Obsah článku

DERIVÁT– derivácia funkcie r = f(X), daný v určitom intervale ( a, b) v bode X tohto intervalu sa nazýva hranica, ku ktorej smeruje pomer prírastku funkcie f v tomto bode na zodpovedajúci prírastok argumentu, keď má prírastok argumentu tendenciu k nule.

Derivát sa zvyčajne označuje takto:

Iné označenia sú tiež široko používané:

Okamžitá rýchlosť.

Nechajte bod M sa pohybuje v priamom smere. Vzdialenosť s pohyblivý bod, počítaný od nejakej počiatočnej polohy M 0 , závisí od času t, t.j. s existuje funkcia času t: s= f(t). Nech v určitom okamihu t pohyblivý bod M bol na diaľku s z východiskovej pozície M 0 a v ďalšom okamihu t+D t sa ocitla v pozícii M 1 - na diaľku s+D s z počiatočnej polohy ( pozri obr.).

Takže v priebehu času D t vzdialenosť s zmenené o sumu D s. V tomto prípade hovoria, že počas časového intervalu D t rozsah s dostal prírastok D s.

Priemerná rýchlosť nemôže vo všetkých prípadoch presne charakterizovať rýchlosť pohybu bodu M v určitom časovom bode t. Ak napríklad teleso na začiatku intervalu D t pohyboval sa veľmi rýchlo a na konci veľmi pomaly, potom priemerná rýchlosť nebude schopná odrážať naznačené vlastnosti pohybu bodu a poskytnúť predstavu o skutočnej rýchlosti jeho pohybu v súčasnosti t. Ak chcete presnejšie vyjadriť skutočnú rýchlosť pomocou priemernej rýchlosti, musíte použiť kratší časový úsek D t. Najviac plne charakterizuje rýchlosť pohybu bodu v súčasnosti t limit, ku ktorému sa priemerná rýchlosť približuje pri D t® 0. Tento limit sa nazýva aktuálna rýchlosť:

Rýchlosť pohybu v danom momente sa teda nazýva hranica pomeru prírastku dráhy D s do časového prírastku D t, kedy má časový prírastok tendenciu k nule. Pretože

Geometrický význam derivácie. Tangenta ku grafu funkcie.

Konštrukcia dotyčníc je jedným z problémov, ktoré viedli k zrodu diferenciálneho počtu. Prvá publikovaná práca týkajúca sa diferenciálneho počtu, ktorú napísal Leibniz, mala názov Nová metóda maxím a miním, ako aj tangens, pre ktoré nie sú prekážkou ani zlomkové ani iracionálne veličiny, a na to špeciálny typ kalkulu.

Nech krivka je grafom funkcie r =f(X) v pravouhlom súradnicovom systéme ( cm. ryža.).

V nejakej hodnote X na funkcii záleží r =f(X). Tieto hodnoty X A r bod na krivke zodpovedá M 0(X, r). Ak argument X dať prírastok D X, potom nová hodnota argumentu X+D X zodpovedá novej hodnote funkcie y+ D r = f(X + D X). Zodpovedajúci bod krivky bude bod M 1(X+D X,r+D r). Ak nakreslíte seč M 0M 1 a označené j uhol tvorený priečkou s kladným smerom osi Vôl, z obrázku je hneď zrejmé, že .

Ak teraz D X má tendenciu k nule, potom bod M 1 sa pohybuje po krivke a približuje sa k bodu M 0 a uhol j zmeny s D X. O Dx® 0 uhol j smeruje k určitej hranici a a priamka prechádzajúca bodom M 0 a komponent s kladným smerom osi x, uhol a, bude požadovaná dotyčnica. Jeho sklon je:

teda f´( X) = tga

tie. derivátová hodnota f´( X) pre danú hodnotu argumentu X sa rovná dotyčnici uhla, ktorý tvorí dotyčnica ku grafu funkcie f(X) v príslušnom bode M 0(X,r) s kladným smerom osi Vôl.

Diferencovateľnosť funkcií.

Definícia. Ak je funkcia r = f(X) má v bode deriváciu X = X 0, potom je funkcia v tomto bode diferencovateľná.

Spojitosť funkcie s deriváciou. Veta.

Ak je funkcia r = f(X) je v určitom bode rozlíšiteľné X = X 0, potom je v tomto bode spojitá.

Funkcia teda nemôže mať deriváciu v bodoch diskontinuity. Nesprávny je opačný záver, t.j. zo skutočnosti, že v určitom okamihu X = X 0 funkcia r = f(X) je spojitý neznamená, že je v tomto bode diferencovateľný. Napríklad funkcia r = |X| nepretržite pre každého X(–Ґ x x = 0 nemá žiadnu deriváciu. V tomto bode neexistuje dotyčnica ku grafu. Existuje pravá a ľavá dotyčnica, ale nezhodujú sa.

