Agli studenti vengono assegnati molti compiti di matematica. Tra questi, molto spesso ci sono compiti con la seguente formulazione: ci sono due valori. Come trovare il minimo comune multiplo di determinati numeri? È necessario essere in grado di svolgere tali compiti, poiché le competenze acquisite vengono utilizzate per lavorare con frazioni con denominatori diversi. Nell'articolo analizzeremo come trovare l'LCM e i concetti di base.

Prima di trovare la risposta alla domanda su come trovare l'LCM, è necessario definire il termine multiplo. Molto spesso, la formulazione di questo concetto è la seguente: un multiplo di un certo valore A è un numero naturale che sarà divisibile per A senza resto, quindi, per 4, 8, 12, 16, 20 e così via, fino a il limite richiesto.

In questo caso, il numero di divisori per un valore particolare può essere limitato e ci sono infiniti multipli. C'è anche lo stesso valore per i valori naturali. Questo è un indicatore diviso per loro senza resto. Dopo aver affrontato il concetto del valore più piccolo per determinati indicatori, passiamo a come trovarlo.

Trovare il C.N.O

Il minimo multiplo di due o più esponenti è il più piccolo numero naturale completamente divisibile per tutti i numeri dati.

Ci sono diversi modi per trovare un tale valore. Consideriamo i seguenti metodi:

1. Se i numeri sono piccoli, scrivi nella riga tutti divisibili per esso. Continua a farlo finché non trovi qualcosa in comune tra loro. Nel record, sono indicati dalla lettera K. Ad esempio, per 4 e 3, il multiplo più piccolo è 12.
2. Se questi sono grandi o devi trovare un multiplo per 3 o più valori, allora dovresti usare una tecnica diversa qui, che comporta la scomposizione dei numeri in fattori primi. Per prima cosa, disponi il più grande degli indicati, quindi tutto il resto. Ognuno di essi ha il proprio numero di moltiplicatori. Ad esempio, scomponiamo 20 (2*2*5) e 50 (5*5*2). Per i più piccoli, sottolinea i fattori e aggiungi i più grandi. Il risultato sarà 100, che sarà il minimo comune multiplo dei numeri sopra indicati.
3. Trovando 3 numeri (16, 24 e 36) i principi sono gli stessi degli altri due. Espandiamo ciascuno di essi: 16 = 2*2*2*2, 24=2*2*2*3, 36=2*2*3*3. Solo due due dall'espansione del numero 16 non sono stati inclusi nella scomposizione del maggiore, li aggiungiamo e otteniamo 144, che è il risultato più piccolo per i valori numerici precedentemente indicati.

Ora sappiamo qual è la tecnica generale per trovare il valore più piccolo per due, tre o più valori. Tuttavia, ci sono anche metodi privati, aiutando a cercare i NOC, se i precedenti non aiutano.

Come trovare GCD e NOC.

Modi privati ​​di trovare

Come con qualsiasi sezione matematica, ci sono casi speciali di ricerca di LCM che aiutano in situazioni specifiche:

• se uno dei numeri è divisibile per gli altri senza resto, allora il multiplo più basso di questi numeri è uguale ad esso (NOC 60 e 15 è uguale a 15);
• I numeri di coprime non hanno divisori primi comuni. Il loro valore minimo è uguale al prodotto di questi numeri. Quindi, per i numeri 7 e 8, questo sarà 56;
• la stessa regola vale per altri casi, anche speciali, di cui si può leggere nella letteratura specializzata. Ciò dovrebbe includere anche casi di scomposizione di numeri compositi, che sono oggetto di articoli separati e persino tesi di dottorato.

I casi speciali sono meno comuni degli esempi standard. Ma grazie a loro, puoi imparare a lavorare con frazioni di vari gradi di complessità. Ciò è particolarmente vero per le frazioni., dove ci sono diversi denominatori.

