Binárny systém

Binárny číselný systém je pozičná číselná sústava so základom 2. V tejto číselnej sústave sa prirodzené čísla zapisujú len pomocou dvoch symbolov (zvyčajne ide o čísla 0 a 1).

Binárny systém sa používa v digitálnych zariadeniach, pretože je najjednoduchší a spĺňa požiadavky:

• Ako menej hodnôt existuje v systéme, tým jednoduchšie je vyrábať jednotlivé prvky, ktoré s týmito hodnotami pracujú. Najmä dve číslice binárneho číselného systému môžu byť ľahko reprezentované mnohými fyzikálnymi javmi: existuje prúd - žiadny prúd, indukcia magnetické pole väčšia ako prahová hodnota alebo nie atď.
• Čím menej stavov má prvok, tým vyššia je odolnosť voči šumu a tým rýchlejšie môže fungovať. Napríklad na zakódovanie troch stavov pomocou veľkosti indukcie magnetického poľa budete musieť zadať dve prahové hodnoty, ktoré neprispejú k odolnosti voči šumu a spoľahlivosti ukladania informácií.
• Binárna aritmetika je pomerne jednoduchá. Jednoduché sú tabuľky sčítania a násobenia – základné operácie s číslami.
• Na vykonávanie bitových operácií s číslami je možné použiť aparát logickej algebry.

Odkazy

• Online kalkulačka na prevod čísel z jedného číselného systému do druhého

Nadácia Wikimedia. 2010.

Pozrite sa, čo je „Binárny systém“ v iných slovníkoch:

BINÁRNA SÚSTAVA, v matematike číselná sústava so základom 2 (desatinná sústava má základ 10). Je najvhodnejší na prácu s počítačmi, pretože je jednoduchý a zodpovedá dvom polohám (otvorená 0 ​​a zatvorená... ... Vedecko-technický encyklopedický slovník

binárny systém- - Tematika telekomunikácií, základné pojmy EN binárna sústava... Technická príručka prekladateľa

binárny systém- dvejetainė sistema statusas T sritis automatika atitikmenys: engl. dvojková sústava vok. Binärsystem, n rus. dvojková sústava, f pranc. système binaire, m … Automatika terminų žodynas

binárny systém- dvejetainė sistema statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. binárny systém; dyadický systém vok. Binärsystem, n; Dualsystem, n rus. dvojková sústava, f pranc. système binaire, m … Fizikos terminų žodynas

Jarg. stud. Žartujem. Ťažká intoxikácia. PBS, 2002... Veľký slovník ruských prísloví

Pozičná číselná sústava so základom 2, v ktorej sa číslice 0 a 1 používajú na zápis čísel Pozri tiež: Pozičné číselné sústavy Finančný slovník Finam ... Finančný slovník

BINARY NUMERAL system, spôsob zápisu čísel, v ktorom sa používajú dve číslice 0 a 1 Dve jednotky 1. číslice (t. j. medzera obsadená v čísle) tvoria jednotku 2. číslice, dve jednotky tvaru 2. číslice. jednotka 3. číslice atď... ... Moderná encyklopédia

Binárny číselný systém- BINÁRNA ČÍSELNÁ SÚSTAVA, spôsob zápisu čísel, v ktorom sa používajú dve číslice 0 a 1 Dve jednotky 1. číslice (t. j. medzera obsadená v čísle) tvoria jednotku 2. číslice, dve jednotky 2. číslice. tvoria jednotku 3. číslice atď.… … Ilustrovaný encyklopedický slovník

Binárny číselný systém- systém, ktorý používa množiny kombinácií čísel 1 a 0 na znázornenie alfanumerických a iných symbolov, základ kódov používaných v digitálnych počítačoch... Vydanie slovníka-príručky

BINÁRNA ČÍSELNÁ SÚSTAVA- pozičná číselná sústava so základom 2, v ktorej sú dve číslice 0 a 1 a všetky prirodzené čísla sú zapísané vo svojich postupnostiach. Napr. číslo 2 sa píše ako 10, číslo 4 = 22 ako 100, číslo 900 ako 11-miestne číslo: 11 110 101 000... Veľká polytechnická encyklopédia

Čísla sú po známej desatinke druhé najčastejšie, aj keď sa nad tým málokto zamýšľa. Dôvodom tejto požiadavky je, že je to tá, ktorá sa používa v O tom si povieme neskôr, ale najprv niekoľko slov o číselnom systéme vo všeobecnosti.