Niektoré vety o diferencovateľných funkciách. Veta o koreňoch derivácie (Rolleova veta). Ak je funkcia f(X) je na segmente súvislá [a,b], je diferencovateľná vo všetkých vnútorných bodoch tohto segmentu a na koncoch X = a A X = b ide na nulu ( f(a) = f(b) = 0), potom vnútri segmentu [ a,b] je tam aspoň jeden bod X= s, a c b, v ktorom je derivát fў( X) ide na nulu, t.j. fў( c) = 0.

Veta o konečnom prírastku (Lagrangeova veta). Ak je funkcia f(X) je spojitý na intervale [ a, b] a je diferencovateľná vo všetkých vnútorných bodoch tohto segmentu, potom vo vnútri segmentu [ a, b] je tam aspoň jeden bod s, a c b to

f(b) – f(a) = fў( c)(b– a).

Veta o pomere prírastkov dvoch funkcií (Cauchyho veta). Ak f(X) A g(X) – dve funkcie súvislé na segmente [a, b] a diferencovateľné vo všetkých vnútorných bodoch tohto segmentu, a gў( X) nezmizne nikde v tomto segmente, potom vo vnútri segmentu [ a, b] je taký bod X = s, a c b to

Deriváty rôznych rádov.

Nechajte funkciu r =f(X) je diferencovateľný na určitom intervale [ a, b]. Odvodené hodnoty f ў( X), vo všeobecnosti závisí od X, t.j. derivát f ў( X) je tiež funkciou X. Pri derivovaní tejto funkcie získame takzvanú druhú deriváciu funkcie f(X), ktorý je označený f ўў ( X).

Derivát n- funkčného rádu f(X) sa nazýva derivát (prvého rádu) derivátu n- 1- a je označený symbolom r(n) = (r(n– 1))ў.

Diferenciály rôznych rádov.

Funkčný diferenciál r = f(X), Kde X– nezávislá premenná, áno D Y = f ў( X)dx, nejaká funkcia z X, ale od X môže závisieť iba prvý faktor f ў( X), druhý faktor ( dx) je prírastok nezávislej premennej X a nezávisí od hodnoty tejto premennej. Pretože D Y existuje funkcia od X, potom môžeme určiť diferenciál tejto funkcie. Diferenciál diferenciálu funkcie sa nazýva druhý diferenciál alebo diferenciál druhého rádu tejto funkcie a označuje sa d 2r:

d(dx) = d 2r = f ўў( X)(dx) 2 .

Diferenciál n- prvého rádu sa nazýva prvý diferenciál diferenciálu n- 1- poradie:

d n y = d(d n–1r) = f(n)(X)dx(n).

Čiastočná derivácia.

Ak funkcia nezávisí od jedného, ​​ale od viacerých argumentov x i(i sa pohybuje od 1 do n,i= 1, 2,… n),f(X 1,X 2,… x n), potom sa v diferenciálnom počte zavedie pojem parciálna derivácia, ktorá charakterizuje rýchlosť zmeny funkcie viacerých premenných, keď sa zmení len jeden argument, napr. x i. Čiastočná derivácia 1. rádu vzhľadom na x i je definovaný ako obyčajný derivát a predpokladá sa, že všetky argumenty okrem x i, udržujte konštantné hodnoty. Pre parciálne derivácie sa zavádza zápis

Takto definované parciálne derivácie 1. rádu (ako funkcie tých istých argumentov) môžu mať zasa aj parciálne derivácie, ide o parciálne derivácie 2. rádu atď. Takéto deriváty prevzaté z rôznych argumentov sa nazývajú zmiešané. Spojité zmiešané deriváty rovnakého rádu nezávisia od rádu diferenciácie a sú si navzájom rovné.

Anna Chugainová

Derivát funkcie v bode sa nazýva limita pomeru prírastku funkcie k prírastku argumentu za predpokladu, že smeruje k nule.

Základné pravidlá pre nájdenie derivátu

Ak - a - sú diferencovateľné funkcie v bode , (t. j. funkcie, ktoré majú v bode derivácie), potom:

4) .

Tabuľka derivácií základných funkcií

1. 8.

2. 9.

3. 10.

5. 12.

6. 13.

7.

Pravidlo pre diferenciáciu komplexnej funkcie. Ak a , t.j. , kde a majú deriváty, potom

Diferenciácia funkcie špecifikovanej parametricky. Nech je závislosť premennej od premennej špecifikovaná parametricky pomocou parametra:

Úloha 3. Nájdite deriváty týchto funkcií.

1)

Riešenie. Aplikovaním pravidla 2 na nájdenie derivátov a vzorcov 1 a 2 tabuľky derivátov dostaneme:

Riešenie. Použitím pravidla 4 na nájdenie derivátov a vzorcov 1 a 13 tabuľky derivátov dostaneme:

.

Riešenie. Aplikovaním pravidla 3 na nájdenie derivátov a vzorcov 5 a 11 tabuľky derivátov dostaneme:

Riešenie. Za predpokladu, že podľa vzorca na nájdenie derivácie komplexnej funkcie dostaneme:

Riešenie. Máme: Potom podľa vzorca na nájdenie derivácie parametricky zadanej funkcie dostaneme:

4. Deriváty vyššieho rádu. L'Hopitalovo pravidlo.

Derivácia funkcie druhého rádu sa nazýva derivát jeho derivátu, t.j. . Pre druhú deriváciu sa používajú tieto zápisy: alebo , alebo .