Qualche esempio

Diamo un'occhiata ad alcuni esempi, grazie ai quali puoi comprendere il principio di trovare il multiplo più piccolo:

1. Troviamo LCM (35; 40). Disponiamo prima 35 = 5*7, poi 40 = 5*8. Aggiungiamo 8 al numero più piccolo e otteniamo NOC 280.
2. CNO (45; 54). Disponiamo ciascuno di essi: 45 = 3*3*5 e 54 = 3*3*6. Aggiungiamo il numero 6 a 45. Otteniamo il NOC pari a 270.
3. Bene, l'ultimo esempio. Ci sono 5 e 4. Non ci sono multipli semplici per loro, quindi il minimo comune multiplo in questo caso sarà il loro prodotto, pari a 20.

Grazie agli esempi, puoi capire come si trova il NOC, quali sono le sfumature e qual è il significato di tali manipolazioni.

Trovare il NOC è molto più facile di quanto potrebbe sembrare a prima vista. Per questo, vengono utilizzate sia una semplice espansione che la moltiplicazione di valori semplici tra loro.. La capacità di lavorare con questa sezione della matematica aiuta nell'ulteriore studio di argomenti matematici, in particolare frazioni di vari gradi di complessità.

Non dimenticare di risolvere periodicamente gli esempi vari metodi, questo sviluppa l'apparato logico e permette di ricordare numerosi termini. Impara i metodi per trovare un tale indicatore e sarai in grado di lavorare bene con il resto delle sezioni matematiche. Buon apprendimento della matematica!

video

Questo video ti aiuterà a capire e ricordare come trovare il multiplo meno comune.

Il materiale presentato di seguito è una logica continuazione della teoria dell'articolo sotto il titolo LCM - multiplo minimo comune, definizione, esempi, relazione tra LCM e GCD. Qui ne parleremo trovare il minimo comune multiplo (LCM) e prestare particolare attenzione alla risoluzione degli esempi. Mostriamo innanzitutto come viene calcolato l'LCM di due numeri in termini di MCD di questi numeri. Quindi, considera di trovare il minimo comune multiplo scomponendo i numeri in fattori primi. Successivamente, ci concentreremo sulla ricerca dell'LCM di tre o più numeri e presteremo anche attenzione al calcolo dell'LCM dei numeri negativi.

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Calcolo del minimo comune multiplo (LCM) tramite gcd

Un modo per trovare il multiplo meno comune si basa sulla relazione tra LCM e GCD. La relazione esistente tra LCM e GCD consente di calcolare il minimo comune multiplo di due interi positivi attraverso il massimo comune divisore noto. La formula corrispondente ha la forma LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) . Considera esempi per trovare l'LCM secondo la formula sopra.

Esempio.

Trova il minimo comune multiplo dei due numeri 126 e 70 .

Soluzione.

In questo esempio a=126 , b=70 . Usiamo la relazione tra LCM e MCD espressa dalla formula LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). Cioè, prima dobbiamo trovare il massimo comun divisore dei numeri 70 e 126, dopodiché possiamo calcolare il LCM di questi numeri secondo la formula scritta.

Trova gcd(126, 70) usando l'algoritmo di Euclide: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , quindi gcd(126, 70)=14 .

Ora troviamo il minimo comune multiplo richiesto: LCM(126, 70)=126 70: GCM(126, 70)= 126 70:14=630 .

Risposta:

LCM(126, 70)=630 .

Esempio.

Che cos'è LCM(68, 34)?

Soluzione.

Perché 68 è equamente divisibile per 34 , quindi gcd(68, 34)=34 . Ora calcoliamo il minimo comune multiplo: LCM(68, 34)=68 34: LCM(68, 34)= 68 34:34=68 .

Risposta:

LCM(68, 34)=68 .

Si noti che l'esempio precedente soddisfa la seguente regola per trovare l'LCM per gli interi positivi aeb: se il numero a è divisibile per b, allora il minimo comune multiplo di questi numeri è a.

Trovare l'LCM fattorizzando i numeri in fattori primi

Un altro modo per trovare il minimo comune multiplo è basato sulla scomposizione dei numeri in fattori primi. Se facciamo un prodotto di tutti i fattori primi di questi numeri, dopo di che escludiamo da questo prodotto tutti i fattori primi comuni che sono presenti nelle espansioni di questi numeri, il prodotto risultante sarà uguale al minimo comune multiplo di questi numeri.

La regola annunciata per trovare l'LCM deriva dall'uguaglianza LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). Infatti, il prodotto dei numeri aeb è uguale al prodotto di tutti i fattori coinvolti nelle espansioni dei numeri aeb. A sua volta, gcd(a, b) è uguale al prodotto di tutti i fattori primi che sono contemporaneamente presenti nelle espansioni dei numeri aeb (che è descritto nella sezione sulla ricerca del gcd usando la scomposizione dei numeri in fattori primi ).

Facciamo un esempio. Facci sapere che 75=3 5 5 e 210=2 3 5 7 . Componi il prodotto di tutti i fattori di queste espansioni: 2 3 3 5 5 5 7 . Ora escludiamo da questo prodotto tutti i fattori che sono presenti sia nell'espansione del numero 75 che nell'espansione del numero 210 (tali fattori sono 3 e 5), quindi il prodotto assumerà la forma 2 3 5 5 7 . Il valore di questo prodotto è uguale al minimo comune multiplo dei numeri 75 e 210, cioè LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050.

Esempio.

Dopo aver scomposto i numeri 441 e 700 in fattori primi, trova il minimo comune multiplo di questi numeri.

Soluzione.

Scomponiamo i numeri 441 e 700 in fattori primi:

Otteniamo 441=3 3 7 7 e 700=2 2 5 5 7 .

Ora facciamo un prodotto di tutti i fattori coinvolti nell'espansione di questi numeri: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Escludiamo da questo prodotto tutti i fattori che sono contemporaneamente presenti in entrambe le espansioni (c'è solo uno di questi fattori - questo è il numero 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . In questo modo, LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100.

Risposta:

LCM(441, 700)= 44 100 .

La regola per trovare l'LCM usando la scomposizione dei numeri in fattori primi può essere formulata in modo leggermente diverso. Se aggiungiamo i fattori mancanti dall'espansione del numero b ai fattori dalla scomposizione del numero a, allora il valore del prodotto risultante sarà uguale al minimo comune multiplo dei numeri a e b.

Ad esempio, prendiamo tutti gli stessi numeri 75 e 210, le loro espansioni in fattori primi sono le seguenti: 75=3 5 5 e 210=2 3 5 7 . Ai fattori 3, 5 e 5 dalla scomposizione del numero 75, aggiungiamo i fattori mancanti 2 e 7 dalla scomposizione del numero 210, otteniamo il prodotto 2 3 5 5 7 , il cui valore è LCM(75 , 210) .

Esempio.

Trova il minimo comune multiplo di 84 e 648.

Soluzione.

Otteniamo prima la scomposizione dei numeri 84 e 648 in fattori primi. Sembrano 84=2 2 3 7 e 648=2 2 2 3 3 3 3 . Ai fattori 2 , 2 , 3 e 7 dall'espansione del numero 84 aggiungiamo i fattori mancanti 2 , 3 , 3 e 3 dall'espansione del numero 648 , otteniamo il prodotto 2 2 2 3 3 3 3 7 , che è pari a 4 536 . Pertanto, il minimo comune multiplo desiderato dei numeri 84 e 648 è 4.536.

Risposta:

LCM(84, 648)=4 536 .

Trovare l'LCM di tre o più numeri

Il minimo comune multiplo di tre o più numeri può essere trovato trovando successivamente l'LCM di due numeri. Richiama il teorema corrispondente, che fornisce un modo per trovare l'LCM di tre o più numeri.

Teorema.

Siano dati interi numeri positivi a 1 , a 2 , …, a k , il minimo comune multiplo m k di questi numeri si trova mediante il calcolo sequenziale m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , …, m k = LCM ( m k−1 , a k) .

Si consideri l'applicazione di questo teorema sull'esempio di trovare il minimo comune multiplo di quattro numeri.

Esempio.

Trova l'LCM dei quattro numeri 140, 9, 54 e 250.

Soluzione.

In questo esempio a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.

Per prima cosa troviamo m 2 \u003d LCM (a 1, a 2) \u003d LCM (140, 9). Per fare ciò, usando l'algoritmo euclideo, determiniamo gcd(140, 9) , abbiamo 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , quindi gcd( 140, 9)=1 , donde LCM(140, 9)=140 9: LCM(140, 9)= 140 9:1=1 260 . Cioè, m 2 =1 260 .

Ora troviamo m 3 \u003d LCM (m 2, a 3) \u003d LCM (1 260, 54). Calcoliamolo tramite gcd(1 260, 54) , anch'esso determinato dall'algoritmo di Euclide: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Quindi gcd(1 260, 54)=18 , da cui LCM(1 260, 54)= 1 260 54:mag(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . Cioè, m 3 \u003d 3 780.

Lasciato da trovare m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250). Per fare ciò, troviamo GCD(3 780, 250) usando l'algoritmo di Euclide: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Pertanto, gcd(3 780, 250)=10 , da cui gcd(3 780, 250)= 3 780 250:cd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . Cioè, m 4 \u003d 94 500.

Quindi il minimo comune multiplo dei quattro numeri originali è 94.500.

Risposta:

LCM(140, 9, 54, 250)=94.500.

In molti casi, il minimo comune multiplo di tre o più numeri si trova convenientemente usando la fattorizzazione primi di numeri dati. In questo caso, dovrebbe essere seguita la seguente regola. Il minimo comune multiplo di più numeri è uguale al prodotto, che è così composto: i fattori mancanti dall'espansione del secondo numero si sommano a tutti i fattori dall'espansione del primo numero, i fattori mancanti dall'espansione di il terzo numero viene aggiunto ai fattori ottenuti, e così via.

Considera un esempio per trovare il multiplo minimo comune usando la scomposizione dei numeri in fattori primi.

Esempio.

Trova il minimo comune multiplo di cinque numeri 84, 6, 48, 7, 143.

Soluzione.

Innanzitutto, otteniamo le espansioni di questi numeri in fattori primi: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 fattori primi) e 143=11 13 .

Per trovare il LCM di questi numeri, ai fattori del primo numero 84 (sono 2 , 2 , 3 e 7 ) è necessario sommare i fattori mancanti dall'espansione del secondo numero 6 . L'espansione del numero 6 non contiene fattori mancanti, poiché sia ​​2 che 3 sono già presenti nell'espansione del primo numero 84 . Oltre ai fattori 2 , 2 , 3 e 7 aggiungiamo i fattori mancanti 2 e 2 dalla scomposizione del terzo numero 48 , otteniamo un insieme di fattori 2 , 2 , 2 , 2 , 3 e 7 . Non è necessario aggiungere fattori a questo insieme nel passaggio successivo, poiché 7 è già contenuto in esso. Infine, ai fattori 2, 2, 2, 2, 3 e 7 si aggiungono i fattori mancanti 11 e 13 dall'espansione del numero 143. Otteniamo il prodotto 2 2 2 2 3 7 11 13 , che è pari a 48 048 .

Massimo comun divisore

Definizione 2

Se un numero naturale a è divisibile per un numero naturale $b$, allora $b$ è chiamato divisore di $a$ e il numero $a$ è chiamato multiplo di $b$.

Sia $a$ e $b$- numeri interi. Il numero $c$ è chiamato divisore comune sia per $a$ che per $b$.

L'insieme dei divisori comuni dei numeri $a$ e $b$ è finito, poiché nessuno di questi divisori può essere maggiore di $a$. Ciò significa che tra questi divisori ce n'è uno più grande, che è detto massimo comun divisore dei numeri $a$ e $b$, e la notazione è usata per denotarlo:

$gcd \ (a;b) \ ​​​​o \ D \ (a;b)$

Per trovare il massimo comun divisore di due numeri:

1. Trova il prodotto dei numeri trovati nel passaggio 2. Il numero risultante sarà il massimo comun divisore desiderato.

Esempio 1

Trova il gcd dei numeri $121$ e $132.$

$242=2\cpunto 11\cpunto 11$

$132=2\cpunto 2\cpunto 3\cpunto 11$

Scegli i numeri inclusi nell'espansione di questi numeri

$242=2\cpunto 11\cpunto 11$

$132=2\cpunto 2\cpunto 3\cpunto 11$

Trova il prodotto dei numeri trovati nel passaggio 2. Il numero risultante sarà il massimo comun divisore desiderato.

$gcd=2\cpunto 11=22$

Esempio 2

Trova il GCD dei monomi $63$ e $81$.

Troveremo secondo l'algoritmo presentato. Per questo:

Scomponiamo i numeri in fattori primi

$63=3\cpunto 3\cpunto 7$

$81=3\cpunto 3\cpunto 3\cpunto 3$

Selezioniamo i numeri che sono inclusi nell'espansione di questi numeri

$63=3\cpunto 3\cpunto 7$

$81=3\cpunto 3\cpunto 3\cpunto 3$

Troviamo il prodotto dei numeri trovati nel passaggio 2. Il numero risultante sarà il massimo comun divisore desiderato.

$mcd=3\cpunto 3=9$

Puoi trovare il GCD di due numeri in un altro modo, usando l'insieme dei divisori dei numeri.

Esempio 3

Trova il gcd dei numeri $48$ e $60$.

Soluzione:

Trova l'insieme dei divisori di $48$: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$

Ora troviamo l'insieme dei divisori di $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\)$

Troviamo l'intersezione di questi insiemi: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - questo insieme determinerà l'insieme dei divisori comuni dei numeri $48$ e $60 $. L'elemento più grande in questo set sarà il numero $12$. Quindi il massimo comun divisore di $ 48 $ e $ 60 $ è $ 12 $.

Definizione di NOC

Definizione 3

multiplo comune di numeri naturali$a$ e $b$ è un numero naturale multiplo di $a$ e $b$.

I multipli comuni di numeri sono numeri divisibili per l'originale senza resto. Ad esempio, per i numeri $25$ e $50$, i multipli comuni saranno i numeri $50,100,150,200$, ecc.

Il minimo comune multiplo sarà chiamato minimo comune multiplo e indicato con LCM$(a;b)$ o K$(a;b).$

Per trovare l'LCM di due numeri, è necessario:

1. Scomponi i numeri in fattori primi
2. Scrivi i fattori che fanno parte del primo numero e aggiungi ad essi i fattori che fanno parte del secondo e non andare al primo

Esempio 4

Trova l'LCM dei numeri $99$ e $77$.

Troveremo secondo l'algoritmo presentato. Per questo

Scomponi i numeri in fattori primi

$99=3\cpunto 3\cpunto 11$

Annota i fattori inclusi nel primo

aggiungi ad essi fattori che fanno parte del secondo e non vanno al primo

Trova il prodotto dei numeri trovati nel passaggio 2. Il numero risultante sarà il minimo comune multiplo desiderato

$LCC=3\cpunto 3\cpunto 11\cpunto 7=693$

La compilazione di elenchi di divisori di numeri spesso richiede molto tempo. C'è un modo per trovare GCD chiamato algoritmo di Euclide.

Affermazioni su cui si basa l'algoritmo di Euclide:

Se $a$ e $b$ sono numeri naturali e $a\vdots b$, allora $D(a;b)=b$

Se $a$ e $b$ sono numeri naturali tali che $b

Usando $D(a;b)= D(a-b;b)$, possiamo successivamente diminuire i numeri in esame fino a raggiungere una coppia di numeri tale che uno di essi sia divisibile per l'altro. Quindi il più piccolo di questi numeri sarà il massimo comun divisore desiderato per i numeri $a$ e $b$.

Proprietà di GCD e LCM

1. Qualsiasi multiplo comune di $a$ e $b$ è divisibile per K$(a;b)$
2. Se $a\vdots b$ , allora K$(a;b)=a$

Se K$(a;b)=k$ e $m$-numero naturale, allora K$(am;bm)=km$

Se $d$ è un divisore comune per $a$ e $b$, allora K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $

Se $a\vdots c$ e $b\vdots c$ , allora $\frac(ab)(c)$ è un multiplo comune di $a$ e $b$

Per qualsiasi numero naturale $a$ e $b$ l'uguaglianza

$D(a;b)\cpunto K(a;b)=ab$

Qualsiasi divisore comune di $a$ e $b$ è un divisore di $D(a;b)$

Il calcolatore online ti consente di trovare rapidamente il massimo comun divisore e il minimo comune multiplo di due o qualsiasi altro numero di numeri.

Calcolatrice per trovare GCD e NOC

Trova GCD e NOC

GCD e NOC trovati: 5806

Come usare la calcolatrice

• Immettere i numeri nel campo di immissione
• In caso di immissione di caratteri errati, il campo di immissione verrà evidenziato in rosso
• premere il pulsante "Trova GCD e NOC"

Come inserire i numeri

• I numeri vengono inseriti separati da spazi, punti o virgole
• La lunghezza dei numeri inseriti non è limitata, quindi trovare gcd e lcm di numeri lunghi non sarà difficile

Cosa sono NOD e NOK?

Massimo comun divisore di più numeri è il più grande intero naturale per il quale tutti i numeri originali sono divisibili senza resto. Il massimo comun divisore è abbreviato come GCD.
Minimo comune multiplo diversi numeri è il numero più piccolo che è divisibile per ciascuno dei numeri originali senza resto. Il minimo comune multiplo è abbreviato come NOC.

Come verificare se un numero è divisibile per un altro numero senza resto?

Per scoprire se un numero è divisibile per un altro senza resto, puoi usare alcune proprietà di divisibilità dei numeri. Quindi, combinandoli, si può verificare la divisibilità per alcuni di essi e le loro combinazioni.

Alcuni segni di divisibilità dei numeri

1. Segno di divisibilità di un numero per 2
Per determinare se un numero è divisibile per due (se è pari), basta guardare l'ultima cifra di questo numero: se è uguale a 0, 2, 4, 6 o 8, allora il numero è pari, il che significa che è divisibile per 2.
Esempio: determinare se il numero 34938 è divisibile per 2.
Soluzione: guarda l'ultima cifra: 8 significa che il numero è divisibile per due.

2. Segno di divisibilità di un numero per 3
Un numero è divisibile per 3 quando la somma delle sue cifre è divisibile per 3. Quindi, per determinare se un numero è divisibile per 3, devi calcolare la somma delle cifre e controllare se è divisibile per 3. Anche se la somma delle cifre è molto grande, puoi ripetere lo stesso processo ancora.
Esempio: determinare se il numero 34938 è divisibile per 3.
Soluzione: contiamo la somma delle cifre: 3+4+9+3+8 = 27. 27 è divisibile per 3, il che significa che il numero è divisibile per tre.

3. Segno di divisibilità di un numero per 5
Un numero è divisibile per 5 quando la sua ultima cifra è zero o cinque.
Esempio: determinare se il numero 34938 è divisibile per 5.
Soluzione: guarda l'ultima cifra: 8 significa che il numero NON è divisibile per cinque.

4. Segno di divisibilità di un numero per 9
Questo segno è molto simile al segno di divisibilità per tre: un numero è divisibile per 9 quando la somma delle sue cifre è divisibile per 9.
Esempio: determinare se il numero 34938 è divisibile per 9.
Soluzione: calcoliamo la somma delle cifre: 3+4+9+3+8 = 27. 27 è divisibile per 9, il che significa che il numero è divisibile per nove.

Come trovare GCD e LCM di due numeri

Come trovare il GCD di due numeri

Più in modo semplice calcolare il massimo comun divisore di due numeri significa trovare tutti i possibili divisori di quei numeri e scegliere il più grande di essi.

Considera questo metodo usando l'esempio di trovare GCD(28, 36) :

1. Fattorizziamo entrambi i numeri: 28 = 1 2 2 7 , 36 = 1 2 2 3 3
2. Troviamo fattori comuni, cioè quelli che hanno entrambi i numeri: 1, 2 e 2.
3. Calcoliamo il prodotto di questi fattori: 1 2 2 \u003d 4 - questo è il massimo comune divisore dei numeri 28 e 36.

Come trovare l'LCM di due numeri

Esistono due modi più comuni per trovare il multiplo più piccolo di due numeri. Il primo modo è che puoi scrivere i primi multipli di due numeri, e quindi scegliere tra loro un numero tale che sarà comune a entrambi i numeri e allo stesso tempo il più piccolo. E il secondo è trovare il GCD di questi numeri. Consideriamolo.

Per calcolare l'LCM, è necessario calcolare il prodotto dei numeri originali e quindi dividerlo per il MCD precedentemente trovato. Troviamo l'LCM per gli stessi numeri 28 e 36:

1. Trova il prodotto dei numeri 28 e 36: 28 36 = 1008
2. gcd(28, 36) è già noto per essere 4
3. LCM(28, 36) = 1008 / 4 = 252 .