Táto fráza označuje systém zaznamenávania alebo inej vizuálnej reprezentácie čísel. Toto je suchá definícia. Bohužiaľ, nie každý chápe, čo sa za týmito slovami skrýva. Všetko je však celkom jednoduché a prvý číselný systém sa objavil v rovnakom čase, keď sa ľudia naučili počítať. Najjednoduchší spôsob, ako znázorniť čísla, je identifikovať niektoré predmety s inými, napríklad prsty na rukách a počet plodov nazbieraných za určitý čas. Na rukách je však podstatne menej prstov, ako môže byť spočítateľných predmetov. Začali sa nahrádzať palicami alebo čiarami na piesku alebo kameni. Toto bol úplne prvý číselný systém, hoci samotný koncept sa objavil oveľa neskôr. Nazýva sa nepozičný, pretože každá číslica v ňom má presne definovaný význam bez ohľadu na to, akú pozíciu v zázname zaberá.

Takéto nahrávanie je však mimoriadne nepohodlné a neskôr prišiel nápad zoskupiť predmety a označiť každú skupinu pri nahrávaní kameňom a nie palicou alebo kresbou iného tvaru. To bol prvý krok k vytvoreniu pozičných sústav, ktorých súčasťou bola aj dvojková číselná sústava. Nakoniec však vznikli až po vynájdení čísel. Vzhľadom na to, že spočiatku bolo pre ľudí pohodlnejšie počítať na prstoch, ktorých má bežný človek 10, stala sa najrozšírenejšou desiatková sústava. Osoba používajúca tento systém má k dispozícii čísla od 0 do 9. Podľa toho, keď človek pri počítaní dosiahne 9, to znamená, že vyčerpá zásobu čísel, zapíše jednotku na ďalšiu číslicu a vynuluje jednotky. A to je podstata pozičných číselných systémov: význam číslic v čísle priamo závisí od toho, akú pozíciu zaujíma.

Binárny číselný systém poskytuje na výpočty iba dve číslice, je ľahké uhádnuť, že ide o 0 a 1. V súlade s tým sa nové číslice pri písaní v tomto prípade objavujú oveľa častejšie: prvý prechod registra nastáva už pri čísle 2, čo je označené v dvojkovej sústave ako 10.

Je zrejmé, že tento systém tiež nie je príliš pohodlný na písanie, tak prečo je taký žiadaný? Ide o to, že pri zostavovaní počítačov sa desiatkový systém ukázal ako mimoriadne nepohodlný a nerentabilný, pretože výroba zariadenia s desiatimi rôznymi stavmi je dosť drahá a zaberá veľa miesta. A tak prijali binárny systém vynájdený Inkami.

Prevod do binárneho číselného systému pravdepodobne nikomu nespôsobí ťažkosti. Najjednoduchšie a jasná cesta Ak to chcete urobiť, musíte deliť číslo dvoma, kým odpoveď nebude nula. V tomto prípade sa zvyšky píšu oddelene sprava doľava postupne. Pozrime sa na príklad, zoberme si číslo 73: 73\2 = 36 a 1 vo zvyšku, jednotky zapíšeme na krajnú pravú pozíciu, všetky ďalšie zvyšky zapíšeme naľavo od tejto jednotky. Ak ste urobili všetko správne, mali by ste mať toto číslo: 1001001.

Ako počítač prevedie číslo do dvojkovej číselnej sústavy, keďže desatinné čísla zadávame z klávesnice? Je to naozaj tiež deliteľné 2? Prirodzene nie. Každý kláves na klávesnici zodpovedá konkrétnemu riadku v tabuľke kódovania. Stlačíme tlačidlo, program s názvom driver odošle procesoru určitú postupnosť signálov. To zase odošle požiadavku do tabuľky, ktorý znak zodpovedá tejto sekvencii, a zobrazí tento znak na obrazovke alebo v prípade potreby vykoná akciu.

Teraz viete, aký význam má v našom živote binárna číselná sústava. Koniec koncov, veľa v našom svete sa teraz robí pomocou elektroniky výpočtových systémov, čo by bolo zasa úplne iné, keby tento systém neexistoval.

Binárny číselný systém používa iba dve číslice, 0 a 1. Inými slovami, dvojka je základom binárneho číselného systému. (Podobne aj desiatková sústava má základ 10.)

Aby ste sa naučili porozumieť číslam v binárnej číselnej sústave, najprv zvážte, ako sa tvoria čísla v nám známej desiatkovej číselnej sústave.

V desiatkovej číselnej sústave máme desať číslic (od 0 do 9). Keď počet dosiahne 9, zadá sa nová číslica (desiatky), jednotky sa vynulujú a počítanie sa spustí znova. Po 19 sa počet desiatok zvýši o 1 a jednotky sa opäť vynulujú. A tak ďalej. Keď desiatky dosiahnu 9, objaví sa tretia číslica - stovky.

Binárny číselný systém je podobný desiatkovému číselnému systému s tým rozdielom, že na tvorbe čísla sa podieľajú iba dve číslice: 0 a 1. Hneď ako číslica dosiahne svoj limit (t. j. jedna), objaví sa nová číslica a stará sa vynuluje.

Skúsme počítať v dvojkovej sústave:
0 je nula
1 je jedna (a toto je limit vybíjania)
10 sú dva
11 je tri (a to je opäť limit)
100 sú štyri
101 – päť
110 – šesť
111 – sedem atď.

Prevod čísel z binárnych na desiatkové

Nie je ťažké si všimnúť, že v systéme binárnych čísel sa dĺžky čísel rýchlo zvyšujú, keď sa hodnoty zvyšujú. Ako zistiť, čo to znamená: 10001001? Ľudský mozog, ktorý nie je zvyknutý na túto formu písania čísel, zvyčajne nedokáže pochopiť, koľko to je. Bolo by pekné mať možnosť previesť binárne čísla na desiatkové.

V desiatkovej číselnej sústave môže byť akékoľvek číslo reprezentované ako súčet jednotiek, desiatok, stoviek atď. Napríklad:

1476 = 1000 + 400 + 70 + 6

1476 = 1 * 10 3 + 4 * 10 2 + 7 * 10 1 + 6 * 10 0

Pozorne si prezrite tento záznam. Čísla 1, 4, 7 a 6 sú množinou čísel, ktoré tvoria číslo 1476. Všetky tieto čísla sa postupne násobia desiatimi zvýšenými o jeden alebo druhý stupeň. Desať je základom desiatkovej číselnej sústavy. Mocnina, na ktorú sa desiatka zvýši, je číslica číslice mínus jedna.

Akékoľvek binárne číslo môže byť rozšírené podobne. Iba základ tu bude 2:

10001001 = 1*2 7 + 0*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0

1*2 7 + 0*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 128 + 0 + 0 + 0 + 8 + 0 + 0 + 1 = 137

Tie. Číslo 10001001 v základe 2 sa rovná číslu 137 v základe 10. Môžete ho zapísať takto:

10001001 2 = 137 10

Prečo je binárna číselná sústava taká bežná?

Faktom je, že binárny číselný systém je jazykom výpočtovej techniky. Každé číslo musí byť nejakým spôsobom znázornené na fyzickom médiu. Ak ide o desiatkovú sústavu, budete musieť vytvoriť zariadenie, ktoré môže mať desať stavov. Je to komplikované. Jednoduchšie je vyrobiť fyzický prvok, ktorý môže byť len v dvoch stavoch (napríklad je prúd alebo nie je prúd). To je jeden z hlavných dôvodov, prečo sa binárnej číselnej sústave venuje toľko pozornosti.

Prevod desiatkového čísla na binárne

Možno budete musieť previesť desiatkové číslo na binárne. Jedným zo spôsobov je deliť dvomi a zo zvyšku vytvoriť binárne číslo. Napríklad musíte získať jeho binárny zápis z čísla 77:

77 / 2 = 38 (1 zvyšok)
38 / 2 = 19 (0 zvyšok)
19 / 2 = 9 (1 zvyšok)
9/2 = 4 (1 zvyšok)
4/2 = 2 (0 zvyšok)
2 / 2 = 1 (0 zvyšok)
1/2 = 0 (1 zvyšok)

Zvyšky zbierame spolu, začínajúc od konca: 1001101. Toto je číslo 77 v binárnom vyjadrení. Skontrolujme to:

1001101 = 1*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 64 + 0 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 77

Aby sme vo všeobecnosti pochopili, ako počítač myslí, začnime od úplného začiatku. Počítač je v podstate veľa elektroniky zostavenej v správnom poradí. A elektronika (predtým, ako sa k nej pridal program) chápe len jedno: či je zapnutá alebo vypnutá, či je signál alebo nie.

Typicky sa „existuje signál“ označuje jednotkou a „nie je signál“ nulou: preto výraz, že „počítač hovorí jazykom núl a jednotiek“.

Tento jazyk núl a jednotiek sa nazýva aj binárna číselná sústava – pretože má iba dve číslice. Naša obvyklá číselná sústava je desiatková, má desať číslic (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Existuje však mnoho ďalších – osmičkový, päťnásobný, jedenásty a čokoľvek iné.

Ty a ja nemáme čísla"desať", však? číslo 10 pozostáva z dvoch čísla- 1 a 0.

Podobne v kvinárnom číselnom systéme nebude žiadne číslo „5“, iba 0, 1, 2, 3 a 4.

Počítajme v quinárnom systéme: 0, 1, 2, 3, 4, 10 , 11, 12, 13, 14, 20 , 21, 22, 23, 24, 30 , 31, 32, 33, 34, 40 , 41, 42, 43, 44, 100 (!!!), 101, 102 a tak ďalej. Môžeme povedať, že ako sa číselná sústava volá, také číslo v nej nie je. V našej desiatkovej sústave nie je žiadna číslica „10“, v quináriu nie je číslica „5“ (a všetky za ňou), v osmičke nie je „8“ atď.

A napríklad v šestnástkovej sústave „16“ je! Preto je hexadecimálna sústava pre nás ešte zložitejšia na pochopenie. Počítajme v šestnástkovej sústave:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, 10 , 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 1A, 1B, 1C, 1D, 1E, 1F, 20 , 21, 22…97, 98, 99, 9A, 9B, 9C, 9D, 9E, 9F, A0, A1, A2… F7, F8, F9, FA, FB, FC, FD, FE, FF, 100 , 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 10A, 10B, 10C a tak ďalej.

Binárny číselný systém však aj nezvyknutému oku vyzerá zvláštne:

0, 1, 10 , 11, 100 , 101, 110, 111, 1000 , 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111, 10000 , 10001…

To sú čísla, ktoré si počítač myslí niekde vo svojom vnútri. Pre človeka je ale úplne nepohodlné s takýmito číslami rozmýšľať, preto čísla prevádzame z dvojkovej do pohodlnejšej číselnej sústavy.

V počítačových programoch sa často používajú osmičkové a hexadecimálne sústavy: počítač ich ľahko pochopí (pretože 8 = 2*2*2, 16 = 2*2*2*2 a počítač je spočiatku oboznámený s binárnou sústavou ), a pre ľudí je to pohodlné, pretože je bližšie k obvyklej desatinnej čiarke.

Ako previesť čísla z jedného číselného systému do druhého? Aby sme pochopili princíp, budeme, ako chceme, používať cukríky.

A na cukríku prevedieme číslo 33 do osmičkového číselného systému. Rozhodneme sa, že jedničky sú samotné cukríky a desiatky sú škatuľky, z ktorých každá obsahuje desať cukríkov. Takže sa ukázalo, že 33 sú 3 škatuľky po 10 cukríkov a 3 ďalšie cukríky niekde na boku.

Ale prevádzame naše bohatstvo cukríkov do osmičkového číselného systému, čo znamená, že musíme vytriasť všetky cukríky z krabičiek po 10, dať ich do krabičiek po 8 a uvidíme, čo z toho vznikne.

Z 33 získate 4 plné osmičkové škatuľky a 1 cukrík zostane sám, keďže 33/8 = 4 (zvyšok je 1). To znamená, 33 = 8* 4 +1 - takto sa získava číslo v osmičkovej číselnej sústave 41 .

33 v desiatkovej sústave je 41 v osmičke. Toto je rovnaké číslo, jednoducho rozdelené do rôznych políčok, preložené do iná základňa. Počet cukríkov sa nezmenil, len sme ich inak počítali!

Binárna sústava, ako sme už zistili, je pre ľudské oko zvláštnejšia a nezvyčajnejšia. Skúsme previesť 33 na binárne - dostaneme až 16 políčok po 2! Čo by sme teda mali robiť? Je zvláštne písať 16, pamätajúc si, že v dvojkovej sústave sú len nula a jedna a tá šestka, ktorú potrebujeme pre šestnásť tam určite nie je!

Pozrime sa na našu desatinnú sústavu. V ňom počítame desiatky - 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 - a keď máme desať desiatok, vyberieme veľkú krabicu - 100.

Pre nás je 100 10*10, 1000 je 10*10*10, 10 000 je 10*10*10*10 a tak ďalej. Pre iné číselné systémy to funguje úplne rovnako! V osmičkovej sústave 100=8*8, 1000=8*8*8; v binárnom 100=2*2 a 1000=2*2*2; a v šestnástkovej sústave (jeden existuje, pamätáte?) 100=16*16, 1000=16*16*16.

Tu sa hodia tituly. Ak ste ich ešte neabsolvovali v škole, nezľaknite sa, tituly sú veľmi jednoduché. Číslo na mocninu je číslo vynásobené samo sebou niekoľkokrát. To znamená, 5 3 = 5*5*5 ( päť V tretí stupňa je päť, tri krát vynásobené sebou samým: 5*5*5), alebo 8 5 =8*8*8*8*8 ( osem V piaty stupňa je osem, päť krát vynásobené sebou samým: 8*8*8*8*8).

Ak si spomenieme na našich 10 000 = 10*10*10*10 v desiatkovej sústave a 1000 = 8*8*8 v osmičke, tak si ľahko všimneme, že koľko núl si sami vynásobíme. Inými slovami, počet znakov v čísle mínus jeden je výkon, na ktorý musí byť základ povýšený. V čísle 1000 máme štyri symboly, čo znamená, že musíme násobiť 4–1 , teda 3 krát. Ak je základ 10, potom je tisícka 10 vynásobená sama sebou trikrát: 10*10*10. Ak je základ 8, potom je tisícka 8 vynásobená sama sebou trikrát: 8*8*8.

O tom všetkom sme začali hovoriť pri pokuse o konverziu 33 na binárne. Ukázalo sa, že je ťažké jednoducho rozdeliť toto číslo do polí po 2. Ale ak si pamätáte na naše stovky a tisíce, možno si pomyslíte: ale v binárnom 100=2*2, 1000=2*2*2, 10 000=2*2*2*2 a tak ďalej.

Na prevod z desiatkovej do dvojkovej je vhodné zapamätať si mocniny dvoch. Dokonca sa dá povedať, že bez tohto triku s grády sa unavíme, unavíme a trochu sa vybláznime. A mocniny dvoch vyzerajú asi takto:

Teraz pri pohľade na tanier vidíme, že 33 = 2 5 +1, teda 33 = 2*2*2*2*2+1. Pamätajme - bez ohľadu na to, koľkokrát budeme násobiť, bude toľko núl - teda našich 2*2*2*2*2 v dvojkovej sústave bude 100 000. Nezabudnime na tú, ktorá zostala bokom a tá sa otáča že 33 v desiatkovej sústave je 100 001 v binárnej sústave. Je to správne a krásne napísané takto:

33 10 =100001 2

Preveďme (aby sme veľmi dobre rozumeli) číslo 15 do dvojkovej sústavy.

1. Najprv sa pozrite na znamenie.

a) Aké číslo je najbližšie k 15? Nie, 16 nie je vhodné, je väčšie a potrebujeme najbližší, ktorý je menší. Ukazuje sa, že toto je 8 2 3 , teda 2*2*2.

b) Osem cukríkov z 15 bolo odobraných, zostalo 15-8 - sedem. Aké je najbližšie číslo z tabuľky? Nie, osem opäť nebude fungovať, pozri vyššie. Štyri budú stačiť, to znamená 2 2 , teda 2*2.

c) Štyri zo siedmich cukríkov boli odobraté, zostali - 7-4 - tri. Z tabuľky pochopíme, že najbližšie číslo je 2, tj 2 1 , teda len 2.

d) Tri mínus dva - vľavo 1 cukrík, tu nie je potrebný znak. Nemusíte sa pozerať na tablety tohto druhu, keď je váš zvyšok menší ako základňa a naša jednotka je určite menšia ako dva.

1. Zhromažďujeme spolu všetko, čo sa nachádza v tablete: 15 = 2 3 + 2 2 + 2 1 + 1, je to tiež: 15 = 2*2*2 + 2*2 + 2 + 1.
2. V dvojkovej sústave 2*2*2=1000, 2*2=100, 2=10, pamätáte? A dostaneme 1000+100+10+1, teda 1111.
3. takže,

15 10 =1111 2

Keď sa len pozriete na všetky tieto kroky, zdá sa, že je to len skládka Hromady rôznych podivne napísaných čísel. A je normálne byť z toho všetkého po prvýkrát zmätený. A v druhom a v treťom. Skúste to urobiť znova a znova - krok za krokom, ako je napísané vyššie, a všetko bude fungovať.

A funguje to aj naopak! Napríklad číslo 11010101 2 - ako z toho urobiť čistú desatinnú čiarku? Rovnakým spôsobom pomocou znaku. Poďme od konca:

1*2 0 +0*2 1 +1*2 2 +0*2 3 +1*2 4 +0*2 5 +1*2 6 +1*2 7 =

1*1+0*2+1*4+0*8+1*16+0*32+1*64+1*128=

1+0+4+0+16+0+64+128=213

11010101 2 = 213 10

Približne takto počítač chápe čísla, na ktoré sme zvyknutí.

Keď sa na to pozriete prvýkrát, zdá sa, že je to po prvé úplne nepochopiteľné a po druhé to nebude fungovať vôbec. Preto teraz urobíme malú matematickú mágiu, aby sme sa uistili, že číselné sústavy sú rovnako skutočné, ako napríklad úloha „rozdať pätnásť cookies rovnako piatim deťom“.

Vezmime si teda príklad 15+6 a my to vyriešime rôznych systémov Zúčtovanie. Je jasné, že v našej desatinnej čiarke to vyjde na 21. Čo však vyjde napríklad v osmičke?

Preveďte 15 do osmičkovej číselnej sústavy. Náš prvý krok pri prechode na iný systém je pozrieť sa na tabuľku stupňov. 8 2 je už 64 a určite sa nezmestí do 15, takže berieme 8 1 – teda len 8. 15–8 = 7, je to menšie ako naša základňa 8, takže nič nenarobíme. to.

Tak sa to ukázalo 15=8 1 +7 .

V osmičkovej sústave je logika úplne rovnaká ako napríklad v dvojkovej sústave: 8 3 je 1 000, 8 2 je 100, 8 1 je 10. Ukazuje sa, že:

15 10 =17 8

Pripomínam, že náš príklad bol 15+6. Previedli sme 15 do osmičkového systému, ako môžeme previesť 6? Je to menej ako 8, naša základňa, takže odpoveď je nechať to tak. Náš príklad teraz vyzerá takto:

15 10 +6 10 =17 8 +6 8

Teraz pridáme v osmičkovej číselnej sústave. Ako sa to robí? To isté ako v desiatkovej sústave, ale musíme si uvedomiť, že desiatka v osmičkovej sústave je osem, nie desať, a že 8 a 9 v nej neexistujú.

Keď počítame v desatinných číslach, robíme v podstate toto:

15+6=15+5+1=20+1=21

Skúsme rovnaký trik v osmičkovej sústave:

17 8 +6 8 =17 8 +1 8 +5 8 =20 8 +5 8 =25 8

Prečo 17+1? Pretože 7+1=8 a 8 je naša desiatka! V osmičkovej sústave je 7+1=10, čo znamená 17+1=20. Ak v tomto momente váš mozog začne biť na poplach a oznamovať vám, že tu niečo nie je v poriadku, vráťte sa na začiatok článku, kde sme počítali v rôznych číselných sústavách.

Náš príklad teraz vyzerá takto

15 10 +6 10 =17 8 +6 8 =25 8

Prevedieme 25 8 späť do našej číselnej sústavy. V desiatkovej sústave, ak by sme videli číslo 25, by sme mohli povedať, že má dve desiatky a päť jednotiek. V osmičke, ako ste už pravdepodobne uhádli, číslo 25 8 sú dve osmičky a päť jednotiek. To znamená, 25 8 = 2 * 8 + 5 = 21 10.

Takže náš príklad v plnom rozsahu:

15 10 +6 10 =17 8 +6 8 =25 8 =21 10

Výsledok je presne rovnakých 21, ktoré sme dostali na samom začiatku, keď sme bežným spôsobom v desiatkovej sústave vypočítali 15+6.

Aritmetické pravidlá sa nemenia, pretože sme zvolili inú číselnú sústavu.

Preto počítač, ktorý všetko prekladá na nuly a jednotky, ktoré sa nám zdajú nepochopiteľné a nezmyselné, nestráca informácie, ktoré sme mu poskytli, a po vypočítaní vo forme, ktorá mu vyhovuje, môže vytvoriť výsledok a previesť ho späť na forma, ktorú poznáme.

Pozičný číselný systém sa prvýkrát objavil v starovekom Babylone. V Indii systém funguje ako

pozičné desiatkové číslovanie pomocou nuly, medzi Indmi tento systémčísla

arabský národ si požičiaval a Európania zasa brali od nich. V Európe sa tento systém stal

nazvite to arabsky.

Pozičný systém - význam všetkých číslic závisí od pozície (číslice) danej číslice v čísle.

Príklady, štandardný 10. číselný systém je pozičný systém. Povedzme, že je dané číslo 453.

Číslo 4 označuje stovky a zodpovedá číslu 400, 5 - počet desiatok a zodpovedá hodnote 50,

a 3 - jednotky a hodnota 3. Je ľahké si všimnúť, že so zvyšujúcou sa číslicou sa zvyšuje aj hodnota.

Dané číslo teda zapíšeme ako súčet 400+50+3=453.

Binárny číselný systém.

Sú tu len 2 číslice - 0 a 1. Základ dvojkovej sústavy- číslo 2.

Číslo umiestnené na samom okraji vpravo označuje počet jednotiek, druhé číslo označuje

Vo všetkých čísliciach je možná iba jedna číslica - buď nula alebo jedna.

Pomocou binárneho číselného systému je možné zakódovať čokoľvek prirodzené číslo, prezentácia

Toto číslo je postupnosť núl a jednotiek.

Príklad: 10112 = 1*2 3 + 0*2*2+1*2 1 +1*2 0 =1*8 + 1*2+1=1110

Binárny číselný systém, podobne ako desiatkový číselný systém, sa často používa vo výpočtovej technike

technológie. Počítač ukladá text a čísla do svojej pamäte v binárnom kóde a konvertuje ho programovo

do obrazu na obrazovke.

Sčítanie, odčítanie a násobenie binárnych čísel.

Tabuľka sčítania v binárnom číselnom systéme:

		10 (preniesť na vyššia hodnosť)

Tabuľka odčítania v binárnej číselnej sústave:

	(pôžička od seniora kategória) 1

Príklad pridania kolóny (14 10 + 5 10 = 19 10 alebo 1110 2 + 101 2 = 10011 2):

+		1	1	1	0
			1	0	1
	1	0	0	1	1

Tabuľka násobenia v binárnom číselnom systéme:

Príklad násobenia stĺpcov (14 10 * 5 10 = 70 10 alebo 1110 2 * 101 2 = 1000110 2):

*				1	1	1	0
					1	0	1
+				1	1	1	0
			1	1	1	0
=	1	0	0	0	1	1	0

Konverzia čísel v dvojkovej číselnej sústave.

Na prevod z binárneho na desiatkové použite nasledujúcu tabuľku exponentov

základy 2:

Počnúc číslicou jedna sa každá číslica násobí 2. Bodka po 1 sa volá binárny bod.

Previesť binárne čísla na desiatkové.

Nech existuje binárne číslo 110001 2. Pre prevod na desatinné číslo to zapíšeme ako súčet podľa

poradie takto:

1 * 2 5 + 1 * 2 4 + 0 * 2 3 + 0 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 49

Trochu inak:

1 * 32 + 1 * 16 + 0 * 8 + 0 * 4 + 0 * 2 + 1 * 1 = 49

Výpočet je tiež dobré zapísať ako tabuľku:

Pohybujeme sa sprava doľava. Pod všetky binárne jednotky napíšeme jej ekvivalent v riadku nižšie.

Previesť zlomkové binárne čísla na desatinné čísla.

Cvičenie: preveďte číslo 1011010, 101 2 do desiatkovej sústavy.

Dané číslo zapíšeme v tomto tvare:

1*2 6 +0*2 5 +1*2 4 +1*2 3 +0 *2 2 + 1 * 2 1 + 0 * 2 0 + 1 * 2 -1 + 0 * 2 -2 + 1 * 2 -3 = 90,625

Ďalšia možnosť nahrávania:

1*64+0*32+1*16+1*8+0*4+1*2+0*1+1*0,5+0*0,25+1*0,125 = 90,625

Alebo vo forme tabuľky:

								0.25	0.125
									0.125

Previesť desatinné čísla na binárne.

Predpokladajme, že potrebujete previesť číslo 19 na binárne. Môžeme to urobiť takto:

19 /2 = 9 so zvyškom 1

9 /2 = 4 so zvyškom 1

4 /2 = 2 bez stopy 0

2 /2 = 1 bez stopy 0

1 /2 = 0 so zvyškom 1

To znamená, že každý podiel sa vydelí 2 a zvyšok sa zapíše na koniec binárneho zápisu. divízie

pokračuje, kým v kvociente nie je nula. Výsledok zapíšeme sprava doľava. Tie. nižšie

číslo (1) bude úplne vľavo a tak ďalej. Takže máme číslo 19 v binárnom zápise: 10011.

Prevod zlomkových desatinných čísel na binárne.

Keď dané číslo obsahuje celú časť, prevedie sa oddelene od zlomkovej časti. Preklad

prevod zlomkového čísla z desiatkovej číselnej sústavy do dvojkovej sústavy prebieha takto:

• Zlomok sa vynásobí základom dvojkovej číselnej sústavy (2);

• Vo výslednom produkte sa izoluje celá časť, ktorá sa považuje za vedúcu.

číslica čísla v dvojkovej číselnej sústave;

• Algoritmus končí, ak je zlomková časť výsledného produktu nula alebo ak

bola dosiahnutá požadovaná presnosť výpočtu. V opačnom prípade budú výpočty pokračovať

zlomková časť produktu.

Príklad: Musíte previesť zlomkové desatinné číslo 206.116 na zlomkové binárne číslo.

Preložením celej časti dostaneme 206 10 = 11001110 2. Zlomková časť 0,116 sa vynásobí základom 2,

Celé časti výrobku uvádzame na desatinné miesta:

0,116 . 2 = 0,232

0,232 . 2 = 0,464

0,464 . 2 = 0,928

0,928 . 2 = 1,856

0,856 . 2 = 1,712

0,712 . 2 = 1,424

0,424 . 2 = 0,848

0,848 . 2 = 1,696

0,696 . 2 = 1,392

0,392 . 2 = 0,784

výsledok: 206,116 10 ≈ 11001110,0001110110 2

Algoritmus na prevod čísel z jedného číselného systému do druhého.

1. Zo sústavy desiatkových čísel:

• vydeliť číslo základom preloženej číselnej sústavy;

• nájdite zvyšok pri delení celej časti čísla;

• zapíšte si všetky zvyšky z delenia v opačnom poradí;

2. Z dvojkovej číselnej sústavy:

• na prevod do desiatkovej číselnej sústavy nájdeme súčet súčinov základu 2 by

primeraný stupeň vypúšťania;