Derivácia funkcie 1. rádu sa nazýva derivát jeho derivátu th-rádu. Pre deriváciu t. rádu sa používajú tieto zápisy: alebo , alebo .

L'Hopitalovo pravidlo. Nech funkcie a sú diferencovateľné v okolí bodu a derivácia nezmizne. Ak funkcie a sú súčasne buď nekonečne malé alebo nekonečne veľké v , a existuje limit pomeru v , potom existuje aj limit pre pomer v . Navyše

.

Pravidlo platí aj vtedy, keď .

Upozorňujeme, že v niektorých prípadoch zverejnenie neistôt typu alebo môže vyžadovať opakované použitie L'Hopitalovho pravidla.

Typové neistoty atď. pomocou elementárnych transformácií sa dajú ľahko zredukovať na neurčitosti formy alebo .

Úloha 4. Nájdite limit pomocou L'Hopitalovho pravidla.

Riešenie Tu máme neistotu formy, pretože na . Aplikujme L'Hopitalovo pravidlo:

.

Po aplikácii L'Hopitalovho pravidla sme opäť získali neurčitosť formy, pretože na . Opätovným použitím L'Hopitalovho pravidla dostaneme:

.

5. Štúdia funkcie

a) Zvyšovanie a znižovanie funkcií

Funkcia sa volá zvyšujúci sa na segmente , ak pre nejaké body a zo segmentu , kde , nerovnosť platí. Ak je funkcia spojitá na intervale a pre , potom sa na intervale zvyšuje.

Funkcia sa volá klesajúci na segmente , ak pre nejaké body a zo segmentu , kde , nerovnosť platí. Ak je funkcia spojitá na intervale a pre , potom na intervale klesá.

Ak funkcia v danom intervale iba rastie alebo len klesá, potom sa volá monotónna na intervale.

b) Extrémy funkcií

minimálny bod funkcie .

Ak existuje -okolie bodu tak, že pre všetky body z tohto okolia nerovnosť platí, potom sa bod nazýva maximálny bod funkcie .

Maximálne a minimálne body funkcie sa nazývajú jej extrémne body.

Bod sa volá stacionárny bod, ak alebo neexistuje.

Ak existuje -okolie stacionárneho bodu také, že pre a pre , potom je maximálny bod funkcie.

Ak existuje -okolie stacionárneho bodu také, že pre a pre , potom - minimálny bod funkcie .

a) Konvexný smer. Inflexné body

konvexne nahor na intervale , ak sa nachádza pod dotyčnicou vynesenou do grafu funkcie v ľubovoľnom bode tohto intervalu.

Postačujúcou podmienkou pre vzostupnú konvexnosť grafu funkcie na intervale je splnenie nerovnosti pre ktorýkoľvek z uvažovaných intervalov.

Graf diferencovateľnej funkcie sa nazýva konvexné nadol na intervale , ak sa nachádza nad dotyčnicou vynesenou do grafu funkcie v ľubovoľnom bode tohto intervalu.

Postačujúcou podmienkou pre zostupnú konvexnosť grafu funkcie na intervale je splnenie nerovnosti pre ktorýkoľvek z uvažovaných intervalov.

Bod, v ktorom sa mení smer konvexnosti grafu funkcie, sa nazýva inflexný bod.

Bod, kde alebo neexistuje, je úsečka inflexného bodu, ak sú znamienka naľavo a napravo od neho odlišné.

d) Asymptoty

Ak má vzdialenosť od bodu na grafe funkcie k určitej priamke tendenciu k nule, keď sa bod nekonečne vzďaľuje od počiatku, potom sa priamka nazýva asymptota grafu funkcie.

Ak existuje číslo také, že , potom je riadok vertikálna asymptota.

Ak existujú limity , potom je riadok šikmá (horizontálna v k=0) asymptota.

e) Všeobecné štúdium funkcie

1. Funkčná doména

2. Priesečníky grafu so súradnicovými osami

3. Štúdium funkcie pre spojitosť, párnu/nepárnu a periodicitu

4. Intervaly monotónnosti funkcie

5. Extrémne body funkcie

6. Intervaly konvexnosti a inflexné body grafu funkcie

7. Asymptoty grafu funkcie

8. Graf funkcií.

Úloha 5. Preskúmajte funkciu a vytvorte jej graf.

Riešenie. 1) Funkcia je definovaná na celej číselnej osi okrem bodu, kde menovateľ zlomku ide na nulu. . Máme: nepatrí do oblasti definície tejto funkcie. Stacionárne body tejto funkcie sú teda body s minimálnou hodnotou (ako je znázornené na obrázku).

8) Pomocou získaných údajov zostavme graf pôvodnej funkcie: