, поэтому AD ┴ O 1 O 2 и BC ┴ O 1 O 2 , значит,

AD ║ BC и ABCD – равнобедренная трапеция.

Отрезок MN – ее средняя линия, поэтому AD + BC = 2MN = 2AB = AB + CD

Следовательно, в эту трапецию можно вписать окружность.

Пусть AP – высота трапеции, прямоугольные треугольники АРВ и О 1 FO 2 подобны, поэтому АР/О 1 F = АВ/О 1 О 2 .

Отсюда находим, что

Список литературы

• Приложение к газете «Первое сентября» «Математика» №43, 2003 год
• ЕГЭ 2010. Математика. Задача С4. Гордин Р.К.

Прямая, касательная к окружности, составляет с радиусом, проведенным в точку касания, угол 90  . Таким образом, для построения прямой, касающейся окружности в заданной точке, необходимо провести искомую прямую перпендикулярно к радиусу.

Рассмотрим некоторые примеры построения касательных и сопряжений.

П р и м е р 1

Через точку А провести прямую, касательную к окружности с центром О 1

Для решения поставленной задачи выполним следующие построения:

1) соединим прямой линией точки О 1 и А;

2) из точки О 2 – середины отрезка О 1 А − проведем вспомогательную окружность радиусом О 2 А до пересечения с заданной окружностью в точке В.

Последняя является точкой касания, так как угол АВО 1 равен 90  (он опирается

на диаметр АО 1), следовательно, радиус О 1 В является общей нормалью к прямой и дуге окружности в точке В.

П р и м е р 2

Построить общую касательную к двум окружностям с радиусами R 1 и R 2 (рис. 3.4).

Для решения задачи выполним следующие построения:

1) из центра О 1 большой окружности проведем вспомогательную окружность радиусом, равным разности R 1 и R 2 , т. е. R 1 – R 2 ;

2) к этой окружности из точки О 2 проведем касательную О 2 К так, как это выполняли в примере 1;

3) продолжим прямую О 1 К до пересечения с заданной большой окруж­ностью, получим точку В, которая и является точкой касания. Из точки О 2 проведем прямую параллельно О 1 В до пересечения прямой с окружностью в точке А, которая является второй точкой касания касательной АВ.

Рис. 3.3. Построение касатель-

ной прямой к окружности

Рис. 3.4. Построение касательной

к двум окружностям

3.3. Сопряжение двух прямых

П р и м е р 3

Построить сопряжение двух пересекающихся прямых m и n радиусом

сопряжения R c (рис. 3.5).

Рис. 3.5. Построение сопряжения двух пересекающихся прямых

опустим перпендикуляры на заданные прямые и получим точки сопряжения А и В; из точки О радиусом R с проведем дугу сопряжения между точками А и B.

3.4. Сопряжение прямой с окружностью (внутреннее и внешнее)

П р и м е р 4

Построить внешнее и внутреннее сопряжения окружности радиусом R c

с центром О 1 с прямой t дугой заданного радиуса сопряжения.

Д

Рис. 3.6. Построение внешнего

сопряжения окружности и прямой

Рис. 3.7. Построение внутреннего сопряжения окружности и прямой

ля построения внешнего сопряжения выполним следующие действия

1) проведем прямую m параллельно прямой t на расстоянии R с и вспомогательную окружность из центра О 1 радиусом (R 1 + R c); точка пересечения прямой m и вспомогательной окружности – точка О – является центром дуги сопряжения; 2) соединим центры О 1 и О прямой, пересечение ее с заданной окружностью даст первую точку сопряжения − точку А; 3) опустим перпендикуляр из точки О на заданную прямую t и получим вторую точку сопряже­ния – точку В; 4) из точки О проводим дугу сопряжения АВ радиусом R с. Построение внутреннего со- пряжения окружности с прямой (рис. 3.7) выполняется аналогично построению внешнего сопряжения. Разница заключается в том, что ра- диус вспомогательной окружности равен не сумме радиусов, а их раз- ности (R 1 – R с).