Trovare GCD e LCM per più numeri

Il massimo comun divisore può essere trovato per più numeri e non solo per due. Per questo, i numeri da cercare per il massimo comun divisore vengono scomposti in fattori primi, quindi si trova il prodotto dei fattori primi comuni di questi numeri. Inoltre, per trovare il GCD di più numeri, puoi utilizzare la seguente relazione: gcd(a, b, c) = gcd(gcd(a, b), c).

Una relazione simile vale anche per il minimo comune multiplo di numeri: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

Esempio: trova GCD e LCM per i numeri 12, 32 e 36.

1. Per prima cosa, fattorizziamo i numeri: 12 = 1 2 2 3 , 32 = 1 2 2 2 2 2 , 36 = 1 2 2 3 3 .
2. Troviamo i fattori comuni: 1, 2 e 2 .
3. Il loro prodotto darà gcd: 1 2 2 = 4
4. Ora troviamo il LCM: per questo troviamo prima il LCM(12, 32): 12 32 / 4 = 96 .
5. Per trovare l'LCM di tutti e tre i numeri, devi trovare il GCD(96, 36): 96 = 1 2 2 2 2 2 3 , 36 = 1 2 2 3 3 , GCD = 1 2. 2 3 = 12 .
6. LCM(12, 32, 36) = 96 36 / 12 = 288 .

L'argomento "Numeri multipli" è studiato nella quinta elementare di una scuola media. Il suo obiettivo è migliorare le capacità scritte e orali di calcoli matematici. In questa lezione vengono introdotti nuovi concetti: "numeri multipli" e "divisori", la tecnica per trovare divisori e multipli di un numero naturale, viene elaborata la capacità di trovare LCM in vari modi.

Questo argomento è molto importante. La conoscenza su di esso può essere applicata quando si risolvono esempi con frazioni. Per fare ciò, è necessario trovare il denominatore comune calcolando il minimo comune multiplo (LCM).

Un multiplo di A è un numero intero divisibile per A senza resto.

Ogni numero naturale ha un numero infinito di multipli di esso. È considerato il minimo. Un multiplo non può essere inferiore al numero stesso.

È necessario dimostrare che il numero 125 è un multiplo del numero 5. Per fare ciò, devi dividere il primo numero per il secondo. Se 125 è divisibile per 5 senza resto, la risposta è sì.

Questo metodo è applicabile per numeri piccoli.

Quando si calcola l'LCM, ci sono casi speciali.

1. Se devi trovare un multiplo comune per 2 numeri (ad esempio 80 e 20), dove uno di essi (80) è divisibile senza resto per l'altro (20), allora questo numero (80) è il più piccolo multiplo di questi due numeri.

LCM (80, 20) = 80.

2. Se due non hanno un divisore comune, allora possiamo dire che il loro LCM è il prodotto di questi due numeri.

LCM (6, 7) = 42.

Considera l'ultimo esempio. 6 e 7 rispetto a 42 sono divisori. Dividono un multiplo senza resto.

In questo esempio, 6 e 7 sono divisori di coppia. Il loro prodotto è uguale al numero più multiplo (42).

Un numero si dice primo se è divisibile solo per se stesso o per 1 (3:1=3; 3:3=1). Il resto è chiamato composito.

In un altro esempio, è necessario determinare se 9 è un divisore rispetto a 42.

42:9=4 (resto 6)

Risposta: 9 non è un divisore di 42 perché la risposta ha resto.

Un divisore differisce da un multiplo in quanto il divisore è il numero per cui sono divisi i numeri naturali e il multiplo è esso stesso divisibile per quel numero.

Massimo comun divisore di numeri un e b, moltiplicato per il loro multiplo più piccolo, darà il prodotto dei numeri stessi un e b.

Vale a dire: MCD (a, b) x LCM (a, b) = a x b.

I multipli comuni per i numeri più complessi si trovano nel modo seguente.

Ad esempio, trova l'LCM per 168, 180, 3024.

Scomponiamo questi numeri in fattori primi, li scriviamo come prodotto di potenze:

168=2³x3¹x7¹

2⁴х3³х5¹х7¹=15120

LCM (168, 180, 3024) = 15120.