При вычерчивании контуров предметов сравнительно часто приходится строить общие касательные к двум дугам окружностей. Общая касательная к двум окружностям может быть внешней, если обе окружности расположены с одной стороны от нее, и внутренней, если окружности расположены с разных сторон касательной.

Построение общей внешней касательной к двум окружностям радиусами R и r (рисунок 47). Из центра окружности большего радиуса – точкиO 1 описывают окружность радиусомR – r (рисунок 47, а). Находят середину отрезкаO 2 O 1 – точкуO 3 и из нее проводят вспомогательную окружность радиусомO 3 O 2 илиO 3 O 1. Обе проведенные окружности пересекаются в точкахA иВ . ТочкиO 1 иB соединяют прямой и в пересечении ее с окружностью радиусомR определяют точку касанияD (рисунок 47, б). Из точкиO 2 параллельно прямойO 1 D проводят линию до пересечения с окружностью радиусомr и получают вторую точку касанияC . ПрямаяCD является искомой касательной. Так же строится вторая общая внешняя касательная к этим окружностям (прямаяEF ).

Рисунок 47

Построение общей внутренней касательной к двум окружностями радиусов R и r (рисунок 48). Из центра любой окружности, например: точкиO 1 , описывают окружность радиусомR +r (рисунок 48, а). Разделив отрезокO 2 O 1 пополам, получают точкуO 3 . Из точкиO 3 как из центра описывают вторую вспомогательную окружность радиусомO 3 O 2 = O 3 О 1 и отмечают точки A и В пересечения вспомогательных окружностей. Соединив прямой точки A и O 1 (рисунок 48, б), в пересечении ее с окружностью радиуса R получают точку касания D . Через центр окружности радиуса r проводят прямую, параллельную прямой O 1 D , и в пересечении ее с заданной окружностью определяют вторую точку касания С . Прямая CD – внутренняя касательная к заданным окружностям. Аналогично строится и вторая касательная EF .

Рисунок 48

3.3 Сопряжения с помощью дуги окружности

3.3.1 Сопряжение двух прямых дугой окружности

Все задачи на сопряжение дугой могут быть сведены к двум видам. Сопряжение осуществляется либо заданным радиусом сопрягающей дуги, либо через точку, заданную на одной из сопрягаемых линий. В том и другом случаях необходимо построить центр сопрягающей дуги.

Сопряжение двух пересекающихся прямых дугой заданным радиусом R c (рисунок 49, а). Так как сопрягающая дуга должна касаться заданных прямых, то центр ее должен быть удален от каждой прямой на величину равную радиусуR c . Сопряжение строят так. Проводят две прямые, параллельные заданным и удаленные от них на величину радиусаR c и в пересечении этих прямых отмечают точкуO – центр сопрягающей дуги. Из точкиО опускают перпендикуляр на каждую из заданных прямых. Основания перпендикуляров – точкиA иB – являются точками касания сопрягающей дуги. Такое построение сопряжения справедливо для двух пересекающихся прямых, составляющих любой угол. Для сопряжения сторон прямого угла можно воспользоваться также способом, указанным на рисунке 49, б.

Рисунок 49

Сопряжение двух пересекающихся прямых, на одной из которых задана точка касания А сопрягающей дуги (рисунок 50). Известно, что геометрическим местом центров дуг, сопрягающих две пересекающиеся прямые, является биссектриса угла, образованного этими прямыми. Поэтому, построив биссектрису угла, из точки касанияA восстанавливают перпендикуляр к прямой до пересечения его с биссектрисой и отмечают точку O – центр сопрягающей дуги. Опустив из точки О перпендикуляр на другую прямую, получают вторую точку касания В и радиусом R c = OA = OB осуществляют сопряжение двух прямых, на одной из которых была задана точка касания.

Сопряжение двух параллельных прямых дугой, проходящей через заданную точку касания А (рисунок 51). Из точкиA восставляют перпендикуляр к заданным прямым и на пересечении его со второй прямой отмечают точкуB . ОтрезокAB делят пополам и получают точкуО – центр сопрягающей дуги радиусом.

Рисунок 50 Рисунок 51

Секущие, касательные - все это сотни раз можно было слышать на уроках геометрии. Но выпуск из школы позади, проходят года, и все эти знания забываются. Что следует вспомнить?

Сущность

Термин "касательная к окружности" знаком, наверное, всем. Но вряд ли у всех получится быстро сформулировать его определение. Между тем касательной называют такую прямую, лежащую в одной плоскости с окружностью, которая пересекает ее только в одной точке. Их может существовать огромное множество, но все они обладают одинаковыми свойствами, о которых речь пойдет ниже. Как нетрудно догадаться, точкой касания называют то место, где окружность и прямая пересекаются. В каждом конкретном случае она одна, если же их больше, то это будет уже секущая.

История открытия и изучения

Понятие касательной появилось еще в древности. Построение этих прямых сначала к окружности, а потом к эллипсам, параболам и гиперболам с помощью линейки и циркуля проводилось еще на начальных этапах развития геометрии. Разумеется, история не сохранила имя первооткрывателя, но очевидно, что еще в то время людям были вполне известны свойства касательной к окружности.

В Новое время интерес к этому явлению разгорелся вновь - начался новый виток изучения этого понятия в сочетании с открытием новых кривых. Так, Галилей ввел понятие циклоиды, а Ферма и Декарт построили к ней касательную. Что же касается окружностей, кажется, еще для древних не осталось секретов в этой области.

Свойства

Радиус, проведенный в точку пересечения, будет Это

основное, но не единственное свойство, которое имеет касательная к окружности. Еще одна важная особенность включает в себя уже две прямые. Так, через одну точку, лежащую вне окружности, можно провести две касательные, при этом их отрезки будут равны. Есть и еще одна теорема по этой теме, однако ее редко проходят в рамках стандартного школьного курса, хотя для решения некоторых задач она крайне удобна. Звучит она следующим образом. Из одной точки, расположенной вне окружности, проведены касательная и секущая к ней. Образуются отрезки AB, AC и AD. А - пересечение прямых, B точка касания, C и D - пересечения. В этом случае будет справедливым следующее равенство: длина касательной к окружности, возведенная в квадрат, будет равна произведению отрезков AC и AD.

Из вышесказанного есть важное следствие. Для каждой точки окружности можно построить касательную, но при этом только одну. Доказательство этого достаточно просто: теоретически опустив на нее перпендикуляр из радиуса, выясняем, что образованный треугольник существовать не может. И это значит, что касательная - единственная.

Построение

Среди прочих задач по геометрии есть особая категория, как правило, не

пользующаяся любовью учеников и студентов. Для решения заданий из этой категории нужны лишь циркуль и линейка. Это задачи на построение. Есть они и на построение касательной.

Итак, даны окружность и точка, лежащая вне ее границ. И необходимо провести через них касательную. Как же это сделать? Прежде всего, нужно провести отрезок между центром окружности О и заданной точкой. Затем с помощью циркуля следует разделить его пополам. Чтобы это сделать, необходимо задать радиус - чуть более половины расстояния между центром изначальной окружности и данной точкой. После этого нужно построить две пересекающиеся дуги. Причем радиус у циркуля менять не надо, а центром каждой части окружности будут изначальная точка и О соответственно. Места пересечений дуг нужно соединить, что разделит отрезок пополам. Задать на циркуле радиус, равный этому расстоянию. Далее с центром в точке пересечения построить еще одну окружность. На ней будет лежать как изначальная точка, так и О. При этом будет еще два пересечения с данной в задаче окружностью. Именно они и будут точками касания для изначально заданной точки.

Именно построение касательных к окружности привело к рождению

дифференциального исчисления. Первый труд по этой теме был опубликован известным немецким математиком Лейбницем. Он предусматривал возможность нахождения максимумов, минимумов и касательных вне зависимости от дробных и иррациональных величин. Что ж, теперь оно используется и для многих других вычислений.

Кроме того, касательная к окружности связана с геометрическим смыслом тангенса. Именно от этого и происходит его название. В переводе с латыни tangens - "касательная". Таким образом, это понятие связано не только с геометрией и дифференциальным исчислением, но и с тригонометрией.

Две окружности

Не всегда касательная затрагивет лишь одну фигуру. Если к одной окружности можно провести огромное множество прямых, то почему же нельзя наоборот? Можно. Вот только задача в этом случае серьезно усложняется, ведь касательная к двум окружностям может проходить не через любые точки, а взаимное расположение всех этих фигур может быть очень

разным.

Типы и разновидности

Когда речь идет о двух окружностях и одной или нескольких прямых, то даже если известно, что это касательные, не сразу становится ясно, как все эти фигуры расположены по отношению друг к другу. Исходя из этого, различают несколько разновидностей. Так, окружности могут иметь одну или две общие точки или не иметь их вовсе. В первом случае они будут пересекаться, а во втором - касаться. И вот тут различают две разновидности. Если одна окружность как бы вложена во вторую, то касание называют внутренним, если нет - то внешним. Понять взаимное расположение фигур можно не только, исходя из чертежа, но и располагая информацией о сумме их радиусов и расстоянии между их центрами. Если две эти величины равны, то окружности касаются. Если первая больше - пересекаются, а если меньше - то не имеют общих точек.

Так же и с прямыми. Для любых двух окружностей, не имеющих общих точек, можно

построить четыре касательные. Две из них будут пересекаться между фигурами, они называются внутренними. Пара других - внешние.

Если речь идет об окружностях, которые имеют одну общую точку, то задача серьезно упрощается. Дело в том, что при любом взаимном расположении в этом случае касательная у них будет только одна. И проходить она будет через точку их пересечения. Так что построение трудности не вызовет.

Если же фигуры имеют две точки пересечения, то для них может быть построена прямая, касательная к окружности как одной, так и второй, но только внешняя. Решение этой проблемы аналогично тому, что будет рассмотрено далее.

Решение задач

Как внутренняя, так и внешняя касательная к двум окружностям, в построении не так уж просты, хоть эта проблема и решаема. Дело в том, что для этого используется вспомогательная фигура, так что додуматься до такого способа самостоятельно

довольно проблематично. Итак, даны две окружности с разным радиусом и центрами О1 и О2. Для них нужно построить две пары касательных.

Прежде всего, около центра большей окружности нужно построить вспомогательную. При этом на циркуле должна быть установлена разница между радиусами двух изначальных фигур. Из центра меньшей окружности строятся касательные к вспомогательной. После этого из О1 и О2 проводятся перепендикуляры к этим прямым до пересечения с изначальными фигурами. Как следует из основного свойства касательной, искомые точки на обеих окружностях найдены. Задача решена, по крайнем мере, ее первая часть.

Для того чтобы построить внутренние касательные, придется решить практически

аналогичную задачу. Снова понадобится вспомогательная фигура, однако на этот раз ее радиус будет равен сумме изначальных. К ней строятся касательные из центра одной из данных окружностей. Дальнейший ход решения можно понять из предыдущего примера.

Касательная к окружности или даже двум и больше - не такая уж сложная задача. Конечно, математики давно перестали решать подобные проблемы вручную и доверяют вычисления специальным программам. Но не стоит думать, что теперь необязательно уметь делать это самостоятельно, ведь для правильного формулирования задания для компьютера нужно многое сделать и понять. К сожалению, есть опасения, что после окончательного перехода на тестовую форму контроля знаний задачи на построение будут вызывать у учеников все больше трудностей.

Что же касается нахождения общих касательных для большего количества окружностей, это не всегда возможно, даже если они лежат в одной плоскости. Но в некоторых случаях можно найти такую прямую.

Примеры из жизни

Общая касательная к двум окружностям нередко встречается и на практике, хоть это и не всегда заметно. Конвейеры, блочные системы, передаточные ремни шкивов, натяжение нити в швейной машинке, да даже просто велосипедная цепь - все это примеры из жизни. Так что не стоит думать, что геометрические задачи остаются лишь в теории: в инженерном деле, физике, строительстве и многих других областях они находят практическое применение.